О решении краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений в полуцилиндрах, ограниченных двухслойной плёнкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

http://www.uchzap.com

ISSN 2308-8761 ISSN 2542-0070 (Online)

УДК 517.958

DOI: 10.21209/2308-8761-2017-12-4-24-28

Святослав Евгеньевич Холодовский,

доктор физико-математических наук, профессор, Забайкальский государственный университет, (672039, Россия, г. Чита, ул. Александро-Заводская, 30)

e-mail: hol47@yandex.ru

О решении краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений в полуцилиндрах, ограниченных двухслойной плёнкой

В статье рассмотрен класс краевых задач в полуцилиндрах Б = (х < 0) х (у е ( С Кт), ограниченных по основанию х = 0 двухслойной плёнкой, состоящей из сильно- и слабо проницаемых прослоек. На плёнке задано однородное граничное условие первого типа. В полуцилиндре рассмотрены неоднородные дифференциальные уравнения определённого класса. С помощью метода свёртывания разложений Фурье решения задач с плёнкой выражены через решения классических задач в цилиндре = (х е К) х (у е ( С Кт) (без плёнки) с сохранением уравнения в Б.

Ключевые слова: краевые задачи, двухслойные плёнки, обобщённые граничные условия

В современных условиях широкие приложения имеют композитные материалы, содержащие многослойные плёночные покрытия. Расчёт динамических процессов в указанных материалах приводит к краевым задачам математической физики в областях, ограниченных многослойными плёнками.

В статье [3] разработан метод решения краевых задач в областях с многослойными плёночными включениями. В статье [4] указанный метод применён к решению краевых задач для однородных дифференциальных уравнений в полупространстве, ограниченном многослойной плёнкой, при неоднородных граничных условиях на плёнке. В настоящей статье данный метод применяется к решению краевых задач для неоднородных уравнений в полуцилиндрах, ограниченных по основанию многослойной плёнкой, с однородным граничным условием на плёнке первого типа, т. е. когда на внешней стороне плёнки заданы значения искомого решения. Метод иллюстрируется на примере определённого достаточно широкого класса линейных неоднородных уравнений в полуцилиндре, ограниченном двухслойной плёнкой.

Рассмотрим для функции и(х,у) в полуцилиндре Б = (—те <х< 0) х (у е ( С Кт) класс краевых задач вида

где и(х,у) = 0(1), дгх = дг/дхг, Н(х, у) = 0 в окрестности х = 0, Ь - линейный дифференциальный оператор по переменным уг, у = (у1, ...,ут) , т. е. оператор Ь не содержит производных по х и коэффициенты при производных не зависят от х; Б = (х < 0) х (у е д() -

дХ u + Lu = H (x,y), Mul(x,y)es = h(x,y),

(1)

u + Bdx u + ABdXu|x=-0 = 0,

(2)

24

© Холодовский С. Е., 2017

боковая поверхность полуцилиндра В; Ы - оператор граничных условий первого, или второго, или третьего рода по у. Здесь полуцилиндр В ограничен двухслойной плёнкой, состоящей из сильно проницаемой прослойки х = —0 с параметром А и слабо проницаемой прослойки х = +0 с параметром В [4].

Далее операторы Ь и Ы, а также функции Н(х,у) и Л,(х,у) считаются такими, для которых аналогичная классическая задача в цилиндре В0 = (—то <х< то) х (у е ^ С Ят) без плёнки вида

92/ + ь/ = (Н(х-у)- х< 0' МЛ, = х< 0' (3)

0 х > 0, 0 х > 0

корректна в классе достаточно дифференцируемых функций. При этом функция /(х, у) предполагается ограниченной в полуцилиндре В^х > 0) (где она удовлетворяет однородным условиям (1)).

Выразим решение задачи (1), (2) с плёнкой через решение классической задачи (3). Для вывода общих формул применим метод свёртывания разложений Фурье [1; 3 ; 4]. В соответствии с указанным методом рассмотрим частные модельные случаи задач (1)-(3), допускающие применение метода Фурье. В качестве модельных задач рассмотрим простейшие случаи задач (1)-(3) для оператора Лапласа в полуплоскости х < 0

Ди = Н(х, у), х < 0 (4)

при выполнении граничного условия (2) на плёнке х = 0 и соответствующую задачу на всей плоскости Я2

А „ | Н(х, у), х < 0, . „. ^. . 2 2

Д/ = п ( , y), < 0 I/1 = 0(1), х2 + у2 ^ то, (5)

10 х > 0,

где Д = дХ + с>2, Н е С(х > 0). Выразим решение задачи (4), (2) через решение /(х,у) классической задачи (5).

