Всплесковое разложение сплайнов эрмитова типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 2

УДК 517.977.58

Ю. К. Демьянович, Т. Н. Б. Ле

ВСПЛЕСКОВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СПЛАЙНОВ ЭРМИТОВА ТИПА*)

1. Введение. При разложении исходного информационного потока на основной и вэйвлетный потоки основными характеристиками (см. [1-4]) служат: малость компонент вэйвлетного потока, степень разреженности основного потока (по сравнению с исходным потоком), степень сложности формул декомпозиции/реконструкции и погрешность восстановления исходного потока; они определяют возможности экономии ресурсов вычислительной системы (ВС) и каналов связи (времени передачи, времени обработки и необходимых объемов памяти ВС).

Сплайн-вэйвлетные разложения для потоков, определяемых гладкими функциями, обладают свойствами асимптотической оптимальности по Ж-поперечнику аппроксимируемых компактов и простотой формул декомпозиции/реконструкции; возможность использовать неравномерную сетку и неполиномиальные сплайны (см. [5]) приводит к определенной гибкости при выборе упомянутых разложений и к дальнейшему улучшению их характеристик. Разработка новых алгоритмов сплайн-вэйвлетного разложения актуальна в вопросах шифрования (см. [6, 7]). Для случаев, когда исходный поток интерпретируется как значения гладкой функции на некоторой сетке, разработаны сплайн-вэйвлетные разложения лагранжева типа (см. [8]). В тех случаях, когда исходный поток распадается на два потока - на поток значений функции и на поток значений ее производной в узлах сетки, построены сплайн-вэйвлетные разложения эрмитова типа (см. [9]).

Цель данной работы - разработать сплайн-вэйвлетные разложения эрмитова типа в случаях, когда исходный поток можно интерпретировать как поток значений гладкой функции, определенной на интервале (а, в) вещественной оси. Замена производных разностными отношениями приводит к новому вэйвлетному разложению пространств (вообще говоря, неполиномиальных) сплайнов эрмитова типа. Базис таких сплайнов получается из аппроксимационных соотношений при минимальной (почти везде на рассматриваемом промежутке) кратности накрытия носителями базисных функций, так что эти сплайны относятся к классу минимальных. Строятся новые вэйвлетные разложения и выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные

Демьянович Юрий Казимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 325. Научные направления: конечно-элементные аппроксимации, сплайны, вэйвлеты, параллельные алгоритмы. E-mail: [email protected].

Ле Тхи Ни Бик — аспирант кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Ю. К. Демьянович. Количество опубликованных работ: 2. Научное направление: вэйвлеты ненулевой высоты. E-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 07-01-00269 и 07-01-00451).

© Ю. К. Демьянович, Т. Н. Б. Ле, 2010

на замене производных разностными отношениями. Полученные базисные вэйвлеты имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы. Остро стоящий вопрос в классической теории вэйвлетов о построении вэйвлетного разложения на отрезке вещественной оси на основе полученных результатов может быть решен довольно просто: построения распространяются на отрезок [а, b] С (а, ß) сужением всех этих функций на упомянутый отрезок.

2. Сплайн эрмитова типа при замене производных на разности. Рассмотрим четырехкомпонентную вектор-функцию p(t) класса C(а, ß):

(p(0) (t), p(i) (t), p(2) (t), p(3) (t))T, удовлетворяющую условию: (А) WD d=f det(p(x), p(y), p(z), p(t)) = 0 для всех попарно различных x, y, z,t G (а, ß).

def r>def

Пусть X - сетка вида X : ••• < x_i < xo < xi < ...; а = iim Xj, ß = um Xj.

Введем обозначения G d= |J (xj ,xj+i), xk) d=f pk, hkd= x2k+i - x2k. Функции

jez

w2j_i (t) и ^2j (t), t G G, j G Z, определим из аппроксимационных соотношений

£ (t)+шф)) = ф) (1)

j x2j+3 - x2j+2 при условиях supp^2j —i С [x2j,x2j+4], supp^2j С [x2j,x2j+4]. При фиксировании к G Z, t G (x2k ,x2k+2) из (1) получаем

P2k+i - P2k , ,,, P2k+3 - P2k+2 ,,, ,,, ,,,

-^2fc-3(l) + <P2kU2k-2{t) H--W2fc-l(i) + f2k+2^2k{t) = ip(t).

