О наследовании некоторых свойств аналитической функции её производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

УДК 517.9 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-32-34

О НАСЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ

© 2018 г. Ю. Ф. Коробейник1

1Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

ON INHERITANCE OF SOME PROPERTIES OF AN ANALYTIC FUNCTION BY ITS DERIVATIVE

Yu.F. Korobeinik1

1Southern Mathematical Institute - Branch, Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Коробейник Юрий Федорович - доктор физико-математи- Yurij F. Korobeinik - Doctor of Physics and Mathematics, ческих наук, профессор, главный научный сотрудник, отдел Professor, Main Researcher, Department of Mathematical

математического анализа, Южный математический ин- Analysis, Southern Mathematical Institute - Branch, Vladi-ститут - филиал Владикавказского научного центра Рос- kavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Mar-

сийской академии наук, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, St., 22, Vladikavkaz, RNO-Alania, 362027, Russia,

РСО- Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Рассматривается задача о наследовании некоторых важных свойств аналитических функций одной комплексной переменной их производными. Доказано, что если в некоторой симметричной относительно вещественной оси области комплексной плоскости аналитическая функция обладает свойством симметрии Римана - Шварца, то тем же самым свойством обладает и ее производная. В качестве следствия отмечено, что свойством симметрии Римана -Шварца обладает дзета-функция Римана. Исследована также задача о наследовании производной свойства аналитической функции быть решением дифференциально-разностного уравнения определенного вида (линейного или нелинейного) с заданной левой частью. Использовав этот подход, установлено выводное уравнение для дзета-функции Римана, которое впоследствии предполагается использовать для исследования распределения нулей этой функции.

Ключевые слова: аналитическая функция, производная комплекснозначной функции одного комплексного переменного, дзета-функция, функциональное уравнение Римана, принцип симметрии Римана - Шварца.

We consider the problem on the heredity ofthe first derivative ofsome important properties of an analytic function of one complex variable. It is proved that if an analytic function has the Riemann-Schwarz reflection property in some domain of the complex plane that is symmetric with respect to the real axis, then its derivative has the same property. As a corollary, it is noted that the Riemann zeta function has the Riemann-Schwarz reflection proper. It is also studied the problem on the heredity of the first derivative of an analytic function to be a solution of a differential-difference equation ofsome kind (linear or nonlinear) with a given left side. By using this approach, it is established a determining equation for the Riemann zeta function. It is supposed to use this equation to the problem concerning the distribution of zeros of this function.

Keywords: analytical function, derivative of complex-valuedfunction of one complex variable, zeta function, Riemann functional equation, symmetry property of Riemann-Schwarz.

Введение В этом разделе приводится, возможно, известный результат о том, что производная аналитиче-

Пусть z = x + iy , x e R = , y e R ; C - ской в точке z0 функции p может (при некоторых

конечная комплексная плоскость (C=C1) В настоя- дополнительных предположениях) наследовать

щей статье показывается, что некоторые свойства свойство симметрии Римана - Шварца, если оно

аналитической функции могут передаваться по было у исходной функции p.

наследству ее производной. При этом как обычно Теорема. Пусть область G из C такова, что

(см., например, [1, гл. II, §4, п.п. 1-2]), производной - Т^^чт-г л,

1 г vz eG, z e G (т.е. G с G ). Пусть далее функция аналитической в точке z0 функции f называется

g(z) определена в области G (т.е. принимает конеч-

f (z0 + 5) - f (z0) „ „

предел lim --— , если этот предел ко- ное комплексное значение в каждой точке из G) и

5 аналитична в точке z0 e G (т.е. g'(z0) существует нечен и не зависит от способа стремления к нулю ч „ ,

c-^^ic-ic./ ч в указанном выше смысле). Пусть, наконец, функ-комплексной величины о , о eC , | о |< о(zn). / \ а - п

' 'II v ция g(z) обладает свойством симметрии Римана -

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Шварца в некоторой (возможно, весьма малой) окрестности v(z0) точки z0 , принадлежащей G.

