CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 2, С. 46-61
УДК 517.95, 517.946
О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
М. А. Нурмамедов
В работе рассматривается квазилинейная система уравнений смешанно-составного типа с меняющимся направлением времени в многомерной области, применяются методы функционального анализа, «<е-регуляризации», продолжения по параметру и Фаэдо — Галеркина с выбором специального базиса, а также метод компактности. Доказывается существование и единственность обобщенного решения задачи в весовых пространствах Соболева.
Ключевые слова: системы уравнений смешанного и составного типа, уравнения с меняющимся направлением времени, весовые пространства Соболева, регулярное и обобщенное решение, методы продолжения по параметру.
1. Введение
Исследования вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа имеют значительный математический интерес в связи с важностью их приложений в различных разделах механики, физики. Например, в газовой динамике имеются задачи, изучающие движения, в которых есть как дозвуковые, так и сверхзвуковые зоны, и такие течения обычно называются смешанными, околозвуковыми. Поэтому изучение задач трансзвуковой газодинамики тесно связано с развитием теории уравнений смешанного типа [1-6, 20-23]. Впервые в работе М. В. Келдыша [26] были получены условия разрешимости задачи Дирихле, в которой некоторая часть границы области освобождается от граничных условий. Затем в работах Г. Фикера [27] была обобщена постановка первой краевой задачи на случай общих эллиптико-параболических уравнений второго порядка и для гиперболо-параболических уравнений [24, 25]. Отметим, что в работах [14-18] исследованы уравнения со всевозможными знакоопределенными квадратичными формами в области. В данной же работе исследуются системы уравнений, близкие к [14-18], где, в отличие от работ [22, 23], гиперплоскость хп = 0, Ь = 0, является характеристической для системы уравнений.
2. Постановка задачи
Пусть ^ — ограниченная область в евклидовом пространстве Мп, выключающая часть гиперплоскости хп = 0, где точка х = (х1,..., хп) £ ^ С Кп. Положим О = ^ х (— Т, Т)
© 2010 Нурмамедов М. А.
(Т > 0 — число), Б = дП х [—Т,Т] — поверхность и Г = дО — граница области О. В области О рассмотрим систему уравнений
п (1) п (1)
¿1(п, и) = + к2(ж)Дп + ^ «¿1 ОМ)^ + ^ агу (ж,-£)иж-
¿=1 ¿=1
+Ьц (ж, + б12(ж,4)и + +С11 (ж,*)и + С12(ж, ¿)и + С1 (ж)| и|Р1 и = /1 (ж, ■£); (2 1) п (2) п (2) ( )
¿2(и, и) = + Ди + X] агу (ж,¿)иж- + ^ а¿2 (ж,*)^ + 621 (ж,
=1 =1
+^22(ж, + С21 (ж, ¿)и + С22(ж,4)и - |и|Р2и = /2(ж, ,
где Д = ^П=1 ¿тХ2". Всюду далее будем предполагать, что коэффициенты системы (2.1) достаточно гладкие в области О и удовлетворяют условиям:
(*) > 0, * = 0,4 € [—Т, Т] ;
жп^2 (ж) < 0, жп = 0, ж = (ж1,..., жп) € П с Мп
Отсюда, из условий на коэффициенты при старших производных ^(4) и ^2(ж) видно, что система уравнений (2.1) состоит из вырождающихся эллиптических уравнений, гиперболических уравнений, уравнений смешанного и составного типа с меняющимся направлением времени; более того, система (2.1) имеет нелинейный член. Введем следующие обозначения:
Г-т = {(ж, € Г : жп > 0; * = -Т} , Г-т = {(ж, € Г : жп < 0; * = -Т} , Г+ = {(ж, € Г : жп > 0; * = Т} , Г- = {(ж, € Г : жп < 0; * = Т} , О+ = О П {жп > 0} , О- = О П {жп < 0} .
Пространства С. Л. Соболева (О) будем понимать как обычно с нормой [10]:
1М1жк(Я) = 1М1к,Я = J |О"и|2
в
где а = (ао,..., ап), |а| = ао + ... + ап, = О^0 + ... + , Оо = |, А = дХ-.
Краевая задача 2.1. Найти в области I) решение системы уравнений (2.1) такое,
что
и (ж, -Т) = 0, жп < 0; и*(ж, Т) = 0, жп > 0, и(ж,-£)|г = 0, ж = (ж1,...,жп) € П, и(ж,*)|5 = 0, и (ж, -Т ) = 0, и(ж,Т ) = 0. (2.3)
Краевая задача 2.2. Найти в области О решение системы уравнений (2.1) такое,
что
и|— = 0, п|гт- = 0, и|5 = 0, (2.4)
= 0, и (ж, -Т )= и (ж, Т )=0. (2.5)
Обозначим через С^ (О) и классы дважды непрерывно дифференцируемых функ-
ций в замкнутой области О, удовлетворяющих условиям (2.2), (2.3) и (2.4), (2.5) соответственно, а через Н^О) обозначим пространства Соболева с весами, получаемыми замыканием класса С^/ (С^) по норме
М1Н = ^ (и^ + |к2 (ж)|£ иХ" + и2 | ¿О
в
соответственно.
Прежде чем мы сформулируем теорему существования, сначала возьмем распадающуюся систему уравнений в следующем виде:
п
1*1(4) = к\(1)пи + к2(х)Аи + а(лих1 + Ъ\\щ + Сип + С1 (ж)|и|Р1 и = f1(ж, £), (2.6)
=1
i
Д2)
L2(u) = Utt + Au + + b22Ut + C22U - MP2 и = f2(x, t). (2.7)
x
i=1
Решения задач (2.6), (2.2) ((2.6), (2.4)) строим методом Фаэдо — Галеркина с выбором специального базиса [7, 8, 14]. Для этого сначала дадим определение обобщенного решения для уравнений (2.6), (2.7).
