О РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ВУЗОВСКОГО КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ "ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

© ВшузЬоуес Р., ВИосЫу N.

О РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ВУЗОВСКОГО КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ «ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ»

П.П.Барышовец, кандидат физ.-мат наук, доцент, Национальный авиационный университет,

Н. Н. Билоцкий, кандидат физ.-мат. наук, доцент, Национальный педуниверситет им. М.П. Драгоманова,

г. Киев, УКРАИНА

Стаття присвячена методиЦ проведения лекцт з вищог математики в контекстг удосконалення внутр1шньопредметних зв 'язюв на приклад! теми «Зам1на змтног в подв1йному 1нтеграл1».

Реализация с максимально возможной полнотой внутрипредметных связей [3,4,5,6] в учебных программах и учебниках по высшей математике - одно из средств повышения эффективности высшего образования. Постоянное внимание методической науки к развитию внутрипредметных связей -одно из важных направлений дидактического усовершенствования преподавания курса высшей математики. В границах одного раздела и, тем более, в границах отдельной темы раздела курса высшей математики разнообразные связи реализованы в результате развития математики, как науки, так и усовершенствования методики изучения отдельных тем математики. Но связи между разными разделами и направлениями в рамках курса высшей математики в процессе обучения математике сегодня реализованы очень мало и имеют не систематический, спорадичный, фрагментарный характер. Стараясь излагать курс математического анализа в максимально замкнутом виде, привлекают минимум сведений из других разделов высшей математики, в частности, вузовского курса алгебры. Последнее, на наш взгляд, с точки зрения единства математической науки и вечной цели повышения результативности всего процесса изучения математики в высшей школе, противоестественно. Это является

одной из причин того, что сегодня не малая часть студентов высших учебных заведений часто воспринимают высшую математику как сборник мало связанных между собою фактов, рекомендаций. Фрагменты информации, связи между которыми не ощущается, осмысливается и запоминается хуже. Учитывая это внутрипредметные связи между различными направления курса высшей математики (например, алгебры и геометрии, алгебры и математического анализа и т.п.), по нашему мнению, заслуживают внимания в методике преподавания вузовского курса высшей математики.

Доказательство теоремы о замене переменных в двойном интеграле в курсе математического анализа связано с известными методическими трудностями. Обычно при ее изучении жертвуют строгостью ради доступности изложения с одной стороны. Другой путь состоит в наложении дополнительных ограничений на отображение, производящее замену переменных.

В настоящем сообщении предлагается вариант более тесной связи теории матриц и определителей с математическим анализом при одновременной попытке снять дополнительное ограничение, взятое при выводе формулы замены переменных в [1] и требующее непрерывной

©

дифференцируемое™ обратного отображения, что приносит определённые выгоды. Тем самым реализуется попытка максимально привлечь факты из вузовского курса алгебры. При этом в само доказательство теоремы вносятся незначительные изменения; в качестве вспомогательных утверждений используются свойства регулярных отображений плоских областей и, в частности, теорема 5.1 [2, стр. 333]. Доказательство этой теоремы, взятое для случая п=2, записывается на матричном языке и использует обычные определения непрерывности и дифференцируемости функции.

1. РЕГУЛЯРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ

Рассмотрим несколько подробнее вопрос о свойствах регулярных отображений.

Определения и результаты этого пункта дословно переносятся на трехмерный и п — мерный случаи. Напомним, что областью называется всякое связное открытое множество.

Определение: Пусть задана область

Н с Я2. Отображение Р: Н ^ Я2, задаваемое системой функций

и = У1 (х) ^=/ (

(1)

где х = (х1, х2) е Н, называется регулярным в области Н, если функции / и /2 имеют в области Н непрерывные частные производные первого порядка по х1 и х2, причем определитель (определитель Остроградского-Якоби или якобианом отображения (1)):

3/1 д/

If (x)

Эхх дх2

(2)

Эх1 дх2

отличен от нуля в этой области Н.

Рассмотрим сначала простейшие свойства регулярных отображений.

Лемма 1. Регулярное отображение является непрерывным отображением.

