О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВИДА Н. С. Попов

Аннотация. Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, пространство Соболева, начально-краевая задача, метод продолжения по параметру, априорные оценки, регулярное решение.

Введение

Нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе в одномерном по пространственным переменным случае рассматриваются в [1—3]. В многомерном случае исследования подобных задач ранее относились к гиперболическим уравнениям (см. [4]), псевдопараболическим уравнениям [5], но многомерные псевдогиперболические задачи с интегральным условием на боковой границе ранее не изучались.

1. Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область пространства К" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр О х (0,Т) (0 < Т < 5 = Г х (0,Т) — его боковая граница, Ьу (х, £), Ь(х,Ь) и / (х,£) —

заданные в цилиндре (3 функции, щ(х), их(ж) — заданные на множестве О функции, К{х, у, £) — функция, заданная при х, у £ О, £ £ [0, Т].

Краевая задача I. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

д " д Ьи=—(щ-Аи)-Ви = /(х,Ь), Ви= V — (ЬгЦх)иХ]) + Ь(х,1)щ (1) д£ дх» 7

такую, что для нее выполняются условия

и(ж, 0) = ио(ж), и4(х, 0) = и1(х), х € О, (2)

^^^(х^ев = J к(х,у^)и(у,^) Ау

(3)

(х,г)ев

© 2014 Попов Н. С.

Краевая задача II. Найти функцию п(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются начальные условия (2) и условие

дп(х, Ь)

{х,г)ев

ди(х)

= ^ К(х,у,1)п(у,1) ¿у

, (4)

(х,Г)ев

п

где у(х) = (^1,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке. Предполагаем выполнение условия эллиптичности на оператор В:

п

Ъ^(х) = Ъ?»(х), ]Г Ъ^(х)&^ > а(С? + С? + ■ ■ ■ + СП), а > 0, & е КП. (5)

»,¿=1

2. Разрешимость краевой задачи I

Определим оператор М по формуле

(Мп)(х, Ь) = п(х, Ь) — J К(х, у, Ь)п(у, Ь) ¿у. п

Оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(0) в Ь2(0) при всех Ь е [0, Т], и существуют положительные постоянные т1, т2 такие, что выполняются неравенства

п?(х, ь) ¿х <1[мп(х, ь)]? ¿х <т?! п?(х, ь) ¿х (6) п п п

при любом Ь е [0, Т] и п(х, Ь) е Ьто(0, Т; Ь2(0)). Определим пространство

V = {у(х, Ь) : у(х, Ь) е Ьос (0, Т; ^22(0)),

уг(х, Ь) е Ь?(0, Т; W2(n)) П Ьто(0, Т; W2¡(n)), уи(х, Ь) е Ь?^)},

норму в V определим естественным образом:

\М\у = \М\ь^(0,Т;^22(п)) + \Ы\ь2(0,Т;Ш22(П)) + \Ы\ь,х(0,Т;^(П)) + Ьи\\ь2(Я).

Введем обозначения:

ЬМп(х, Ь) — МЬп(х, Ь) = Ф(х, Ь,п), щ = Мп,

и будем рассматривать уравнение относительно щ

Ьщ = д(х, Ь) + Ф(х, Ь, М-1щ), д(х, Ь) = М/,

которое, как показано ниже, эквивалентно исходному уравнению (1). Имеем

Ф(х, Ь, п) = ЬМп(х, Ь) — МЬп(х, Ь)

= I[—Ки(х, у, Ь) + АхКг(х, у, Ь) + ВХК(х, у, Ь) — К(х, у, Ь)Ъ(у, Ь)]п(у, Ь) ¿у п

+ 1[АхК (х,у,Ь) — 2Кг(х,у,Ь)]щ(у,Ь) ¿у — ^ К (х,у,Ь)Ау щ(у,Ь) ¿у пп

п ,,

— ^ J К(х,у,г)№ (у)пуз )ш ¿у,

»,¿=1

п

где

" д

Вхи= —(Ь13(х)иХ])+Ь(х,Ь)и, »,¿=1 »

" д

вуи= аг(6!3(!/К)+%.{К

»,¿=1

Введем обозначение

^2/

(8)

Q0 = шах / / К (х, у,Ь) ¿х^у. (7)

<е[о,т} о о

Теорема 1. Пусть выполняются условия (5), (6) и, кроме того,

Ь{х,г) € С1^), € Со1^) (¿,^ = 1,...,п),

>Ъ0> 0 при (х, £) € (5, К(х, у, £) € С3(0 ХЙХ [0,Т]),

1 - > о при ¿0 е (о, ^

/(х,Ь) € ¿2^), ио(х) € Ж2(О) П ^2(О), и1(х) € Ш1(О).

