О решении краевых задач в кусочно-однородных областях с двухслойными плёночными включениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В143

Наталья Валерьевна Нутчина-Пестрякова,

соискатель,

Южно-Якутский институт железнодорожного транспорта (Нерюнгри, Россия), e-mail: pestryakovi@mail.ru

О решении краевых задач в кусочно-однородных областях с двухслойными плёночными включениями1

Решены различные типы краевых задач для уравнения Лапласа в кусочнооднородных цилиндрах с двухслойной плёнкой, а также задачи с пересекающимися двухслойными плёнками на плоскости. Используя метод свертывания разложений Фурье, ре-шения задач выражены через решение классических задач в однородных цилиндрах или через заданные гармонические функции на плоскости.

Ключевые слова: краевые задачи, метод свертывания разложений Фурье, двухслой-ные плёночные включения.

Natalia Valerievna Nutchina-Pestryakova,

Graduate Student, South Yakutiya Institute of Railway Transport (Neryungri, Russia), e-mail: pestryakovi@mail.ru

Solving Boundary Value Problems in Piecewise Homogeneous Regions with

Double-layer Film Inclusions

The paper presents solutions of different types of boundary value problems for Laplace equation in a piecewise homogeneous cylinders with the double-layer film, as well as problems with overlapping double-layer films on the plane. Using the method of convolution of Fourier expansions, the problems solutions are expressed in terms of the solution of classical problems in homogeneous cylinders or a set of harmonic functions on the plane.

Keywords: boundary value problems, method of convolution of Fourier expansions, double-layer film inclusions.

Пусть на плоскости x,y задана гармоническая функция F(x,y), имеющая особые точки в по-луплоскости х > 0. Данная функция описывает установившиеся процессы тепломассопереноса на однородной плоскости, индуцированные заданными особыми точками (источниками, стоками и т.

д-)- _________________________________

Задачи на плоскости с двухслойной плёнкой

1. Рассмотрим кусочно-однородную плоскость х,у, состоящую из двух полуплоскостей D\(х < 0) и £>2(х > 0), у € R с различной проницаемостью kj в Dj, когда зоны Dj разделены двухслойной плёнкой х = 0 типа сильно проницаемой трещины х = — 0 с параметром А и слабопроницаемой завесы х = +0 с параметром В [2; 3], при сохранении особых точек функции F(x,y). Задача для потенциалов щ(х,у) в зонах Dj имеет вид [1-3]:

Ащ = 0, г = 1,2;________________________________________(1)

х = 0 : U2 — и\ = Bk2dxU2, k2dxU2 — k\dxu\ = Адхи\, (2)

при этом функция U2(x,y) имеет особые точки заданной гармонической функции F(x,y), т. е. в окрестности особых точек выполняется условие

U2(x,y) ~ F(x,y), (3)

1Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, № 1.3985.2011.

98 © Н. В. Нутчина-Пестрякова, 2012

где 9" = дп/дхп. Здесь трещина х = —0 и завеса х = +0 моделируются бесконечно тонкими слоями с бесконечно большой для трещины и бесконечно малой для завесы проницаемостью [2; 3]. Применяя метод свертывания разложений Фурье [2; 3], выразим решение задачи (1)-(3) через функцию Р(х, у). Следуя указанному методу, предположим сначала, что функция ^(0, у) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье /*:

СО

F(0,y) = JgdX, g(y, А) = Л вт Лу +/2 сое Лу. (4)

о

Отметим, что данное предположение существенно сужает класс особых точек функции Р(х,у). Отсюда функция Р(х,у) при х < 0, где она не имеет особых точек, представима в виде

___________ОС____________________________________________________

Р(х,у) = I eXxgdX, х < 0 (5)

о

(функции слева и справа являются решением задачи Дирихле в полуплоскости £>х(х < 0) вида А и = 0, и |ж=о = Р(0,у)). Представим решение задачи (1)-(3) также в виде разложений Фурье:

СО ОС

«1 = J aleXxgdX, х < 0; и2 = Р{х,у) + ^ a2e~XxgdX, х > 0. (6)

о о

Отсюда функции (6) удовлетворяют условиям (1), (3) (при условии сходимости и дифференциру-емости интегралов (6)). Из условий сопряжения (2) с учётом (5) для параметров сч(Х) получим систему алгебраических уравнений 1 + а2 — сц = Вк2Х(1 — 02), &г(1 ~ а2) ~ кхах = АХа\, решение которой имеет вид

2 к2 2(АХ + к1)

„2 = 1--------------, (7)

где

d(А) = АВк2Х? -Ь {А -Ь Вкхк2)Х -Ь к\ -Ь &2,___________________________(8)

при этом d{А) > 0 для 0 < А < оо.

Из разложения функции Р(х,у) (5) следует формула, полученная в работах [2; 3]:

оо ОС

^ Je-^tnF(x-t,y)dt = J-^фITTdX, х < 0, (9)

о___________________________о

где 7 > 0, п = 0,1, 2,функция g(y, А) имеет вид (4).

