О процессах тепломассопереноса в биоматериалах, ограниченных наноразмерной двухслойной мембраной Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ

MATHEMATICAL BIOLOGY

УДК 517.956

DOI:10.21209/2308-8761-2016-11-4-7-10

Ирина Анатольевна Ефимова,

кандидат физико-математических наук, доцент, Забайкальский институт предпринимательства (672086, Россия, г. Чита, ул. Ленинградская, 16), e-mail: [email protected]

О процессах тепломассопереноса в биоматериалах, ограниченных наноразмерной двухслойной мембраной1

В статье рассмотрена краевая задача для уравнения Лапласа в полуцилиндре с основанием в виде двухслойной пленки (мембраны). Данная задача имеет большой интерес в задачах биологии, т. к. все биологические организмы на своей границе имеют многослойную защитную плeнку, через которую происходит обмен веществ. Рассмотренная в статье мембрана состоит из двух сильно- и слабопроницаемых слоев. На мембране задано обобщенное граничное условие. На боковой поверхности полуцилиндра задано условие Дирихле. Решение задачи получено в виде ряда Фурье-Бесселя, который сходится достаточно быстро.

Ключевые слова: нанотехнологии, математическая биология, двухслойные плeнки, краевые задачи

Irina A. Efimova,

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Transbaikal Institute of Entrepreneurship (16 Leningradskaya st., Chita, 672086, Russia), e-mail: [email protected]

The Processes of Heat and Mass Transfer in Biomaterials Limited by Nanoscale

Two-Layer Membrane2

The article considers the boundary value problem for the Laplace equation in a half-cylinder with base in the form of a two-layer film (membrane). This task is of great interest in problems of biology because all biological organisms on their border have a multilayer protective film through which the exchange of substances occurs. The membrane discussed in the article consists of two strongly and weakly permeable layers. On the membrane there is a set to a generalized boundary condition. On the lateral surface of the half-cylinder there is a set to the Dirichlet condition. The solution is obtained in the form of Fourier-Bessel, which converges fast enough.

хРабота выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 2014/255 НИР 2603.14).

2The work is performed in terms of the State task to higher education institution by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project 2014/255 Research work 2603.14).

© Ефимова И. А., 2016

7

Keywords: nanotechnology, mathematical biology, two-layer film, boundary value problems

Построение математических моделей процессов тепломассопереноса в природных материалах приводит к краевым задачам математической физики. Биологические материалы не являются однородными и содержат многослойные пленочные включения на границе с внешней средой. Рассмотренные в статье пленочные включения состоят из сильно- и слабопроницаемых прослоек, которые, следуя работам [1—3], моделируем бесконечно тонкими слоями с бесконечно большой и соответственно бесконечно малой проницаемостью.

Рассмотрим в круглом полуцилиндре D = (0 < r < 1) х (—те < z < 0) х (0 < a < 2п) некоторый установившийся процесс тепломассопереноса, характеризующийся потенциалом u(r, a, z) (и - давление, температура, концентрация вещества, напряжение электрического поля и т. д.). Здесь r, a, z - цилиндрические координаты. Пусть основание z = 0 полуцилиндра является двухслойной пленкой, состоящей из сильнопроницаемой прослойки z = —0 и слабопроницаемой прослойки z = +0. На пленке задано обобщенное граничное условие 1-го типа [3]. На боковой поверхности полуцилиндра задано однородное условие Дирихле. Отсюда для потенциала u(r, a, z) задача имеет вид

Ди = 1 (rur )r + Г2 Uaa + Uzz = 0, U|r=i = 0, (1)

ABuzz + Buz + U|z=0 = f (r, a), (2)

где и = 0(1) в и(г, а+2п, г) = и(г, а, г), А и В - параметры сильно- и слабопроницаемых прослоек [2], буквенные индексы г, а, г означают частные производные по соответствующим переменным.

Представляя частное решение задачи (1) в виде

и(г, а, г) = Е(г)Ф(а)^(г),

с учетом периодичности u по а для функций R, Ф и Z получим задачи

Vr')' +(Л - -

r \ r

£(rfí')' + ( Л - ) R = 0, R(i) = о, (3)

Ф'' + -2Ф = 0, Z" - Л^ = 0, (4)

где n = 0,1, 2,.... Решение задачи (3) имеет вид

R(r) = Jn(^mnr),

где ^тп > 0 - корни уравнения Jn(^) = 0, m = 1,2,...; Jn(r) - функции Бесселя n-го порядка [4, с. 632]. Уравнение (4) для Ф имеет решения cos na и sin na. Ограниченное в D решение уравнения (4) для Z имеет вид

Z (z) = eMmn z, -те < z < 0.