Тогда краевая задача I имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию ад(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьад = д(х,Ь)+ Ф1(х,Ь,ад), и = М-1ад, д(х,Ь) = М/, (9)

и удовлетворяющую условиям

ад(х,Ь)|в = 0, ад(х, 0) = ад0(х), ад((х, 0) = ад1(х), х € О, (10)

где

и(х, 0) — / К(х, у, 0)и(у, 0) Ау = ио(х) -IК(х, у, 0)ио(у) Ау = ад°(х), о о

и4(х, 0) — ^ [К (х, у, Ь)и(у, Ь)](|(=о Ау о

= и1(х) — ^ [К((х, у, 0)ио(у) + К(х,у, 0)и1(у)] ¿у = ад^х), о

Ф1(х,Ь,ад) = Ф(х,Ь,М-1ад).

Докажем, что при выполнении условий теоремы краевая задача (9), (10) разрешима в классе Ш = {г>(х, Ь) : г>(х, Ь) € V, ад(х, Ь) = Мг>(х, Ь) € V} для любой функции д(х,Ь) такой, что д(х, Ь) €

Воспользуемся методом продолжения по параметру. Именно, для чисел А из отрезка [0,1] определим семейство операторов {Ьд}: Ьдад = Ьад — АФ1(х, Ь, ад).

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию щ(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ь\щ = д(х,Ь) (7л)

при выполнении условий (10). Обозначим через Л множество чисел А е [0,1], для которых краевая задача (7л), (10) разрешима в классе W для произвольной функции д(х, Ь) такой, что д(х, Ь) е Ь2(Q). Покажем, что множество Л совпадает со всем отрезком [0,1], что означает разрешимость краевой задачи (9), (10) в требуемом классе.

Прежде всего убедимся, что множество Л непусто. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию щ(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (7л) при А =0:

Ьщ = д(х, Ь)

при выполнении условий (10).

Как следует из результатов работ [6-8], при выполнении условий теоремы эта задача имеет решение, принадлежащее пространству W.

Пусть щ(х, Ь) — решение краевой задачи (7л), (10) из пространства W. Если имеет место априорная оценка в том же пространстве W, то задача разрешима при А е [0,1] (см. [9]).

Для получения априорной оценки умножим уравнение (7л), записанное в переменных х и т, на функцию щт —Ащт и результат проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до Ь. Таким образом, преобразуем равенство

г г

Ьщ(щт — Ащт) Ах Ат = J !(д + АФ1)(адт — Ащт) АхАт. 0 п 0 п

Интегрируя по частям и считая, что по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до п, с учетом краевых условий (10) придем к равенству

— J (ж, £) ¿х + п 0 п

ХК т )2 + (Ащт )2

»=1

Ах Ат

г

+ —У Ь1-'(x)wXi(x,t)wXj(x,t) Ах — — J b(x,t)w2 (х,1) Ах + — J J Ьтъи2 с1хс1т

п п о п

„г г

+ — ^^ j 1их.т(х,1)Ах + ! j Атт АхАт + j ^ Ь^га^.Дш,- АхАт

»=1 п о п о п

п г п п г

— J ! Ьхяу1ух¿т АхАт — ^ J Ъ(х, 1)ъих. (ж, Ь) Ах + — ^^ J ^ Ьттх. АхАт »=1 о п »=1 п »=1 о п

= — У ио\{х) Ах + — J Ь1-' (ж)г<7ож; (ж)г<7ож3- (х) Ах — — J Ь(х, О)т^(х) Ах

п п п

п г

+ ±531 [уо\х.{х)-Ъ{х,0)уо1х.{х)]Ах + ! j(g + ХФ1)(^пт - Атт) АхАт. (И)

г

оо

Рассмотрим оценку интеграла / / ЬуадХ;Хз- Аадт ¿х^т. Используя (5), (8),

оо

получим

Ьу адх. х - Аадт ¿х^т =

1 " Л " Л

= 2 XI / Ъ13{х)1иХзХк{х,1)1иХ1Хк{х,1)<1,х > - / 1и2ХгХк{х,1)<1,х. (12)

к—1 —1

С помощью (5) аналогично имеем

— J Ьу (ж)аджДж, ^ад^. (ж, £) ¿ж > — ^^ J ъи2.(х,1) в,х. о »=1 о

Рассмотрим оценку интеграла / / и2(у,т) ¿уАт через функцию ад. Из ра-

оо

венства ад = Ми следует, что

ит (у,т) — J К (у, г,т )ит (г,т) ¿г = адт (у,т)+ J Кт (у,г,т )и(г,т) Аг.

