О РЕШЕНИИ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

В качестве следствия из этой теоремы получаем, что 6-мерное эрмитово подмногообразие M6 алгебры Кэли является многообразием нулевой голоморфной бисекционной кривизны в том и только в том случае, когда M6 - область на келеровой плоскости.

Отметим, что формула (2) обобщает известный результат В.Ф.Кириченко [3,с.34], получившего значение голоморфной бисекционной кривизны 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли. Действительно, положив

T^ = ±iTi, Tab = +iTa7b, что является условием, при котором 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры октав является келеровым, из (2) получим:

bsxay = -8

TbXaYb

2

Библиографический список

1. Goldberg S., Kobayshi S. Holmorphic bisectional curvature // G. Differential Geometry. 1967. №1. P.225-233.

2. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып.25. С.15-18.

3. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Известия вузов. Матем. 1980. №8. С.32-38.

M. B. B a n a r u

ON A HOLOMORPHIC BISECTIONAL CURVATURE OF 6-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY'S ALGEBRA

Results have been obtained concerning one of the most important characteristics of an Hermitian manifold which is a holomorphic bisection curvature. In particular, some properties of this curvature on plane have been considered.

УДК 514.75

О РЕШЕНИИ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

И. С. Б а с ю к

(Калининградский государственный университет)

Статья посвящена исследованию систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными. Пункты 1-3 носят в основном реферативный характер; в пункте 4 рассмотрена система трех квадратичных уравнений с четырьмя неиз-

вестными, описывающая фокальное многообразие конгруэнции квадрик специального вида.

1.Теорема Гильберта о базисе. Пусть 1а (Х0,Х1,...,ХП) (а еУ) -многочлен

из кольца К[Х0,Х15...,ХП], где К - некоторое поле. Решением системы 8^+1 уравнений

1а(Хо,Х1,...,Хп) =0 (1)

называют совокупность элементов (£,0,^1?...,2п) произвольного расширения К* [2,гл.1,§2] поля К, если 0, 2 п) =0. Следующая теорема показыва-

и и и и

п+1 можно заменить эквивалентной ей системой, содержащей лишь конечное число уравнений.

Теорема 1. В каждом непустом идеале I кольца К [ Х0, Х15..., Хп ] существует

конечная система многочленов gi (Х0,Х1?...,Хп) (1 = 1,Г) такая, что любой

многочлен F (Х0, Х1?..., Хп ) е1 может быть записан в форме

Г (Х0,Х1,...,Хп ) = £ (Х0 5 Х1 5 ... 5 Хп ) gl (Х0,Х1,...,Хп ),

где а1 (Х0 5 Х15. ..5 Хп )е К [Х0,Х15...,Хп ] .

Доказательство теоремы 1 производится индукцией по п [2,гл.1У,§2]. Система многочленов gi (Х0, Х1,..., Хп) называется базисом идеала I.

Пусть система состоит из счетного числа уравнений (1=^. Рассмотрим идеал, образованный многочленами, обращающимися в нуль каждым решением системы (1). Если {gi (х0,Х1,...,Хп)} - базис этого идеала, то уравнения

^ (Х0 5 Х15...5 Хп) =0 (2)

удовлетворяются всеми решениями системы . Каждый из многочленов 1а (Х0 5 Х15 ...5 Хп) принадлежит рассматриваемому идеалу [2,гл.1У5§2], поэтому

^а (Х0 5 Х15... 5 Хп) = £ аа1 (Х0 5 Х15... 5 Хп) gi (Х05Х15...5Хп) .

1

Следовательно, каждое решение системы (2) является решением систе-

~ , пМ

п+1 и последнюю можно заменить конечной системой ( если Ьп+1 однородна, то Бп+1 также однородна [2,гл.1У5§1] ).