Доказательство: В самом деле, функции /1 и /2 имеют в области Н непрерывные частные производные по х1 и х2 . Этого достаточно для дифференцируемости в области Н функций /1 (х) и /2 ((),

а из дифференцируемости этих функций следует их непрерывность в области Н. Осталось заметить, что отображение (1) непрерывно тогда и только тогда, когда функции / и /2 непрерывны. Лемма доказана.

Лемма 2. Якобиан 1Р (х) регулярного отображения (1) в области Н является знакопостоянной (положительной или отрицательной) непрерывной функцией в этой области.

Доказательство: Непрерывность якобиана 1Р (х) в области Н следует из непрерывности частных производных в Н и правила вычисления определителя второго порядка. Если для двух различных точек х1 и х2 области Н имело бы место неравенство 1Р () • 1Р (х2) < 0, то по теореме о промежуточных значениях существовала бы точка х0е Н, такая, что 1Р (хо) = 0. А

это противоречит определению регулярного отображения. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Н - плоская область. Если отображение р : Н ^ Е с Я2 взаимно однозначно и регулярно, то обратное отображение Р—1: Е ^ Н непрерывно. Доказательство: Пусть 7о е Е и

х0 = Р_1 (). Так как Н область, то в Н

можно взять замкнутый круг V с центром в т. х0. V будет компактом. Тогда ввиду непрерывности Р образ р (V) тоже компакт и Р_1 отображает Р (V) на V. По

известной теореме об отображении компактов отображение р-1: р (VV непрерывно в любой точке из р (V), в частности

и в т. у0. Так как у0 - произвольная точка

из Е, то Р_1 непрерывно на Е. Лемма доказана.

Лемма 4. Образ Е = Р (Н) плоской области Н при взаимно однозначном и

© ВшузЬоуес Р., ВйосЫу N.

регулярном отображении р: Н ^ К2 сам является областью.

Доказательство: Так как, по лемме 1 Р непрерывно, то множество Е = Р (Н) связно. Пусть Т0е е ,

хо = Р(). Так как Х0 - внутренняя

точка Н , то и в этой точке якобиан 1Р (х) отличен от нуля, то по теореме о

локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения, точка у0 = р (Х0) внутренняя для Е. Значит,

Е - область. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть Н плоская область. Если отображение Р: Н ^ Е с К2 взаимно однозначно и регулярно, то и обратное отображение Р-1: Е ^ Н взаимно однозначно и регулярно.

Доказательство: Пусть Р = ((1, /2) и

Р- = ( Я2 ) , где ^ /2, ^ &2 - некоторые действительные функции двух аргументов. Пусть далее х, х о е Н и у = р ((),

уо = Р (Xо). Поскольку функции / и /2

имеют в области Н непрерывные частные производные, то

У - У1(0) = ./1 (х)- /1 (хо ) =

= (х1- х1(0))^и (х )+(х2- х2(0)) (х); Уг - У2(0) = /2 (х)- /2 (х0 ) = = (х1 - х1(0))^21 (х) + (х2 - х2(0))^22 (х). _ (3)

где функции Лу (х) непрерывны в точке хо .

Действительно, ввиду теоремы Лаг-ранжа для функции одной переменной

/ (х)-/(хо)

= Ах

/ (х1(о) + Ах1, х2(о) + Ах2) - / (х1(о), х2(о) + Ах2 / (, х2(о)+Ах2)-/ (х1(о), х2(о))& =

г/х (( х2(о) +Ах2 ) Г/1 (х1(о),х2* + Ах2

Гх1 Гх2

где х1* (х2*) заключено между х1(о) и

х1(о)+Ах1 ( х2(о) и х2(о) + Ах2).

/ (( х2(о)+^С2 )

Обозначив

Яц (х )=-

7х1

У1 - У1(о)| =

* - V =

х1 - х1(о) * (4)

(о)

Г/1 (х1(0), х2*) Я2 (х )=---- получим первое из

У ' Гх2 равенств (3). Второе доказывается аналогично.