x2k+i - x2k x2k+3 - x2k+2

Перепишем

UJ2k-3(t) , ss . U2k-3(t) , f U2k-l(t) , ss

<P2k{--:--h U2k-2 (t)) + <f2k+l-:--h ¥2k+2{--:--h W2k(t)) +

¡2k ¡2k ¡2k+2 UJ2k-l{t) , s

¡2k+2

Благодаря свойству (A), имеем det(p>2k,P2k+i,P2k+2, P2k+3) = 0. Отсюда следует, что система однозначно разрешима. Находим

¡2k det(p2k,p(t),P2k+2 ,P2k+3)

W2fc-3(i) = -T—,-Г-,

det(p2k, P2k+i,P2k+2,P2k+3)

det(p(t), P2k+i ,P2k+2, P2k+3) + det(p2k ,p(t), P2k+2, P2k+3)

^2k — 2 (t) =

det(p2k, P2k+i,P2k+2,P2k+3) hk+2 det (y>2fc, У2Й+1, <f2k+2, fit)) det(p2k ,P2k+i,P2k+2,P2k+3)

det(p2k ,P2k+i, p(t), P2k+3 ) + det(p2k, P2k+i, P2k+2 ,p(t))

^2k — i(t) =

d

^2k (t)

¿е^2к, <^2к+1 ,^2к+2, ^2к+з)

Ввиду условия (А) система функции (£), <^>(1)(£), <^>(2)(£), (£) линейно независимая; отсюда следует линейная независимость рассматриваемых сплайнов.

Последовательно полагая к = ц, к = ц + 1, выводим

= \ ,,-------г— при £ € (ж2д,Ж2(г+2),

, <Р2д+1 ,^2д+2, <Р2д+3)

^2д-1 [ч= л ,,-при £ € {Х2д+2,Х2д+А),

аеЦ<^2д+2, ¥>2д+3, ¥2д+4, ^2д+5)

¿е%2д, <Р2д+1, У2д+з) + ¿е%2д, У2д+Ь У2д+2, . , ,

= -ТТ7-ч- ПРИ 1 6 (ж2д, Ж2д+2

аеЬ{^2д, ^2д+1,^2д+2, ^2д+з]

^ ^ = у2д+3, У2д+4, ¥>2д+ь) + ¿е1(у2д+2, У2д+4, ¥>2д+ь)

при г е (х2д+2 ,Х2д+4).

Теорема 1. Пусть ф(€) е С (а, в) и выполнено условие (А). При любом ц е Ъ функции и2д-1(г) и и2д(г) могут быть продолжены на всем интервале (а, в) до функций класса С (а, в). Кроме того, выполнены соотношения

^2д-1(х2д) = и2д-1(х2д+1) = и2д-1(х2д+2 ) = и2д-1(х2д+4) = 0, и2д-1(х2д+3) = l2q+2, (2)

и2д(х2д ) = и2д (х2д+1 ) = ^2д(х2д+4) = 0, ( )

и2д(х2д+2 ) = и2д(х2д+3 ) = 1-

Доказательство. Вычисляя соответствующие односторонние пределы от функций и2д-1(г) и и2д(г) в узлах х2д,х2д+2,х2д+1,х2д+з,х2д+4, приходим к утверждению теоремы.

Определение. Обозначим (X) = {и\и = ^ егиг Уег е Я, г е %}. Множество

г

функций иу (г) называется главным базисом пространства (X).

3. Калибровочные соотношения. Добавляя к сетке X, £1 е (х2к,х2к+1),

£2 € (х2к+1,х2к+2), получим новую сетку X. Обозначим

ху = ху при ] ^ 2к, ху = ху-2 при ] ^ 2к + 4,

х2к+1 = £1, х2к+2 = х2к+1, х2к+3 = £2-

Построим новые базисные функции € 2, аналогичным методом. Нетрудно

видеть, что при ] ^ 2к — 4 справедливо равенство = ТП^Ь), а при ] ^ 2к +

1 имеем =

Докажем, что при г е (а, в) верно соотношение

= С3^2к-з(^) + С2Ш2к-2^) + С1Ш2к-1^) + С0Ш2к^)-

Действительно, последовательно полагая г = х2к+1, г = х2к, г = £1, г = £2, вычисляем

, и2к-3 (£2) — 1>2к „ и2к-з£)

Со = 12к, С1 = —--, с2 =0, с3 = —-, откуда находим

£2 — х2к+1 £1 — х2к

т ^2й-з(£1)_ т Ш2к-з(Ь) - к—

^2к-з{г) = —-Ю2к-з(г] Н---1-^2к-\{г) + 12к^2к{г).

