О распределении простых чисел в арифметической прогрессии с разностью, равной степени нечетного простого числа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича

Г риндлингера

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ С РАЗНОСТЬЮ, РАВНОЙ СТЕПЕНИ НЕЧЕТНОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА

С. А. Гриценко, М. В. Шевцова (г. Белгород)

Пусть при (1,0) = 1 п(Х,Б,1) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с / по модулю Б.

При Б ^ (1п X)А (Л > 0 — константа) справедлива формула:

п(Х, Б, I) = Щ- + О (Хв-С^) .

Ф(Б) V )

Но для разности Б = рро ^ 3 — фиксированное простое число, можно улучшить этот результат

А. Г. Постникову [1] удалось свести суммы значений неглавного характера по модулю Б, равному степени нечетного простого числа, к суммам Вейля специального вида, которые, даже очень короткие, допускают нетривиальные оценки.

Используя эти соображения, Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков [2] на основе плотностной техники доказали следующий асимптотический закон,

3

справедливый при Б = р^ ^ X8-є (є > 0 — произвольно малое число, М > 0 — произвольно большое число):

т{Х-°-1) = -фщ (1 + О Оп- Х)) •

М. М. Петечук [3] применил открытие А. Г. Постникова к проблеме делителей Дирихле в коротких арифметических прогрессиях. Его доказательство элементарно, то есть не использует средств комплексного анализа. Оно основано на идее работы А. А. Карацубы [4], позволяющей оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме решения аддитивной тернарной задачи.

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ... 57

Мы получили асимптотическую формулу для n(X,D,l) при D = p^ на основе работ Петечука и Карацубы.

Теорема 1. (основная) При (1,Б) = 1, Б ^ X 8 е (1п1пх)2 справедлива формула

Ы X

п(х-°-':) = ш+Я

где Я = —т~т"е—к(1п 1пх)2, 0 < к < 1 — константа.

Доказательство этой теоремы существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей Ь-функции Дирихле в критической полосе, а использует лишь теорему В. Н. Чубарикова [5] о границе нулей Ь-функции.

В основном мы придерживаемся схемы доказательства теоремы Петечука, но вносим в нее изменения, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы значений характера по простым числам.

Теорема 2. Пусть х^произ вольный неглавный характер по модулю Б рт, а ^ Б \ п > 0 — константа. Тогда справедлива оценка:

x(p)

a<p^2a

< ae-c (lnln D)2

где О < c < 1 — константа.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. — 1955. — 19, № 1. — С. 11-16.

[2] Линник Ю. В., Барбан М. Б., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа //Acta aril hin. J. - 1964. - vol.9, № 4. - С. 375-390.

[3] Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. — 1979. — 43, № 4. — С. 892-908.

58

С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА

[4] Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР. —1970. — 192, № 4. — С. 724-727.

[5] Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей Б-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестник Московского университета. — 1973. № 2. - С. 46-52.

Белгородский государственный университет Получено 21.04.2012