О реализации недоопределенных матриц из двух столбцов вентильными схемами с кратными путями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 113-117

УДК 519.711

О РЕАЛИЗАЦИИ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ ИЗ ДВУХ СТОЛБЦОВ ВЕНТИЛЬНЫМИ СХЕМАМИ С КРАТНЫМИ ПУТЯМИ

© 2012 г. В.В. Кочергин

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

[email protected]

Поступолн в реднкцою 10.09.2012

Исследуется сложность реализации вентильными схемами с кратными путями целочисленных матриц с неотрицательными элементами. Для недоопределенных матриц, состоящих либо из двух столбцов, либо из двух строк, установлена асимптотика роста сложности.

Ключевые словн: вентильные схемы с кратными путями, сложность матрицы, невсюду определенная матрица.

Помимо естественным образом возникающего интереса к задаче о сложности реализации вентильными схемами с кратными путями недоопределенных матриц (матриц, у которых вместо некоторых элементов стоит символ *) как к задаче о сложности реализации невсюду определенных объектов (см., например, [1]), дополнительный интерес в данном случае связан с возможностью посмотреть под несколько другим углом на задачу о сложности реализации всюду определенных матриц с целью исследования асимптотики роста сложности. Для последней задачи найдено [2] асимптотически точное решение только в случае матриц, состоящих из не более чем двух строк (столбцов), и матриц размера 3*3. В данной статье установлена асимптотика роста сложности реализации недоопределенных матриц, состоящих из двух столбцов. В силу двойственности задачи аналогичные результаты справедливы и для недоопределенных матриц, состоящих из двух строк.

Рассматривается реализация целочисленных матриц с неотрицательными элементами посредством возникающей, например, при изучении сложности вычисления систем одночленов, следующей модификации [3] классических вентильных схем [4].

Пусть А = (ау) - целочисленная матрица размера p*q с неотрицательными элементами. Ориентированный граф 5 без ориентированных циклов будем называть вевтольвой схемой с крнтвымо путямо (или вевтольвой схемой с предпоснввым чослом путей), ренлозующей мнтроцу А, если: в 5 выделено р вершин -входных полюсов и q вершин - выходных по-

люсов; в S нет ориентированных путей от одного входа к другому, от одного выхода к другому, от выхода к входу; для любой пары (i, j), 1 < i < p, 1 < j < q, число ориентированных путей от i-го входа к j-му выходу равно в точности a,j. Через L(S) обозначим число ребер (вентилей) схемы S и положим L(A) = min L(S), где минимум берется по всем схемам, реализующим матрицу A.

Пусть теперь A = (atj) - матрица, элементами которой являются целые неотрицательные числа и элементы * (символ * соответствует неопределенному значению). Такую матрицу будем называть невсюду определенной или недоопределенной (отметим, что формально полностью определенные матрицы являются частным случаем недоопределенных). Матрица B = (bj) называется доопределением матрицы A = (atj) такого же размера, если в матрице B все элементы определены (нет символов *), и для любого определенного элемента aij матрицы A справедливо равенство aj = bj.

Для недоопределенной матрицы A, в которой все определенные элементы целочисленны и неотрицательны, положим L(A) = inf L(B), где инфинум берется по всем доопределениям B матрицы A до целочисленной матрицы с неотрицательными элементами. Очевидно, что инфинум достигается. Без ограничения общности можно считать, что в матрицах нет ни строк, ни столбцов, полностью состоящих из нулей и символов *.

Теперь введем некоторые обозначения для матриц, состоящих из двух столбцов. Пусть A = = (агу) - недоопределенная матрица размера p*2.

Обозначим через Ao = Ao(A) полностью

определенную (возможно пустую) матрицу, получающуюся из матрицы А путем вычеркивания неполностью определенных строк. Положим ао(А) = 1, если в матрице А отсутствуют полностью определенные строки, а в остальных случаях полагаем ао(А) = 0(Ао), где величина -О(В) для полностью определенной матрицы В определяется как максимум абсолютных величин миноров матрицы В (максимум берется по минорам всех порядков).

Выделим три подмножества множества {1, 2, ..., р} номеров строк матрицы А. Через /1 обозначим множество номеров таких строк, в которых первый элемент является определенным, а второй элемент - символ * , через 12 -множество номеров таких строк, в которых первый элемент является символом * , а второй элемент - определенный, и, наконец, через О -множество номеров строк, оба элемента которых являются определенными.

Далее положим

шах(шах{аг1},1)

(А) =---------------- ,

шах(шах{а(1},1)

шах(шах{аг 2},1)

а 2 (А)=----------------.