2.Система результантов системы бинарных форм. Рассмотрим систему Б2 из г однородных уравнений. Пусть т1 =deg 1 (Х0 )Х1) 5 т=тах {т^..^ Шг}. Обозначим

Ф1 (Х0,Х1) = а1 ХГf1 (х0 ,Х1) , ф Г+1 = Ь1 ХГт ^ (Х0 , Х1)

(здесь а1,Ь1 - новые неизвестные) и введем вспомогательную систему 82Г ф j (Х0, Х1) =0 (] = 1,2г). Для нахождения условий, при которых система §2 обладает решением при некоторой специализации коэффициентов [2,гл.1,§5] в каком-либо расширении К* поля К, достаточно найти соответствующие условия

для системы § 2Г при той же специализации [2,гл.1У,§5].

Введем новые неизвестные ^, "У^ и рассмотрим многочлены

Ф(Х0,Х0 = Е И фj(x0,xl), ^(Х0,Х0 = Е vj фj(x0,xl). Результант

j j

[2,гл.1У,§3] К.(ц,у) этой пары бинарных форм является многочленом от и^У^ Коэффициент при и!1... и22ГГ У11... у22гг имеет вид:

Бк = ёка?+ jl... аГг + ^ Ь1+1+ jг+1... Ь^ + ^ ,

где ёк- многочлен от коэффициентов исходных форм ^ (Х0,Х1). Эти многочлены ёк образуют систему результантов системы однородных уравнений 8 2.

3. Система результантов для системы однородных уравнений с несколькими неизвестными. Пусть система 8П+1 состоит из г однородных уравнений с п+1 неизвестным. Введем новые неизвестные £0, и положим Хр = £0Хр, Хп =

(р = 0, п — 1). Тогда из 8П+1 получим систему 82 однородных относительно £ 0, уравнений

fl (£ 0Х 0,..., £ 0Х П—1, £1) =°.

Теорема 2. Пусть дана система 8 П+1 однородных уравнений с неопределенными коэффициентами [2,гл.1У,§3] и пусть ^ (Х0,...,ХП) =0 - система 8П+1

уравнений, полученная из 8 П+1 при некоторой заданной специализации коэффициентов. Тогда существует конечная система многочленов ёк от коэффициентов системы 8 П+1, обладающая следующими свойствами: 1) для некоторого значения т ёк Хт=^ ак1 (х0 ,..., ХП) ^ (х0 ,..., ХП), где коэффициенты многочле-

1

нов ак1 (Х0,..., ХП) принадлежат кольцу коэффициентов системы 8П+1; 2) необходимое и достаточное условие существования решения системы 8П+1 в каком-либо алгебраическом расширении поля коэффициентов состоит в том, что при рассматриваемой специализации многочлены ёк обращаются в нуль.

Доказательство теоремы 2 осуществляется индукцией по п [2,гл.1У,§6]. 4.Система уравнений фокального многообразия конгруэнции 1_ . В трехмерном проективном пространстве рассматривается конгруэнция L [1] невырожденных линейчатых квадрик, фокальное многообразие которой одномерно и

определяется системой § 4 уравнений

Б = хЧ2 - х0х3 = 0, - ак1 (хк)2 + Ък1х0хк + ск1хкх3 + И1х1х2 = 0, где а1к, Ъ1к,с1к И1 - коэффициенты системы дифференциальных уравнений конгруэнции L (1',к=1,2, 1Ф'). Введем неоднородные координаты =

П = Z = и приведем систему S3 к виду

= 0,

- аи^2 - а^п2 + Ъи£ + Ъ^п + (си£ + с^п) + Ь^п = 0. (3)

т~ч __и и

В силу одномерности множества решений рассматриваемой системы результант уравнений (3) должен тождественно обращаться в нуль. Это требование

позволяет привести систему §3 к виду

F=0, (а^ + х')(Ъх0 - акхк + сх3) = 0.

Теорема 3. Фокальное многообразие квадрики QeL , описываемое системой §3, одномерно и состоит из коники и двух точек [1].

Библиографический список

1. Басюк И.С. Конгруэнции линейчатых квадрик с одномерными фокальными многообразиями // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. Вып.26. С.21-24.

2. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М., 1954. Т.1. 461 с.

I. S. B a s j u k

ON THE SOLUTION OF A SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS

The article is devoted to the investigation of systems of algebraic equation with several unknowns. Three items have in general the reviewing nature: in the fourth item a system of three-quadratic equations with four unknowns is considered, describing a focal manifold of congruence of quadric of a special form.