CC BY
47
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
4. Nikolaenko S.S. Topologicheskaya klassifikatsiya sistem Chaplygina v dinamike tverdogo tela v zhidkosti [Topological classification of Chaplygin systems in the dynamics of a rigid body in a fluid]. Matem. sb [Collection in Mathematics], 2014, Vol. 205, No. 2. pp.75-122.
5. Lyapunov A.M. O postoyannykh vintovykh dvizheniyakh tela v zhidkosti [On the permanent helical movements of the body in a liquid]. Moscow: AN SSSR Publ., 1954. Vol. 1, pp. 276-319.
6. Irtegov V.D., Titorenko T.N. Ob invariantnykh mnogoobraziyakh sistem s pervymi integralami [On invariant manifolds of systems with first integrals]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 2009, Vol. 73, No. 4. pp. 531537.
7. Cox, D., Little, J., O'Shea, D. Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer Berlin Heidelberg, 1997, 538 p. (Russ.ed.: Koks D., Littl Dzh., O'Shi D. Idealy, mnogoobraziya i algoritmy. Moscow: Mir Publ, 2000. 687 p.)_
УДК 519.61
DOI: 10.26731/1813-9108.2017.3(55). 22-30
Новиков Михаил Алексеевич,
д. ф.-м. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
e-mail: [email protected]
M. A. Novykov,
Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Senior Research Officer, Institution of the Russian Academy of Sciences, Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, e-mail: [email protected]
Информация о статье
Дата поступления: 10 авгутса 2017 г.
Article info
Received: August 10, 2017
О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
ON POSITIVE SOLUTIONS OF A NONHOMOGENEOUS SYSTEM OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS WITH A POSITIVE RIGHT-HAND SIDE
Аннотация. В статье обсуждается возможность существования решений с положительными элементами неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с заданной квадратной матрицей и неопределенной правой частью уравнений при предположении их положительных значений. Исследование проведено на матрицах второго и третьего порядков. Предложены два способа нахождения решений: аналитический и матричный. Первый способ создан для получения решений системы неравенств. Его основу составляют элементарные преобразования, в результате которых исключается часть переменных из системы неравенств, упрощая анализ решения вопроса существования решений для системы неравенств. Для него составлена последовательность проведения вычислительных операций по исследованию решений системы линейных алгебраических неравенств: получение решений или установление невозможности их существования; приведен алгебраический критерий, выражающий необходимые условия существования решений системы неравенств.
Второй матричный способ опирается на основные матричные свойства: собственные значения матриц и собственные векторы матрицы A. Показано, что достаточные условия существования положительных решений исходной системы линейных алгебраических уравнений основаны на положительных собственных значениях матрицы A и соответствующих им собственных векторах правостороннего преобразования подобия, приводящего матрицу A к нормальной форме Жордана. При этом допускаются кратные корни с непростыми элементарными делителями. Аналогичные свойства установлены для комплексных собственных значений с положительной вещественной частью.
Достаточные условия отсутствия вещественных решений системы линейных алгебраических уравнений выявляются при отрицательных собственных значениях матрицы A и соответствующих им собственных векторах левостороннего преобразования подобия, приводящего матрицу A к нормальной форме Жордана. Подобные свойства проявляются и для комплексных собственных значений с отрицательной вещественной частью.
Для матриц третьего порядка необходимые и достаточные условия невозможности существования вещественных решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений выражаются знакоопределенностью связки специальным образом составленных трех квадратичных форм от шести переменных, имеющих вид полных квадратов. В таком же контексте необходимые и достаточные условия существования вещественных решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений формулируются знакопеременностью связки трех упомянутых квадратичных форм.
Ключевые слова: матрица, характеристическое уравнение, собственное значение, собственный вектор.
Abstract. The paper discusses the possibility of obtaining .solutions with positive elements for a nonhomogeneous system of linear algebraic equations with a given quadratic matrix A and with an indefinite right-hand side under the assumption of positivity of their values. The investigation has been conducted on second and third order matrices. The two techniques of obtaining solutions have been proposed: the analytical technique and matrix technique.
The first technique has been developed for obtaining solutions of a system of inequalities. Its basis is comprised of elementary transformations, as a result of which some part of variables is removed from the system of inequalities, while simplifying analysis bound up with resolving the issue of existence of solutions for the system of inequalities. An algebraic criterion, which expresses necessary conditions of existence of solutions for the system of inequalities, has been proposedfor this technique.
The second technique is based on principal properties of matrices: eigenvalues of matrices and eigenvectors. Sufficient conditions of existence of real solutions for the initial system of equations and sufficient conditions of impossibility of existence of such solutions have been obtainedfor this technique.
