CC BY
107
Литература
1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.
2. Бай Фан. Прогнозирование процессов формирования структуры и свойств в конструкционных сталях при азотировании: дис. ... канд. техн. наук. М., 2006. 158 с.
3. ПискуновН.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: в 2 т. М.: Наука. 1985. Т. 1. 432 с.; Т. 2. 560 с.
4. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.
5. Табаков В.П. Формирование износостойких ионно-плазменных покрытий режущего инструмента. М.: Машиностроение, 2008. 311 с.
ВЛАСОВ СТАНИСЛАВ НИКОЛАЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, Ульяновский государственный технический университет, Россия, Ди-митровград ([email protected]).
VLASOV STANISLAV NIKOLAYEVICH - candidate of technical sciences, assistant professor of Mechanical Engineering Technology Department, Ulyanovsk State Technical University, Russia, Dimitrovgrad.
РАЩЕПКИНА НИНА АЛЕКСАНДРОВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
RASCHEPKINA NINA ALEKSANDROVNA - candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
СКУРКАЙТЕ АЛЛИТЕ ПЯТРАСОВНА - старший преподаватель кафедры технологии машиностроения, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
SKURKAYTE ALLITE PYATRASOVNA - senior teacher of Mechanical Engineering Technology Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ТАБАКОВ ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой металлорежущих станков и инструментов, Ульяновский государственный технический университет, Россия, Ульяновск ([email protected]).
TABAKOV VLADIMIR PeTrOVICH - doctor of technical sciences, professor, head of Metal Cutting Machines and Tools Department, Ulyanovsk State Technical University, Russia, Ulyanovsk.
УДК 517.925
Ю.В. МАЛЫШЕВ, П С. АТАМАНОВ
О РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, факторизованный оператор, однородное и неоднородное уравнения.
Применен операторный метод для решения однородных, неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами.
Yu.V. MALYSHEV, P.S. ATAMANOV ABOUT SOLUTION OF THE SYSTEM OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS BY SYMBOLIC METHODS
Key words: linear differential equation, factorized operator, homogeneous and non-homogeneous equations.
Symbolic method is applied to solve homogeneous and non-homogeneous systems of linear differential equations with constant and variable coefficient.
В данной статье излагается операторный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений, который для систем с постоянными коэффициентами является некоторым аналогом методов Крамера и Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений, сводящийся к решению нескольких дифференциальных уравнений высших порядков [2].
1. Системы с постоянными коэффициентами. Рассматривается система
' X (0 = аихг (0 + аи х2 (г) +... + аыхп (г) + / (г), х2 (г) = а2Л (() + а22 Х2 (г) +... + а2пХп (О + ./2 (г),
(1)
. Х'п (0 = ап1Х1 (*) + ап2 Х2 () + ... + аппХп (0 + /п (гX
в ней а- постоянные; /(г) - непрерывные дифференцируемые функции в
некоторой области.
Если В =------оператор дифференцирования, то система (1) в оператор-
й
ной форме имеет следующий вид:
(В - а11)Х1 - а12Х2 - ... - а1пХп = /1,
- а21Х1 + (В - а22) Х2 - ... - а2пХп = /2 , (2)
“ ап1Х1 - ап2Х2 - ... + (В - апп)Хп = /п.
Системе (2) соответствуют (п + 1) операторных определителей:
А =
А2 =
В - а11 а12
- а21 В - а22
- ап1 - ап2
В - а11 /1 ...
- а21 /2 ...
- ап1 / ...
- а,,
- а.
2п
В - а,„
А1 =
- а
/1
/2 В - а
12
22
- а1
-а
- а1 -а
В - а„
Ап =
/п - а
В - а11 -а
п2
-а
12
-а
В-а
-а
В - апп
... /1
... /2
... /.
При раскрытии определителей А, А;; = 1, п), можно использовать известные алгебраические правила (как в методе Крамера при решении систем алгебраических уравнений), учитывая свойства оператора В. Тогда решение системы (2) будет определяться равенствами
АХ; = А; , ( 7 = 1, п ). (3)
Каждое уравнение из (3) будет линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами, которое решается операторным методом [2]. В результате получаются функции
Х; (О = Фг (г, С, С2;,..., Сга), (4)
где С1;, С2;,..., Сп; - константы.
Между константами существуют связи, которые можно обнаружить, если функции х() подставить в систему уравнений (2). Тогда все найденные функции Х;(г) будут выражаться через фиксированный набор п констант С1 , С2, ..., Сп, т.е. общее решение системы (1) имеет следующий вид:
Х; (О = Фг (г, С1, С2,..., Сп), (; = Щ). (5)
Рассмотрим частный случай системы (1) при п = 3. Системе из трех
уравнений соответствуют операторные определители
А = В — (ац + а22 + азз )В + (Ац + А22 + А33 )В — 5,
где А11, А22, А33 - алгебраические дополнения элементов а11, а22, а33 опре-
°11 а12 а делителя 5 = а21 а22 а
/1 а12 а13
Л1 = //" (а22 + а33)/1 + а12/2 + а13/3 + 51, где 51 = /2 а22 2а
/3 а32 а33
а11 /1 а13
Л 2 = Л"" (а11 + а33)/2 + а21/1" + а23/3+52 , где 52 = а21 /2 2а
а31 /3 а33
а11 а12 /1
Л3 = (а11 + а22 )/ + а31/1 + а32/2 +53 , где 53 = а21 а22 /3
а31 а32 /3
(6)
Пусть оператор Л = Ь3(В) факторизуется, т.е.
А = (В -Ь1)(В -Ь2)(В -Ь3); Ь1, Ь2, Ь3 - постоянные.
