CC BY
6
8
М.Б. Банару
ских точках. В этом смысле скалярная кривизна 'повторяет' и кривизну Риччи, и
голоморфную бисекционную кривизну [3] таких многообразий.
Если же рассматриваемое многообразие является многообразием постоянной
скалярной кривизны (К= const), то мы получаем, что
2
=const,
T ф
1 ab
I
Ф
и следовательно, справедлива
Теорема 2. 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли является многообразием постоянной скалярной кривизны в том и только том случае, когда конфигурационный тензор имеет постоянную длину.
Отметим, что обе теоремы обобщают известные результаты В.Ф. Кириченко [4], полученные для 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры октав.
Библиографический список
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.
2. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып. 25. С.15-18.
3. Банару М.Б. О голоморфной бисекционной кривизне 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Там же. 1997. Вып. 28. С. 7-9.
4. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С.32-38.
M.B. B a n a г u
ON 6-DIMENSIONAL HERMITEAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY ALGEBRA
One of most beautiful and substantial examples hermitean manifolds is 6-dimen-sional submanifolds of oktave algebra. Some results about properties such manifolds are adduced.
УДК 514.75
О.О. Б е л о в а
(Калининградский государственный университет )
СВЯЗНОСТЬ В РАССЛОЕНИИ, АССОЦИИРОВАННОМ С МНОГООБРАЗИЕМ ГРАССМАНА
DшI=шJлш ^, DшI=ш ^ лю.ъ Dш ^ =ш р лш р + 8 ^ ш^ш^ш.тлш1 (2)
В проективном пространстве рассмотрено многообразие Грассмана - пространство плоскостей. Над ним возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности плоскости. В этом расслоении задана фундаментально - групповая связность по Г.Ф. Лаптеву. Доказано, что оснащение Бортолотти многообразия Грассмана индуцирует связность в ассоциированном расслоении. Отнесем п-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {А, AJ}, деривационные формулы которого имеют вид :
dA=0A+шIAI , dAI=0AI+ш ^ А^А, (1)
где линейная форма 0 играет роль множителя пропорциональности, а формы ш1 ,ш ^, ш1 (I, I, K = 1, П ) проективной группы GP(n), действующей в пространстве Рп, удовлетворяют структурным уравнениям :
)!=Ш ^ лШ1, Dш | =ш | лш р + 8 |
В проективном пространстве Рп рассмотрим многообразие Грассмана V=Gr(m,n) т-мерных плоскостей Ьш. Произведем специализацию подвижного репера {А, А1}, помещая вершины А, Аа на плоскость Ьт. Здесь и в дальнейшем индексы принимают значения :
а, Ь, с, d, е = 1, т ; а, Р, у, ц = т + 1, П . Из формул (1) видно, что уравнения ша=0, ш^ =0 являются условиями стационарности плоскости Ьт, т.е. формы ша,ша -базисные для многообразия Грассмана. Они удовлетворяют вытекающим из системы (2) структурным уравнениям
Dша=шрлшp - ш а лша, Dш а =ю| лша - ш Ь лшр -шалша . (3)
Находим внешние дифференциалы от вторичных форм :
Бш а = ш ь лш Ь + ша лш а, Бш а = ш ^ лш ь + ш а лша, Бш Ь = ш Ь лш С + ш ь лш а + 8 Ь ш с лшс + ш Ь лш а - 8 Ь ша лша;
(4)
Dш а =ш у лш у +8 а шалша- ш а лш р -шул(8 а шу+8 у Шр,
Dш р =ш^ лш р + ша лшр -шалша, Dшa=ш р лша+ша лшр.
Итак, над многообразием V построили главное расслоение G(V), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G плоскости Ьт. Расслоение G(V) содержит главное подрасслоение P(V) со структурными уравнениями (3),(4) и типовым слоем - группой Р=GP(m)^GP(n), действующей на плоскости Гт.
