О суммировании значений функции делителей в арифметической прогрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.35

О СУММИРОВАНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ М.В. Шевцова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Найдена асимптотическая формула для сумм значений функций т(и) и тз(и) по числам, лежащим в арифметической прогрессии.

Ключевые слова: схема решения тернарной аддитивной задачи, оценка Виноградова-Пойа.

1. Введение. Пусть Tk (n) - число решений в целых положительных числах Щ, ... ,Пк уравнения

Н\ ... nk = n .

Рассмотрим сумму

Tk(n) . (1)

n^X, n=l (mod D)

Ряд авторов занимались проблемой получения асимптотической формулы для этой суммы. В работе [1] эта задача решена для к ^ 4, (l,D) = 1 и D ^ Xa/k (а > 0 -константа):

X] гк(п) = Ш^0*Х) + R, (2)

n^X, n=l (mod D)

где Pk-1(z) - многочлен степени k — 1 от переменной z с коэффициентами, зависящими от к и D.

Иванец [2] на основе модулярной техники получил асимптотическую формулу в случае

k = 2, справедливую при D ^ X2/3-е (е > 0 и произвольно мало), и совместно с Фрид-лендером, - для к = 3 [3], справедливую при D ^ Хз + ззо.

С ростом параметров к и D задача получения асимптотики усложняется, так как прогрессия становится более редкой. В 1970 году А. А. Карацуба разработал новый метод решения мультипликативных тернарных задач [4]. Применяя этот метод, М. М. Петечук [5] получил для суммы (1) асимптотическую формулу в случае модуля специального вида D = pm (p0 ^ 3 - фиксированное простое число), где D ^ X3/8-е (е > 0 -произвольно мало).

В настоящей статье дана элементарная оценка R в формуле (2) для к = 2, к = 3 и произвольного модуля D. Она опирается на идею А. А. Карацубы, которая позволяет оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме аддитивной тернарной задачи. Полученный результат формулируется в виде следующего утверждения. Теорема.

1. При к = 2 формула (2) справедлива для D ^ X^~£l ( S\ > 0 сколь угодно малое число) .

2. При к = 3 формула (2) справедлива для D ^ Х^~£2 (е2 > 0 сколь угодно малое число) .

При доказательстве используется следующая

Лемма. (Виноградова-Пойа) Пусть х - примитивный характер по модулю D. Тогда справедлива оценка:

X (и) ^ у/D In D

u<a

Доказательство см. в [6, с. 123].

2. Доказательство теоремы. Пусть к = 2 . Тогда из ортогональности характеров имеем:

S Ф') = -7^у 5] Ш х(пщ2).

n^X X (mod D) nin2^X

n=l (mod D)

Выделим слагаемое с х0:

n^X, n=l (mod D)

где

W = ^D) E !. Я=^Е*Й E

^ ' n^X, ^ X=X0 n1n2 ^X

(ni,D)=l, (n2,D) = l

Тогда

2

X1

р(Д)\ р % |Я V ^

где 7 - константа Эйлера.

Оценим сумму Я, представив ее как сумму ^ 1п2 X слагаемых вида:

Е Е

Х=Х0 ^1<П1^2^1 ^2<П2^2^2

П1П2^Х

1 л

Пусть N\ ^ N2, 0 < 6 ^ вещественное число. Если N2 ^ X , то имеем:

s« Е

N2 <n2^2N2

X(ni)

N1 <ni^2Ni, ni<X/n2

X

i-л

D

при Д ^ Хз 2(5, то есть первое утверждение теоремы для этого случая доказано.

Если N > X5, то разобьем промежуток суммирования (N1, 2^] на промежутки , N1

длины Н = —^7. В этом случае получим:

X 2Л'

Ni/H'

X (n1n2) .

X=X0 H<ni^H+H' N2<n2^2N2 ,

n2 ^Xn-i

Заменим условие п2 ^ Хп-1 на условие п2 ^ ХН 1 и оценим получившуюся при этом ошибку Я1:

Ni/H'

Ni/H'

1

X

H<ni^H+H' X(H+H')-i<n2^XH-n2=ln—i (mod D)

p(D) ^ H2

' H<ni^H+H'

X / H2\ I NA X

1-25

D

В результате, находим: S X25 max

X=X0

X(ni)

H<ni^H+H'

^(D)

E

X=X0

X (n2)

N2<n2^2N2

+ O

X

1-25'

D

Применив теперь неравенство Коши, имеем:

1

a

P(D)

E

X=X0

X(n2)

N2<n2^2N2

1/2

где

1

ai

p(D)

E

X(n2)

N2<n2^2N2

X (mod D)

Заметим, что a1 равняется числу решений сравнения

n2 = n;2 (mod D); N2 < n2, n;2 ^ 2 N2 .

i

1

2

Число решений этого сравнения не превосходит величины

N2 N22

Е Е К< Е 77+1 )<<-n+N“

D I D

^2<П2^2М2 iV2~n2 2~n2 ./V2<^2 <^2 \

D D

Отсюда

N> rw

(T С —¡= + \/N2 ■

Используя лемму , имеем:

S < X2S^D\nD ( -^= + s/N^2\

1. Если N2 ^ D, to S < ^/W2y/DX3S ^ DX3S.

