О разрешимости краевой задачи с интегродифференциальным граничным условием для некоторых классов уравнений составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА А. М, Абдрахманов

Пусть Л — ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — есть цилиндр Л х (0,Т) конечной высоты Т, S = Г х (0,Т), aj(x), bj(x), Ьъ{х), i,j = l,...,n, a0(x), b0(x), ak{x), k = l,...,n, N(x,y),

f(x,y,t) — заданные при x G О, у G 0, t G [О, T] функции, А, В, £ и L — операторы, действие которых на функции v(x,t) определяется равенствами

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до и).

Краевая задача: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Av = —— (alJ(x)vXj) + ao(x)v,

'i

Bv = btj( x)vXixьг( x)vXi+ bQ(x)v,

Q

Lv = Avtt — Bv

Lu = f(x, t)

(1)

©2011 Абдрахманов А. M.

и такую, что для нее выполняются условия

= О,

и(х, 0) = и(х, Т) = О, х € О.

(2) (3)

Краевая задача (1)-(3) относится к классу задач с нелокальным граничным условием. Подобные задачи активно изучаются в последнее время; достаточно полное представление о состоянии дел в данной проблематике можно найти в монографиях [1,2]. Кроме указанных монографий отметим статьи [3-8] как близкие по постановке и методам исследований. Вместе с тем заметим, что рассматриваемая автором задача с граничным условием (2), сочетающим в себе условия задачи с «косой» производной и задачи с интегральной связью граничных значений решения со значениями его же внутри области, для уравнений (1) ранее не изучалась.

Для доказательства теорем о разрешимости краевой задачи (1)-(3) нам понадобятся предварительные сведения о разрешимости и свойствах решений для одного класса интегродифференциальных уравнений первого порядка.

Обозначим

п

Далее, через V = ^(х) = (VI,..., ип) будем обозначать вектор внутрен-

х

Теорема 1. Пусть выполняются условия

ак(х) е С2(П), к = 1, .. ., п, а0(х)£С2( П), М(х,у) € С2(П х П);

ао(х) ~ т;ахк(х) — ^о ^ «о > 0, х € Л;

к

(4)

(5)

(6)

«1 > о, ж е п, ее К";

а0(х) - -ак (х) V £?. 4- ^ Г^А,А, 4- <ук Г-тЛА.-А, > Р2

2 к

«2 > 0, ж £ П, ^ ё К, г, = 1, .. ., п;

х)^к < О, х £ Г.

(8)

Тогда для любой функции ю(х) из пространства уравнение

1и = V

имеет единственное решение, принадлежащее (О), причем для этого решения будут выполняться оценки

с постоянными Ш1 и Ш2, определяющимися лишь функциями

М(х, у), ак(х), к = 1,... ,п, а$(х), а также областью П.

Доказательство этой теоремы приведено в [9]. Вернемся к краевой задаче (1)-(3).

Определим необходимые пространства. Именно, пусть Уд — про-

У = &(х,г): £ У0, ví(х,г) £ У0, vtЛ(х,г) £ У0}

с нормой 11V П V = IIV П ^ Н- |Ык + |\vtt\Wo.

Пусть коэффициенты операторов А, В и I настолько гладкие, насколько это необходимо (более точные условия будут даны ниже). Опре-АВ

АВ

раторами с частными производными не выше второго порядка. Для этих операторов на функциях ^х, ¿) го пространства У имеют место неравенства

||и||ь2(П) < тоМь2(п), ЬУ^П) < т1

(9)

о

страпство Ь2 (О, Т; ) П ^(П))

Аи = 1Аи - А1и, Вхи = 1Ви - В1и.

||АН|12(д) < «1М12(о,т-^(П))>

(10)

с некоторыми числами ^ и 61, определяющимися лишь функциями а1^ (х), Ьгз (х), Ъ®(х), ак(х), 1, .. . , п, а$(х), Ъо(х), а(х) и ^(х, у).

Далее, если выполняются условия теоремы 1, то неравенства (10) и

(11) можно продолжить:

11АНИ2(Ч) < а 1МЦ2(0,Т;Ж|(П)) < а1т2 1Н112(0,Т;Ж|(П))> (12)

^Н1!^) ^ Ъ 1М1ь2(0,Т;Ж|(П)) < Ъ1т2 У^У^о.Т^П)). (13) Пусть оператор А эллиптичен в П. Рассмотрим задачу: найти функцию Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Л'Ши = F(x,t) (14)

и такую, что для нее выполняются условия

|,5 = 0, 0) = Т) = 0, х еП. (15)

Очевидно, что если дополнительно выполняется условие

ао(х) ^ 0,

то при принадлежности функции F(x, Ь) пространству и при

нужной гладкости коэффициентов а®^х) и ао(х) задача (14), (15) будет разрешима в пространстве V- Более того, для решений задачи (14),

(15) при выполнении вышеуказанных условий справедлива оценка

II* < к , (16)

в которой ко определяется лишь функциями а®^ х), г,^ = 1,... ,п,

ах

Заметим также, что для оператора 5 при выполнении соответствующих условий гладкости имеет место неравенство

||в^и2(д) < Ъо). (17)

Теорема 2. Пусть выполняются условия (4)—(8), а также условия (х) е С2 (П), (х) € С2(П), г, ^ = 1,... , п,

а0(х) € С(0), Ьо(х) €= С(П); ^

а'ЧхШз > «о|С|2, «о > о, X е П, £ е М"; (19)

а0(х) < О при х € О; (20)

к0[(я1 + &1)т2 + М < 1. (21)

Тогда для любой функции ¡(х,г) такой, что ¡{х,г) £ ^(Я), £/(х,г) £ ^{Я) краевая задача (1)-(3), имеет решение и(х, г) такое, чтои(х,г) £ У, £и(х,г) £ у.