Определение 2.1. Обобщенным решением задачи (2.6), (2.4) будем называть функцию u(x,t) G Hi(D) П Lp1+2,|ci|(D), удовлетворяющую интегральному тождеству:
B(u, ф) = -J ki(t)utipt dD + J (bii - kit) uttyt dD
D D
/и д . / n \
(k2(x)u) Pxi dD + I cii a(iXi + k2xixA Uifxi dD (2.8)
D i=i г D \ i=i '
J (è a»iXi - 2k2xj utpxi dD + J ci(x)|u|p1 ифdD = J fipdD
n \i=i ' n n
(i)
i xi
D vt=1 7 D D
для любой функции ip(x,t) G W, где класс
2
W = {ф : ф G C2(D), ф|г = 0, ф*|г+ = фА— = о} .
(2.9)
Определение 2.2. Обобщенным решением задачи (2.6), (2.7) будем называть функцию u(x,t) G Hi(D)P|Lp1+2,|ci| (D), удовлетворяющую интегральному тождеству (2.8) для любой функции
ip(x,t) G Wi = {ф : Ф G C2 (D) , ф\г = 0} . (2.10)
Сформулируем вспомогательные результаты.
3. Теоремы существования обобщенных решений задач (2.6), (2.4) и (2.6), (2.2)
Теорема 3.1 (о существовании обобщенного решения задачи (2.6), (2.4)). Предположим, что коэффициенты уравнения (2.1) удовлетворяют условиям:
1) bii - 1 kit < -S < 0, t = 0; (x, t) G D;
2) ciit < 0; (x,t) G D;
3) xncii > 0, Xn = 0, x = (xi ,...,Xn) G D, t G [-T, T] ;
4) £U=i (ati) - k2x^ < M |k2(x)|; kLn < M |k2(x)|
5) Pi > -1, P2 > -1;
6) (cii - £U=i agxi + k2xx,)
7) (cii -EU=i «(ixi + k2xixi)
Г+ i T
> 0; -< 0.
Тогда для любой функции /1 (ж, ¿) £ £2^) существует обобщенное решение краевой задачи (2.6), (2.2) такое, что Н1(^) П £р1+2,|С1|(В).
< Выберем ортонормированный полный базис |^>г(ж,£)| в пространстве ^(В) из гладких функций £ С2(В)}, удовлетворяющих краевому условию (2.10). Используя метод работы [14], построим по функциям ^>г(ж,£) функции являющиеся реше-
ниями следующих обыкновенных дифференциальных уравнений
^(ж,4) = (—¿жп - Мг) $(ж,4) в В, (3.1)
удовлетворяющие краевым условиям:
(ж, -Т) = 0, жп < 0;
^¿(ж,Т) = 0, жп > 0, ж = (ж1 ,...,жп) £ П,
^^(ж,|г = 0, (ж,¿) £ В. (3.2)
Решение задачи (3.1), (3.2) и(ж,£) будем искать как «приближенное» решение и"(ж,4) в виде
п
¿=1
где СгТО — константы, определяющиеся из нелинейной системы алгебраических уравнений
В (ит,^2(Д) = (/ь^к(в). (3.3)
Необходимо заметить, что хотя «приближенное» решение ит(ж,£) при жп = 0, вообще говоря, может иметь разрывы, однако функции к2(ж)ит(ж,¿), входящие в интегральное тождество (2.8), определены. Разрешимость системы уравнений (3.3) следует из условий теоремы 3.1 и леммы «об остром угле» [7, гл. 5], а также полученных нами оценок для приближенных решений.
Сначала получим оценки для приближенных решений, а потом обоснование разрешимости (3.3). Для этой цели умножим тождество (3.3) на С" и просуммируем по г от 1 до т. Тогда получим:
т1 11и
Н (В)
+
1
Р1 +2
с11Р1+2 и"
Р1+2
+
1
¿Р1+2(В+) р1 + 2
< У «1/1 + I а /12 ^В-,
В+ в-
Ы Р1+2 и"
Р1+2
¿Р1+2(В-)
(3.4)
где а1 = (—¿жп — М1) и константа т1 не зависит от функций и"(ж, ¿) и т. Следовательно, {и"(ж,4)} сходится слабо в пространстве Н1(В) к функции и(ж,£) £ Н1(В). Поэтому можно перейти к пределу в линейных членах тождества (3.3). Теперь покажем, что и в нелинейном члене тождества (3.3) также можно перейти к пределу. Рассмотрим функцию адт(ж,£) = у/1к21ит. Из построения этих функций вытекает, что адт(ж,£) £ ^21(В). Тогда мы можем записать:
= и"" + -
1 к2х
2лШ
г = 1,2,
,п,
1
1
2
"
п
"
Отсюда для любых m получим, что ||wm||w2i(D) ^ M2. Тогда по теореме вложения С. Л. Соболева [10] существует такая функция w(x,t) G (D) и подпоследовательность функций {wmk}, которую снова обозначим через wm(x,t), слабо сходящаяся в пространстве W^(D) к функции w(x, t). Кроме того, последовательность функций {wm(x,t)} будет сходится и сильно в L2(D) почти всюду в области D. Таким образом получаем, что функции \J|^|um ^ w почти всюду в области D. Так как нам известно, что функция ^2 (x) может обращаться в нуль только при xn = 0, то имеем, что wm ^ —w— при
V
m ^ то почти всюду в области D. С другой стороны, в силу того, что um ^ u при
m ^ то слабо в пространстве ¿2(D), то можно легко обосновать, что u = —г— или же
i V|k21
w = л/|k2|u почти всюду в области D. Следовательно, wm = |ci(x)| pi sgnci(x)|um|Pium сходится к функции |ci|pi sgnci|u|piu слабо в Lpi(D), где p' = pi+2. Окончательно можно
заключить, что |ci| pi sgn ci |um|Pi um ^ |ci||u|Piu при m ^ то почти всюду в D. Далее, так как мы показали, что справедливо неравенство ||w™Hl (D) ^ m4, где константа m4 не зависит от функции wm, то согласно лемме 1.3 о предельном переходе [7] получаем,
что |ci| pi sgnci|um|pium ^ |u|Piu|ci| pi sgnci при m ^ то, слабо в пространстве Lpi (D). Отсюда, так как |ci(x)| ^ m5, следует, что последовательность {ci(x)|um|Pi um} слабо сходится к функции ci(x)|u|pi u. Таким образом, в нелинейном члене также можно переходить к переделу при m ^ то в равенстве (3.3). Теперь, если докажем разрешимость (3.3), то доказательство теоремы 3.1 будет полностью завершено. Положим:
c = (ci,...,cm), A(c) = (Ai(c),...,Am (c)),
m „ m
Am(c) = — ^ cim / L^1 dD — ^ c
im
=i D i=i D
m
^ Cim^1
1=i
Pi
p^dD - J /i(x,i)^1 dD.