Предположим сначала, что функция /(0, у) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье /¿(Л) [2, с. 529]

г <х

/(0,у)=/ я(у,Л) ¿Л, я(у,Л) = /1(Л)в1и Лу + /2(Л)0С8 Лу, (6)

где

1 Г™

fi(A) = - f (0, yMy, A)dy, f (0, y) ^ 0, |y| ^ n J-<x

oi(y, A) = sin Ay, 02(y, A) = cos Ay. Отсюда функция f (ж, y) в полуплоскости x > 0, где она удовлетворяет уравнению Лапласа (5), представима в виде

/•то

f (x,y) = e-Axg(y, A) dA, x > 0. (7)

J 0

Здесь левая и правая части последнего равенства являются ограниченными решениями однозначно разрешимой задачи Дирихле в полуплоскости: Ди = 0, х > 0, и|х=0 = /(0,у).

Представим решение модельной задачи с плёнкой (4), (2) также в виде разложения Фурье

г ж

и(х,у) = /(х,у)+/ а(Л)еЛх^(у,Л) ¿Л, х< 0, (8)

0

где функция g(y, Л) имеет вид (6), а(А) - неизвестная функция. Отсюда функция и(х, у) (8) удовлетворяет уравнению (4) (при условии сходимости и дифференцируемости интеграла). Из граничного условия (2) с учётом (7) находим

а(А) = -1 +

2BA

d(A) '

(9)

где ^(Л) = АВЛ2 + В Л + 1, при этом ^(Л) > 0 при Л > 0. Отсюда интеграл (8) и его производные мажорируются интегралом (7) и его соответствующими производными, т. е. интеграл (8) сходится и допускает дифференцирование необходимое число раз. Раскладывая правильную дробь (9) на простейшие дроби, получим

где

а(А) = -1 +

_1 + :2В ___IL

уТ V А + 72 А + 7i

а(А) = -1 + a

T = B(B - 4A), 7г =

Yo

_А + 7o (А + 7o)2_ b + (-1)VT

2AB '

T = 0; T = 0,

i = 1, 2;

7o =

2A'

(10) (11)

(12)

1

1

при этом ABy? - By, + 1 = 0, i = 0,1, 2.

Из разложения функции f (x, y) (7) следует равенство f (x + t, y) = /0^ e-

-A(x+i)g ¿А

: x > 0, t > 0. Умножая это равенств! /0^ e-attndt = n!a-n-1 получим формулу

при x > 0, t > 0. Умножая это равенство на e Yttn и интегрируя по t G (0, те), с учётом

1 г<х е-Лж„,(у л)

- е-'Чп/(х + = ех ¿Л, х > 0,

п! Уо ^( ,У) Уо (Л + 7)га+1 , > ,

где Кв7 > 0, п = 0,1, 2,...; g(y, Л) имеет вид (6). Отсюда с учётом (8), (10), (11) решение и(х,у) задачи (4), (2) приведём к виду без разложений Фурье

и(х,у) = /(х,у) - /( х, у)+

2 В

+— Уо /(-х + *,у) (72е-724 - 71е-714) В = 4А, (13)

и(х,у) = /(х,у) - /( х, у)+

2 Сж

+ А ^ /(-х + ¿,у)е-^(1 - 7о^, в = 4А. (14)

При Т < 0 функция (13) действительна и имеет вид

4В г^

и(х, у) = / (х, у) — / (—х, у) + —= / (—х + у)е-а (в сов в* — а вт

V |Т 1

где а = 1/(2А), в = у1Т|/(2АВ).

Полученные формулы (13), (14) справедливы для общего случая задач (1)-(3). Действительно, правые части формул (13), (14) являются операторами, действующими на функцию /(х,у) по одной переменной х (у - свободная переменная). В силу Кв7г > 0, г = 0,1, 2 (12) интегралы (13), (14) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз, при этом учитываем ограниченность функции /(х,у) в полуцилиндре В1(х > 0).

Аргументы функции /(х,у) в формулах (13), (14), кроме первого слагаемого, принадлежат полуцилиндру В1(х > 0), где условия задачи (3) для функции /(х,у) однородны. При этом если функция /(х,у) удовлетворяет однородному уравнению (3) дХ/ + Ь/ = 0 при х > 0, то функция /(—х, у) удовлетворяет этому уравнению при х < 0. Отсюда условия задачи (1), (2) с учётом условий (3) для функции /(х,у) проверяются непосредственно.