N2 Vd

2. Если iV2 > Д to 5 < -^L^/DX36 < ^/XX3S.

x1-6 a1_f

Выберем oi = 5$, тогда в обоих случаях S < ——— при D < Хз £l . Следователвно, первое утверждение теоремы полностью доказано .

Пусть к = 3. Используя ортогональность характеров и выделяя слагаемое с х0, получим:

^2 T3(n) = W + R ,

n^X, n=l (mod D)

где

И'=^) Е !• Л=^)Ех(') Е Х(п1П2щ).

nin2n3^X, X=X0 nin2n3^X

(ni,D)=1, (n2,D)=1, (n3,D) = 1

Тогда

ln2 X

—+ lnX(372 -l) + (37- 372 + l)

X 5/6

+ 0

Оценим сумму Я, представив ее как сумму ^ 1п3 X слагаемых вида: 5 = 5] \{,) 5] 5] 5] Х(п1п2п3) •

Р( ) Х=Х0 ^1<П1^2^1 ^2<П2^2^2 ^3<П3^2^3

П1П2П3^Х

1

Пусть ^ N2 ^ N3, 0 < 8 ^ -. Справедливы неравенства: Л^Л^Хз X, Х\ ^

6

х1/3.

Если теперь N2 ^ X6 , то Л^з ^ X6. Следовательно, 5 у/ЛЫПХ26 , и, очевидно, утверждение теоремы выполняется.

Пусть N > X5. Тогда, если N ^ X5, доказательство сводится к случаю к = 2, рассмотренному выше.

Пусть N > X5. Как и в случае к = 2, разобьем промежуток суммирования (^, 2^]

, N1

на промежутки длины Н = ——г. Далее рассмотрим сумму

X 25

1

р(Б)

Е XV) Е

Е Е х(п1П2Пз).

Х=Хо Я<«4^Я+Я! N2 <«2 ^2 N2 , ^3<П3^2^3

П2^Х(ЯП3)-1

Разобьем промежуток суммирования (N3, 2^] на промежутки длины Ш1 =

Получим:

Хз

Х2Й

М3/Ж'

« Е ЙВ) Е *<»> Е

Х=Х0

Жга^Я+Я'

Е Е х(п1П2Пз)

^<П3^Ж/ N2 <«2 ^N2,

П2^Х(ЯП3)-1

Заменим условие п2 ^ X(Нп3) 1 на условие п2 ^ X(НШ) 1 и оценим получившуюся при этом ошибку Я2:

N3/^'

Я2 ^ ё ё

Я<щ<Я+Я'

Е Е 1 +

Ж<«3<^' Х(Я(Ж+Ж'))-1<га2^Х (Я№ )-1,

га2=1га- 1га3 1 (шоё Д)

N3/^'

+ Е

1

р(В)

Е

Е

Е

1

X

1 25

Н1

Я<«4^Я+Я'

Таким образом получаем: 1

Х(Я(Ж'))<п2<1(ЯЖ )3

Б \ Н

S<X

45

Р(Б)

Е

Х=Х0

Отсюда следует:

Х(п1)

Я<щ<Я+Я'

X (п2)

N2 <«2 ^N2

Х(пз)

Ж<«3<^'

+ О

X

1 25

Б

5 ^ X45 тах

Х=Х0

Х(п1)

Я<щ<Я+Я'

р(Б)

Е

X (шоё Д)

Х(п2)

N2 <«2 ^N2

Х(пз)

^ X45 тах

Х=Х0

Х(п1)

Жга^Я+Я'

X

1

X

p(D)

Е

X (mod D)

Y1 хы

N2<«.2^2N2

1/2

p(D)

Е

X (mod D)

X(n3)

W<n3^W+W'

Применив неравенство Коши, получим оценки:

p(D)

Е

X (mod D)

X (n2)

N2<n2^2N2

n22

<<^- + x2;

1/2

p(D)

E

X (mod D)

E X(n3)

W<n3^W+W'

W'2

«— + И-".

Тогда

S ^ X4á max

X=X0

Жга^Я+H'

x2 \ / w'

7B+^ b+

<

< Vdx

5¿

D

+

/D

fv/iW •

Учитывая, что N1 ^ X1/3, Х2Ж' ^ X2/3 и сравнивая каждое слагаемое с величиной

X1-* а4_

получаем результат: Б ^ Хэ £2, где е2 = 5$. I

D

Литература

1. Лаврик А.Ф. Функциональное уравнение для L-функций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях // Изв. АН СССР, Серия математическая. -1966. - 30. - C.433-448.

2. Iwaniec H., Kowalsky E. Analytic number theory / Colloquium Publications, V.53 / American Mathematical Society, 2004.

3. Friedlander J., Iwaniec H. Incomplete Kloosterman sums and divisor problem // Ann. Math. - 1985. - 121. - P.319-350.

4. Карацуба А.А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР, - 1970. - 192;4. - C.724-727.

5. Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. - 1979. - 43;4. - C.892-908.

6. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / А.А. Карацуба. - 2-е изд. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

2

2

1

1

2

1

2

1

ON SUMMATION OF DIVISOR FUNCTION VALUES IN ARITHMETIC PROGRESSION

M.V. Shevtsova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The asymptotic formula of value sums of functions t(n) and T3(n) on numbers lying in arithmetic progression is solved.

Key words: plan of ternary additive problem solution, Vinogradov-Poya estimate.