Пусть квадратный трёхчлен (8) имеет различные корни —7*, т.е. Т ф 0, где

Ъ = ~Л + Вк'2к1вк~1)ЧТ- ‘=1'2;

при этом RerJi > 0. Разлагая правильные дроби (7) на множители, получим

_ 2^2 С 1____________1___________________2 /кг-цА кг-^А

~ л/Т \ А + 71 А+ 72 У’ й2 ~ л/Т\ Х + 'п X + 7з

Отсюда с учётом формулы (9) при п = 0 решение (6) задачи (1)-(3) приводится к виду:

ОС

Г) 7 П

и\ = —-щ J Р(х — £,у) (е“71* — е“72*) dt, х < 0, (10)

о

П2 = Р(х, у) + Р( — х, у) —

СО

--^= J Р(—х — і, у) [(/сі — 7і-А)е п* — (к\ — 72^4)е /2*] dt, х > 0.

(П)

В случае комплексных корней многочлена (8) функции (10), (11) действительны.

В случае двукратного корня а многочлена (8), т. е. при Т = 0, с учётом формулы (9) и равенств

1 1 XA + ki 1 k\ — aA A 1 I

d ABk2{X + a)2 ’ d ABk2 (Л + a)2 X + a

решение (6), (7) задачи (1)-(3) приводится к виду

ОС

iii = J F(x -t,y)e~attdt, (12)

О

________________________________ос________________________________________________

u2 = F(x, у) + F(-x, у) - j F{-x ~ t, y)e-at [(/ci - aA)t + A] dt, (13)

Q

где

A + Bk\ Jv2 _

“ = 2 ABk, >0'

В полученных формулах (10)-(13) заданная гармоническая функция F(x,y) может иметь произвольные особые точки при 0 < х < оо, а при х —» — оо она должна удовлетворять условию \F(x,y)\ < cerN, где г < min(7i) и г < а соответственно в случаях Г / 0 (Ю), (11) и Т = 0 (12), (13). При указанных условиях интегралы (10)—(13) сходятся и допускает дифференцирование дважды по х, у.

Таким образом, решение задачи (1)-(3) в соответствующих случаях строится по формулам (10)—(13) для широкого класса заданных особых точек.

2. Поменяем местами трещину и завесу в плёнке х = 0 при сохранении особых точек функции F(x,y) в полуплоскости D2(x > 0), т.е. рассмотрим случай завесы х = —0 с параметром В и трещины х = +0 с параметром А. Для потенциалов щ(х,у) в зонах D{ проницаемости к{ задача имеет вид (1), (3),

х = 0 :____U2 — u\ = Bkidxui, ~ k\dxui = Adxii2-________________(14)

Представляя решение этой задачи в виде (6), из условий сопряжения (14) найдем

2к2 2k2(BkiX+l)

», = —. <ц = -1+ л _______________________________________________(15)

где

d{ Л) = АВкгХ2 + (А + Bhk2)X + кг + к2. (16)

Пусть квадратный трёхчлен (16) имеет различные корни —ji, т.е. Т ф 0, где

*-Л*М%££1Г—’ <=1'2; T-IA-Bk,k,f-4AB>Z.

Разлагая дроби (15) на множители, получим

_ 2^2 /___1________]_\ _ 2к2 /1 — j?fci7i 1 — -Bfci72\

0,1 ~ VTKX + 'Y! Л + 72/ ’ а2~ VTy Л+ 7i Л + 72 ) '

Отсюда с учётом формулы (9) решение (6) задачи (1), (3), (14) приводится к виду

СО

ui = ~j= J F(x — t,y) (e-7lt — e_72t) dt, (17)

U2 = F(x,y) — F(—x,y)+

+ — / F(-x - t, у) [(1 - Вк1Ъ)е“7lt - (1 - Bkll2)e-"l2t} dt. (18)

Q

В случае двукратного корня а многочлена (16), т. е. при Т = 0, с учётом формулы (9) решение (6), (15) задачи (1), (3), (14) примет вид

СО

ui = J F(x - t, y)e~att dt, о

ОС

2/c f

U2 = F(x, y) — F(—x, y) + 2 / F(—x — t, y)e~at [(1 — Bk\a)t + В hi] dt.

ABki J о

где

A + Bk±k2 n “= 2 ABh >0'

Рассуждая аналогично, в случае одиночной трещины х = 0 решение задачи (1)-(3) при В = О получим в виде

со

ui = J e~~<tF(x - t,y)dt,

Q

oo 2 к f

u2 = F(x, y) - F(-x, y) + -j- J e~~/tF(—x - t, y)dt,

0

где 7 = (hi + k^)!А. В случае одиночной завесы решение задачи (1)-(3) при А = 0 имеет вид

____________ос__________________

Ul = / e~~>tF(-x ~ ^ y}dt’

Q

ос

u2 = F{x, у) + F(-X, у) - J e^lfF(-x - t, y)dt,

о

где 7 = (hi + k2)/Bkik2.