Тогда g ' (zo) = g ' (Zo) •

Доказательство. Как уже отмечалось выше, если функция g(z) аналитична в точке Zo , то предел

g (Zo + 8) - g (Zo) ч

lim-= g (zo) существует и коне-

8

чен, а также не зависит от способа стремления к нулю комплексной величины 8, 8е С, |8 < 8o. В частности, если 8 = h е R, т.е. если 8 будет чисто вещественным числом h таким, что | h |< 8o, то

оЧ, Л у g(zo + h) -g(zo) (g(Zo + h) - g(Zo)) g (zo) = lim---= lim-=-

h^o h h^o h

= lim

k^o

g(zo + h) - g(zo) h

= g'(zo).

g '(zo) g(zo)

g (zo) g(zo)

Действительно, так как по теореме g'(Zo) = g'(Zo) и, кроме того, g(Zo) = g(Zo) * o , то

g'(zo) _ (g'(zo))

g (zo) g (zo)

rgy Ы ^

g(zo)

Следствие 1. Если функция g определена и аналитична в области G такой, что О с О , и обладает в G свойством симметрии Римана - Шварца: Vz е О ,

g(z) = g(z), то ее производная g' (z) также обладает в G свойством симметрии Римана - Шварца.

В частности, это следствие применимо к дзета-функции Римана С(г), которая, как известно (см., например, [2, 3]), аналитична в области Ощ :=

:= ^ е С: 0 <| z —1|< да} (в точке z = 1 Z(z) имеет полюс первого порядка). В данном случае в качестве области G можно взять область G{l} или любую ее

подобласть Gl такую, что О1 с О1 . (Например, можно положить О1 = П о 1 = |z е С :0 < Яе z < 1}

или в качестве G1 взять подобласть G{1}, полученную удалением из C неограниченных прямолинейных промежутков (—да,0) , (1,+да), (-^ + аг^ +,

(— - ш,—- /да), где а е (0, да) (последние два неограниченных промежутка линии 11 / := ] z е С: Яе z = -

/2 [ 2

симметричные относительно оси Я := (—да,+да), могут вовсе отсутствовать).

Отметим еще одно следствие из теоремы. Следствие 2. Пусть область G, функция g и точка ^ из G удовлетворяют всем предположениям теоремы, и пусть еще g (z0) ^ 0 . Тогда

С\ 1) С\ 1)

В частности, равенство-=- выполнено в

ГI \ ГI \

Ш С(!)

любой точке z из G{1}, не являющейся нулем Z(z).

Заметим, что здесь, как и в последующем тексте, символ /' (z-) обозначает (как обычно) значение производной функции^) в точке z = Zl.

Аналитические функции, удовлетворяющие различным функциональным уравнениям. Выводное уравнение для дзета-функции Римана

Вопрос о наследовании каких-либо свойств аналитической функции f ее производной может возникнуть и в случае, когда функция f удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. В этом разделе рассмотрены некоторые частные случаи этой довольно общей и сложной проблемы. Пусть Yj е С , у = 0,1,..., п , область G в C такова, что

О + у у := ^ еС: z = w + у у , w е О}с О

при

у = 0,1,..., п . Предположим далее, что функция g(z) аналитична в области G и удовлетворяет (Vz е О) линейному дифференциально-разностному уравнению

Е a, (z)f(j)(z + уп-,) = b(z),

j=o

(1)

в котором функции Ь^) и а у (z) , у = 0,1,2,... п ,

аналитичны в области G. Дифференцируя (по z) равенство (1), найдем, что V!еО выполняется соотношение

Ъак (z)flik) (z + уп—к) = Ь (^ - ¿а '* (z)/(к) (z),

k=o

k=o

в котором / (z) = (¿) . Таким образом, в рассматриваемом случае производная аналитической в G функции/^), удовлетворяющей уравнению (1) в области G, является аналитическим в G решением линейного дифференциально-разностного уравнения с той же левой частью, но уже с другой правой частью.

Ситуация усложнится при переходе к общему линейному дифференциально-разностному уравнению с аналитическими (в G) коэффициентами

£а, (z)f и) (vn-jZ + Уп-у )= Ь(z), где е С, у=0

у, е С , , = 0,1,..., п < +да . Не разбирая этой более сложной ситуации во всей ее общности, ограничимся

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

в данной статье двумя примерами, первый из которых довольно тривиален. Как известно, еслиДг) - целая четная функция одного комплексного переменного 2, то ее производная будет нечетной целой функцией (и таким образом, свойство четности или нечетности не наследуется первой производной аналитической функции). В данном случае целая функция Д.) удовлетворяет линейному функциональному уравнению ¥ (г) = ¥ (-г), Vг еС, а ее первая производная /' (г) (также при всех г из С) - линейному, но другому функциональному уравнению ¥ (г) = — ¥ (-г) (или, соответственно, уравнениям ¥ (г) — ¥ (—г) = 0 и ¥ (г) + ¥ (—г) = 0).