Перепишем систему (3) в матричной форме

(Я11 (() Я12 ((*' Я21 () Я22 ()

Определитель ёе! ( (х)) матрицы

(Я11 (х) Я12 (х)* Я21 (х) Я22 (х) при х = хо, равен ввиду выбора функций Л/ якобиану 1Р (х) и значит отличен от нуля. Поэтому ёе! ( (х))ф о в

некоторой окрестности от т. хо и матрица (5) имеет в этой окрестности обратную матрицу

(5)

(

'11 (() Т12 (() 21 (х) Т22 (х)

(6)

Функции тке (х) мы получаем, разделив некоторые многочлены от Яц (х) на

определитель ёе! ( (х)), поэтому и они непрерывны в т. хо . Далее очевидно

(е (хо Й =

(Я (хо))

Ф о

(7)

Умножим равенство (4) слева на матрицу (6), учитывая, что произведе-

ние матриц (5) и (6) есть единичная

матрица:

г

1 ()(-( )( - У,'" '))

(()(- У1(0)) + Т22 (( )( - У,'"')

' W 'л 4 ' (0) *

а 0 i0 1

f _ (0) *

1 - 1 (о) - x2 x2

Г

1 - 1 (0) - x2 x2

В полученное равенство вместо х подставим х = Р(У)

(-1 (())( - У1(0)К (-1 (())( - У2(0)) (f-1 (Г))(( -yi(0)) + T22 (F-1 (Y))( -У2(0))

(gi (()-gi (л] *

g2 (У )- g2 (Уо J

Так как функции тке непрерывны, то

F-1 (()

_(8) в т- Уо

т

ke

F-1 (Y)

dfkTke [F-1 (.У)]_ dgk (Уо)

ЭУе

ЭУе

(9)

В самом деле, возьмем в первом из равенств (8) у2 = у2(0), у1 = у1(0). Получаем:

ЛУх & = & ( у20))—& (у|°\ у(0)) = >■ (У)](у/— у(0)).

= т

ke

Разделим

обе

части

на

Ду = (у1 — у1(0)) и устремим Ду1 к нулю. Тогда у ^ у0 и в силу непрерывности функции Т11 р- (() в т. у0 получим:

д& ) = 11т Ду&1=

ду Ду1 Ду

11т т

У ^ У о

11

F-1 (у) =тп F-1 (уо)

Аналогично доказываются остальные из равенств (9). Следовательно, матрица

т

ke

F 1 (уо) является матрицей Якоби

отображения К в т. у0 . Ее невырожденность следует из (7). Таким образом отображение К1 регулярно. Его взаимная однозначность очевидна. Теорема доказана.

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Пусть даны две плоскости Р и Q, на каждой из который введена прямоугольная система координат: X и У - координаты на первой плоскости, и и V - на второй. Рассмотрим на плоскости ХОУ область Н,

а на плоскости UOV область Е. Пусть функции

X = р(и-;У), У=х(и V) (10)

взаимно однозначно и регулярно отображают область Е на Н.

Лемма 5. Пусть гладкая (кусочно-гладкая) кривая

и = и (г), V = V (г), а< г <в (11)

лежит в области Е. Тогда отображение (10) превращает ее в гладкую (кусочно-гладкую) кривую

X = ф{и(г)у(г)) У =х(и(гЖ(г)) (12)

лежащую в области Н.

Доказательство: Пусть кривая (11) гладкая. Тогда существуют производные и '(г), V '(г), непрерывные на

отрезке [а,в], и (((г)2 + V'(г)2 ф 0) для

Дг е[а,в]. По правилу дифференцирования сложной функции

дХ =Э£ и + V

дг ди йг д¥ йг '

У=ддх. и+ддх. V (13)

йг ди йг дV йг

Отсюда видно, что производные —

йг

и непрерывны на отрезке [а,в].

© Baryshovec P., Bilockiy N.

T-r г oi - dx dy

Пусть t e \ a,p\ и в этой точке — и —

dt dt

одновременно обращаются в нуль.