D
В силу леммы об остром угле [7] или леммы Вишика [19] следует, что достаточно доказать непрерывность Am(cm) относительно Cm и что (A(c), c) ^ m0|c|2 — mi, m0 > 0, mi ^ 0 — достаточно большая величина. Но непрерывность Am(cm) вытекает из непрерывности функции /i(x,t), B(A) = |A|PiЛ, и свойств ф1, Используя указанное ранее условие ортогональности и оценку (3.4), мы получим, что (A(c),c) есть |c|2. >
Теорема 3.2 (о существовании обобщенного решения задачи (2.6), (2.4)). Предположим, что в области D выполнены условия 2)-7) из теоремы 3.1 и, кроме того, bii — ^kit ^ S > 0 при t = 0. Тогда для любой функции /i(x,t) G ¿2(D) существует обобщенное решение задачи (2.6), (2.4) из пространства Hi(D) П Lpi+2,|ci|(D).
< Так же, как в доказательстве теоремы 3.1, выберем ортонормированный полный базис {^1(ж, t)} в пространстве L2(D) из гладких функций G C2(D)}, удовлетворяющих краевому условию (2.9), и по функциям ф 1(x,t), являющимися решениями следующих обыкновенных дифференциальных уравнений:
W(x,t)} G C2(D)^(x,t), <^(x,t) = j e^(x,t) в D+;
1 1 \e^(x,t) в D-, (3.5)
№,t)|— = 0, ф1 (x, t) |r+— = 0, ^1(x,t)|S = 0,
где A < 0, p > 0 — константы.
Снова мы можем искать приближенные решения задачи (2.6), (2.4) в виде:
т
1(ж,-£) = ^ С^т^ЧМ),
¿=1
где константы с^т определяются из нелинейной системы алгебраических уравнений
В(ит = (/ъЛ2р). (3.6)
Теперь, повторяя все шаги доказательства теоремы 3.1, получим, что
,тц 2
1 Р1+2 1 1
|С11 Р1+2 пт + - |С11 Р1+2 пт
1 1 ¿2(Д+) Р1 + 2 1 11
т||И"" + РГ+2
^ У /2 еЛ* ^у /V* ^В
Р1+2
¿2 (Д-)
(3.7)
Так же, как и в доказательстве теоремы 3.1, показываем возможность перехода к переделу в линейных и нелинейных членах в тождестве (3.6); тем самым доказательство разрешимости системы (3.6) полностью совпадает с доказательством разрешимости системы (3.3).
4. Теорема единственности решения задач (2.6), (2.4) и (2.6), (2.2)
Теорема 4.1 (о единственности решения задачи (2.6), (2.4) и (2.6), (2.2)). Предположим, что выполнены условия 2)—7) и Ьц — 1 ки ^ 6 > 0 при 4 = 0. Более того, С1(ж) > 0 для жп > 2е; С1(ж) < 0 для жп < — 2е; С1(ж) = 0 для —2е < жп < 2е. Тогда, если норма 11 /11 (Д) < достаточна мала, то существует единственное обобщенное решение краевой задачи (2.6), (2.4) из пространства Н^В) П Ьр1+2;|С1| (В).
Аналогично, имеет место
Теорема 4.2 (о единственности решения задач (2.6), (2.2)). Предположим, что выполнены условия 2)—7) и Ьц — 2к1* ^ 6 > 0 при 4 = 0. Кроме того, С1(ж) > 0 для жп > 2е; С1(ж) < 0 для жп < —2е; С1(ж) = 0 для —2е < жп < 2е. Тогда, если норма |/1|ь2(Д) < достаточна мала, то существует единственное обобщенное решение краевой задачи (2.6), (2.4) из пространства Н^В) П Ьр1+2,|С1| (В).