£1 — х2к £2 — х2к+1

Проверим выполнение этого равенства для всех точек Ь = х^ при ] € Ъ. В точках £ = Х2к+1, £ = Х2к, £ = £1, £ = £2 оно, очевидно, выполнено. При ' ^ 2к — 1, ' ^ 2к + 4 все слагаемые правой части равны нулю, левая часть также обращается в нуль.

Теперь зафиксируем промежуток Х,хЛевая и правая части соотношения на этом промежутке являются обобщенными многочленами (линейными комбинациями) компонент (£) вектора ), i — 0,3. Поскольку значения данных многочленов совпадают на концах каждого такого промежутка, то ввиду условия (А) совпадают и сами многочлены. Тождество полностью доказано.

Аналогичным образом получим

^2к-2{г) = —--Ш2к-з{г) + Ш2к-2{г) Л----Ш2к-\{г) + с^гДг),

£1 — Х2к £2 — Х2Й+1

^2к-\{г) = --Ш2к-\{г) + Ш2к+\{г),

£2 — Х2к+1

= т-^2к-1\г) +Ш2к+2{г).

£2 — Х2к+1

Итак, доказана

Теорема 2. Если выполнено условие (А), то при £ € (а, в) справедливы соотношения

= £ Рч Щ ^ (3)

где

Рз = 63 при ' < 2к — 4, рз = ¿1,3-2 при ' > 2к + 1,

Р»,2к+з = 0 при % < 2к — 4 V % > 2к — 1,

Щ2к-3 (£1) Щ2к-2 (£1) — 1

р2£;-3,2£;-3 — "7-, р2й-2,2А;-3 — -Т-,

£1 — Х2к £1 — Х2к

Рг,2к-2 = ¿г,2к-2 при % € Ъ, рг,2к-1 = 0 при % < 2к — 4 V % > 2к +1,

Щ2к-3 (£2 ) — ^2к Щ2к-2 (£2 ) — 1

Р2й-3,2й-1 — -Т-, Р2й-2,2й-1 — -7-,

£2 — Х2к+1 £2 — Х2к+1

Щ2к-1(£2) Щ2к (£2)

р2й-1,2й-1 — 7-, р2й,2й-1 — 7-,

£2 — Х2к+1 £2 — Х2к+1

Рг,2к = 0 при % < 2к — 4 V % > 2к — 1, р2к-3,2к = ¿2к, р2к-3,2к = 1-Замечание 1. .Если обозначить ¿^(Х) = = ^сЦш^ € И, г € 2},

то ^(Х) э ^(Х).

4. Биортогональная система функционалов и их значения на функциях Рассмотрим систему линейных функционалов над пространством С (а, в), определяемых соотношениями

, (2д— 1) , . ¿е/ м(ж2д+з) -ц(ж2<г+2) , ..

< д ,и > ,

Х2д+3 — Х2q+2

<д^\п> =' п(Х^+2) Уд € Ъ (5)

Имеем < >= Обозначим qi¿ = < >,£} —

Теорема 3. Справедливы соотношения

Ягу = 5гу при ] < 2к — 4, Цу = при ] > 2к + 1,

Яг,2к-3 = Яг,2к-1 = о при г е Ъ,

Яг,2к-2 = 0 при (г < 2к — 4) V (г > 2к — 1), (б)

Ц2к-3,2к-2 = —, <\2к-2,2к-2 = 1, Ц2к-3,2к = 1—, 12к 12к Яг,2к = 0 при (г < 2к — 4) V (г > 2к — 2).

Доказательство. Заметим, что Цу = при ] ^ 2к — 4, а Цу = 5г у-2 при ] ^ 2к + 3. Вычислим теперь остальные Цг2к-3, Яг2к-2, Яг2к-1, Яг2к, Яг2к+1, Яг2к+2 при г е Ъ.

1. Рассмотрим с\i2k-3- При г = 2q, д £ Ъ из (5) следует с\ак-з =< д^,ш2к-з >= й2к-з(х2д+2) =0 \jqeZ. При г = 2</ — 1 из (4) вытекает Яг2к-з =< д(2я~1') ,ш2к-з >=

й2к-з(х2д+з) - Ш2к-з(х2ч+2) п и 7 п пи-^г?

--—--—=0 Уд £ Ъ. Получаем Яг2к-з = 0 V» € Ъ.