Keywords: matrix, characteristic equation, eigenvalue, eigenvector.
22
© М. А. Новиков, 2017
1ШШ Механика
со оо Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3
Введение
Наиболее известной задачей в математике является нахождение решений системы линейных алгебраических уравнений. Она часто встречается не только в традиционных разделах алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, вычислительной математики,
но и прикладных дисциплинах, таких как: механика, физика, экономика. Для них разработаны многие вычислительные алгоритмы специализированных задач, в которых отмечается сложность решения по размерности, обусловленность матрицы, эффективность вычислительного метода.
Иногда встречаются прикладные задачи, когда интерес вызывает не численное решение системы уравнений, а качественное представление решения, его вычислительная оценка. Типичным примером таких нестандартных задач может быть построение функций Ляпунова [1-11] для исследования устойчивости движения, где по заданным свойствам уравнений движения составляется вещественная матрица квадратичной части функции Ляпунова. Особую сложность анализа устойчивости и трудность в составлении функции Ляпунова представляют критические по Ляпунову случаи.
В статье рассматривается нетрадиционная задача, состоящая в изучении свойств матриц, для которых заданная система линейных алгебраических неравенств допускает положительные решения.
Постановка задачи
Ставится цель определения возможности получения вещественных решений системы линейных алгебраических уравнений:
Ах = у; х,уеЯп; х,,у, >0 (, = 1,2,к,п); пеN. (1)
В постановке задачи векторы х, у не заданы конкретно, и их можно выбирать из условия положительности их компонент. В таких задачах не числовые значения х и у представляют интерес, а исследуется возможность существования их вещественных значений, пусть даже при некоторых ограничениях.
Такие задачи, в частности, могут возникать для п = 3 при проверке одновременной знакоопределенности двух пучков квадратичных форм:
К^а, х) = а^(1)( х) + а2К,(1)( х) + а3^(1)(х), К2 (а, х) = а^(2) (х) + а 2К,(2) (х) + а3 V® (х), где а = (а1,а2,а3)'; а, е Я (, = 1,2,3) . При этом каждая квадратичная форма
V])(х) (, = 1,2,3; Л = 1,2) приведена к полным
квадратам х В,
( j )л
£(1) =
Ç
0 0
0
b(1) i 2
0
где матрицы
ö № 0
0 0
b(1)
B(2) =
b(2) i2
00
0 0
b(2)
л
не допускаются равными. Каждый пучок матриц в,=1(а1В(j)) для положительной определенности связок квадратичных форм представляет систему значений
М1а = у; М2а = г, (2)
где у = (^1,У2,узУ;2 ^^^гз1; y,2ея3; у!,21 >0 (, = 1,2,3),
Mj =
Ç bi(1) bi(2)
b(j) b( j) bj
¿21) ¿22)
b(j) ö
b31 b(j)
b32
Исключая из (1.2) вектор а, получим у = А1г, где А1 = ММ2-1) или (А1 = М2М1(-1)).
можно
заменять
Иногда задачу (3) эквивалентной:
Ах >0; х1 > 0, х2 > 0,к,хп >0. (3)
Подобные задачи часто возникают в теории вероятностей [12], теории оптимизации, экономике, электротехнике, где вектор правой части или переменных из физических соображений всегда принимает положительные значения (во всяком случае, не допускаются отрицательные).
Ввиду необычности задачи проведем исследование простейших случаев для матриц второго и третьего порядков.
Построение общего решения Наиболее простой анализ проводится для числовой матрицы А. Очевидно, поставленной задаче (3) удовлетворяет любая «положительная матрица» А [12], для которой все элементы а^ (,, j = 1,2, к, п) положительны. При требовании невырожденности матрицы А положительные решения х, у существуют и для «неотрицательной матрицы» А [12], когда а л > 0 (,, j = 1,2, к, п).
Вместе с тем требуемые решения могут быть и при других матрицах. Например, для
Г- 2 5 ^
A =
è-1 4У
матрицы
существует при х1 >0; х2 > 0,4х1.
искомое решение
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
Далее матрицу А будем полагать в общем виде, содержащей как положительные, так и отрицательные элементы. Для проверки положительных решений системы неравенств Ах > 0 очевидны следующие положения:
1) если хотя бы одна из строк матрицы А состоит только из отрицательных элементов, то задача (1.1) решений не имеет;
2) если одна из строк матрицы А состоит только из положительных элементов, то ее можно исключить из анализа;
3) линейная алгебраическая сумма строк с положительными множителями а1, а2, К, ак {кЗп; к = 1,2,К) также должна быть положительной величиной.