Физика, математика, техника, технология

Отсюда задача Штурма-Лиувилля для функции V = Я(т)Ф(а) вида

1 (rVr )r + 1 Vaa + AV = 0, V|r=i = 0

имеет собственные значения A = ^m, которым соответствуют ортогональные собственные функции

Vmn = Jn(Pmnr) COS na, Vmn = Jn(Pmnr) sin na. (5)

Тогда общее решение задачи (1) имеет вид

те те

u(r,a,z) = ^ ^2(amn cos na + bmn sin na)Jn(p-mnr)e^mnZ, (6)

n=0 m=1

где атп, Ьтп - коэффициенты, подлежащие определению. Раскладывая граничную функцию Ц (г, а) (2) в ряд по собственным функциям (5):

те те

f (r, а) = [fmnVmn(r, а) +f mnVmn (r,a)\, (7)

n=0 m=1

из обобщенного граничного условия на пленке (2) находим

_ _fmn__b _ _f mn__(8)

amn — ~Л~Б 2 i Д ТГ, bmn — ~л~Б 2 i Д ÜTT, (8)

+ B^mn + 1 + B^mn + 1

где

2 Г2П Г1

fmn = 7777-412- da f (r, a) cos na Jn(Pmnr) rdr, (9)

Jn(^mn)] Ktn J0 J0

~ 2 f2n f1

fmn = 7777-tt^— / da f (r, a)sinna Jn(^mnr) rdr, (10)

[Jn(^mn)\2n J0 J0

ео = 2, ей = 1, к = 0. При этом в силу неравенств А > 0, В > 0 имеют место оценки

|атп| < ЦН ^ 0, |Ьтп| < Щт^ ^ 0

Щтп Щтп

при щтп ^ те. Отсюда полученный ряд (6) сходится и допускает дифференцирование необходимое число раз (указанные ряды мажорируются рядом (7) и его соответствующими производными).

Таким образом, решение задачи (1, 2) строится по формулам (6, 8-10).

Список литературы

1. Kholodovskii S. E. A Method of Convolution of Fourier Expansions as Applied to Solving Boundary Value Problems with Intersecting Interface Lines // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2007. Vol. 47, No. 9. P. 14891495.

2. Холодовский С. Е. Задачи математической физики в областях с пленочными включениями. Чита: Изд-во ЗабГУ, 2015. 232 с.

3. Холодовский С. Е. О многослойных пленках на границе полупространства // Математические заметки. 2016. Т. 99. Вып. 3. С. 421-427.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

References

1. Kholodovskii S. E. A Method of Convolution of Fourier Expansions as Applied to Solving Boundary Value Problems with Intersecting Interface Lines // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2007. Vol. 47, No. 9. P. 14891495.

2. Kholodovskii S. E. Zadachi matematicheskoi fiziki v oblastyakh s plenochnymi vklyucheniyami. Chita: Izd-vo ZabGU, 2015. 232 s.

3. Kholodovskii S. E. O mnogosloinykh plenkakh na granitse poluprostranstva // Matematicheskie zametki. 2016. T. 99. Vyp. 3. S. 421-427.

4. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniya matematicheskoi fiziki. M.: Nauka, 1972. 736 s.

Библиографическое описание статьи

Ефимова И.А. О процессах тепломассопереноса в биоматериалах, ограниченных наноразмерной двухслойной мембраной // Ученые записки Забайкальского государственного университета. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2016. Т. 11, № 4. С. 7-10. DOI:10.21209/2308-8761-2016-11-4-7-10.

Reference to article

Efimova I. A. The Processes of Heat and Mass Transfer in Biomaterials, Limited NanoscaleTwo-Layer Membrane // Scholarly Notes Of Transbaikal State University. Series Physics, Mathematics, Engineering, Technology.2016. Vol. 11, No 4. P. 7-10. DOI:10.21209/2308-8761-2016-11-4-7-10.

Статья поступила в редакцию 25.04-2016