CC BY
112. Карликов В.П., Толокоппиков С.Л. О зависимости периода автоколебаний купола конического струйного аэратора от ширины струи в выходном сечении кольцевого сопла // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 3. 65-68.
3. Deswal S., Verma D. V.S. Performance evaluation and modeling of a conical plunging jet aerator // Int. J. Math. Phys. and Eng. Sci. 2008. 2, N 1. 335-339.
4. Bin A.K. Gas entrainment by plunging liquid jets // Chem. Eng. Sci. 1993. 48. 3585-3630.
5. Kusabiraki D., Niki H., Yamagiwa K., Ohkawa A. Gas entrainment rate and flow pattern of vertical plunging liquid jets // Can. J. Chem. Eng. 1990. 68. 893-903.
Поступила в редакцию 11.09.2014
УДК 533.5
О РАЗДЕЛЕНИИ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ ПРИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ТЕЧЕНИИ ЧЕРЕЗ КОЛЕБЛЮЩУЮСЯ МЕМБРАНУ
В. Л. Ковалёв1, В. В. Косьянчук2, А. Н. Якунчиков3
Проведено исследование свободномолекулярного течения газа через колеблющуюся в своей плоскости мембрану. Определены оптимальные параметры колебаний для наиболее эффективного разделения газов, различающихся молекулярной массой.
Ключевые слова: мембрана, сепарация газов, высокочастотные колебания, микроэлектромеханические системы, наноэлектромеханические системы, свободномолекулярное течение.
A free molecular gas flow through a membrane vibrating in its plane is studied. Optimal vibration parameters are determined for the most efficient separation of gases with different molecular masses.
Key words: membrane, separation of gases, high-frequency vibrations, microelectromecha-nical systems (MEMS), nanoelectromechanical systems (NEMS), free molecular flow.
Мембранные технологии востребованы во многих областях, но главным образом они применяются для фильтрации и очистки жидкостей и газов, разделения смесей и как функциональные компоненты современных микро- и наноэлектромеханических систем. В работе авторов [1] изучалась возможность использования колеблющихся с высокой частотой трековых мембран в качестве диффузионных мембран для разделения газов; было показано, что, варьируя частоту и амплитуду колебаний мембраны, можно управлять ее проводимостью для того или иного газа и в итоге добиться эффекта сепарации газов. Цель настоящей работы — найти оптимальные значения параметров колебаний для наиболее эффективного разделения газов.
Постановка задачи и метод решения. Изучается движение многокомпонентного газа в колеблющейся в своей плоскости мембране толщиной L, состоящей из прямолинейных цилиндрических каналов радиуса R и соединяющей два объема. Начальные давления в объемах — р\, р2-Температуры в объемах равны, совпадают с температурой мембраны и поддерживаются постоянными: Т\ = Т2 = Tw (Tw — температура мембраны). Мембрана движется как абсолютно твердое тело, закон движения оси канала мембраны имеет вид (хс,ус) = (0,Asin(wt + ф)), где хс, ус — координаты оси (направлена по z ), А и со — амплитуда и частота колебаний. Считается, что протекающий газ не оказывает влияния на движение канала, а температура стенки постоянна вдоль канала и не меняется со временем. Молекулы моделируются как материальные точки, их внутренние степени свободы не учитываются. Предполагается, что течение в канале свободномолекулярное с максвелловским распределением скоростей молекул на входе, соответствующим температуре объемов. Взаимодействие молекулы газа с поверхностью канала описывается в терминах ядра рассеяния. Для конкретной комбинации газа и материала мембраны параметры ядра рассеяния (и сама модель
1 Ковалёв Валерий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: valerykovalevQyandex.ru.
2 Косьянчук Василий Викторович — студ. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasïlïy _ ksnk® mail .ru.
3 Якунчиков Артем Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: art-yaömail.ru.
рассеяния) могут быть подобраны из траекторных молекулярно-динамических расчетов [2-5]. Выбор теоретической модели для описания рассеяния в некоторых задачах оказывается принципиальным. Например, использование зеркально-диффузной модели Максвелла в задаче о транспирации приводит к результатам, качественно отличающимся от эксперимента [6], а ядро Черчиньяни-Лэмпис не допускает зависимости коэффициентов аккомодации от энергии падающих на поверхность молекул. В настоящей работе используется ядро рассеяния Максвелла с полной аккомодацией энергии и импульса — предельный случай для всех теоретических моделей.