Последнее положение составляет основу элементарных преобразований над элементами матрицы А, подобное методу Гаусса [12, 13], приводя ее к эквивалентной. Осуществляя прямой ход преобразования, можно последовательно исключить часть переменных, доводя систему неравенств до двух. Очевидно, из двух строк с номерами i и } можно исключить ту
переменную хк, для которой элементы ак и а]к
имеют значения разных знаков. Вместо обратного хода Гаусса [12, 13] решение будет строиться из полной системы исходных неравенств (3).
Существование решений для матриц второго порядка
Сразу исключим из рассмотре-ния матрицы с только положительными или только отрицательными элементами, тогда для матриц второго порядка могут возникнуть две ситуации:
1) один из столбцов А состоит только из положительных, другой - из отрицательных элементов;
2) все столбцы матрицы А содержат элементы разных знаков.
Рассматривая систему неравенств
Г а11х1 + а12х2 > 0,
la2ixi + a22x2 > 0,
(4)
можно показать, что для первой ситуации положительное решение вектора х всегда существует
1) x1 > 0; — > max
а12, a22 >0;
ai1 . a21
a
a.
(5)
ai1 . a21
a
a.
при a11, a21 > 0;
2) x1 >0; — > min
x1 L "12 "22
a12,a22 < (6) Достаточное решение можно записать, в частности, из общего определяющего неравенства b1x1 + b2x2 > 0, где
bt = sign (aJt) x maxye{1,2> I aJt | (J = 1,2).
Для второй ситуации составим линейную сумму с положительными множителями, например, a1 =| a211, a2 =| a11|. В результате переменную x1 можно исключить, и тогда система (3) приводится к следующей: b3x2 > 0, где Очевидно, при b3 < 0 задача (3.1) не имеет решения. Для другого случая b3 > 0 решения существуют
1) Х1 > 0;
- a,
a,
x1 < <
-a
12
a
22
a12,a21 > 0;
2) x1 >0;
- a,,
a
-x1 < x2 < ■
-a
22
a
■х1 при а11,а22 < 0;
(7)
-х1 при ап, а22 > 0;
(8)
Таким образом, во второй ситуации решение задачи (1) не всегда существует. Классифицируя ситуации, в этом случае критерий существования решений можно составить условием
12
^a21 < 0;
(,
a11 x det
лп V a21
Л
12
22 0
>0.
(9)
при a11, a21 < 0;
Аналитический способ нахождения решений для матриц третьего порядка
Будем рассматривать систему неравенств
a^11x1 + a12x2 + a13x3 > 0,
< a21x1 + a22x2 + a23x3 >0, (10)
a31x1 + a32x2 + a33x3 > 0.
Аналогично предоставляются две ситуации:
1) в каждом столбце матрицы A содержатся элементы только одного знака;
2) хотя бы в одном столбце матрицы A содержатся элементы разных знаков.
Для первой ситуации всегда можно подобрать решение, хотя бы из определяющего неравенства
b1x1 + b2x2 + b3x3 >0, (11)
bi = sign (an) x max | an | (J = 1,2,3). Здесь
где
je{1,2}
какие-либо две переменные можно полагать свободными переменными, а оставшаяся переменная будет задана ограничением из неравенства (11).
1ШШ Механика
оо оо Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3 «У»
Решение для первой ситуации можно составить по аналогичным (5) и (6) формулам.
Во второй ситуации выполним исключение одной из переменных х{ (, е {1,2,3}). Для этого в столбце матрицы А с номером , исключим описанным в предыдущем параграфе способом переменную х, . В результате получится эквивалентная система из двух неравенств с двумя переменными, где возможен последующий анализ предыдущего параграфа. Рассмотрим поясняющий пример: пусть задана матрица
'- 2 13 - Ш А = 3 - 4 7
V 1 -7 6 ,
По ней составим систему неравенств - 2 х1 +13х2 - 11х3 > 0, 3х1 - 4х2 + 7х3 > 0, х1 - 7х2 + 6х3 > 0. Исключим переменную х1, для этого утроенную первую строку сложим с удвоенной второй, и затем первую строку сложим с удвоенной третьей. В результате получим эквивалентную систему неравенств
Г31х2 - 17х3 >0, [ - х2 + х3 > 0.