Используя (6) и неравенство Юнга, получим

J и2т{у,т)йу < J У0т{у,т) + J Кт{у,г,т)и{г,т)йг

¿у

<

т1

У ад2 (у, т) ¿у + 2^1 |^т (у, т )| • У Кт (у, г,т )и(г,т) ¿г

¿у

оо

оо

+/(/Кт (у,г,т)и(г,т) ^ ¿у+/(/Кт (у,г,т)и(г,т) ^ ¿у

о о

< — [ 1Л2(у,т)6у + С! [ и2{у,т)йу о о

<— [ ™1{у,т)<1у + — [ ад2(у, т) ¿у. (13) ™1 7 ™1 ]

Иначе оценку можно получить, как в [5], с малым параметром 01, который

2

1

подберем позже:

j иЦу,т)Ау < ! 1л2(у,т)Ау + 8\ j 1л2(у,т)Ау

1

2

+ I КАу,г,г)ф,г)4г) Ау + / ( / КАу, г,г)и{г,г)Аг ) Ау

п п п п

2

<

1 + ¿2

12

т1

щ2т(у,т) ¿у + сп2(у,т) ¿у

<

1 + ¿2

т1

1 /Г(14)

т т1

Для того чтобы оценить в (11) интеграл

Ф1(щт — Ащт) ¿хАт,

(15)

о п

рассмотрим оценку интеграла от Ф(х, Ь, п) вида

[АхК(х, у, т) — 2Кт(х, у, т)]пт (у, т) ¿у (щт — Ащт) ¿,хв,т

о п п г

< / / /([А.^-г^]2^^,^^)2 и2т{у,т)йу \Wr~AWr\dxdT

о п п

< — / / (ш,- - Аадт)2 сЫт

оп

+ Щ I I \ !\АХК -2Кт\г(х,у,т)с1у)[ / игт(у,т)с1у)с1хс1т

о п п

г г

-?/ f(wт-Awт)2dxdт + ^ / ! игт(у,т)с1ус1т. (16)

- - 2£о2

о п о п

Продолжая неравенство (16) с учетом (13) и неравенства Юнга, получим г

J ! ^ У [АхК(х,у,т) — 2Кт(х,у,т]пт(у, т) ¿у )(шт — Ащт) dxdт о п п

¿2

(«7Т — Д«7Т)2 (¿Ыт + 2 I I 11?т (ж, т) (¿Ыт

< ^ I , Л... А2

оп

оп

+

С 1С2 2¿2m1

щ2 (х,т) в,х<1т. (17)

оп

г

г

г

г

г

г

Для того чтобы оценить в (15) интеграл вида

^ J К (ж, у, т )Ду ит (у, т) ¿у^ (Шт - ДхШт) ¿ж^т, о о о

поступаем, как в [5]. Применяя оценку (14), имеем <

J ! К (ж, у,т )Ду ит (у,т) ¿у^ (шт — Дшт) ¿ж^т

о о о

-~2 i i ~ Аадт)2 сМт +

] ¡(\иТПу,т)<1у<1т, (18) о о

оо

где задано формулой (7).

Зафиксируем ¿о € (0, и потребуем выполнения неравенства (8):

— 1 «о

которое очевидно выполняется при малых |К(ж, у,£)|. Подбирая малое ¿1 > 0, применяя неравенство Юнга и используя лемму Гронуолла в равенстве (11), из неравенства

(19)

Р —

получим априорную оценку

Т Г Г п

)2 + (дш )2 + (Ш«)2

г=1

¿02т1

>0

(20)

оо

+

ад°(ж,£)+ ^^ (ж, £) ¿ж + ^^ ад2, (ж, £) + ад2(ж, £)

,к=1

г=1

¿ж

< К0 J ! д2(ж,4) ¿ж^ (21) оо

с положительной постоянной Ко, определяемой лишь функциями (ж), Ь(ж, £), числами Т, а, а также областью О.

Очевидно, что аналогичная оценка имеет место и для функции и(ж,£):

1М|у < КоУшУу < К^дН^д),

(22)

где Ко, К1 — положительные постоянные, К1 определяется теми же величинами, которыми определяется Ко.

Из оценок (21), (22) следует открытость и замкнутость множества Л (см. [1,4]). Следовательно, краевая задача (9), (10) разрешима в классе Ш.

Как в [5], можно показать, что с помощью решения вспомогательной краевой задачи (9), (10) можно найти решение исходной краевой задачи (1)—(3). В частности, уравнение (1) эквивалентно уравнению (9), так как (9) имеет вид = М/ + Ф, откуда = М/ + ЬМи — МЬи, т. е. М— /) = 0. Единственность решений очевидна: она вытекает, например, из неравенства (22). Теорема доказана.