< Принимая во внимание теорему 3.1 и условия теоремы 4.1, имеем следующее неравенство:
1/1 '2еЛ* + 1 / /2е^ ^В- > 1 / (2Ьп - к™ - АЬ - 2) еЛ*п2
2 У /2еЛ* + 1у /2е"* ^В- ^ 2 У (2Ьц — ки — Ак1 — 2) еЛ*п2
о+ д-
+2 У |к21(—А — М)еЛ* ^+ С11А — сш)п2еЛ*
¿=1
+2 У (2Ь11 — к1* — — 2)е^*п2 ^В- + 2 У |к2|(^ — М) ^п£. ^В-
2 У (2ЬП — к1* — — 2)е^п2 ^В- + 2 I |к2|(и — М) ^п^ д- д-
+1 /(—С11 р — Сш)п2е^ ^В---— [ С1(ж)|п|р1+2АеЛ*
2 } Р1 + 2 У
Р1 +2
в
1
Введем обозначения:
¿1 = ш1п(2611 — к^ — Ак1 — 2), ¿2 = ш1п(2611 — к^ — ц.к1 — 2),
В+ В-
= О П {хп > е|, О- = О П {хп < —е|.
Пусть существуют два обобщенных решения щ(х,Ь), и2(х,Ь) задачи (2.6), (2.4) в пространстве Н^О) П Ьр1+2,|с1 |(О). Тогда возьмем и = щ — и2 и рассмотрим следующий интеграл:
J = J ciníeAí(ui|plui — |u2jplU2) dD+ + J ciuе^(|щ|р1 щ - |u2|plU2) dD
D+
D-
= (pi + 1)^ ci(x)níeAí(ui — U2)|ui + ^U2|p1 (ui + 0П2) dD+
D+
+ (pi + 1) J ci(x)uíeMÍ(ui — U2)|ui + $U2|Pl (ui + 0U2) dD-
D-
< ¿a(pi + 1)
uíeAí|u|gdD+ + J uteMÍ|u|gdD"
D+
D-
где g = |ui + #u2|P1 (ui + 0u2), 0 <#< 1, и ¿a > 0 — константа. Применяя неравенство Коши, получим
/П - „ n
¿i ufe (—А — MuXt eAtdD+ + / ¿2 ufe (^ — M
UXo'
e^ dD"
D+
d;
J < ¿3 (Р1 + 1) 1Ы1ь2(В+) 11и11Ьр1 (В+) Нд11ь,(В+)
+Л (р1 + 1) КН^) (М!^ (В2-£) (В-£) ,
где 2; + р- + -1 =1. Отсюда, применяя мультипликативные неравенства из работ [12, 13] и теорему вложения Соболева, получаем
J < ¿a(pi + 1)в |_||u||W21(D+ )^g^Le(D+£) + IMIw2i(D2-)eM llg^L6(D2- ) где n ^ 6, a = П, в = (lUj) . Отсюда следует
/IV л I V
¿iu2 + e(—А — Mu£. eAt dD+ + / ¿2«! + — M
e^ dD"
D+
D-
< e¿3 (pi + 1)
u
lw21(D+)|g|L6(D+) + ^ I|u|W21(D2-)|g|L6(D2-)
Теперь нам необходимо оценить норму функции д = |щ + ^и2|Р1 (и1 + 9и2^), 0 < 9 < 1, в пространстве £б(О):
шт { тт[£Ь£(—Л — М)] еЛ4, тт[62,е(и — М)] е^
1^21(В2+£) + ^
2
Ч1 (В-)
< ¿а(Р1 + 1)
2(п — 1) п- 2
х шах
еЛ тт[£ье(—Л — М)]
|^21(в+)
Зр-,+2 р-,+1
[3(Р1 +1)] 3 р 2
_1_
е^ тт[62,е(и — М)]
|^21(в-£)]
Р1+1 ■ 2
Отсюда, если будет выполнено неравенство
тт{тт[£ье(—Л — М)] еЛ4, тт[62,е(и — М)]
> ¿а (Р1 + 1)
2(п — 1)
п2
3Р1+2 р-,+1
[3(Р1 + 1)] ^ р*
(4.1)
тах
^ Р1+1 2
еЛ т1п[^1,е(—Л — М)]_
1
^ Р1+1 2
е^ тт[62,е(и — М)]_
то получаем противоречие, и, следовательно, и = 0 или и1 = и2. Отсюда следует, что, если условия теоремы 4.1 выполнены, то существует единственное решение задачи (2.6), (2.4) в пространстве и В—) (или в пространстве Н1(В+ и В—)). Итак, существует
единственное обобщенное решение задачи (2.6), (2.4) в пространстве Н1 (В)ПЬр1+2;|С1| (В). Учитывая ограничения на С1(ж) в теореме 4.1, имеем С1 (ж) |и|Р1 и = 0 в области В = В\(В2- и В+). Отсюда следует, что обобщенное решение краевой задачи (2.6), (2.4) в В единственно и принадлежит пространству Н1(В) П £р1+2,|с1|(В). >
Аналогично, применяя методы доказательства теоремы 4.1, доказывается теорема 4.2. Здесь достаточно рассмотреть следующий интеграл:
Р = J /2а1 ^В+ /2^1 ^В2
В+
В-
В+
^ 21 ^[(26ц — ки) « — и2 + 2^ I а(1) «1 — (^2^1)^. и + ^ ^а^и;
— (сц«11 — сП1«1) и2| ^В+ + 2 У |[ (2&11 — ки) «1 — к^и]^
В-
¿=1
+2 X] |а(1)«1 — (^2«!)^ и^и + к2«11иХ. — (С11«11 — СШ«1) и2\ ^В
Р1 + 1
I С1 (ж) |и|р1+2 «14 ^В+--^ I С1 (ж) |и|р1+2 «14 ¿В-.
Р1 + 1
В+
В-
Тогда, повторяя все шаги доказательства теоремы 4.1, получаем, что существует и притом единственное обобщенное решение краевой задачи (2.6), (2.2) в пространстве Я1(В) П ¿Р1+2,|С1|(В).
Замечание 4.1. Если выполняется условие малости нормы Ц/1 (ж, Уь2(В), то также справедливо неравенство (4.1).