Таким образом, если известно решение /(х, у) некоторой задачи (3) в неограниченном по переменной х цилиндре Во = (х е Я) х (у е Q С Ят), то по формулам (13), (14) получаем решение аналогичной задачи (1), (2) в полуцилиндре В = (х < 0) х (у е Q С Ят), ограниченном двухслойной плёнкой х = 0.

Например, фундаментальные решения для уравнения Лапласа на всей плоскости Ро = Я2, в полуплоскости Р1 = (х е Я) х (0 < у < то) ив полосе Р = (х е Я) х (0 < у < п) с однородными граничными условиями Дирихле на дР1,2 имеют соответственно вид

/(х, у) = 4П М(х — хо)2 + (у — уо)2], хо < 0,

/ (х,у)=^ь(х—хо)2+(у—уо)2. 1 ( 4п (х — хо)2 + (у + уо)2,

хо < 0, уо > 0

1 сЬ(х — хо) — cos(y — уо)

/ (х, у) = — 1п --------,

4п ch(x — хо) — ^(у + уо)

хо < 0, 0 < уо < п,

и

при этом функция /(х, у) в соответствующей области удовлетворяет условиям Д/ = ¿(х — хо,у — уо), /\зр12 = 0, где ¿(х, у) - функция Дирака. Тогда фундаментальные решения аналогичных задач в областях Р,- П (х < 0), ] = 0,1, 2, ограниченных двухслойной плёнкой х = 0 с однородным граничным условием (2) строятся по соответствующим формулам (13), (14).

Список литературы

1. Холодовский С. Е. Задачи математической физики в областях с плёночными включениями и плёночными границами. Чита: ЗабГУ, 2017. 234 с.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1962. Т. 3. 656 с.

3. Kholodovskii S. E. The Convolution Method of Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 873-877.

4. Kholodovskii S. E. On multilayer films on the boundary of a half-space // Mathematical Notes. 2016. Vol. 99, No. 3. P. 426-431.

Статья поступила в редакцию 15.05.2017; принята к публикации 29.05.2017

Библиографическое описание статьи

Холодовский С. Е. О решении краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений в полуцилиндрах, ограниченных двухслойной плёнкой // Учёные записки Забайкальского государственного университета. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2017. Т. 12, № 4. С. 24-28. DOI: 10.21209/2308-8761-2017-12-4-24-28.

Svyatoslav Ye. Kholodovskii,

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Transbaikal State University (30 Aleksandro-Zavodskaya st., Chita, Russia, 672039),

e-mail: hol47@yandex.ru

Regarding the Solution of Boundary Value Problems for Nonhomogeneous Differential Equations in Half-Cylinders Bounded Two-Layer Film

In the article we consider a class of boundary value problems in the half-cylinders D = (x < 0) x (y e Q С Rm) bounded on the basis x = 0 of the two-layer film composed of strongly and weakly permeable layers. On the film we set a homogeneous boundary condition of the first type. In the half-cylinder we consider nonhomogeneous differential equations of a certain class. Using the method of convolution of Fourier expansions the solutions problems with film are expressed through the solutions of the classical problems in the cylinder Do = (x e R) x (y e Q С Rm) without film with conservation of equation in D.

Keywords: boundary value problem, two-layer films, the generalized boundary conditions

References

1. Kholodovskii S. E. Zadachi matematicheskoi fiziki v oblastyakh s plenochnymi vklyucheniyami i plenochnymi granitsami. Chita: ZabGU, 2017. 234 s.

2. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya. M.: Nauka, 1962. T. 3. 656 s.

3. Kholodovskii S. E. The Convolution Method of Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 873-877.

4. Kholodovskii S. E. On multilayer films on the boundary of a half-space // Mathematical Notes. 2016. Vol. 99, No. 3. P. 426-431.

Received: May 15, 2017; accepted for publication May 29, 2017

Reference to article

Kholodovskii S. Ye. Regarding the Solution of Boundary Value Problems for Nonhomogeneous Differential Equations in Half-Cylinders Bounded Two-Layer Film // Scholarly Notes Of Transbaikal State University. Series Physics, Mathematics, Engineering, Technology. 2017. Vol. 12, No. 4. PP. 24-28. DOI: 10.21209/2308-8761-2017-12-4-24-28.