О распределении нулей одного класса мероморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 41-49

УДК 517.547.2

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ ОДНОГО КЛАССА МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Ю. Ф. Коробейник

В работе исследуется распределение нулей одного класса мероморфных функций, содержащего,

в частности, дзета-функцию Римана.

Ключевые слова: нули мероморфной функции, функциональное уравнение.

1. Введение. Класс Ко и область

Как обычно (см., например, [1]), определенная и однозначная в некоторой области ^ из С функция / называется мероморфной в если она аналитична в каждой точке области, за исключением не более чем счетного множества точек (из не имеющего предельных точек в причем каждая го точек «исключительного» множества Qf /

Если й £ то условимся всюду в дальнейшем символом обозначать

вертикальную полуплоскость {г: 11е,г > (I}, а символом ^ — ее замыкание в С (т. е. $(1 = {г £ С: I{<'2 ^ (I}). Введем класс Ко мероморфных функций д, каждая из которых обладает такими свойствами:

1) д однозначна и аналитична в замкнутой полуплоскости $ (к = 1г(д) £ (0, +оо)), за исключением, быть может, некоторого конечного числа точек, расположенных в вещественном промежутке ^ + Ла], где = (д) и 0 < < Н, причем в каждой из этих выключенных точек функция д имеет полюс произвольного порядка;

2) для всех точек г из $\_н д(г) = д(г)\

3) д(г)^0 в

4) функция д(г) отлична от нуля во всех точках вещественной полупрямой — К) := {г = х ^ ^ — /г}, в которых она аналитична (всюду в этой работе используется стандартное обозначение г = х + гу, где х = 11е,г и у = 1тг), так что — К) = {г : 1тг = 0, 11е,г ^ \ — /г};

5) всюду в вертикальной полосе $1 := {г : \ — к ^ 11е,г ^ \ + К} д(г) удовлетворяет функциональному уравнению (типа уравнения Римана для дзета-функции) д(г) = Ьд(г)д(1 - г).

«Множитель Римана» Ъд(г), вообще говоря, зависит от функции д и удовлетворяет следующим условиям:

—¿+/1

6) Ьд(г) мероморфна в полосе ; более точно, она имеет в этой полосе не более

2 —п

конечного числа полюсов (все они принадлежат промежутку ^ + /11]), а в остальных точках г полосы функция Ъд (г) аналитична;

© 2017 Коробейник Ю. Ф.

7) все нули функции 6д вещественны и те из них, которые лежат правее точки г х = принадлежат полупрямой

^ + := |,г : 1т г = 0; ^ + /11 ^ 11е,г < +оо

Из 1)-7), в частности, следует, что = 1, для любого д е Ко; далее, если го —

чисто комплексное число, т. е. если 1т го = 0, то точка го будет нулем какой-либо функции до из Ко кратности ад ^ 1 тогда и только тогда, когда 1 — го — нуль до (г) той же кратности (оба эти результата используются в дальнейшем).

Пусть у £ Ж \ {0} = (—то, 0) и (0, и д £ Ко. Назовем полупрямую ^ := {г = х + гу : \ — /г ^ ж < +00} (/-регулярной, если она не содержит нулей д(г), и (/-нерегулярной, — в противном случае, т. е. когда на этой полупрямой имеется хотя бы один

нуль функции д. Соответствующую ординату у также будем называть д-регулярной, дд

обозначается далее символом Фд, а д-нерегулярных — символом Фд.

Из обычной для всех курсов теории функций комплексного переменного теоремы единственности для аналитической функции нетрудно вывести, что множество Фд не имеет конечных предельных точек и потому не более чем счетно.

Введем теперь неограниченную односвязную область получеиную удалением из счетной совокупности промежутков, состоящей из промежутка — /г, ^ + к\] и счетной системы промежутков

У £

Так как д(г) = 0 в <£д, то, как известно (см., например, [2, гл. 8, § 1, с. 319, теорема 1-2]), функция 1п |д(г)|, где д £ Ко, гармонична в об ласти кроме того, существует бесконечное множество Мд гармонических и сопряженных с 1п |д(г)| в функций, которые отличаются друг от друга на вещественную постоянную.