Для построения второго примера обратимся к уже знакомой дзета-функции Римана С(2), которая, как известно (см., например, [2, 3]), аналитична в области и удовлетворяет в этой области функциональному уравнению Римана:

a(z) <(1 - z) <(z) * 0 .

(4)

Vz e G{i}, <(z) = a( z)<(1 - z)

ш

a(z) = 2(2ш)z-1 sin у • Г(1 - z) .

(2)

Как видно из только что приведенного явного выражения множителя а(г) этого уравнения, он является мероморфной в С функцией с чисто вещественными полюсами (и нулями).

Пусть г Дифференцируя (по г) равенство

(2) и применяя правило (при дифференцировании правой части (2)) дифференцирования сложной функции, а затем перенеся в левую часть полученного соотношения одно слагаемое его правой части, получим в итоге (еще линейное, но уже неоднородное) функциональное уравнение, которому в области С{1} удовлетворяет функция £' (г) :

Ф( z) + a( z)®(1 - z) = a ' (z)<(1 - z)

(3)

шение

- + -

<( zo) <(1 - zo) a( zo)

Таким образом, < (z) , < (1 - z) a ' (z) <( z) <(1 - z) a( z)

z e

Равенство (4) будет далее называться выводным уравнением для дзета-функции Римана Z(z). Как выяснилось, это уравнение можно весьма эффективно применять при изучении распределения нулей функции Z(z) в некоторых подобластях области G{i} (полученные на этом пути результаты готовятся к публикации в ближайших статьях автора).

Выводное уравнение (4) для Z(z) можно получить и другим (близким) способом. Именно если

Z\ е то a*i) = (ФК(1-=

= lim1 (a(z! + 8^(1 - z -8)- a(zx- zx)), где

8^-0 8

8еС, |8 |<е1. Но тогда f'(z1) =

(a(zi + 8)^(1 - zi - 8) - a(Zi )^(1 - Zi - 8)) _ 8

(a(zX(1 - z -8) - a(^(1 - z1))

-8

= ^(1 -z)• lim a(zi + 8-a(zi) -

8^0 8

-a(z1)im C(1 -z1 -8)-f(1 -z1) =

8^-0 (-8)

= C(1 - z1)a' (z1) - a(z1)c(1 - z1).

Далее, считая, что a(z) -C(1 - z) 'C(z) ^ 0, приходим точно так, как ранее, к равенству

- lim

8^0

<Cz) + < (1 - zx) = a ' (zt) <( z,) <(1 - z) a( z,)

a(z) <(1 - z) •<(z) * 0.

z e

G{1}'

(здесь г еО^} и Ф(г) = £'(г)).

Это равенство можно при некоторых дополнительных предположениях преобразовать в несколько иной вид. Именно если го е и если два

каких-либо (произвольно взятых) числа из тройки а(го), С(го), С(1_2о), отличны от нуля (т.е. если а(г0) -£(1 — ^) •£( 2о) ^ 0), то разделив (при г = г0) каждую из двух частей равенства (3) на соответствующую часть уравнения Римана (2), получим соотно-

£(£(1 — г0> ) _ а(г0)

Литература

1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: ГИФМЛ, 1960. 443 с.

2. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1957. 407 с.

3. Edwards H.M. Riemann' s Zeta Function. N.Y.: Dover's Publications, Inc. Minnesota, 2001. 315 p.

References

1. Privalov I.I. Vvedenie v teoriyu funktsii kom-pleksnogo peremennogo [Introduction to the theory of functions of a complex variable]. Moscow: GIFML, 1960, 443 p.

2. Titchmarsh E.K. Teoriya dzeta-funktsii Rimana [Theory of the Zeta function of Riemann]. Moscow: IL, 1957, 407 p.

3. Edwards H.M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover's Publications, Inc. Minnesota, 2001, 315 p.

Поступила в редакцию /Received

15 августа 2018 г. /August 15, 2018