Условие (4) здесь выполняется, и решение последней системы по формуле (5) запишется:
31
0 < х2 < х3 <
17
Далее полагаем х3 = кх2 с параметром к е (1 ;31/17) , и подставим в исходную систему неравенств (4.3). Из трех неравенств 13 -11к 4 - 7к
х1 < -
Х2 ; Х1 >
2 1 3
второе заведомо выполняется третьего следует
13 - 11к
х2; х1>(7 - 6к)х2 а из первого и
(7 - 6k )<■
2
выполняемое при 1 < к. Из условия положительности (13 -11к) получим к <13/11 . Окончательно решение системы неравенств (4.3) запишется:
х2 >0; max{0;(7 - 6k)х2}< х1 < ——х
2;-
х3 = кх2 (к е (1; 13/11)). Описанный аналитический способ решения систем линейных неравенств можно распространить и на большее число переменных. Если при
этом в каждом столбце элементы будут одного знака, то решение можно получить из определяющего неравенства вида (10). В других случаях из системы неравенств предпочтительнее проводить исключение той переменной, соответствующий столбец которой содержит одну компоненту одного знака и остальные - противоположного знака. Если в результате исключения образовалась хотя бы одна строка с всеми отрицательными коэффициентами, то задача (3) решений не имеет.
Матричное решение системы неравенств
Наибольшую значимость имеют способы решения задач, основанные на матричных свойствах. Они обладают универсальностью распространяться на матрицы любой размерности. Применим подход, аналогичный описанному в [14], согласно
которому обозначим х1 = е2;у1 = Рт (' = 1,2,3); е ,т е Я. В таких обозначениях задача (3) запишется:
Ае2 = т2, (12)
где е2 = (е2,в\,е3); т2 = (т2,т^,т32); Ф 0 Ф Цл
(,', Л = 1,2,3). Имеет место
Теорема 1. Если матрица А допускает вещественное положительное собственное значение с соответствующим ему собственным правосторонним вектором, компоненты которого имеют значения одного знака, то существует нетривиальное вещественное решение задачи (13).
Доказательство. Пусть согласно допущениям теоремы характеристическое уравнение матрицы А
ёе1;(А -1Е) = 0 (13)
имеет вещественный положительный корень 1* и ему соответствует правосторонний собственный вектор е* с компонентами одного знака, которые для определенности можно считать положительными. Тогда выполняется матричное свойство, выражаемое тождеством
^Ае* 1*е*.
Полагая е2 = е*; р2 = (,' = 1,2,3), получим формально выполненным равенство (12), что и доказывает теорему.
Следует отметить, что в теореме достаточно существования хотя бы одного вещественного положительного корня уравнения (13) с соответствующим ему собственным вектором. Остальные корни (13) могут быть как положительными, так и отрицательными, к тому же, допускаются и комплексные.
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
Теорема 2. Если комплексному корню 11 = а + /р (/2 = —1) уравнения (13) с положительной вещественной частью а соответствует правосторонний собственный вектор е = г1 + /т2, так что г{ представляет вещественный вектор с компонентами одного знака, то для существования вещественного решения задачи (12) достаточно, чтобы хотя бы один из векторов (атх + рт2) или (атх — рт2) содержал все компонен-ты того же знака.
Доказательство. Пусть матрицей правостороннего комплексного преобразования будет Т1 = (е15 ё1г е3} , где е1 — сопряженный к е1 вектор, е3 - вещественный вектор, соответствующий вещественному собственному значению 13. Матрицей Жордана тогда будет
0 01
Т^АТ = А = 0 0
V 0 0 13 0
Т = 1 2
1
— / 0 01
V" 0
осуществляет переход к вещественной матрице простейшего вида
А*
а р — р а 0 0
0 ^ 0 1
(14)
также является положительным. Окончательно решением задачи (12) является
е3 = т*; т2 = (а2 + р2)г. Последнее доказывает теорему.
Пример 1. Пусть задана матрица
' — 9 16 — 26 1 А1 = —19 31 — 49 ч — 9 14 — 22 0 Характеристическое уравнение (12) здесь имеет корни 11 = —3; 12 = 1; 13 = 2. Положительным корням здесь соответствуют правосторонние собственные векторы е2 = (—1;1,1)'; е3 = (3;3,1)'.
Здесь корень 13 = 2 удовлетворяет всем требованиям теоремы 1 при
2 _ /-V 2 _ о. _2 _ -I.
е1 = 2; е2 = 3; е3 = 1;
Здесь не оговариваются знак и значения величин 13, Р . Следующее преобразование с правосторонней невырожденной матрицей
^2 =
V - - у
Легко показать, что для вещественных векторов т1 и г2 существует связь, выражаемая матричными уравнениями:
Г Агх = аг! — рг2,
[А т2 = рт + ат2.