Рассмотрим преобразование вторичных форм с помощью базисных форм
многообразия V :
~ а — „а т^ а _ а т^ аЬ а ~ а _ „ а т^ а . а т^ ас а
Ш = ш -Г а ш -Г а ш Ь , Ш Ь = ш Ь -Г ЬаШ -Г Ьа ш п ,
ш а = ша-Г ааша-ьаашь, ш а = ша -Г ау шу-Г аа ша,
Ш а = ша -ГарШР-ГаршЬ , Ш а = Ша-ГарШР-Ьарша .
Структурные уравнения этих форм приводятся к виду :
DШa= Шьлш а-(АГа -Г^«Ч Г«ь+ш^ )л«а-(АГ-Г* ^ + Г* шь)л «а +
+г Ьа г£«а л«р+(грь Г Са - Г сь Г а )«а л«р + Г еа Г р «а л«р,
D« £ = ШЬЛ«а + ШЬ Л«а +5£« Л«с - (АГЬа Га«Ь + Г£а®' + Г£>с -
- 5 Ь га® с -5 Ь ГсаШ с -5 Ь «а ) Л®а - (АГ ЬСа - Г а^ Ь + ЬЬаШ а + Г ЬаШ С -
-5 Ь Г аС ® е +5 ЬЬеаШ 6 +5 Ь ® а ) Л®а + (гаг ЬР + Г аа Г Ьр +5 Ь га Гср )йа Л®Р +
, /т с у а | у ес у а у е у ас у ас у о а у у ес , о а у е т с ч а р , / у ас т d , + (ЬЪрг а + г ЬРг еа - г Ьаг ер - г р г Ьа - 5 Ьг еаг р +5 Ь г а ЬеР )Ш ЛШ с + (г а ЬЪр +
+г ас г Ьр+5 ь г ас^р )<л^ ,
D Ш а= Ш Ь Л СО b-(АГаa+Г Ьа Ьа Ш,)лша-^ Ьа +^«^5 Ь ®а+
сЬ -%)Л ®а + Г Ьа Г Ьр®а лшр + (Г са Г ар - Ь^ Г аа К л«, + Ь^ Г 2р«а лшср:
+Г са О «а + г Ьа Г Ьрйа лшр + (Г са Г ар - ЬЬср Г аа )йа л«£ + Ь^ Г £ «а л®р ,
D Ш а = СО р л со а+5а«а дШа - (АГ |ау+ Г |ауа ш а - + 5а Гауша - 5^ - 5^) л шу -
-( аг а;+г ар®а-5а г уа ® с+5а Ь^® Ь -5а®р) д® а+ (5а г у г а,- г ^ г ^ )шул«^+ +(г ау г рл; - г ^ г ^ +5а ьа,, г ь -5а г, г ^^ )®у л® , +(г аа г + +5а г ^)® у Л®, , D «а=« ¡ъ лшь+«а л« а+«ад«3 - (аГ ар+гаЬрш ь - гьр®а+г ар® у- Г; ®а+Гар®а) л®р-
+(Аг аьр+г ар®ь -г се® а+г ар® у-г рь ®а+ь> а) л®р+(г ¡рг ау+г рг ау-г арг ,у )®рлшу+ +(ь£ауг с- г а£ г ар+г ауг ср- г ?ь г ар- г ,£ г ар+г ^ Цр)шР лшЪ+(г р£ьсау +г осг а? +
+г dр г асу )«£ лш у,
DШа = ШаЛШа + «алШс - (АГаР + Гар«а + Ь0рШа + ГарШу -^рОЛ«Р - (АЬаР + ^р« +
+г>ь - ь>а+га>у) дшр+(гаргау-гар г,у )®рлшу+(г ¡р гау - г ¡р ь^ -- г ,р Ьа,у + г ау г ,р )шр лш у+(Ьаср г а^ + Ьа,р г ау )«Р лш£ .
Оператор А действует обычным образом, например,
аг ар = dг ар - г аьу«р + г ар® а - г аьша+г аср® ь.