шах(шах{а/2},1)

Здесь максимумы в числителях (по г) берутся по всем определенным элементам, стоящим в неполностью определенных строках (т.е. в строках, в которых другой элемент - символ *), а максимумы в знаменателях (по у) берутся по всем определенным элементам, стоящим в полностью определенных строках.

Теперь для матрицы А, состоящей из двух столбцов, положим

А) = а0( А)шах{а1( А), йг (А), 1}.

Теорема. Для произвольной последовательности недоопределенных матриц Ап = (ау (и)),

п = 1, 2, ..., фиксированного размера рх2, все определенные элементы которых неотрицательны, при условии ^ ау (и) ^ ж (сумма берется по всем определенным элементам матрицы А(п) ) выполняется соотношение

ЕВРа (Ап) = (3 + 0(1))1свз Я*( Ап).

Доказательство теоремы опирается на следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [5]. Пусть элементы матриц А = (ау) и В = (Ьу) размера к* к удовлетворяют неравенствам |ау -Ьу |< 1, г = 1, ..., к, у = 1,

..., к. Тогда при условии -О(А) > 1 выполняется неравенство

|аег В| < к 1кБ{ А).

Лемма 2 [6]. Пусть

ат (п) = шах{а1 (n), Ь1 (n), к , ат (n), Ьт (n)},

и при п^-<х> выполняется условие ат (п) ^ ж. Тогда

1( Ха1 /*,..., Хат , уат ) <

( т Ьб ат Л

1оЕ1оБ ат

1оЕ (ат + шах| атЬ1 - агЬт |) + 0

ЮаЮа а

т

Лемма 3 [2]. Для любой полностью определенной ненулевой целочисленной матрицы А с неотрицательными элементами справедливо неравенство

ЕВРа (А) > 310Ез Я( А).

Лемма 4. Для произвольной последовательности недоопределенных матриц

' а11(п) а12(п)''

Ап = а2Х(п) а22(п) , п = 1, 2, ...,

, а31(п) * ,

все определенные элементы которых неотрицательны, при условии ^агу (п) ^ж (сумма берется по всем определенным элементам матрицы А(п) ) выполняется соотношение

ЕВРа (Ап ) >

(

> 310Бз

(

п( Аа (Ап))шах

а31(п)

,1

/У

шах(а11(п), а21(п),1)

Доказательство. Если справедливо неравенство а31 < шах(а11(п), а21(п),1), то требуемая оценка следует из леммы 3:

Цс (Ап) > ЕВа (П(Ао (Ап))) > 310Е3 0(А„ (Ап)) =

(

=31об3

В(.Ао (Ап ))шах

(

а31(п)

,1

а21(п),1)

Пусть теперь выполняется условие а31 > > шах(а11(п), а21(п),1).

Рассмотрим минимальную вентильную схему £, реализующую матрицу Ап (точнее говоря, некоторое доопределение матрицы Ап). Выделим в схеме £ подсхему £0, состоящую из всех вершин и ребер, входящих хотя бы в один путь, ведущий от входов к первым двум выходам.

Очевидно, что вентильная схема £0 реализует матрицу Ао (Ап). Поэтому, в силу леммы 3,

ЕВа (£о) > 310Е3»(Ао (Ап)).

Для произвольной вершины V вентильной схемы £ обозначим через а^) число различных путей, ведущих в вершину V от первого входа.

Легко понять, что для любой вершины v схемы S0 выполняется неравенство a1 (v) < < max(a11(n), a21(n),1).

Схему S можно получить из схемы S0 путем последовательного добавления новых вершин и ребер. Покажем, что при добавлении к схеме S0 не более чем l ребер (и некоторого количества вершин) для любой вершины v получившейся схемы выполняется неравенство

a1(v) < 3l/з max(a11, a21,1).

Докажем этот факт индукцией по числу вершин, в которые входит хотя бы одно добавленное ребро. Такие вершины будем называть помеченными. Помеченные вершины занумеруем естественным образом (чтобы не было путей от вершин с большими номерами к вершинам с меньшими). Если не помечено ни одной вершины, то утверждение очевидно. На каждом шаге обрабатываем очередную помеченную вершину v, в которую ведут ребра из вершин v^..., vr (эти вершины могут повторяться). Используя предположение индукции, получаем

a1 (v) = Z a1 (Vi ) < r3° r)/3 max (al1, a21,1) =

= 3l/3 max(a11, a21,1)

1/3

< 3l/3 max(a11, a21,1).