Тогда система типа (3) имеет вид
(В - Ь1)(В - Ь2)(В - Ь3)х1 =Л1,
< (В-Ь1)(В-Ь2)(В-Ь3)х2 =Л2,
(В - Ь^)(В - Ь2)(В - Ь?)Х3 = Л3 .
Решая операторным методом уравнения системы (6), имеем
Х1 = Ф1(^, С1, С2 , С3 ) , Х2 = Ф2 ^, С4 , С5 , С6 ) , Х3 = Ф3(^, С7, С8, С9 ) .
Находим связи между С, (/ = 1, 9). Тогда общее решение системы (1) для п = 3 будет иметь следующий вид:
хДО = Ф^, С1, С2, С3), Х2() = Ф2(^, С1, С2, С3), Х3(^) = ф3(^, С1, С2, С3) .
Пример 1. Операторным методом найти общее решение системы
Х1 = —2 Х1 + 3x2 + 4 Х3 — 3^,
< Х2 = —6 Х1 + 7 Х2 + 6 Х3 +1 — 71, х'3 = х1 - х2 + х3 +1.
Решение. Для этой системы 5 = 6 , Л = В3 - 6В2 + 11В - 6 . После факторизации Л = (В - 1)(В - 2)(В - 3). Система (6) имеет следующий вид:
(В - 1)(В - 2)(В - 3)х1 = 0,
< (В - 1)(В - 2)(В - 3)х2 =-6г +11,
(В - 1)(В - 2)(В - 3) х3 = 0.
Из первого уравнения х1 = С1в( + С2е2 + С3е3, из второго уравнения
х2 = t + С4е( + С5е2 + С6е3 , из третьего уравнения х3 = С7е1 + С8е21 + С9е3. По-
сле подстановки функций Х1 , Х2 , Х3 в систему уравнений (2) получаем следующие системы равенств для определения связей между С{, (/ = 1, 9):
а31 а32 а33
— 3С1 + 3С4 + 4С7 = 0, 6С1 — 6С4 — 6С7 = 0,
Сі — С4 = 0;
— 4С2 + 3С5 + 4С8 = 0,
— 6С2 + 5С5 + 6С8 = 0,
С2 — С5 — С8 = 0;
— 5С3 + 3С6 + 4С9 = 0,
— 6С3 + 4С6 + 6С9 = 0, С3 — С6 — 2С9 = 0.
Из первой системы С4 = С1, С7 = 0 , из второй С5 = 0, С8 = С2, из третьей С6 = 3С3, С9 = -С3. С учетом этих связей общее решение системы имеет вид
x1 = С/ + С2е + С3е
Х2 — і + Сіе + 3С3Є
х3 — С2е2 — С3е
(7)
2. Линейная неоднородная система второго порядка с переменными коэффициентами. Рассматривается система дифференциальных уравнений
Г X (і) — «11 (і) X (і) + «12 (і) Х2 (і) + їі(і),
I х2 (і) — а21 (і) X (і) + «22 (і) Х2 (і) + /2 (і), где а у - функции і; /1, /2 - непрерывные дифференцируемые функции.
Если В — — оператор дифференцирования, то можно составить сис-
тему операторных уравнений
(В — «11) X — «12 Х2 — /1,
— «21X1 + (В — «22) Х2 — /2.
Выражение из первого уравнения
1
Х2 —-------[(В — «11)X — /1], «12 * 0
(8)
(9)
подставляется во второе уравнение:
- а21Х1 + (В - а22)—[(В - ап)х - /1] = /2. а12
Из последнего равенства получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами относительно функции ):
«11 + «22 + "
X! +
12 У
аl2а21 «11 +"
-*12
— «12/2 — «22/1 —-^ /1 + /1 '.
(10)
Пусть его линейный оператор
( \
Ь2(В) — В1 —
«11 + «22 + "
В +
•42 У
alla22 al2a21 «11 +"
факторизуется, т.е.
Ь2(В) — (В — 61)(В — *2); Ь1, Ь2 - функции і. Операторным методом [2] решаем уравнение
(В—*1)(В—*2) ^— «12/2— «22/1 12 /1 + /1 ,.
12 У
(11)
12
«
Х1
Xі _
«
12
Пусть его общее решение Xj = (t, Cj, C2). По формуле (9) находим
*2 = —[(D - a„)q>i - fj].
°12
Итак, функции xj, x2 - общее решение системы (7).
Пример 2. Операторным методом найти общее решение системы X = Xjtg t + x2 + cos t,
X
cos21
+ 2 x2 tg t + sin t.
Решение. Составляем уравнение (10):
xj- 3tgt xj - 2x1 = -2sint.
Для него L2(D) = D2 - 3tg t D - 2. Он факторизуется:
L2(D) = (D - tg t)(D - 2tg t).
Решаем уравнение:
(D - tg t)(D - 2 tg t)x1 = -2 sin t;
1 1 2
-D-Dcos t x1 =-2sint.
cos t cos t
После двойного применения обратного оператора D- получаем
X =—1^(C1sint + C2) + — sin t. cos t 3
По формуле (9) получаем
x2 = ——(C1 + C2 sin t) -1 cos t-------1—.
cos31 3 3cos t
Операторный метод можно применять при решении систем линейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и высших
порядков.
Литература
1. Малышев Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 59-66.
2. МалышевЮ.В., Атаманов П.С. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 176 с.
МАЛЫШЕВ ЮРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный технологический университет, Россия, Казань ([email protected]).
MALYSHEV YURI VALENTINOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, professor of Higher Mathematics Department, Kazan State Technological University, Russia, Kazan.
АТАМАНОВ ПЕТР СТЕПАНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
ATAMANOV PETR STEPANOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
X2 _