1

3. Разрешимость краевой задачи II

Рассмотрим краевую задачу II: найти функцию и(ж,*), являющуюся в цилиндре « решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются начальные условия (2) и условие (4) .

Доказательство разрешимости краевой задачи II проведем без перехода к нагруженному уравнению [7] вида (9) с краевыми условиями (10).

Введем обозначение

«1 = шах / / К°(ж,у,£) ^¿у. (23)

*е[о,т7

2

К

г о

Теорема 2. Пусть выполняются условия

п

Ь* (ж) = Ь* (ж), а ^ £ < Е Ь1' (ж)6< в X , а, в > 0,6 € Кп, (24)

¿=1 2,'=1 2=1

кроме того,

ь{х,г) е с1^), №{х) = 1,...,п),

-6(ж, >Ъ0> 0 при (ж, £) € (5, еС3(ПхПх [0,Т]),

/ 2 ^ (25) 1 - > 0, 2 - 62 - ¿2/3 > о при 62 € 0, -— „

V 1 + в,

ио(ж) € Ж°2(О) п ^ 1(О), И1(ж) € ^ 1(О), /(ж,*) € ¿2(«)-

Тогда краевая задача II имеет решение и(ж, принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Для получения априорной оценки умножим уравнение

(I), записанное в переменных х и т, на функцию ит + — Дит и результат проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до Таким образом, преобразуем равенство

• (ит + 2Итт — в,х(Л,т = J ! /(ж, т) • + 2Итт — ¿ж¿т.

о о о о

Интегрируя по частям, с учетом краевых условий (2) придем к равенству вида

(II), в котором Ф1 = 0, т. е. к равенству вида

— J X, £) ¿X +

2 1 т о о о

п1

¿ж^т

+ (Аит)2 + ^тт?

г=1

+ j ! Их.тИтV — J ! Ь*Их3 ИтV ¿ЙХ^т

г=1о г о г

+ — У Ь1-' (х)иХ{ (ж, Ь)иХ1 (ж, £) ¿ж — — У Ь(х, ¿)и2(ж, £) с1х + — J J Ьти2 в,хв,т

4

- 2 X/ У У иттиттЩ г1Бхг1т + У У ЬииХ{ТЩ г1Бхг1т

»=1 о г »=1 о г

п г г

+ — 'УЗ У + У У с!,Хс1,Т + У У Аит йжйт

»=1 п о п о п

п г п п г

— УЗ У У ЬХ{ииХ{Т (1хс1т — 3 У 1)их. (ж, ¿) С?Ж + ^ УЗ У У Ьт11х.с1,хс1,т

г г

- / / &у иЖз.иттг/г с^йт - - / / Ъгзихлтих,т<1х<1т

ог

оп

г

+ — У Ь1-' (х)иХ1 (ж, 1)их^(х, Ь) йхйт + — У У [бтгшт + Ьг/,2] ¿жв,т

1

1

оп 1

— / Ь(х, £)и(ж, ¿)и4(ж, £) ¿ж = — / и1(ж)с?ж + — / Ь1-1 (х)щХ1 (ж)иож - (ж) ¿ж

2

2

~~ 2 У Кх^)ио(х) <¿£ + 53 У

О »=1 о

2

¿х

1 Г 1 г

— / Ых, 0)ио(ж)их(ж) ¿ж Н— / Ь4 (х)щх (х)и1Х. (х) ¿х

2 1 2 1

+ .1 .1 ^ ' (пт — Апт) ¿х^т. (26)

оп

Получение априорных оценок вполне аналогично получению априорных оценок при доказательстве теоремы 1, достаточно лишь показать оценки следующих граничных интегралов:

п г г

53 / / Пх.тПтV» ¿Бхйт,

ог

ог

Ъ»Пх3ПтV» ¿Бх^, ^3 53 / / Ъппх*тV» ¿Бхйт,

Пх тПттV» ¿Бх^т,

ог

Ъ» Пх,- Птт V ¿Бх^.