Умножая первое уравнение (5.3) на число а и складывая с вторым, умноженным на р, получим
А(а т1 +р тз) = (а2 +р2) г1. (15)
Не теряя общности, полагаем вектор тх с положительными компонентами. Тогда правая часть (15) представляет положительный вектор, и
его можно положить равным т2. По предположению теоремы вектор т* = (а тх +р т2), или т** = (а т1 — р т2) (что объясняется знаком р),
т2 = 4; т2 =6; тз = 2 . Для подтверждения этого результата описанным выше аналитическим способом достаточное решение можно найти из определяющего неравества
— 19х1 + 31хз — 49х3 >0.
Пример 2. Пусть задана матрица —11 14 —15^1
— 1 5 — 5 7 — 6 7
V У
Характеристическое уравнение (13) здесь получает корни 11 = 12 = 2; 13 = —3 . Кратному
положительному корню 11 = 2 соответствуют непростые элементарные делители. Но ему отвечает единственный собственный правосторонний вектор (другой вектор - присоединенный): е1 = (1;2,1)'. По теореме 1, существует веществен-ное решение задачи (12) при
е2= в32 = 2; В2 = 2; т3 = т3 = 2; т2 = 4.
Применяя ранее упомянутый аналитический способ для системы неравенств
— 11х1 + 14хз — 15х3 > 0, — х1 + 5хз — 5х3 > 0, 7хг — 6х2 + 7х3 > 0.
можно получить решение
0< х1 < 5(к — 1)х3; х2 > кх3; х3 > 0 (к >1). Пример 3. Для матрицы
V— 31 —10 501 А3 = — 38 —13 64
— 30 —19 49
1ШШ Механика
оо оо Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3 «У»
характеристическое уравнение (13) имеет корни = — 1; 12 =3 + 2i; 13 =3 — 2i. Отрицательный
корень не представляет интереса для правостороннего преобразования, а комплексным корням с положительной вещественной частью соответствуют комплексные правосторонние собственные векторы e2 = r1 + ir2; e3 = r1 — ir2, где rY = (5;8,5)'; r2=(0;—1,0)'. По ним составим r* =(15;22;15)'; r** = (15;26;15)'. Каждый из них удовлетворяет теореме 2. Следовательно, существует вещественное решение задачи (5.1). Аналитическое достаточное решение может быть построено из определяющего неравества
— 38jCj —13Х2 + 64х3 >0.
Достаточные условия существования вещественного решения задачи (12) находятся из существования правосторонних собственных векторов матрицы A. Достаточные условия отсутствия таких решений будем так же искать из
преобразования матрицы A к Жордановой A . Пусть существует левостороннее преобразование
Q: A = QAQ(1), тогда уравнение (5.1) можно
переписать в виде
AQe 2= Qm2,
что в развернутой форме запишется:
¿q. (A,eJ —m2) ° F (1,., e, m) = o (i = 1,2,3). (16)
j=1
Особый интерес здесь представляют отрицательные вещественные собственные значения, доставляющие в левой части (16) второму множителю заведомо отрицательные значения. Имеет место
Теорема 3. Если матрица A допускает отрицательное вещественное собственное значение с соответствующим ему собственным левосторонним вектором, компоненты которого имеют значения одного знака, то задача (12) не имеет решений.
Доказательство. Пусть для определенности вещественное 1 < 0, и для определенности ему соответствует левосторонний собственный вектор q1, так что ql} >0(j = 1,2,3). В таком случае
1xe2 — m^j <0(j = 1,2,3), и тогда FX(1X,e,m)
нигде не обратится в нуль. Следовательно, по крайней мере одно уравнение (16) не имеет решения относительно qu, q12, q13, тем самым
теорема доказана.
В некоторых случаях и для комплексных собственных значений матрицы A можно сос-
тавить определенные заключения. Для комплексного корня 11 = а + /р с соответствующим ему собственным вектором д1= г1 + /г2 можно составить аналогичные () равенства:
¿[(о/;;-Р/; )е 2 - /; т 21 = 0,
1=1 3
X [(а/2; + Р/; )е 2 - /21 т21 = 0,
откуда можно записать
3
'У
+ р2rj )s~ - (a r, +P r2, )m2 =0.
ij
'2 j'
¿(а2
1=1
Отсюда следует
Теорема 4. Если комплексному корню 11 = а + /р уравнения (13) с отрицательной веще-ственной частью а соответствует левосто-ронний собственный вектор ^ = /1 + /г2, так что / представляет собой вещественный вектор с компо-нентами одного знака, и хотя бы один из векторов (а г1 +Р/2) или (а г1 — Р/2) содержит все компоненты противоположного / знака, то задача (12) не имеет вещественных решений.