Краевые задачи в цилиндрах с двухслойной плёнкой. Полученные решения щ(х,у) имеют вид операторов, действующих на заданную гармоническую функцию F(x, у) по одной пе-ременной х (переменная у остается свободной). В условиях сопряжения (2), (14) также участвует только одна переменная х, при этом эти условия для полученных функций щ(х,у) выполняются тождественно. Отсюда функция F(x,y), а значит и функции щ(х,у) по свободной переменной у могут удовлетворять дополнительным условиям.

Рассмотрим в пространстве (х, у) 6 R3 цилиндр D = (х 6 R) х (у € Q С Д2), состоящий из двух полуцилиндров Di(x < 0) и Р2(х > 0) с различной проницаемостью kj в Dj при наличии двухслойной плёнки типа трещины х = —0 с параметром А и завесы х = +0 с параметром В. В данном цилиндре рассмотрим задачу с однородными условиями в зоне D\{x < 0) (что не умаляет общности) вида

Д«1=0, Д u2 = H(x,y), M[ui]|S=0, M[u2\s = h(x,y), (19)

при выполнении условий сопряжения (2), где М - произвольный линейный оператор граничных условий 1-го, 2-го или 3-го рода по переменным Уг, у = (уг,у2) (т. е. оператор М не содержит производных по х и коэффициенты при производных не зависят от ж), 5 - боковая поверхность цилиндра Р. Решение данной задачи (19), (2) в соответствующих случаях параметра Т строится по формулам (10)—(13), где Р(х,у) - решение соответствующей классической краевой задачи в однородном цилиндре Р(х е Д, у е (3) без плёнки вида

АЕ=\н(х,у), ж>0' м[р] /М^У), *>0^

10 х < 0 ’ 10 х < 0 ’

что проверяется непосредственно.

Задачи на плоскости с пересекающимися плёнками. Рассмотрим, как и в п. 1, плоскость

ж, у с тем или иным плёночным включением х = 0 при заданных особых точках потенциала. В случае дополнительного плёночного включения у = 0 потенциалы примут вид композиции соответствующих операторов, полученных выше и действующих на заданную функцию Р(х,у) соответственно по переменным ж и у.

В качестве примера рассмотрим плоскость ж, у, разделенную пересекающимися двухслойными плёнками ж = 0иу = 0на четыре квадранта Рц (ж < 0,у < 0), Рг2{х < 0,у > 0), Р2г(х > 0,у < 0), Р22{х > 0, у > 0) с проницаемостью кц в Р^. где к2] = к^р. Пусть плёнка ж = 0 состоит из трещины ж = —0 с параметром А\ и завесы ж = +0 с параметром В\, а плёнка у = 0 состоит из завесы у = —0 с параметром В2 и трещины у = +0 с параметром А2, при этом особые точки заданной гармонической функции Р(ж, у) расположены в зоне Д22- Тогда для потенциалов гщ в Р,^ задача примет вид

Лиц = 0, (ж,у) 6 А?, (20)

ж = 0 : и2? - иц = Вхрд^т, рдхи21 - дхиц = А^иц, ,] = 1, 2,__________(21)

у = о : щ2 - иц = В2кцдуиц, к12дущ2 - кцдуиц = А2д2щ2, г = 1,2, (22)

и22(х, у) ~ £(ж, у). (23)

Пусть для определённости Т\ = {А\— В\р)2 — АА1В1Р2 ф О, Т2 = {А2— В2кцкх2)2 —4А2В2к2^ ф 0. Тогда решение задачи (20)-(23) строится в виде композиции операторов (10), (11) по переменной ж и (17), (18) по переменной у. Действительно, представляя решение задачи (20)-(23) в виде операторов (10), (11) (тождественно удовлетворяющих условиям сопряжения (21)):

СО

^а(а;,у) =У ?7Дж - 4,у) (е-71* - е-72*) ж < 0, (24)

о

ия(х,у) = иг{х,у) + Щ(—х, у) —

СО

~Т~

j Щ(-х-Ь, у) [(1 -71^1)6 71‘- (1 - 72^1)е 72‘] ей, Ж > 0, (25)

у/Т~1

а

для функций {7*(ж, у) получим задачу

АЩ = О,

у — 0 : 112 — — В2кцдуи1, к\2дуи2 — кцдуРх — А2д2112,

U2(x,y) ~ F(x, у), решение которой строится по формулам (17), (18):

ОС

Ui(x,y) = J F(x,y - т) (e_/3lT - e~hT) dr, (26)

О

U2{x, у) = F(x, у) - F(x, —у)+

OG

+ J F(x> -у - т) [(! “ B2knl3i)e~l3lT - (1 - B2kiif32)e~l32T] dr, (27)

где

_ А\ + В\р + (—1)1\/ТІ _ А2 + В2кцк\2 + {—l)l'JT2

~ гП 74~Z > Pi ~

2А\В\р 2А2В2кц

Р(х,у) - заданная гармоническая функция (23). Таким образом, решение задачи (20)-(23) выража-ется через функцию Р(х,у) по формулам (24)-(27).

Аналогично можно решать задачи с другими комбинациями пересекающихся плёночных включений.

Список литературы

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука.

1972. 735 с.

2. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

3. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. Т. 45. № 8. 2009.

С.1204-1208.

Статья поступила в редакцию 01.02.2012 г.