LBPc (S) - LBPc (S0) > 3log3

Л

max (a11 , a21,1)

Следовательно,

LBPc (S) >

>3log3

D(Ao (An ))max

a31(n) max(a11(n), a21 (n),1)

,1

sj

A =

-V+1,1

ur 2 *

аг+5,1 *

* аг+5+1,2

V * аг+*+и2;

где Г > 0, 5 > 0, t > 0, Г + 5 + t = р.

Случай 1. Пусть г = 0.

В этом случае

а0( А) = 1 а!( А) = шах(аг +l>l,к, аг +

а2 (А) = шах (аг + 5+1,2, к , аг+т2).

Следовательно, величина 0*(А) численно равна наибольшему из определенных элементов матрицы А.

Без ограничения общности можно считать, что

ar+11 = max (ar

;,1),

ar + s+1,2

= max(ar+s+U,-K ar+s+t,2

).

Доопределим матрицу A до матрицы A, положив

ai1ar + s+1,2

При добавлении не более, чем ЦС (£) -

- Ц£с (£0) ребер получим вершину v0, соответствующую третьему выходу схемы £, для которой справедливо равенство а^0) = а31. Таким образом,

ґ

азі

*r+s+1,2

i = r + 1,к, r + s;

, i = r + s +1,..., r + s + t.

В матрице А все элементы из первого столбца не превосходят аГ+11, а все элементы

из второго столбца не превосходят а

Лемма 4 доказана.

Доказательство теоремы. Без ограничения общности можно считать, что матрица А не содержит строк и столбцов, состоящих только из нулей и символов *, и имеет вид

Г + 5 +1,2 -

Кроме того, все строки матрицы А «почти пропорциональны» (были бы пропорциональны, если бы при доопределении не производилась операция взятия целой части) строке (аГ+11, аГ+5+12). Поэтому, используя леммы 1 и

2, получаем

ЕВС(А)<ЕВ1’с (А)<(3+о(1))1оЕ3шах(аг +1,1, аг+5+1,2 ). С другой стороны, в силу леммы 3 справедливо неравенство

ЕВс (А) > 3 1о§3 шах (аг+1,1, аг + 5+1,2 ).

a

a

12

a

a

I =1

a

r+1,1

ar+1,1ai2

ai1 =

Поэтому в условиях случая 1

1%с (An) = (3 + o(1))log3 D\An).

Случай 2. Пусть r>1.

Нижняя оценка. При выполнении неравенства max (d1 (A), d2 (A)) < 1 нижняя оценка следует из леммы 3. При выполнении неравенства max (dj (A), d2 (A)) > 1 для доказательства нижней оценки определим по матрице A матрицу A' размера 3^2 следующим образом. Первые две строки (они могут быть и одинаковыми) выбираются из первых r строк, а третья строка -из последних 5 + t строк матрицы A, причем первые две строки выбираются из условия d0( A') = d0( A), а в качестве третьей строки выбирается та недоопределенная строка матрицы A , которая доставляет максимальное значение величине max(d1(A), d2(A)). Очевидно, что

max(d1( A'), d2( A')) > max(d1( A), d2( A)).

Используя лемму 4, имеем LBC (A) > Щс (A) > 3 log3 (do (A')max(d1 (A'), d2 (A'))) > > 3 log3 (d0( A) max (d1 (A), d2 (A))) = 3 log3 D* (A).

Верхняя оценка. Отдельно рассмотрим несколько подслучаев.

Случай 2.1. Пусть максимальный элемент среди элементов an,...,ar1 и максимальный элемент среди элементов a12,..., ar2 находятся в одной строке.

Без ограничения общности можно считать, что a11 = max(an,..., ar1), a12 = max(a12,., ar2).

Случай 2.1.1. Пусть aJJaJ2 Ф 0.

Доопределим матрицу A до матрицы A, положив

п п

i = r +1,..., r + 5;

a1 =

a 2an

Таким образом,

A =

i = r + s + 1, к, r + s + t.

12

(ar+1,1 / a11)a11 L(ar+1,1 / a11)a11 J

(ar + 5,1 1 L(ar + 5,1 1 aU)aUj

L(ar+5+1,2 1 a12)a11 J (ar+ 5+1,2 1 a12)a11

vL(ar + 5+t,2 1 ^2^11 J (a r+5+t,2

Поэтому, используя леммы 1 и 2, получаем

Lp (A) < Lp (A) < (3 + o(1))log3

(D( Ao (A)) x

x max

ar + s,1 ar+s+1,2

V a11

12 J

= 310Е3 О (А).

Случай 2.1.2. Пусть а11а12 = 0.