х2д+3 — х2д+2

2. Рассмотрим Яг2к-2- При г = д £ 7> из (5) следует Яг2к-2 =< д^2^, ш2к-2 >= ~й2к-2{х2ч+2), что из (2) равно единице только тогда, когда </ = к — 1, и равно нулю в остальных случаях. При % = 2</ — 1 из (4) вытекает Яг2к-2 =< д^2с1~1\То2к-2 >= й2к-2{х2ч+з)-й2к-2{х2с[+2) 1

-----, что равно--только в случае, когда </ =

х-2д+3 — х2д+2 х2к+1 — х2к

к — 1, и равно нулю в остальных случаях. Получаем ц2к-2,2к-2 = 1, ц2к-3,2к-2 =

Чг2к-2 = 0 при остальных г £ Ъ.

х2к+1 — х2к '

3. Рассмотрим Яг2к-1- При % = 2</, </ € Ъ ИЗ (5) следует Яг2к-1 =< д/у2<1\'^2к-1 > =

й2к-1(х2ч+2) =0 \jqeZ. При г = 2</ — 1 из (4) вытекает Яг2к-1 =< д^2д~1'> ,ш2к-1 >=

й2к-1(х2ч+з) — й2к-1(х2д+2) пи-,- гг

--—--—=0 Уд £ Ъ. Получаем Яг2к-1 =0 V» € Ъ.

х2д+3 — х2д+2

4. Рассмотрим с\г2к. При % = 2ц, ц £ Ъ из (5) следует цак = < д(2<1\й;2к >= й2к(х2д-\-2), что из (2) равно нулю для всех </ £ Ъ. При г = 2д — 1 из (4) выте-

„ (2а-1) — _ й2к(х211+3) -й2к(х211+2) 1

кает с\г2к =< д^4 >,и}2к >= -----, что равно - толь-

х2д+3 — х2д+2 х2к+1 — х2к

ко в случае, когда ц = к — 1, и нулю в остальных случаях. Получаем Ц2к-3,2к =

---, Йг2к =0 Уг £ X, г Ф 2к - 3.

х2к+1 — х2к

5. Рассмотрим с\г2к+\. При % = 2ц, ц € Ъ из (5) следует с\г2к+\ =< д^2д\ й2к+1 >=

^2к+1 (^2д+2)? что из (2) равно нулю для всех д £ X. При г = 2д — 1 из (4) вытекает

„ (2а~1) — ^ й2к+1(х2ч+3) - й2к+1(х2ч+2)

Чг2й+1 =< 3 ,^2к+1 >= -1-1-, что равно единице только

х-2д+3 — х2д+2

в случае, когда ц = к, и нулю в остальных случаях. Получаем Ц2к-1,2к+1 = 1, цг2к+1 = 0 Уг е Ъ,г = 2к — 1.

6. Рассмотрим с\г2к+2. При % = 2ц, ц £ Ъ из (5) следует с\г2к+2 =< д^2с1\ти2к+2 >= ^2^+2 (^2д+2)? что из (2) равно единице только в случае, когда </ = /г, и нулю в остальных случаях. При г = 2</ — 1 из (4) вытекает с\ак+2 =< д/у2<1^1\'^2к+2 >= ~й2к+2(х2ч+з) - ш2к+2(х2ч+2)

-----, что равно нулю для всех </ € ¿¡. Получаем с\2к12к+2 =

х2д+3 — х2д+2

1, Яг2к+2 =0 Уг е Ъ,г = 2к.

Замечание 2. Матрица Д является левой обратной к матрице рТ, где Р = (Рч ■

5. Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и рекострукции. Вэйв-летное разложение пространства ¿^(Х) определим равенством

^(Х) = Р^(Х) + 1¥,

где оператор Р-проектирования пространства ¿^(Х) на подпространство ¿^(Х) задается формулой Рйа— ^сцшг при сц =< д^г\ й > Уй € ¿^(Х), Т^<г='(55¥,(Х), С} = I — Р,

г

I - тождественный оператор; Ш называется пространством вэйвлетов.

Пусть ü е SV(X). Тогда ü = J2 ck^k = 12 + 12 = 12(12 a-iPij+b^LVj] отсюда

k i j j i

ck = 12 ai Pik+bk. i

Коэффициенты bj выражаются через коэффициенты ck следующим образом: Ъо = сз ~ ^Pij < 9(-l\y^JckZJk >= Cj - ^Pij £cfc < g^\T3k > .