и
6
1
2
2
х
6
1
1
5. Основные результаты
Теорема 5.1. Предположим, что
2 , х < ' (5Л>
2С22(ж,4) «(¿^(х,^) - Ыж,*) < 0 V (ж,4) € В. (5.2)
¿=1
Тогда для любой функции € ¿¿(В) существует единственное решение и(ж,£)
краевой задачи (2.7), (2.5), ((2.7), (2.3)) из пространства Ж^(В).
< Очевидно, что выполнение условия (5.1) обеспечивает коэрцитивность оператора
п
¿2и = им + Ли + ^ а(2)иЖ4 + ^22и + |и|Р2и + С22и.
¿=1
Тогда при р2 < п22 существует и притом единственное решение краевой задачи (2.7), (2.5) (или задачи (2.7), (2.3)) в пространстве ^21 (В). Обозначим
п
£2и = + Ли + а(2)их4 + Ь22и*.
¿=1
Тогда уравнение (2.7) можно записать в виде:
£ 2и = ^ + |и|р2 и. (5.3)
Если и(ж,4) € ^2(В) — решение, то |и|Р2и € £2(В), и, следовательно, /2(ж,£) + |и|Р2и € .¿2(В). Поэтому любое решение из (В) краевой задачи (2.7), (2.5) (или задачи (2.7),
(2.3)) является элементом пространства Ж|(В). Так как уравнение (2.7) является квазилинейным эллиптическим уравнением, то доказательство этого утверждения можно провести аналогично доказательству разрешимости задачи Дирихле для эллиптического оператора в пространстве Ж|(В) [12, 13]. Отсюда можно заключить, что в предположениях теоремы 5.1 существует и притом единственное обобщенное решение задачи (2.7), (2.5) (или задачи (2.7), (2.3)). >
Замечание 5.1. Предположим, что коэффициенты уравнения (2.7) удовлетворяют условию |а(2)(ж, ¿)|2 ^ М|&2(ж)|, тогда для любой функции /2(ж, ¿) € ^(В) существует и притом единственное обобщенное решение задачи (2.7), (2.5) (или задачи (2.7), (2.3)) в пространстве Н1(В) П £р2+2(В).
Доказательство этого утверждения получается аналогично доказательству теорем 3.1, 4.1 работ [11, 14].
Далее, для того чтобы доказать разрешимость исходной задачи (2.1)—(2.3) и (2.1),
(2.4), (2.5), введем следующие обозначения:
пп
Мп = кй« + ^ А^гЦ + Вй + Вй, Жй = ^ Дй^ + фй + Ли,
где
К =( » 0 ■ А =( 5 а?) •
р = ( Ъц 0 \ О = ( к2(ж)Д + С11 + С1 |и|Р1 0
В V 0 Ъ22 У ^ О V 0 Д + С22 -|и|р2
Р = ( 02) 1 , Я = ( ' ^ ^ , Д ( 0 С12
ч а<? 0 (' Ъ21 0 Г \ С21 0
и=( ^ /"=( /0 ^ О = и О-е^ О = О+ и О-.
Тогда систему (2.1) можно записать в виде:
¿и = Ми + Жи = /. (5.4)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теорем 3.1, 3.2, 4.1, 4.2. Кроме того, коэффициенты а(1)(ж,£) достаточно малы. Тогда для любых функций /ь/и,/ € ¿2(О), /2(ж, -Т) = 0, существует и притом единственное обобщенное решение краевой задачи (2.1)—(2.3) ((2.1), (2.4), (2.5)) из пространства Ш^ф).
< Умножая уравнение 5.4 на вектор П1 = {шеЛ*, и}, П2 = {ше^, и} в соответствующей области О+ и О-, применяя неравенство Коши, а также формулу интегрирования по частям, легко получим, что
2,В ^ т1 ||и|Жг1(В) , (5.5)
где т1 — константа, не зависящая от и(ж,*). Теперь обозначим через Н^о пространство вектор-функций ф = {^1,^2} таких, что , ^2 € ¿2(О), причем фк(ж, -Т) = 0. Норму в пространстве Н^о определим следующим образом:
1|ф||-2,о = ||ф«н2 + ||ф2|2. (5.6)
Отсюда на основании оценки (5.5) и из уравнения (5.4) получаем следующую оценку:
||и||ет|(В2е) ^ т2 ||Ми||*,о ^ (5.7)
где т2 > 0 — константа, не зависящая от и (ж, *). Преобразуем уравнение (5.5) следующим образом:
Ми = ¿и - Жи. Тогда на основании оценки (5.5) из нормы (5.6) имеем, что
||и|^32(вв) < тз (||Ми||^о + ||Жи|4>о
Отсюда, используя результаты теорем 4.1, 5.1 и неравенство (5.5), получаем следующую оценку:
||и|Ц(В2£) < т5 ||Ми|4>о . (5.8)
Далее, рассмотрим семейство уравнений относительно параметра т:
¿ги = Ми + тЖи, 0 < т < 1.
Пользуясь полученными выше оценками, мы можем получить равномерную относительно параметра т априорную оценку
С другой стороны, при т = 0 задача (2.1)—(2.3) и (2.1), (2.4), (2.5) разрешима. На основе хорошо известного [9, 11] метода продолжения по параметру доказывается разрешимость задачи (2.1)—(2.3) и (2.1), (2.4), (2.5) в пространстве ()). Единственность решения задачи доказывается аналогично доказательствам теорем 3.1, 3.2. >
Теорема 5.4. Пусть выполнены условия теорем 2.1, 3.1, 4.1, 4.2, 5.1. Тогда для любых функций /ь/к,/2 С ¿2()) таких, что /к(ж, — Т) = 0, существует единственное обобщенное решение краевой задачи (2.1)—(2.3) и (2.1), (2.4), (2.5) из пространства Я1(Я) П ¿,1+2,|С1|(Я) П Ьр2+2(I).