Эф dU Эф dV Л _г.----= о,

dU dt dV dt

X. dU+Х. dV

dU dt dV dt

+ = о (14)

Так как якобиан

Эф Эф

dU IV

дх дХ

dU dV

Ф о,

то из (14) следует, что в указанной

г оЛ dU dV п

точке tе \а,р\ -=-= о, а это

dt dt

противоречит гладкости рассматриваемой кривой. Аналогично рассматривается и случай кусочно-гладкой кривой. Лемма доказана.

Переменные U и V на плоскости Q в области Е можно рассматривать как декартовы координаты точек этой области. Однако так как при взаимно однозначном отображении каждой точке (и,¥)е Е соответствует по (1о)

единственная точка M (х, у) области Н

на плоскости P и наоборот, то эти же числа U и V можно в то же время рассматривать как новые координаты точек M области Н на плоскости P. Такие координаты точек на плоскости P (принадлежащих Н) называются криволинейными координатами точек этой плоскости.

Если на плоскости Q взять некоторую

прямую U = U0 (точнее часть этой прямой, лежащую в Е, то в области P ей будет соответствовать линия X = ф (U0, V),

У = х(о^) вообще говоря кривая. Аналогичное будет происходить с прямой V = V0 области Е - в области Н ей будет соответствовать некоторая кривая

х = ф(и л), у =х(и Л).

Таким образом, на плоскости Р (или ее части) наряду с обычной сеткой декартовых прямоугольных координат, состоящей

из семейств прямых X=const, Y=const возникает новая криволинейная координатная сетка, состоящая из двух семейств координатных линий: кривых U = const, V = const (отсюда и название «криволинейные координаты»). Так как при рассмотренном отображении соответствие между точками областей E и H взаимно однозначное, то через каждую точку области H проходит одна о только одна координатная линия каждого из координатных семейств и следовательно, никакие две кривые одного и того же семейства не пересекаются.

Пример. В качестве U и V возьмем популярные координаты r и ф. Их связь с X и Y выражается формулами:

x = r cos ф , y = Г БШф (15)

ф

2

0 г

Если в качестве Е , лежащей в плоскости гОф взять множество точек (г, ф),

удовлетворяющих неравенствам о < г < , 0 < ф < 2п, то в этой области функции (15) задают взаимно однозначное и регулярное отображение на область Н , получающуюся удаление из плоскости ХОУ полупрямой у = 0, х > 0 . При этом якобиан преобразования (15), равняясь

I (r ,ф) =

/ / x' хф COSф -r sin ф

yr Уф si^ r COSф

= r > 0

отличен от нуля в области Е. Координатными линиями при отображении (15) будут окружности х2 + у2 = г2 > 0, без точек (х = г,у = 0), и лучи ф = ф0 без точек (0; 0), исходящие из начал координат.

3. ПЛОЩАДЬ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Теорема 2. Пусть функции х = ф(и\У),

У =х(иV) задают взаимно однозначное и регулярное отображение Р области Е на

©

область H плоскости XOY,

d2 У

причем сме-d2 У

непре-

шанные производные- и

диду дуди

рывны в Е. Пусть далее Б и О - замкнутые области с кусочно-гладким контуром, содержащиеся в Н и Е соответственно и Р (О) = Б. Тогда площадь

М (Б ) = 1 (и, у )| йуйи (16)

О

где 1 (и, у) - якобиан отображения (10).

Эта теорема доказывается в разделе «Криволинейные интегралы».

Следствие. Существует такая точка (и0; у0) е О (и0; у0) е О , что

М (Б )= М (О )• |1 (и0, У0))

Доказательство. В самом деле, функция 1 (и, у) знакопостоянна в О и поэтому |1 (и, у)) непрерывна ввиду регулярности отображения (10) и лемм 14. По теореме о среднем существует такая О, что

Ц f (x, У )dxdy =

= Ц f [ф(и, v), х(и,v)] • \I (u, v ) dudv

(17)

точка (ио; v0)

I (u, v)| dudv = M (G)I (u0, v0) .

Следствие доказано. Замечание. Таким образом, отношение площадей Б и О равно значению якобиана 1 (и, у) в некоторой точке области О . В

этом смысле якобиан регулярного отображения (10) можно интерпретировать как коэффициент искажения площади при этом отображении.