В исследуемой модели пять определяющих параметров: R, L, А — радиус, длина и амплитуда колебаний канала, ш — частота колебаний, vm = л/2кТ/т — наиболее вероятная скорость молекул газа (здесь к — константа Больцмана, Т — температура в объеме, m — масса молекулы газа). Для удобства вычислений и анализа результатов задача решается в безразмерных переменных. В данной модели имеются всего две основные размерности — длина и время, и для обезразмеривания были выбраны переменные R, vm:
г' = — А' = — L' = — и' = — t' = — и/ = —
R' R' R' Vm R ' Vm
Здесь r, £ — координата и время, r', t' — их безразмерные аналоги. Согласно 7г-теореме, вероятность прохождения канала Р является функцией трех безразмерных комбинаций, составленных из пяти исходных параметров. В качестве таких комбинаций были выбраны безразмерные длина и амплитуда колебаний канала, а также отношение характерных скоростей колебания канала и движения молекул:
U-- А' — — С-—-
T") J Л — „) С — 1
R R vm
далее штриховые индексы опускаются и предполагается использование безразмерных переменных. Значения параметра с зависят от характерной скорости молекул и, следовательно, различаются для разных газов. Поэтому чем сильнее вероятность Р зависит от с, тем существеннее отличаются значения проводимости для разных газов. Пусть даны два газа с молекулярными массами т,\, m2. При заданных параметрах колебаний мембраны этим массам соответствуют значения параметров с\, С2 и вероятности прохождения канала P(L, А, с\), P(L, А, С2). Заметим, что значения с\, С2 связаны соотношением
k _ £1 _ Vm2_ _ frnï
С2 V V m2 '
Без ограничения общности предположим, что P(L, А,кс) > Р(Ь,А,с). Тогда при заданном к значения параметров L, А, с будут оптимальными с точки зрения разделения смеси, если величина P(L, А, кс)/Р(Ь, А, с), выражающая отношение проводимостей мембраны для двух газов, достигает максимума.
Задача решается методом прямого статистического моделирования Монте-Карло (подробное описание моделирования течения приведено в [1]). Так как рассматривается свободномолекулярный режим течения, то моделирование существенно упрощается и, по сути, сводится к последовательному расчету траекторий большого количества частиц независимо друг от друга. Как ив [1], случайным образом задаются скорость и координата молекулы на входном сечении в соответствии с заданными распределениями. Затем рассчитывается точка столкновения молекулы со стенкой канала. При столкновении с каналом по ядру рассеяния рассчитывается новая скорость молекулы и затем ищется новая точка столкновения. Так продолжается до тех пор, пока молекула не вылетит из канала. В ходе моделирования безразмерные параметры меняются в диапазонах (5-500; 0,1-10; 0-7).
Определение оптимальных параметров. Для исследования влияния колебаний на проводимость мембраны Р ее величина на рисунках нормирована на вероятность прохождения неподвижного канала Pq{L), которая хорошо согласуется с эмпирической формулой Клаузинга [7, 8]:
Р (D = 1 + 0'4L
У ' 1+ 0,95L + 0,15L2'
Далее зависимость P(L, А, с) предполагается уже нормированной.
На рис. 1 представлены зависимости Р(с) при L = 5 для значений А = 1, 2, 5, 10 (а) и для значений А = 1; 0,8, 0,5; 0,2 {б). Из рис. 1 ,а видно, что для А > 1 вероятность Р(с) монотонно убывает при уменьшении А от 10 до 1. Таким образом, проводимость сильнее всего уменьшается с ростом с при А = 1. Из рис. 1, бвидно, что при А < 1 и малых значениях с (с < 0,4) вероятность Р{с) убывает быстрее при наименьшем значении А {А = 0,2). Однако при увеличении с монотонность по А нарушается, и при больших значениях с минимальное значение Р(с) достигается при А = 1.
Рис. 1. Зависимость нормированной вероятности прохождения канала Р/Ра от с при L = 5: а кривая 1 соответствует А = 1. 2 '2, 3 5, 4 10; б кривая 1 соответствует А = 1, 2 0,8, 3 0.5. 4 0.2
Таким образом, амплитуда А = 1 является оптимальной в плане селективности, так как при этом значении А проводимость с ростом параметра с убывает быстрее всего. Расчеты показали, что такой вывод справедлив и для других значений L.
На рис. 2, а представлены зависимости Р(с) при А = 1 для значений L = 5, 10, 20, 50. Отметим, что кривые для различных значений длины канала совпадают с точностью до гомотетии вдоль оси с, т.е. зависимость P(L,c) имеет вид P(f(L) ■ с). Покажем, что в этом случае изменение длины канала не дает улучшения в плане селективности. Действительно, пусть при длине L максимальное отношение нроводимостей для двух газов достигается при некотором значении со:
P(f(L) ■ к с) ,т , с0 = arg max————- (L,k const), P(fW-c)
тогда при любом другом значении длины L' можно добиться такого же отношения выбором значения Cq = {f{L) ■ со)/f(L'). При этом для длины L' не существует такого значения параметра с^, которое доставляло бы большее отношение нроводимостей, чем с'0. В противном случае, возвращаясь к длине L, выбором параметра с\ = (f(L')-c'i)/f(L) получим отношение нроводимостей большее, чем при с, что противоречит исходному предположению.