6. Исследование регулярности решения краевой задачи (2.1)—(2.3)
Символом С^ обозначим класс дважды непрерывно дифференцируемых в замкнутой области I) функций, удовлетворяющих краевым условиям (2.2), (2.3) ((2.4), (2.5)), а через #2 ()) — пространство Соболева с весом, получаемое замыканием класса С^ по норме
// п п п \
( пй + к2 ^ + |к2(ж)| ^ + |к2(ж)^ + и2 + пЧ ¿О. п \ ¿=1 ¿=1 ¿=1 /
В
Заметим, что так как &2(ж) = 0 при жп = 0, то, в силу теорем вложения С. Л. Соболева [10], функции из пространства #2(1) будут удовлетворять граничным условиям (2.2), (2.3) (или (2.4), (2.5)).
Лемма 6.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и условие (5.1). Тогда для любых функций и (ж, ¿), и (ж, ¿) € С^ справедливы следующие неравенства:
! ¿1(п, и)ап + J ¿2(п, и)ап + J ¿1(п, и)аи
В+ В+ В-
+ 1 Ь2(п,и)ап ^ Ш1 (В)ПЬР1+2,|С1|(В) + 11иУн1(В)ПЬР1+2,|С1|(ВО ,
В-
где а(ж, ¿) = — ¿жп — М1.
Доказательство леммы 6.1 проводится интегрированием по частям и использованием неравенства Коши с учетом граничных условий.
Определение 6.1. Регулярным решением задачи (2.1), (2.2), (2.3) (или (2.1), (2.4), (2.5)) будем называть функции п(ж, ¿), и (ж, ¿) € #2(1), удовлетворяющие уравнениям (2.1) почти всюду в области
Так как гиперплоскость жп = 0 является характеристической для уравнения (2.1), то мы можем рассмотреть краевую задачу (2.6), (2.2) следующим образом.
Краевая задача 6.1. Найти решение уравнения (2.6) в области )+, удовлетворяющее краевым условиям
П(ж, Т) = 0, п(ж,Т) = 0, п(ж, —Т)=0, Жп > 0, п|5,+ = 0, (6.1)
где 5+ = 5 П {жп > 0}, 5- = 5 П {жп < 0}.
Краевая задача 6.2. Найти решение уравнения (2.6) в области удовлетворяющее краевым условиям
и*(ж, -Т) = 0, и(ж, -Т) = 0, и(ж, Т) = 0, ж„ < 0, и|5_ = 0. (6.2)
Обозначим через класс бесконечно дифференцируемых в замкнутой
области соответственно, функции, удовлетворяющих краевым условиям (6.1),
(6.2). Имеет место
Лемма 6.2. Пусть выполнены условия теорем 3.1, 3.3. Тогда для любой функции и(ж,£) £ Сс(^+) (и(ж,£) £ Сс(^-)) справедливы следующие оценки:
|иГ2
(Lm, (D+) ^ m1 llnllHi(D)nLP1+2,|Cl|(D+) > (6-3)
(Lm, ant)L2(D-) ^ m2ynyHi(D)nLpi+2,|Cl|(D-)- (6-4)
< Доказательство леммы 6.2 аналогично доказательству теоремы 3.1. > Рассмотрим в области D+ «е-регуляризированное» уравнение смешанного типа
LieП = ki(i)nett + (fo - e)Ane + 6nnei
n (6 5)
+ ^ a^n^ + ciin + ci(x)|ne|p1 n = fi (x,t)
i=1
с граничными условиями
n|Xn=0 = 0, n|S+ = 0, nei(x,T) = ne(x,T) = n(x, -T) = 0, ж„ > 0. (6.6)
Также рассмотрим в области D- «е-регуляризированное» уравнение смешанного типа:
Lieue = ki (t)nett + (k2 + e)Ane + 6nne + 6nnei
a(i)n + + ci(x)in ipin = f (x t) (6.7)
i=i
с граничными условиями
+ a(i)n£xi + cnne + ci(x)|ne|pi n = fi (x,t)
ne|Xn=0 = 0, ne|S_ = 0, nei(x, -T) = 0, ne(x, -T)= ne(x,T) = 0, ж„ < 0. (6.8)
Исходя из результатов [11, 14, 18] и теорем 3.1, 4.2, имеет место Теорема 6.1. Пусть выполнены условия теорем 3.1, 4.2 и, кроме того,
|k2xik2xj| < M|k2(x)|, fi(x,i),fit(x,i) G L2(D+), 2bii - |kit| < -5< 0, (x,t) G D+.
Тогда существует и притом единственное регулярное решение задачи (2.6), (6.1) в области H2(D+).
Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теорем 3.1, 4.2 и, кроме того, |k2xik2xj| < м|k2(x)|, fi(x,i),fit(x,i) G L2(D-), 2bii -|kit| < -5< 0, (x,t) G D-.
Тогда существует и притом единственное регулярное решение задачи (2.6), (6.2) из пространства H2(D-).
< Доказательство теорем 6.1, 6.2. Для функции ие(х,г) е (О+) (ие(х,г) е (О-)), являющейся решением краевой задачи (2.6), (6.1) (для (2.6), (6.2)), имеют место следующие априорные оценки:
Ш\ыв+) > т5 J + \ к2 - е\^ и1Х{ + + ||иеНьр1+2,|с1| D+,
Б+ ¿=1
\\fl\\ыв-) > та [ и + \к2 + е\ ¿
¿=1
п
/ + \к2 + е\^ и2х4 + и2 ) + \\ие \Ьр1+2,|С11 О
где константы та не зависят от е. Доказательства этих утверждений легко получаются путем интегрирования по частям и использованием неравенства Коши. Для получения второй априорной оценки возьмем функцию £1(4):
ш =
= 1 при г е (-г, -п), 2 >п> о, < 1 при г е [-п,-22), к= о при г е [-п ,т).