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теорема 3. Пусть взаимно однозначное и регулярное отображение Р : Е ^ Н области Е на область Н задается функциями X = ф(иV), У = х(иУ) причем

д2 у д2 у Е Е ф

- и- непрерывны в Е. Если фун-

диду дуди

кция / (х, у) непрерывна в замкнутой области Б, содержащейся в Н, а замкнутая область О , содержится в Е и Р (О) = Б, то

где 1 (и, у) - якобиан отображения Р .

Доказательство. Прежде всего, заметим, что кусочно-гладкая кривая спрямляема, а всякая спрямляемая кривая квадри-руема и имеет площадь равную нулю. Поэтому, если граница плоской области состоит из кусочно-гладких кривых, то такая область квадрируема.

Разобьем теперь область Б сетью каких-либо кусочно-гладких кривых на частичные области Б1, Б2,..,Бп и составим по произвольно выбранным в областях Б1 точкам (а;, Ъi) ( ; = 1,2,..., п) интеграль-

п

ную сумму X = X / (а Ъ )Дп, причем

г=1

так как / (х, у) интегрируема в Б, существует предел Нт Xп = ||/(х, у)йг

Н Н(ТБ

при Н = Н(Т0.

Преобразуем интегральную сумму Xп . Отображение Р: Н ^ Е тоже ввиду теоремы 1 взаимно однозначно и регулярно и потому переводит ввиду леммы 5 кусочно-гладкую кривую плоскости XOУ опять таки в кусочно-гладкую кривую. Поэтому, найдя на плоскости иОУ образы О13 О2,..., Оп

областей Б1, Б2,...,Бп, мы обнаружим,

что и область О разбита на частичные квадрируемые области. Воспользуемся соотношением (16) применительно к областям Б 1 и О ;, будем иметь:

М (Б.) = Д. = ||| 1 (и, у)) йийу

( = 1,2,..., п) Применяя теперь к этому интегралу теорему о среднем значении, придем к

соотношению Дг; = |1 (и., у 1 )) Дт;', где Дг'

- площадь соответствующей области О;, а (и., у ;) - точки из О;. Учитывая это

соотношение, перепишем интегральную сумму в следующем виде:

G

G

© Baiyshovec P., Bilockiy N.

Z „=Z f (a,, b )/ (, v,. .

i=1

Пользуясь произвольностью в выборе точек ( a,, bi) в Di , возьмем эти точки так,

чтобы a = < (, v), b = х(u,, V). ТогДа

И /

Z n=Z f [< (u, v), х (ui, V)] I/ (ui, V))Ar

i=1

Это интегральная сумма, составленная по области G для функции

F (u, V ) = f [<(и, v), x(u, v)] • |/ (u, v )| Так как по теоремам о непрерывных функциях F (u, v) - непрерывная в G функция, то существует

lim Zn =JJf (u, v~)dudv,

X'—0 G

где X наибольший из диаметров областей Gi (i = 1,2,...п). Но в силу

непрерывности рассматриваемого отображения областей D и G, при X — 0 и X —^ 0 и потому limZ = limZ , т.е.

п „ ¿—In' X— 0 X—0

справедлива формула (17). Выражение |/(u,v))dudv называется элементом площади в криволинейных координатах.

Частным случаем формулы (17) является формула для вычисления двойного интеграла в популярных координатах. В этом случае: u=r, v=< <p(u,v)=)(r,)) = =rcosx, x(u,v)=x(r,))=rsin< и формула (17) принимает следующий вид:

И f (x, y )dxdy = JJ f [r cos ), r sin )<rdrd)

D G

(18)

Замечание. Если условия взаимной однозначности и регулярности отображения нарушаются в отдельных точках или даже на целых линиях, по площади нуль, то как нетрудно доказать, формула (17) остается в силе. В этом можно убедиться, заключив эти точки или линии в области как угодно малой площади и применив затем предельный переход.

Практический выбор криволинейных координат разъясним на примере.

Пример. Найти площадь фигуры, огра-

ниченной параболами y

У = 2 x , и

гиперболами xy = 1, xy = 4. Отыскание указанной площади сводится к вычисле-

нию интеграла J J dxdy по области D,

D

изображенной на рисунке.