Итак,

ai 12 qii' ci' 7

bj = cj (2Pijqu')ci'

(7)

Теорема 4 (Формулы декомпозиции). Для вэйвлетного разложения справедливы следующие соотношения :

аг = сг при г ^ 2к — 4, аг = сг+2 при г ^ 2к,

С2к —2 , С2к С2к+1

а-2к-з —--;--Ь —, а>2к-2 — С2к-2, а>2к-1 — -,

12к 12 к 12к+2

, ( ^2к-з(6) , ^2к — 2 (^1) — !Л ^2к—з(£0

»2£;-3 — С2к-3 ~ —7Т-г;--1---- \C2k-2--7-С-2к:

V (£1 — Х2к)12к £1 — Х2к ) £1 — Х2к

, ( ^2к—3 (£2) — 12к , ^2к —2 (£2) — !Л (8)

"2к-1 — ~ "77-71--1--7- I С-2к — 2 + С2к-1~

\ (£2 — Х2 к +1 )«2 к £2 — Х2 к +1 /

^2Й-З(£2) ~ — 1 (£2) ^2А;(£2)

(£2 - Х2к+1)кк (£ Ьк = 0 при остальных ] € 2.

et ^ C2fc ~ Те-Vi-с2к+1 - 7-С2к+2,

(s2 — х2 k +1 )l2 k (s2 — X k+1 )l2 k+2 52 — X k +1

Доказательство следует из формул (3), (6) и (7).

Замечание 3. Пространство Ш двумерно и его базисом служат функции ^2к—3 (£) и й}2к — 1&) ■

Теорема 5 (Формулы реконструкции). Пусть известны коэффициенты а^ в разложение проекции элемент й € ¿^(Х) на пространство ¿^(Х) и коэффициенты Ь2к—3, Ь2к—1 в разложение проекции элемента й на пространство Ш, Рй = ^аг^, <5« = Ъ2к-з^2к-з + Ь2к-1^2к-1- Тогда коэффициенты ск в формуле й =

гк

имеют вид

сг = аг при г ^ 2к — 4, сг = аг-2, г ^ 2к + 2,

, , ,Ш2к-3(^1)(12к — 1) , Ш2к-2(^1) — 1, С2к-3 — <)2к-3 + (,-7Т-г;--1----)0>2к-2 +

(51 — х2к )12к 51 — х2к

. ^2к-3(^1)^2к

Н--т-0>2к-3,

51 — х2к

С2к-2 = Ь2к-2,

, , Ш2к-2(52) — 1 , Ш2к-3(52) — 12к С2Й-1 — "2к-1 Н--Т-0>2к-2 Н--Т-0,2к-3 +

52 — х2к+1 52 — х2к+1

, Ш2к-1(Ь) Ш2к (52)

+ 7-а>2к-1 — 7-а2к,

52 — х2к+1 52 — х2к+1

С2к = 12ка2к-3 + а2к-2, С2к+1 = Ьк+2а2к-1.

Доказательство следует из формул (8).

6. Заключение. Были предложены новые вэйвлетные разложения и выведены новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями. Полученные базисные вэйвлеты имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы.

В дальнейшем авторами планируется продолжить изучение разложения числовых потоков, включающих поток значений второй и третьей производных аппроксимируемой функции (это весьма важно для качественной аппроксимации), и построить вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа, не встречавшееся ранее. Базис этих сплайнов получается из аппроксимационных соотношений при минимальной (почти везде на рассматриваемом промежутке (а, в)) кратности накрытия носителями базисных функций, так что данные сплайны относятся к классу минимальных. Строятся вэйвлетные разложения и выводятся формулы декомпозиции/реконструкции. Производятся практические оценки относительной погрешности решения по полученным формулам.

Литература

1. Чуи Ч. К. Введение в вэйвлеты: учеб. пособие для студентов вузов по спец. «Прикладная математика» / пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.

2. Демьянович Ю. К. Всплески и минимальные сплайны. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 200 с.

3. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / пер. с англ. Я. М. Жилейкина; под ред. В. И. Арнольд. М.: Мир, 2005. 671 с.

4. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скотина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

5. Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 2. С. 8—22.

6. Демьянович Ю. К., Левина А. Б. Вэйвлетные разложения и шифрование // Методы вычислений / под ред. В. М. Рябова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2008. Вып. 22. С. 41-63.

7. Демьянович Ю. К., Левина А. Б. О вэйвлетных разложениях линейных пространств над произвольным полем и о некоторых приложениях // Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 11. С. 104-108.

8. Демьянович Ю. К. Всплесковые (вэйвлетные) разложения на неравномерной сетке // Труды С.-Петерб. мат. об-ва. 2007. Т. 13. С. 27-51.

9. Демьянович Ю. К., Зимин А. В. О всплесковом разложении сплайнов эрмитова типа // Проблемы математического анализа. 2007. Т. 35. С. 33-45.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 24 декабря 2009 г.