2. Выводное уравнение. Постановка основной задачи работы

Пусть а £ (Н\, Н) и Т — д-регулярная ордината (без ограничения общности, можно считать, что Т > 0). Образуем прямоугольный четырехугольник Г = ик=1 Г& с вершинами в точках А, С, Б, Г и сторонами Г&, 1 ^ к ^ 4, гДе Г1 := [АС], Г2 := [СБ], Г3 = [БГ], Г4 := [РА], А = \- а-1Т,С = \+ а-1Т,В = \+ а + 1Т,Р = \- а + 1Т. Устано-Г

например, [1])

1т I = I М^ = 27Г[-^ + ^(Т) + 2^(Т,<7)]. г к=1

Здесь Рд — сумма порядков всеу полюсов д(г) (согласно § 1 все полюсы функции д(г) из Ко расположены в промежутке ^ + /11] вещественной оси); ^Уд{Т) — сумма кратностей всех возможных нулей д(г), принадлежащих интервалу —гТ, ^ + прямой 11е,г = наконец, ^д(Т, а) — сумма кратностей всех возможных нулей функции д(г), лежащих внутри прямоугольника ВС ИР, где В := ^ — iT, Р := т, + iT.

При этом

Г4

g(z)

Г1

g(z)

■Г2

g(1 - z)

Гз

g(1 - z)

Учитывая, что при bg(z)g(1 — z)g(z) = 0 справедливо равенство

W _9'{z) | ff'(l~z) bg(z) 5(z) 5(1-z)'

находим, что 4

D

C

g' (z) л___т™ /4 ^ , T„ /4 (z)

k=1

g(z)

dz == Im

F

bg (z)

dz + Im

D

bg (z)

dz + +2 Im

Г2

g(z)

Гз

g(z)

Таким образом, для любых д £ Ко, о £ (Л,1,Л), Т £ справедливо равенство

— Pg + Ng (T) + 2Ng (T» =

1

27Г

Im

FDC

b'g{z)

bg(z)

dz + — Im

g' (z)

n J g(z)

CDF

dz.

(1)

Преобразуем теперь последнее слагаемое в правой части равенства (1). Всюду далее используется стандартное представление функции д(г) из Ко в виде д(г) = и(ж, у) + ¿^(ж, у), где (и, V) — пара сопряженных гармонических в ^ функций. Имеем

g'(z) g(z)

dz =

Г2

g(z)

Гз

g(z)

Далее,

J :=

Г2 т

-т

g'(z) g(z)

т

dz =

т

,2íi

U' ( f + cr + IT) + 1>2 (i + cr + ir j

g' \ - + cr + ít ] i dr

v{j2 + g,t 1 + iu{j2 + cr, r)

и2(± + а,т)+г>2(± + <7,т)

<9i> Q + cr, r) . <9uQ + cr, r)

дт

— г ■

дт

dT.

Отсюда

Im J

т

т

1 " ' 42 ' — V ( ± + cr, y ' 42 7

u 2 +e,y

dy

dy

dy

u2(i + <T, у) +г>2(± + <т, y)

T

т

a«(¿u( 1 + ^ y) + ü( 1 + ^

dx

dx

dy

[и2(± + <т,у) + г>2(± + <7,

т

т

d_

dx

ln |g(x + iy)|

dy.

Здесь символ 1п \д{х^у)\\ означает, что вначале находится обычная частная

производная 1п \д(х + iy) |, а затем в полученном выражении ж заменяется на ^ + сг.

Ж=2 +СГ

Аналогично

Гз

g'(z) 9(z)

dz =

[и(ж, T) -iv(x,T)] [и2(ж, T) + v2(x, Т)]

du(x, Т) dv(x,T)

dx

dx

lmf9Mdz =

Гз

g(z)

b+cr

du(x,T)

[u2 (x,T) + v2(x,T)]

dx =

b+cr

д

— ]n\g(x + iy)\

dx.

y=T

Следовательно (см., например, fl, гл.II, п. 12, стр.43]),

Imlg-Mdz + Im[gMdz =

±-cr+iT

Г2

g(z)

Гз

g(z)