Рассмотрим поясняющие примеры. Пример 4. Пусть задана матрица ( 3 - 20 10 ^ - 2 3 - 4 -1 10 - 4
V У
Характеристическое уравнение (13) здесь имеет корни 11 = -2; 12 = 1; 13 = 3 . Проверка
правосто-ронних собственных векторов для положительных собственных значений дает
Л =
= (-5;1,3)'; е3=(-4;1,2)', которые
не
позволяют по теореме 1 установить решение задачи (12). Отрицательному собственному значению 11 = -2 соответствует левосторонний собственный вектор ^ =(1,2,1)'. По теореме 3, отсюда следует невозможность пост-роения решения задачи (12). Подтверждением этому является аналитический способ решения системы неравенств
3ху - 20х2 + 10х3 > 0,
- 2х1 + 3х2 - 4х3 > 0,
- +10х2 - 4х3 > 0. Исключая из нее переменную х2, получим систему
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
Г—31х — 50х3 >0, [ х1 + 2х3 > 0.
Так как первое неравенство в последней системе недопустимо для положительных х1, х3, то задача (1.1') решений не имеет.
Пример 5. Для матрицы
[ 14 — 71 —137^ А5 = 21 —101 —193 —100 45 85
V у
характеристическое уравнение (13) имеет корни 11 = —2 + /; 12 = —2 — /; 13 =2 . Положительному
вещественному собственному значению 13 = 2 соответствует правосторонний собственный вектор е3 =(8;11;—5)', к которому нельзя применить теорему 1. Для комплексных корней найдем левосторонние комплексные собственные векторы 01 = тх + т; дз= т1 — т, где т:=(5;0,8)'; тз=(0;5,11)'. По ним составим т* = (—10;5;—5)'; т** = (—10;—5;—7)'. Здесь вектор т** удовлетворяет теореме 4, следовательно, не существует решения задачи (5.1). Применение аналитического способа для соответствующей системы неравенств после исключения переменной х1 приводит к системе неравенств:
Г — 5хз — 9х3 >0, 13хз — 29х3 >0, которая не имеет решений при хз >0; х3 > 0 .
Как показывают рассмотренные примеры, наибольшее влияние на условия существования вещественных решений системы уравнений (12) оказывают правосторонние собственные векторы для положительных собственных векторов, по крайней мере, при условии положительных вещественных частей комплексных корней характеристического уравнения. Левосторонние векторы тоже помогают в вопросе отсутствия существования решения задачи (12).
Все перечисленные теоремы доставляют только достаточные условия для существования вещественных решений или их отсутствия. Конечно, необходимые условия существования или отсутствия вещественных решений задачи (5.1) требуют другого дополнительного анализа. Как показывает последний пример, решений не существует при знакоопределенности одной из форм (1г., е, т) (/ = 1,2,3). Но ведь точно такая же ситуация может возникать и при знакоопределенности связки квадратичных форм
К (к., ^) = К^ (1! , e, т) + К2 ^2 (1 з , e, т) +
(17)
+ к3 ^3(13, е, т), при некоторых вещественных Очевидно, при непростых элементарных делителях формы Fi (1., е, т) (/ = 1, 2, 3)
получаются разными. Справедлива
Теорема 5. Для невозможности построения вещественного решения задачи (12) достаточно знакоопределенности связки форм (17). Пример 6. Пусть задана матрица [— 4 35 — 251 7 —12 17
А6 =
V 1 —9 12 0
Собственными значениями матрицы А6 являются 11 = —9; 12 =1; 13 =4. Положительным собственным значениям отвечают правосторонние собственные векторы е2 =(—3;1;2)'; е3 =(—5;1;3)', которые не удовлетворяют теореме 1. Левосторонний собственный вектор для отрицательного 11 = —9 получен таким: = (1,—1,—2)', и он не удовлетворяет теореме 3. Для теоремы 5 вычислим остальные левосторонние собственные векторы дз = (2,1,3)'; д3 =(1,1,1)' и составим квадратичные формы
^1(1,!, е,т) = —9ез + 9е3
- 18ез — т2 + тз — 2т2 = 0,
F2(12, е, т) = 2е2 +е2 + 3е2 — 2т2 —т2 — 3Мз = 0,
^3(13, е, т) = 4 е2 + 4ез + 4ез — т — тЗ — тз = 0. Каждая из них является знакопеременной квадратичной формой. Легко видеть [14], что связка
форм К1(ст, F ) = F2(12, е, т)—а Fз(1з, е, т) в этом примере будет отрицательно определенной при ае (3/4;1) . Следовательно, по теореме 5 система (12) не имеет решений. Такое же заключение можно получить аналитическим способом, где исключение х3 из соответствующей системы неравенств приводит к эквивалентной системе
Г107х1 + 295хз >0, [ — 23х1 — 11х2 >0,
где второе уравнение не имеет решений при х1 > 0; х2 > 0 .