Без ограничения общности можно считать, что а11 > 0, а12 = 0. Тогда а22 = ... = аг2 = 0.

Доопределим матрицу А до матрицы А, положив

а,2 = 0, г = г + 1, ..., г + 5; аг1 = аг2а11, г = г + 5 +1,..., г + 5 + t.

Таким образом,

(

A =

(ar+1,1 / a11)a11 Lr+1,1 / a11

(ar + s,1/ a11)a11 Lar+s,1/ a11

r+s+1,2

r+s+t,2

Все строки матрицы А либо пропорциональны строке (а11, 1), либо могут быть получены из строки, пропорциональной строке (а11, 1), путем изменения второго элемента в строке не более, чем на единицу. Поэтому, используя леммы 1 и 2, получаем

ЕВа (А) < 1Ва (А) < (3 + о(1)) х

^ „ ЛЛ

х1об3

= (3 + о(1))1оЕ3 О (А).

Случай 2.2. Пусть максимальный элемент среди элементов а11, ., аг1 и максимальный элемент среди элементов а12, ., аг2 находятся в разных строках.

В условиях этого случая г > 2. Без ограничения общности можно считать, что

а11 = шах (а11, к , агД а22 = шах (а12 , • • •, аг2 ).

Также без ограничения общности можно считать, что а11а22 Ф 0 (иначе можно полагать, что максимальные элементы расположены в одной строке).

Доопределим матрицу А до матрицы А, положив

^ + а22) г = Г +,...Г + 5;

a

a

r+1,1

r+s+t,2

a

a

12

a

0

a

ar+s+1,2a11

ar+s+t ,2a11

a

a

11

11

a

a

12

a

a

a

a11 + a21

a1 =

ai 2(a11 + a21)

a12 + a2

12 22 Таким образом,

C a11

i = r + s + 1, к , r + s + t.

A =

•v+1,1

*r + s,1

r+s+1,1

r+s+t,1

-(a11 + a21)

■(a11 + a21)

r+1,1

*r+ s,1

(a11 + a21 )

(a„ + a21)

r+s+1,1

r+s+t,1

-(a11 + a21)

■(a11 + a21)

(a11 + a21 )

(a11 + a21 )

Поэтому, используя леммы 1 и 2, получаем LBc (A) < LBc(A) <

< (3 + o(1))log3

d0 ( A) max

r+1,1

*r+s,1

V a11 + a21

a11 + a2

r+s+1,2

ыг + s +t,2

a12 + a22 J

< (3 + o(1))log3 (d0(A)

max

r+1,1

r+s,1

22

^22 J

= (3 + o(1))log3 D*( A).

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00508).

Список литературы

1. Нечипорук Э.И. О сложности вентильных схем, реализующих булевские матрицы с неопределенными элементами II Проблемы кибернетики, вып. 21. М.: Наука, 1969. C. 237-240.

2. Кочергин В.В. О сложности вентильных схем с кратным числом путей II Матер. XVIII Междунар. школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем» им. акад. О.Б. Лупанова (Пенза, 28 сентября - 3 октября 2009 г.). М.: Изд-во механикоматематического ф-та МГУ, 2009. C. 51-56.

3. Pippenger N. The mimimum number of edges in graphs with prescribed paths II Math. Systems Theory. 1979. V. 12, № 4. P. 325-346.

4. Лупанов О. Б. О вентильных и контактновентильных схемах II Доклады АН СССР. 1956. Т. 111, № 6. С. 1171-1174.

5. Кочергин В. В. Об асимптотике сложности аддитивных вычислений систем целочисленных линейных форм II Дискретный анализ и исследование операций. Серия 1. 2006. Т. 13, № 2. С. 38-58.

6. Кочергин В. В. О сложности вычисления систем одночленов от двух переменных II Труды VII Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Покровское, 4-6 марта 2006 г.). М.: МАКС Пресс, 2006. С. 185-190.

a

a

r+s+1,2

r+s+t,2

a

12

a

a

a11 + a21

a11 + a21

a11 + a21

a11 + a21

a12 + a22

a12 + a22

a12 + a22

a12 + a22

a12 + a22

a

a

ON REALIZATION OF UNDERDETERMINED TWO-COLUMN MATRICES BY GATE CIRCUITS WITH MULTIPLE PATHS

V.V. Kochergin

The realization complexity of non-negative integer matrices by gate circuits with multiple paths is studied. The complexity growth asymptotics for underdetermined matrices consisting of either two columns or two rows has been obtained.

Keywords: gate circuits with multiple paths, complexity of a matrix, underdetermined matrix.