1+v-iT

dW 1 dW ,

-7— dx + —— dy dy dx

»[±-a + iT\ -/xQ + a-iT) ,

где Ш(ж, у) := 1п |д(х + гу)|, а ^(ж, у) — любая функция из множества Мд гармонических и сопряженных (в ^д) с 1п |д(х + гу)| функций. Таким образом, равенство (1) можно переписать следующим образом:

(Vд £ Ко) (V а £ (Н1, Н)) (VТ £ Фд) (V^ £ Мд)

- Pg + Ng (T) + 2Ng (T, a) 1

2n

Im

FDC

b9(z)

dz +

n

±-<т + гг) -/xQ + a-iT

(2)

Здесь ГБС — спрямляемая кривая, состоящая из двух прямолинейных отрезков [Г, Б] и [£>, С], с началом в точке Р = т, — а + iT и концом — в точке С := т, + <т — гТ.

Основная цель данной работы заключается в том, чтобы попытаться выразить величины Рд, ^д (Т) и ^д (Т,а) через какие-то характеристики, непосредственно связанные с «множителем Римана» Ьд(г). В следующем параграфе делается первый шаг в решении поставленной задачи.

3. Определение числа Рд

Пусть, как выше, a G (hi,h), a T — положительная g-регулярная ордината. Кроме

введенных точек А, С, D, F, В, Р рассмотрим еще точку О := Проведем простую

спрямляемую кривую 71 с начальной точкой F и конечной — O так, чтобы все остальные

точки кривой Yi принадлежали внутренности S прямоугольного треугольника FOP. При

этом кривую Yi проведем настолько близко к отрезку [F, 0], что все возможные нули (если они есть) функции g(z), принадлежащие замкнутой области, ограниченной кривой Yi и

[F, 0] [F, 0]

—а

—а

—а

1

Проведем еще кривую 72 с началом в О и концом в С, симметричную с 71 относительно точки О. Тогда 72 — простая спрямляемая кривая, все точки которой, кроме начальной и конечной, лежат внутри треугольника ОВС. Кривую 72 можно взять настолько близко к [О, С] (за счет приближения 71 к О]), что д(г) = 0 в области, ограниченной 72 и [ОС].

Положим 7 := 71 и 72. Согласно теории вычетов

2п

D F

Im ¡Щ<Ь + Im [9-^dz + Im [ ^dz,

J g(z) J g(z) J g(z)

C D Y

или, преобразуя последний интеграл и учитывая, что

9'М ¡/(1 ~ z) «,{z) ,v r , ,

D F

+ + J ^Mdz + 2Im J g-Mdz + 2lm J

CD Г2

Таким образом,

(Va G (hi,h) (VT G )(Vg G Ko) - 2Pg + Ng(T) + 2Ng(T, a)

D F C

— Im f^dz + ^lm i9-^dz+l- Im / dz. (3) n J g(z) n J g(z) n J bg(z)

C D O

Если теперь вычесть (3) из (1), то мы придем к равенству

о

1 / bg(z) 1 / bg(z) = — Im / dz + - Im / dz. (4)

s 2vr J bg{z) 7Г J bg(z) V ;

FDC C

Формула (4) показывает, что значение Pg является определенным оператором (функционалом) от bg(z). Ей можно придать более компактный вид. Предварительно обозначим

символом сумму порядков всех полюсов функции bg(z) из полосы (согласно

2 —п

исходным предложениям, все эти полюсы принадлежат промежутку т, + /ii]). Тогда

о ь'

- Im / ,g, . dz + Im / g . dz 2 J bg(z) J bg(z)

FDC C

о

1 f bg (z) /■ bg (z) 1 r bg (z)

J W)iz+lmiûà,b+2lm ! ûà,b

FDCOF C FOC

Здесь N(T, a) — сумма кратноетей всех возможных нулей bg(z), которые могут находиться в промежутке вещественной оси + h\, ^ + <т), который лежит внутри треугольника FDC. Таким образом, Pg = Pg — N(T, a).