Из невозможности составления знакоопреде-ленной связки форм (17) не следует существование необходимых и достаточных условий вещественных решений (12). Для этого необхо-
1ШШ Механика
оо оо Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 55, no.3 «У»
димо еще исключить все случаи знакопостоянных связок К (к, Е) [14]. Можно сформулировать
Утверждение. Если из форм Е (1/, е, т) (/ = 1,2,3) нельзя составить знакоопределенные и знакопостоянные связки квадратичных форм, то система (12) допускает вещественное решение задачи (12).
Не только для трех, но и для большего числа п переменных описанный матричный подход допускает развитие. Из элементов квадратичных форм (1/, е, т) = /уШ2 составим матрицу
С = [Су 1 (/, У = 1,2,К, п), так что еу. = /у.. Тогда для
проверки знакоопределенности полученной связки квадратичных форм К (к, Е) используется та же
задача (1.1): Ст2 = д2, где т2=(тх2,т^,Ь,т2);
д2 =(дх2,д^,Ь,дП) - некоторый вектор с отличными от нуля компонентами.
Заключение
Полученные в статье результаты на примерах простейших матриц до третьего порядка позволили составить два способа исследования возможности существования положительных решений системы линейных алгебраических неравенств. Первый аналитический способ выполняет последовательно исключения переменных из системы неравенств. В частности, показано, что невозможность существования вещественных решений задачи (3) может быть обнаружена на первом шаге исключения одной из удачно выбранных переменных. Общим критерием существования решения задачи (6) для матриц второго порядка может выступать условие (). Оно также используется и при анализе матриц третьего порядка. Такое же обстоятельство будет возникать и при анализе систем с большим числом переменных.
Другой матричный способ основан на свойствах общей теории матриц, где используются собственные значения матриц, их
собственные и при необходимости, присоединенные векторы. При этом достаточные условия существования вещественных решений системы уравнений (12) устанавливаются хотя бы одним положительным собственным значением матрицы А при соответствующем ему собственном векторе с компонентами одного знака, который участвует в осуществлении правостороннего преобразования матрицы А к нормальной форме Жордана. Проведен анализ существования вещественных решений задачи (12) при кратных вещественных корнях характеристического уравнения с непрос-тыми элементарными делителями и с комплекс-ными корнями характеристического уравнения.
Достаточные условия невозможности решения задачи (12) следуют из существования хотя бы одного отрицательного собственного значения матрицы А с соответствующим ему собственным вектором, компоненты которого имеют значения одного знака, который участвует в осуществлении левостороннего преобразования матрицы А к нормальной форме Жордана.
Такой способ исследования решений систем линейных уравнений предполагает развитый метод приведения заданной матрицы к нормальной форме Жордана и исследования знакоопределенности пучков из трех квадратичных форм, приведенных к полным квадратам.
Хотя изложение было проведено на матрицах третьего порядка, но ограничений не имеется для матриц любого порядка. Для анализа матриц этим способом получено пять теорем, составляющих достаточные условия существова-ния и невозможности существования решений (3), и одно утверждение, доставляющее необходимые и достаточные условия существования вещественных решений задачи (12).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2. М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения; работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
3. Летов А.М. Устойчивость регулируемых систем. М. : Физматгиз, 1962. 483 с.
4. Летов А.М. Математическая теория процессов управления. М. : Наука, 1981. 255 с.
5. Зубов В.И. Устойчивость движения. М. : Высшая школа, 1963. 270 с.
6. Каменков В.Г. Устойчивость движения; колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.
7. Каменков В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т.2. М. : Наука, 1972. 213 с.
8. Малкин. И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. 472 с.
10. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.
11. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.
12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
13. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М. : Физматлит, 1959. 620 с.
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 3 (55), 2017
14. Новиков М.А. Связь знакоопределенности с приведением к полным квадратам пучка двух квадратичных форм // Вестник Бурят. гос. ун-та. Сер.: Математика и информатика. 2015. Вып. 9. С. 7-15.
REFERENCES
1. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya [The general problem of the stability of motion]. Vol. 2. Moscow-Leningrad: AS USSR Publ., 1956, pp. 7-263.
2. Chetaev N.G. Ustoichivost' dvizheniya; raboty po analiticheskoi mekhanike [Stability of motion; works on analytical mechanics]. Moscow: AS USSR Publ., 1962, 535 p.
3. Letov A.M. Ustoichivost' reguliruemykh system [Stability of regulated systems]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1962, 483 p.