Рис. 2. Зависимость нормированной вероятности прохождения канала Р/Ра от с при А = 1: а кривая 1 соответствует Ь = 5, 2 10, 3 20, 4 50: б аппроксимирующая кривая (1)
Из рис. 2, а видно, что с увеличением длины канала значение параметра с, необходимое для получения такого же уровня проводимости, уменьшается. Следовательно, значение скорости колебаний, необходимое для получения максимального эффекта разделения газов, также уменьшается. На рис. 2, б представлены точки кривых, изображенных на рис. 2, а, после растяжения каждой из них со своим коэффициентом f{L) вдоль оси с. Этот коэффициент может быть найден по рис. 2, а, например: /(5) = 1; /(10) = 1,21; /(20) = 1,35; /(50) = 1,47. Из рис. 2, б видно, что все точки ложатся на одну кривую. Уравнение аппроксимирующей кривой имеет вид
1 + 0 4с3'75
Р(с) =- --(1)
КЧ 1 + 0,41с2'76 + 0,25с4'76 ' К )
Используя зависимость (1), для любого L можно найти оптимальное значение параметра с как точку максимума функции
_ P(/(¿) ■ кс) 9[ ) PiñL) ■ с) ■
Выводы. Для сепарации с помощью колеблющейся мембраны бинарных газовых смесей в сво-бодномолекулярном потоке:
1) определена оптимальная амплитуда колебаний мембраны;
2) построена аппроксимационная зависимость проводимости мембраны от безразмерной скорости колебаний, позволяющая определить ее оптимальное значение;
3) показано, что изменение длины канала не дает увеличения эффективности, но позволяет снизить необходимую скорость колебаний мембраны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ковалёв В.Л., Косьянчук В.В., Якунчиков А.Н. Свободномолекулярное течение газа через колеблющуюся мембрану // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2014. № 4. 119-124.
2. Yamaguchi Н., Shobatake К., Niimi Т. Molecular dynamic study on rare gas-graphite (0001) surface scattering // Rarefied Gas Dynam.: 26th Int. Symp. 2008. St. Petersburg; AIP Conf. Proc. St. Petersburg, 2008. 647-652.
3. Yamamoto K., Takeuchi H., Hyakutake T. Scattering properties and scattering kernel based on the molecular dynamics analysis of gas-wall interaction // Phys. Fluids. 2007. 19. 87-102.
4. Ковалёв В.Л., Якунчиков А.Н. Коэффициенты аккомодации для молекулярного водорода на поверхности графита // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2010. № 6. 158-165.
5. Sharipov F. Application of the Cercignani-Lampis scattering kernel to calculations of rarefied gas flows. I. Plane flow between two parallel plates // Eur. J. Mech. B/Fluids. 2002. 21. 113-123.
6. Ковалёв В.Л., Якунчиков А.Н. Анализ моделей рассеяния на основе результатов траекторных расчетов // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2012. № 5. 80-87.
7. Knudsen М. The kinetic theory of gases: Some modern aspects. L.: Methuen & Co., 1934.
8. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука, 1965.
Поступила в редакцию 16.06.2014
УДК 531/534:57
АЛГОРИТМ КОРРЕКЦИИ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ВЕСТИБУЛЯРНЫХ МЕХАНОРЕЦЕПТОРОВ ДЛЯ ИМИТАЦИИ ПАССИВНОГО ПОВОРОТА
В. В. Александров1, Т. Б. Александрова2, А. Ангелес Вазкез3, Р. Вега4, М. Рейес Ромеро5, Э. Сото6, К. В. Тихонова7, Н.Э. Шуленина8
Рассматривается возможность коррекции выходных сигналов для инерциальных ме-ханорецепторов вестибулярного аппарата человека с использованием дополнительной информации.
Ключевые слова: биомехатронная система, вестибулярный механорецептор, вестибу-лоокулярный рефлекс.
1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.
2 Александрова Тамара Борисовна — канд. биол. наук, ст. науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.
3 Ангелес Вазкез Алисия — магистр Автономного университета г. Пуэбла, Мексика, e-mail: esoto24Qgmail.com.
4 Вега Росарио — PhD, Автономный университет г. Пуэбла, Мексика, e-mail: esoto24Qgmail.com.
5 Рейес Ромеро Марибель — PhD, Автономный университет г. Пуэбла, Мексика, e-mail: esoto24Qgmail.com.
6 Сото Энрике — PhD, Автономный университет г. Пуэбла, Мексика, e-mail: esoto24Qgmail.com.
7 Тихонова Катерина Владимировна — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.
8 Шуленина Нейля Энверовна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: neshulQyandex.ru.