4. Определение величин N(Т) и N(Т, а). Основное соотношение для класса Ко

Пусть а £ (Н\,Н), д £ Ко- Из обычной теоремы единственности для аналитической функции следует в данном случае (с учетом описанных выше свойств функций из класса Ко), что множество Фд всех д-регулярных ординат всюду плотно в (-то, 0) и (0, +то), а множество Фд всех д-нерегулярных ординат можно всегда представить в виде где 1 ^ N ^ то и ¿п ^ +то при N = +то. Зафиксируем какую-либо д-нерегулярную ординату то (без потери общности можно считать, что 0 < то) и найдем две последователь-

ности {Т^}^^ ] = 1, 2, д-регулярных ординат такие, что при к ^ то Т^' ^ то, Т^' 4 то, причем в интервале (Т1(1),Т(2)) (а, следовательно, и в любом интервале (Т^, Т^2)), к ^ 1) д-нерегулярных ординат, кроме то, нет. Положим при к = 1, 2, 3,... , ] = 1, 2,

(1)

,(2)

4° :=

- а - гТ

V)

к

а

V) ._

5 +

Т=Т

V)

- Рд + N(Т^^^(Т^,а)

V)

— 1т

2п

К (*)

1

аг Н—

Ьд (г) П

2

(здесь, как и раньше, ^(ж,у) — произвольная функция из множества Мд). Отсюда при любом к ^ 1

1

2

Ng(Т,(2)) - Ng(Т^) + 2 к(Т,(2), а) - Ng (Т^, а)

1

2тг

1т

+-

+-

п 1 п

№ Ъд(г)

— 1т

? <1)П<!)С <1)

Ь!9(г) Ъд(г)

(5)

Если номер к ^ 1 неограниченно возрастает, то левая часть равенства (5) стремится к конечному числу 2ско+4/Зо, где сад = сад(д) — кратность возможного нуля д(г) вида т^+гто, а во = во(д) — сумма кратностей всех (также возможных) нулей той же функции д(г), имеющих вид ^ + х + гто, 0 < х ^ Но тогда и правая часть равенства (5) должна стремиться к тому же пределу 2ао+4во, какова бы ни была функция ц из Мд). При этом величины ао и во могут принимать лишь значения 1, 2,... — и всегда (так как то £ Фд) 2ао + 4во ^ 2.

Преобразуем теперь первое слагаемое правой части равенства (5). Имеем

v : =

bg (z)

dz —

/ J ^dz+ J ^dz+ J ^dz'

,(i)cCD a f^d^dP d« c(1)

F,

(1)

C

(2)

f(2)d(2)c(2)

(г) У (г)

Здесь и далее (•) = ^^у- Отсюда

f(2)d(2)d(1)

Im v = Im

/

F

(1)

C

(2)

f(2)d (2)d(1)f(1)f(2)

(■) dz + Im / (■) dz + Im / (■) dz

F

(2)

с

(1)

F

(1)

/ (■) dz + Im /

Im

f(2)d(2)d(1) f(1)f(2)

F

(2)

ba{z) bff(l-*)

dz

F(1) F (1) F (2)

= Im / (•) dz + 21m / gg dz = 2Im / ^ dz =-21m / dz.

F(2)d(2)d(1)f(1) F(2) f(2) f(2) f(1)

F,

(2)

Учитывая, что lim J ТГШ dz = 0, из (5) получим

F,

(1)

bg (z)

2п(а0 + 2во)= lim

2

+

MS+'-^v/XQ-a+iTW

(6)

При этом соотношение (6) справедливо для любой функции ^(ж, у) из если д £ Ко и о £ Этим обстоятельством можно воспользоваться и, подбирая подходящим об-

разом функцию получим из (6) достаточно хорошие оценки сверху для положительной величины ао + 2во- Изложению полученных на этом пути результатов предполагается посвятить отдельную статью.

5. Один подкласс класса Ко, связанный с общими рядами Дирихле

Обозначим символом К1 множество всех функций д(г), обладающих следующими свойствами:

0) д(г) является суммой ряда Дирихле д1 + ^ е-Л кг, имеющего конечную абсциссу

к=2

абсолютной сходимости (т. е. < при этом для любого к ^ 1 £ С, д& = (д),

51 ф 0; ая £ +оо); _

1) У г £ £ад д{г)=д{г);

2)Ук^2 Хк = А к(д) £ Ж+ = (0,+оо) и 0 < Л2 < Л3 < ... < Хк^+оо]

3) функция д(г) аналитически продолжается из <8ад в $ 1_/г, где к = Н(д) — какое-либо