D

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2, у = 2х2, и гиперболами ху = 1, ху = 4. Отыскание указанной площади сводится к вычислению интеграла Ц dxdy по области Д в

изображенной на рисунке.

Нетрудно увидеть, что кривые вида у = их2 при значениях 1 < и < 2 покрывают полностью нашу область, причем через каждую ее точку проходит только одна кривая этого семейства. То же самое можно сказать о кривых ху = V при значениях 1 < V < 4 . Следовательно, указанные два семейства кривых образуют сетку координатных линий. Так как задание этих двух кривых, т.е. значений параметров и и V, однозначно определяет точку фигуры в, то эти параметры естественно принять за криволинейные координаты области В. Тогда в плоскости иОУ область В изобразится в виде прямоугольника со сторонами и=1, и=2, v=1, v=4.

G

Это значительно облегчает вычисление интеграла. Имеем: из уравнений

y = ux и xy-

x

1 2

y

1 1 -4 / 3 3 отсюда x = — v3 u 3,

u 3

x

v

u

3. Далингер В.А. Методика изучения внутрипредметних связей при обучении математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

4. Бшоцький М.М. М1жтемт зв'язки як зас1б реал1зацп внутршньопредмет-них зв 'язк1в (застосування пох1дно1 i роз-в'язування рiвнянь) // Математика в шкали 2005. - №2. - С.35 - 40.

5. БшоцькийМ.М. Мижтемт зв'язки як заЫб реализацп внутршньопредмет-них зв'язк1в (тригонометричш тотож-ности та розв 'язування трикутнитв, пе-ретворення тригонометричних виразив та метричш стввидношення в трикут-нику) //Математика в школи, 2005. - №7. - С .27- 32.

6. Бшоцький М.М., Субботин 1.Я., Хш М. Мижтемш зв 'язки як зааб реализацй внут-ршньопредметних зв 'язтв (група рухив числовой прямог та властивости функций одшег дийсног змтно!) // Математика в школи, 2005. - №9. - С.38-45.

7. Барышовец П.П., Билоцкий Н.Н. О замене переменных в двойном интеграле // Математична культура инженера: Материали мижнародног науково-прак-тичног конференцп, присвяченог 70-риччю з дня народження професора, доктора техшчних наук Пака В.В., 31 травня - 3 червня 2005р. - Донецьк, 2005. - С.21-22.

Резюме. Барышовец П.П., Билоцкий Н.Н. О РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ВУЗОВСКОГО КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ «ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ». Статья посвящена методике чтения лекций по высшей математике в контексте усовершенствованию внутрипредметных связей на примере темы «Замена переменных в двойном интеграле».

Summary. Baryshovec P., Bilockiy N. ABOUT REALIZATION THE SUBJECT RELATIONSHIPS AT INTERPRETATION OF THE SUBJECT "CHANGE OF VARIABLE IN DOUBLE INTEGRAL" IN THE COURSE OF HIGH MATHEMATICS. Article is devoted to a technique of lecturing on higher mathematics in a context to improvement of intrasubject connections by the example of a theme «REPLACEMENT of VARIABLES IN DOUBLE INTEGRAL».

Надшшла до редакци 12.06.2006р.

1 - 3

3

x,, =— v 3 и 3 .

1 _2 2 ' 1 3 3

yu =— U 3 V 3'

U 3

2 1 -1 / ^ 3 3 y =— и3V 3 •

U 3

Значит, якобиан преобразования равен

I (и, V )= 9

1 _4 _2 2

-v3 и 3 и 3 V3

_ 2 _1 1 _1

v 3и 3 2u3v 3

J_ 3u

и

J_ 3u

\I (и, v )| = Имеем,

M (D ) = JJdxdy = -3 JJ—dudv = 3 g и

1 2 1 f IM |2

:—\—du\dv =— —3du = ln и = ln2 J 11

121

1. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. - М.: Просвещение, 1976, т. II. - 468 с.

2. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М.: Мир, 1971. - 407 с.