(27)

ог

ог

Докажем оценки для третьего и пятого интегралов в (27). Преобразуем третий интеграл:

Е

»=1

Пх тПттV» ¿Бх^ — —

дпт-дv

-ит <1Бхс1т

ог

ог " дщ

щ йБх — [^г-иг йБх. дv / дv

г

г

г

г

г

г

78

Н. С. Попов

Используя краевые условия (4) в первом интеграле правой части (28), имеем

дит, д^

-ит ¿Бт(1т =

ог

! (К (ж,у,т )итт (у,т )

о г о

+ 2Кт(ж, у, т)Ит (у, т) + Ктт(ж, у, т)и(у, т)) ¿у

ит ¿йХ^т, (29)

откуда, используя неравенства Юнга, получим

ог

дит, д^

+ ■

< - у j ит ¿Бх(1т ог

о г о

J К (ж, у,т )Итт (у, т ) ¿у + 2J Кт (ж, у,т )Ит (у, т) ¿у

^¿т. (30)

+ 1 Ктт (ж, у, т )и(у,т) ¿у о

Первое слагаемое в (30) оценим с помощью интегрального неравенства

J и2 (ж, т) < 52 ^^ J иХ;т (ж, т) ¿ж + С и2 (ж,т) ¿ж. (31) "=1 о

2=1;

Имеем

1 4 5 П 4 С 5 *

° (1БХ(],Т < / / + 2

2 ' ' Мт ог

2= 1

2

и2 ¿ж^т. (32)

оо

оо

Для оценки второго слагаемого в (30) воспользуемся неравенствами Юнга, Гель-дера, а также неравенством (а + 2Ь + с)2 < 3(а° + 4Ь2 + с2):

о г о

У К (ж, у, т )итт (у, т) ¿у + 2^1 Кт (ж, у, т )ит (у, т) ¿у

о

+ 1 Ктт (ж, у, т )и(у, т) ¿у

<

(у,т) ¿у / К2(ж,у,т) ¿у

о г о

+ 2 / и2(у, т) ¿у / К2(ж,у,т) ¿у

+ / и2(у, т) ¿у / К°2т(ж,у,т) ¿у

<

4 4

У У I и2тт(у,т)<1,у I К2(х,у,т)<1,у + А ! У У и2т(у,т)(1,у У К2{х,у,т)<1,у

о г о

ого

4

4

4

4

4

1

2

4

4

1

2

2

и

2

2

2

2

3

У u2(y,r) dy ■ j Krr(x,y,r) dy

+ 1 U о

dSXdr

< 4Qi / / u2T(y, т) dydr + Ci

0 о

u2(y,r) dydr + / / u2 dydr

L о о

о о

(33)

где Ci — наибольшее значение Kt2(x,y,t), Kt2t(x, y, t) по области Г x О x (0,T). Второе слагаемое в правой части равенства (28) оценивается аналогично:

f dut

dv

ut dSX

< ¿2^ У uXit dx + C(¿2) У

i=1 о о

У u2(y,r) dy + f u2 dy

u2 dx

+ Ci

оо Рассмотрим пятый интеграл в (27). Имеем t t

uIj utt V dSxdr = — У У uIj t ut V dSxdr о г о г

(34)

+ У uIj utVî dSx — j uoj uiVî dSx. (35)

гг

Для первого интеграла в правой части равенства (35) аналогично оценке интеграла (28) получим

uXjTutV dSxdr

о г

< в

ог

duT dv

dSXdr

= в

о г о

|uT | dSxdr

в

У(K(x, y,r)ut(y, r) + Kt(x, y, r)u(y, r)) dy t

dr + ^y У У K(x,y,T)uT(y,r)dy о г о

/ 2 ¿в n t f' Кт(х, y, т)и(у, т) dy dSxdr </ / u2.TdxdT

u2 dSxdr +

ог

+

2

u2 dxdr + C2

оо

t t

u2(y,r) dydr + J У u2 dydr о о о о

(36)

где С2 — наибольшее значение К2(ж,у,*), К2(ж,у,*) по области Г х О х (0,Т). Как и выше, при выполнении условий (24)

основная априорная оценка будет определяться положительной постоянной К3 в правой части, определяемой лишь функциями Ь(ж,*), числами Т, а, в, Ьо, а также областью О. Имеем

|u||v < КэУ/||L2(q).

(37)

t

t

t

t

t

u

т

t

t

Единственность решений краевой задачи II в пространстве V очевидна из априорной оценки (37). Теорема полностью доказана.

Замечание. В теоремах 1 и 2 от условий -b(x, t) > b0 > 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию b(x, t) и их производные.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 6. С. 747-749.

2. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным условием Бицадзе — Самарского для линейных гиперболических уравнений // Докл. АН. 2010. Т. 432, № 6. С. 738-740.

3. Lazetic N. On classical solutions of mixed boundary problems for one-dimensional parabolic equation of second order // Publ. l'Inst. Math., Nouv. Ser. 2000. V. 67. P. 53-75.

4. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

5. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 1. С. 82-95.

6. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

7. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

8. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

9. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

Статья поступила 18 июня 2014 г. Попов Николай Сергеевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 [email protected]