число из интервала (жо — +оо), а Жо — (единственный) вещественный корень уравнения |д11 = ^/к=2 1д&|е-Л кХ ПРИ этом (продолженная) функция д(г) аналитична во всех точках

замкнутой полуплоскости за исключением, быть может, конечного числа точек,

расположенных в промежутке и являющихся полюсами д(г)\

4) функция д(г) отлична от нуля во всех точках сегмента — Ь, Жо], в которых она аналитична;

5) в замкнутой полосе функция д(г) удовлетворяет функциональному уравнению д(г) = Ьд(г)д(1 - г), причем функция Ьд(г) удовлетворяет условиям 6) и 7) из §1, в которых /11 = жо —

Из определения класса К следует, что К С Ко. Поэтому для функций из класса К1 справедливы все результаты, полученные в §§ 2-4.

К1

ляется дзета-функция Римана ((г). Как хорошо известно (см., например, [3, 4]), она регулярна в кольце 0 < - 1| < +то, имеет в точке г = 1 простой полюс и в полуплоскости Е1 является суммой обыкновенного ряда Дирихле:

^ те

п- = 1 + V 1 • е-г 1п п,

z (z) = i + En-z = 1 + £1

n=2 n=2

для которого а^ = 1, ^ G (1,2) — корень уравнения 1 = n-x, (z) =

2(2ir)z~1 sin Щ- Г(1 — z). В данном случае можно положить h\ = h\(() = ж^ — а в качестве h = h(Q взять любое число из интервала (hi, Можно также положить hi(Q = й( = 1, а в качестве h(Q взять любое число из интервала (1, |). При сделанном выборе чисел Ли hi «множитель Римана» (z) удовлетворяет условиям 6)-7) из § 1, откуда Z(z) G Ki. Следовательно, для дзета-функции справедливы все результаты из §§ 2-4 и, в частности, соотношения (1)-(6), в которых надо положить g(z) = Z(z), bg(z) = 2(2ir)z~1 sin Щ- Г(1 — z).

Литература

1. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций.—М.: ГИФМЛ, 1961.—335 с.

2. Евграфов М. А. Аналитические функции.—М.: Наука, 1968.—471 с.

3. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953.—407 с.

4. Edwards Н. М. Riemann's Zeta Function.—N. Y.: Dover Publications, Inc. Minnesota, 2001.—315 p.

Статья поступила 23 октября 2016 г. Коробейник Юрий Федорович

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, главный научный сотрудник отдела математического анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

ON DISTRIBUTION OF ZEROS FOR A CLASS OF MEROMORPHIC FUNCTIONS

Korobemik Yu. F.

In this article some class Ko of meromorphic functions is introduced. Each function y(z) torn Ko satisfies the functional equation y(z) = by(z)y(l — z) with its own «Riemann's multiplier» by(z) which is a meromorphic function with real zeros and poles. All poles of an arbitrary function from Ko are real and belong to the interval | + hi], hi = hi(y). Using the theory of residues we prove some relation connecting the following magnitudes: Py, the sum of all orders of poles of y £ Ko; Ny (T), the sum of multiplicities of all zeros of y having the form \ + ir, |r| < T; .yK,(T, a), the sum of multiplicities of all zeros of y which lies inside the rectangle with vertices A = i — a — iT, C = i + a — iT, D = i + a + iT, F = | — a + iT. Here T is a jz-regular ordinate, that is, y(z) is analytic and has no zeros on the line Im z = T, Re z £ R, a £ (hi ,h), h = h(y), a is chosen in such a manner that y(z) = 0 on the segments [C, D]. The problem of finding the magnitudes of Py, Ny (T^d Ny (T,a) with the help of corresponding characteristics of the «Riemann's multiplier» by (z) is posed. This problem is solved

Py

part of which contains the number 2ar0 + 4^t0 where To is arbitrary y-nonregular ordinate, qt0 is the multiplicities of all possible zero of y of the form \ +iTo, Pt0 is the sum of multiplicities of all possible zeros of y belonging to i +iTo, +00 + ¿To. It is proved that the class Jio contains the Riemann's Zeta-Function.

Key words: zeros of meromorphic functions, functional equation.