Согласно теореме Картана-Лаптева [1] связность в ассоциированном расслоении G(V) задается с помощью поля объекта связности
Г=( Г а, г аь, г £а, г ьа, Г аа ,Ьаа, Г^ , Г%, г ар, г аьр, г ар ,Ьаар ) на базе V следующими сравнениями по модулю базисных форм «а, Ша:
аг а - г ¡а®ь+г аь ® ь+®а - о, аг аь - (г аъ -5 ь г а)«с - о,
АГ £а - (5 £ га - Г Ьса +5 £ га)й с + (5 с г £а +5 £ Г са )ш с -5 £®а - о, АГ ьа - (5 £ Г ас +5 £ Г ас)ш е + (5 аьс£а +5 с г Ьа +5 £Ьсеа )ш е +5 £®а - о,
а а е
-Г ^
^Ь хтЪ ^л ЛТ Ь л_Т"с£
аа с ' ^ аа1
АГ аа + (Г £а + Ь^ )« £ - 0 , АЬ^ + Г аа® с + Г аа® Ь +5 £®а - 0, Агау+(гаа -5а г ;)ш а+5а г ау®а -5а«р -5а«у - о,
ЛГ¡5 + (5ЪГ«у +5«ЬаЬу )шь -5«Гуашс - 0, (5)
ЛГ «р + Г ь - (5« Г Ьр -5 аь Г «р )шЬ - Гр ш« + Г арша - 0, ЛГ «Ьр + (5 Ъ Г «р +5 С^р )шс - (5« Г Ср -5 С Г «ьр )шС - ГрЪ ш« - 0,
ЛГ«р + (Г«р + ЬС«р)ша - Гарш« + Г«ршу - 0>
ЛЬа«р + Г«р®а + Г>ь - Ь>« + Г«>т - 0.
Определение. Оснащением Бортолотти многообразия Грассмана называется присоединение к каждой т-мерной плоскости Ьш (п-т-1)-мерной плоскости Рп-т-ь не имеющей общих точек с плоскостью Ьт.
Теорема. Оснащение Бортолотти многообразия Грассмана позволяет задать связность в ассоциированном расслоении.
Доказательство. Плоскость Рп-т-1 зададим системой точек
В«=А«+ Г« Аа + Г« А. Дифференциалы точек В« имеют вид:
ав« - ев« +®«Вр + (лг« +г«ша +®«)Аа + (ЛГ« +А>а +®«)А.
Требуя относительную инвариантность плоскости Ьт , получим:
ЛГ« + Г«® а +ш « - 0, ЛГ« + Г«® а + ®« - 0. (6)
Оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора {Г«, Г« } на многообразии V, позволяет охватить компоненты объекта связности Г:
Га _ л а т^аЪ _ лт^а _ я а л т^ _ я « л
« - > Г « - 0 Г Ъ« - -5Ъ> Г ру - -5рГу -5у Гр >
т^аЪ _ Я^а та _ Я а Т, у _ /->т^«а _ Я«') а
Г с« - 5с ,ЬЪ« - 5Ъ, Г а« - 0, Г ру - -5у Гр ,
ра _ _л л а т^аЪ _ _л Ъ л а -р _ _л л та _ _л л а
А «р - Л«Лр , А «р - Л«Лр , А «р - Л«Лр ,Ь«р - ЛрЛ« .
Эти функции в силу сравнений (6) удовлетворяют сравнениям (5).
Замечание. Аналогичная теорема для подмногообразий многообразия Грассмана доказана в работе [2].
Библиографический список
1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 248 с.
2. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1978. N9. С.124-133.
0.0. В е 1 о V а
A CONNECTION IN FIBERING, ASSOCIATED WITH THE GRASSMAN'S MANIFOLD
Grassman's manifold (space of planes) is considered in projective space. Main fi-bering is arised above it, typical fiber of it is stationarity subgroup of plane. A fundamental - group connection is given in this fibering. It is proved, that Bortolotti's equipment of Grassman's manifold induces a connection in the associated fibering.