4. Letov A.M. Matematicheskaya teoriya protsessov upravleniya [Mathematical theory of control processes]. Moscow: Nauka Publ., 1981, 255 p.
5. Zubov V.I. Ustoichivost' dvizheniya [Stability of motion]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1963, 270 p.
6. Kamenkov V.G. Ustoichivost' dvizheniya; kolebaniya, aerodinamika [Stability of movement; fluctuations, aerodynamics]. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1971, 255 p.
7. Kamenkov V.G. Ustoichivost' i kolebaniya nelineinykh system [Stability and oscillations of nonlinear systems]. Vol.2. Moscow: Nauka Publ., 1972, 213 p.
8. Malkin. I.G. Teoriya ustoichivosti dvizheniya [Theory of motion stability]. Moscow: Nauka Publ., 1966, 530 p.
9. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti [Lectures on the mathematical theory of stability]. Moscow: Nauka Publ., 1967, 472p.
10. Merkin D.R. Vvedenie v teoriyu ustoichivosti dvizheniya [Introduction to the theory of motion stability]. Moscow: Nauka Publ., 1971, 312 p.
11. Kuz'min P.A. Malye kolebaniya i ustoichivost' dvizheniya [Small oscillations and stability of motion]. Moscow: Nauka Publ., 1973, 206 p.
12. Gantmakher F.R. Teoriya matrits [Matrix Theory]. Moscow: Nauka Publ., 1967, 576 p.
13. Berezin I.S. Zhidkov N.P. Metody vychislenii [Methods of calculation]. Vol.2. Moscow: Fizmatlit Publ., 1959, 620 p.
14. Novikov M.A. Svyaz' znakoopredelennosti s privedeniem k polnym kvadratam puchka dvukh kvadratichnykh form [The connection of property of having fixed sign with reduction to a complete square of a cluster of two quadratic forms]. VestnikBuryat. gos. unta. Series: Matematika i informatika [Bulletin of Buryat State University. Series: Mathematics and Informatics], 2015, Issue 9, pp. 7-15.
УДК 621.928:519.8
DOI: 10.26731/1813-9108.2017.3(55). 30-34
Елсуков Владимир Константинович
д. т. н., профессор кафедры «Промышленная теплоэнергетика», Ьратский государственный университет е-таИ: elswk@mail. ти
Информация о статье
Дата поступления: 10 августа 2017 г.
Elsukov V.K.,
Doctor of Engineering Science, Prof., the Subdepartment of Industrial Heat Power Engineering, Bratsk State University
e-mail: elswk @mail.ru
Article info
Received: August 10, 2017
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА
ДЛЯ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО СБРОСА ЗОЛЫ ИЗ БУНКЕРОВ С РАЗНЫМИ ДАВЛЕНИЯМИ
THE MATHEMATICAL MODEL OF A MECHANICAL DEVICE
FOR CENTRALIZED DISCHARGE OF ASH FROM BUNKERS UNDER DIFFERENT PRESSURES
Аннотация. Рассматриваются различные схемы сброса золы из бункеров золоуловителей в каналы гидрозолоудаления оборудования энергетического комплекса. Показаны недостатки этих схем: большие расходы смывной воды; перетоки газов через общие желоба между бункерами различного давления, снижающие КПД золоуловителей; забития течек золой. Описывается изобретение, внедрение которого устранит или уменьшит указанные недостатки. Высокая эффективность рассматриваемого изобретения иллюстрируется примером его практического использования на районной Галачинской котельной г. Братска. Для определения конструктивно-эксплуатационных параметров этого изобретения (устройства) разрабатывается его математическая модель, основанная на балансе сил, действующих в нем в статическом равновесии. С помощью полученной модели выполнены расчеты конструктивно-эксплуатационных параметров рассматриваемого устройства в двух возможных вариантах его реализации. Такими определяемыми параметрами являются максимальная и минимальная высоты золового столба, масса и положение груза затвора непрерывного действия. Выявлены эксплуатационные показатели золоуловителя, влияющие на указанные параметры. В качестве примера для расчета принят золоуловитель типа ЦБР-150У-1280, имеющий золовые бункера с тремя различными значениями разрежений. Расчеты выполнены для двух возможных вариантов включения рассматриваемого устройства в схему золоудаления. Варьируется число бункеров с различными давлениями, подключаемых к рассматриваемому устройству (изобретению). Показано, что внедрение устройства снижает число золосмыв-ных аппаратов и соответственно расход смывной воды. Сделаны выводы о целесообразности широкого внедрения рассматриваемого изобретения в схемы золоудаления на производстве и необходимости дальнейшего совершенствования представленной модели в части более полного учета конструктивных параметров.
30
© В. К. Елсуков, 2017