Доказательство. Обозначим для краткости через Ш множество функций

Ш = : £ У, £^х,г) £ У}.

Пусть д{х,Ь) — функция из пространства ^(Я). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

А(£и)« - В£и + Агии - Вхи = д(х, г) (22)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Докажем, что эта задача имеет решение и(х, г) такое, что и(х, г) £ Ш. Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,~Ь), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

А(£и)и + ААип - В£и - Вги] = д(х, 1) (22л)

А

краевая задача, как уже говорилось выше, имеет решение ад = £и, при-

У

мой разрешимости условия содержатся в условиях (18)-(20)). Далее, согласно теореме 1 по функции можно определить функцию

и(х,~Ь), и эта функция вследствие выполнения условий (4)^(8) также

У

ча (22о), (2), (3) имеет решение и(х, г), принадлежащее Ш. Чтобы теперь доказать, что все задачи (22л), (2), (3) разрешимы в классе Ш,

согласно теореме о методе продолжения по параметру [10] достаточно показать, что для всевозможных решений этой задачи имеет место равномерная по Л оценка

IMk + ||iu|k < K (23)

с постоянной K, определяющейся лишь функциями аj (ж), bj (ж), b®(ж), ak(ж), i, j, k = 1,... , n, ао(ж), Ьо(ж), Ж(ж, y) и #(ж, t), а также областью П.

Положим

^(ж, t) = $(ж, t) — Л[Аии — Blu — Biu], ^(ж, t) = 1и(ж, t). Оценки (16), (12), (13) и (17) дают неравенство

INIv < h|M|l2(Q) + (k0aim2 + + &obim2)IHki.

Из этого неравенства и из условия (20) вытекает требуемая оценка (23).

Как говорилось выше, из оценки (23) следует разрешимость в пространстве V всех задач (22д), (2), (3) при Л G [0,1]; в частности, получаем, что и задача (21), (2), (3) будет разрешима в пространстве V- Рассмотрим эту задачу для специальной функции #(ж, t): #(ж, t) = 1/(ж^). Уравнение (21) для такой функции /(ж, t) можно записать в виде

l(Autt — Bu — /(ж^)) = 0.

Отсюда и из условий теоремы 1 следует, что для функции и(ж^) вы-

u ж, t V u ж, t

представлять собой искомое решение краевой задачи (1)-(3). Теорема доказана.

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости уравнения lu = v и тем самым краевой задачи (1)-(3). Обозначим

п к/ \ д

(-0 = 0; (ж)---h «о-

джк

Пусть Жо(ж,у) — решение уравнения

10Ж0(ж,у) = Ж(ж,у) (24)

y

нении условий (4), (6)-(8), а также условия

ао(х) — 2ахх(х) ^ «о > 0, х € О, (5')

уравнение (24) разрешимо.

Теорема 1'. Пусть выполняются условия (4), (5'), (6)-(8), и пусть интегральный оператор G, действие которого па функциях <^(ж) определяется равенством

(0^)(ж) = <^(ж) — J Ж0(ж, yV(y) dy, fi

непрерывно обратим как оператор из L2 (О) в L2 (fi), при этом для всех функций из L2(0) выполняются неравенства

Yi У^ЫП) < ||GHU2(fi) < Y2 УИ^С«Ъ 0 < Y < Y2 < + го. Тогда для любой функции v^) из пространства Wf (fi) уравнение

lu v

имеет единственное решение, принадлежащее пространству Wf (Л), причем для этого решения будут выполняться оценки (9). Доказательство. Пусть Цж) есть решение уравнения

low = v.

Определим функцию и(ж) как решение интегрального уравнения Фред-гольма второго рода

и(ж) — J Ж0(ж, y)u(y) = Цж). п

Очевидно, что при выполнении условий теоремы функция и(ж) корректно определена и принадлежит пространству Wf (fi). Эта функция

lu v

Теорема доказана.

Теорема 2'. Пусть выполняются условия теоремы (1'), а также условия (18)-(21). Тогда для любой функции f(x,t) такой, 4Tof(x,t) £ L^iQ), £f(x,t) £ L^iQ), краевая задача (1)-(3) имеет решение u(x,t) такое, что u(x,t) £ У, £u(x,t) £ V.

Доказательство теоремы проводится вполне аналогично дока'

'

потребовать, чтобы оператор B был эллиптическим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Skubacbevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. Boston, MA: Birkhauser, 1997.

2. Нахушев A. M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными граничными условиями для гиперболического уравнения //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.

4. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

5. Пулькина Л. С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 8. С. 1084-1089.

6. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. (Казахстан). 2009. Т. 9, № 2. С. 78-92.

7. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12.

8. Абдрахманов А. М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнений нечетного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 88, вып. 2. С. 163-172.

9. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с косой производной для (2m + 1)-параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 3-11.

10. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Уфа

1 августа 2011 г.