Затем рассмотрим функцию Ше(х,г) = £1(г)ие(х,г). Очевидно, что Ше(х,г) удовлетворяет уравнению
ЬМ = ал + 2к1(г)£[ (г)иеь + к1(г)£1(г)ие = Р1(х,г). (6.9)
Умножим уравнение (6.9) на -Шец и проинтегрируем по частям в области О+. Учитывая граничные условия и используя неравенство Коши, получим
/п
(и1и + \к2 - е\ ^ и2®<* + ^ Б+ ¿=1 (6.10)
п
+ \к2 - е\ ^2 и2Х + и2) + m8\\UеA2Lp1{D+t),
¿=1
где константы т7, т% не зависят от е и и(х, г).
Теперь рассмотрим функцию &(г) е С^(-Т,Т) такую, что &(г) = 0 при -Т < г < -2п, £2(г) = 1 при -п < г < Т. Очевидно, что 0 ^ £2(г) ^ 1. Возьмем фе(х,г) = &(г)ие(х,г). Очевидно, что функции фе(х,г) удовлетворяют уравнениям
Ь1еФе = £2(г)Ь + 2к1£2 (г)иег + к^К = Фе(х, г). (6.11)
Поэтому можно утверждать, что Фе(х,г), Ф^(х,г) равномерно ограничены по е в пространстве Ь2(О+).
Рассмотрим для функций фе(х,г) конечные разности по переменной г:
фе (х,г + К) - фе(х,г)
ФеЬ =-К-•
Можно убедится, что функции феь удовлетворяют уравнениям
Ь1ефеЬ = к1(г)феЬи + \ к2 - е\ ^ + ЪП(х,г)феЫ
¿=1
п
+ а(л)фекх1 + С11фек + С1(х)\феЬ^ = ^еЬ^х^). 1
(6.12)
Используя результаты о гладкости решений задачи (6.5), (6.6) и априорные оценки (6.10), а также переходя к пределу по Н ^ 0 в полученных неравенствах и устанавливая связь между функциями / и Фе, получаем
ll/lt||L2(D+) + II/iHl2(D+) ^ / (uL + 1 k2 -
D+ i=1
П \
+|k2 - e^ u^ + ue2J dD+ + ||uei ||LP1 (D+) Vue G CL(D+).
(6.13)
- el о
U>2x • I U 2 dD+ + ||u,+ ||2 /П+ Vu
=1
Далее, из уравнения (6.5) методом оценивания (см. [11, 12, 18]) получим, что
1 k2 - e| ^ G L2(D+).
1
Переходя к пределу при ^ 0 в тождестве
(uefc ,L1£fc W)L2(D+) = (/1, W)L2(D+)
(где L1 — оператор, сопряженный к оператору Li, и, кроме того, W(x,t) G C0°(D+) — класс финитных функций), получим, что u(x,t) есть обобщенное решение задачи (2.6), (6.1), принадлежащее пространству H2(D+), и, кроме того, в силу теоремы вложения Соболева, удовлетворяет уравнению (2.6) почти всюду.
Аналогичным образом, повторяя все шаги, проведенные для области D +, мы можем установить, что u(x,t) G H2(D-). >
Определение 6.2. Функцию u(x,t) G H1(D+) (u(x,t) G H1(D-)) (следуя по [1]) будем называть сильным решением краевой задачи (2.6), (6.1) (для (2.6), (6.2)), если существует последовательность функций {um} G Cl(D+) ({um} G Cl(D-)) таких, что выполнены равенства
lim ||L1Um - Л(ж,-£)||Ь2т+) = lim ||um - п||Я1 (D+t) =0,
m^r 2V ' m^r 1V '
lim ||L1Um - /1 (x, t) ||l2(D_) = lim ||Um - u||Hi(D-) =0
<rr>_клл ^ 4 ' m_клл 4 '
соответственно. Имеет место следующая теорема существования сильных решений. Теорема 6.3. Пусть выполнены условия леммы 6.1. Кроме того, пусть
|&2Х^ | < М|к2(ж)|, 2611 — |к1«| ^ <*> 0, (М) € В.
Тогда для любой функции /1 € ¿2 (В+) (/1 € .¿2 (В-)) существует и притом единственное сильное решение и+(ж,£) краевой задачи (2.6), (6.1) (для и- (ж,£) задачи (2.6), (6.2)) из пространства (а для задачи (2.6), (6.2) — из
< Из построения пространств Н2(В+) и Н2(В-) следует, что существуют последовательности {ит} € {ит} € Сс(В-) такие, что
lim ||um - U+|H2(D+) = lim ||um - u ^H2(D-) =0-
Тогда из очевидных неравенств
||umУн2(d+) ^ m|L1«mHl2(d+), ||umyH2(D-) ^ m|L1um^¿2(0-)
следует, что последовательности {^и^}, {¿1ит} сходятся в пространствах ¿2(О+), ¿2(О-) к функциям /1 € ¿2(О+), /1 € ¿2(О ) соответственно. Таким образом, мы показали, что регулярные решения и+, и- являются сильными решениями в предположении /1+ € ¿2(О+), € ¿2(О-). Построим последовательности функций /+ € Ж2(О+), /1т € Ж21(О-), сходящиеся соответственно к функциям /+, в пространствах ¿2(О+), ¿2(О-). Тогда для любых функций /+„, /{^ существуют сильные решения краевых задач (2.6), (6.1) из пространства Я2;ь(О-). Таким образом, последовательности и+, ит сходятся к некоторым функциям и+ € Я1(О+) П (О+) и и- € Я^О-) П (О-). >
Замечание 6.1. Пусть функции и+(ж,*) € Я^(О+), и-(ж,*) € Я^(О-), г = 1, 2. Тогда функция
и(ж,*) = /и+(ж,*), (М) € О+, I и (ж,*), (ж,€ О
также из класса и(ж, ¿) € Я»(О), г = 1, 2.
Имеет место
Теорема 6.4. Пусть выполнены условия лемм 6.1, 6.2 и теорем 6.1, 6.2, 6.3. Тогда для любых функций /1, /ц € ¿2(О) существует и притом единственное обобщенное решение задачи (2.6), (2.2) из пространства Я2(О).
Для доказательства единственности решения достаточно взять два решения и1, и2 € Я2(О) и применить теоремы 4.1, 4.2. Аналогичным образом доказывается регулярность решения краевой задачи (2.6), (2.4). Затем мы можем заключить, что существует и притом единственное регулярное решение краевой задачи (2.1), (2.4), (2.6).
Литература
1. Tricomi F. G. Sulle equazional lineari alle derivate parzialli di secondo ordinee, di tipo snisto // Atti Accad. Naz. Lincei.-1923.-Vol. 14.—P. 133-247.
2. Frankl F. I. On the problems of Chapligin for mixed subsonic and supersonic flows // Izv. Akad. Nauk USSR. Ser. Math.—1945.—Vol. 9, № 2.—P. 121-143.
3. Bers L. Results and conjectures in the mathematical theory of subsonic and transonic gaz flows // Comm. on Pure and Appl. Math.—1954.—Vol. 7, № 1.—P. 79-104.
4. Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics.—New York: Wiley, 1958.—180 p.
5. Франкл Ф. И. Избранные труды по газовой динамике.—М: Наука, 1973.—711 с.
6. Pini B. Un problema di valori al contorno por un'equazional a derivative puzziali del terzo ordinee con parto principale di tipo composito // Rend. Sem. Fus. Sci. Univ.—Cagliari, 1957.—Vol. 27, № 114.—P. 61.
7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.—М: Мир, 1972.—587 с.
8. Лионс Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М: Мир, 1971.— 372 с.
9. Berazinski Yu. M. Expansion of eigenvalues functions for self-adjoint operators.—Kiev: Naukova Dumka, 1965.—800 p.
10. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.—255 с.
11. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.—Новосибирск: Изд-во Новосибирского гос. ун-та, 1983.—84 с.
12. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.—М.: Наука, 1973.—576 с.
13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.—408 с.
14. Нурмамедов М. А. Об одной задаче для вырождающегося квазилинейного уравнения смешанного типа // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986.—P. 175-178.
15. Нурмамедов М. А. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка с меняющимся направлением времени // Тез. докл. Второго Сибирского конгресса по прикл. и индустр. мат-ке—Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996.—С. 93.
16. Nurmamedov M. A. On the theory of well-posed boundary value problems for degenerating nonlinear equation mixed type with changing time direction // Sakarya Math. Symposium.—Turkey, 1997.—P. 74.
17. Нурмамедов М. А. Краевые задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с несколькими плоскостями вырождения // Нелинейные проблемы мат. физики: Докл. VI республ. конф.— Донецк, 1986.—С. 104.
18. Нурмамедов М. А. Некоторые корректные постановки краевых задач для уравнений смешанного типа с меняющимся направлением времени // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1987.—P. 161-169.
19. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи мат. наук.—1968.—Т. 23, № 1.—C. 45-90.
20. Morawetz C. S. A weak solution for a system of equation of elliptic-hyperbolic type // Comm. оп Pure and Appl. Math.—1955.—Vol. 9, № 1.—P. 45-68; 1957.—Vol. 10, № 1.—P. 107-131; 1958.—Vol. 11, № 1.—P. 129-144.
21. Morawetz C. S. Mixed equations and transonic flow // J. Hyperbolic Differ. Equat.—2004.—Vol. 1.— P. 1-26.
22. Canic S., Keyfitz B. L., Kim E. H. Mixed hyperbolic-elliptic systems in self-similar flows // Bulletin Brazilian Math. Soc.—2001.—Vol. 32.—P. 377-399.
23. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.—М: Наука, 1966.— 292 с.
24. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения.— 1977.—Т. 13, № 6.—С. 1098-1105.
25. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР.—1951.—Т. 77, № 2.—С. 11-14.
26. Фикера Г. К единой теории краевых задач эллиптико-пaрaболических уравнений второго порядка // Сб. переводов. Математика.—1963.—Т. 7, № 6.—С. 99-121.
Статья поступила 9 ноября 2008 г. НУРМАМЕДОВ МАГАММЕД АХМЕД
Ленкоранский государственный университет, доцент АЗЕРБАЙДЖАН, 4200, Гази Асланов - 50 E-mail: [email protected]
ON THE SOLVABILITY OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR QUASI-LINEAR SYSTEM EQUATIONS OF MIXED AND COMPOSITE TYPE IN A MULTIDIMENSIONAL DOMAIN
Nurmamedov M. A.
Quasi-linear system of mixed-composite type with changing time direction in multidimensional domain is studied. The existence and uniqueness of generalized and regular solutions of boundary value problem are proved in weighted Sobolev space.
Key words: systems of mixed-composite type, forward-backward equation, weighted Sobolev space, regular and generalized solution, methods of continuation by parameter.
