CC BY
11
Серия «Математика»
2011. Т. 4, № 4. С. 94-100
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 512.552.12:512.541
О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы
В. М. Мисяков
Томский государственный университет
Аннотация. Исследуется действие элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы на самой группе.
Ключевые слова: абелева группа; кольцо эндоморфизмов; радикал Джекобсона.
В монографии [1] сформулирована проблема 17: «Вычислить радикал кольца эндоморфизмов р-группы (сепарабельной р-группы)». Здесь под радикалом кольца эндоморфизмов р-группы (сепарабельной р-группы) понимается радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов данной группы, а под его вычислением подразумевается описание его элементов в терминах их действия на группе. В работах [10], [9], [5] и [6] описываются элементы из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в терминах их действия на периодически полных р-группах, на ^-сепарабельных р -группах, на тотально проективных р -группах и на достаточно проективных р -группах соответственно. Обзор этих результатов можно найти, например, в [1]. В данной статье эта задача рассматривается для сепарабельной р-группы и делимой периодической группы. Для сепарабельной р-группы, в частности, получено некоторое решение проблемы 17 [1].
Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми. Все понятия, которые не поясняются, являются стандартными, их можно найти, например, в монографиях [1], [2] или [3].
Введем некоторые обозначения: Е(А) — кольцо эндоморфизмов группы А; АпЬ(А) — группа автоморфизмов группы А; .](Е(А)) — радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы А; о(а) — порядок элемента а; ТР(А) — р-компонента периодической части группы А; А[п] = {а € А | па = 0} — подмножество элементов группы А; Р(А) — множество всех простых чисел р таких, что Тр(А) = 0; Ьр(а), Ьр(а) — высота и обобщённая р-высота элемента а.
Напомним некоторые понятия. Произвольная группа A называется сепарабельной, если любую её конечную подсистему (ai, ..., an} можно вложить в прямое слагаемое S группы A, являющееся прямой суммой групп ранга 1.
Далее, для всякого порядкового числа а под подгруппой p°G[p] группы G подразумевается подгруппа p°G П G[p].
Следующее свойство некоторых подгрупп будем использовать в дальнейшем.
Замечание 1. Для всякого натурального числа m, порядкового числа а и простого числа p подгруппы mG, G[m], p°G и p°G[p] являются вполне характеристическими в группе G.
Ниже показывается, что лемма 13.1 [10], доказанная Пирсом для сепарабельных p-групп, будет справедлива и в более общем случае.
Предложение 1. Пусть G — редуцированная р -группа и а £ E(G). Для того, чтобы а £ Aut(G) необходимо и достаточно выполнение равенств keraQG[p] =0 и а(рстG[p]) = p°G[p] для любого порядкового числа а.
Доказательство. Поскольку необходимость очевидна, то докажем достаточность. Если а(х) =0 и o(x) = pk, то o(pk-1x) = p и a(pk-1x) = pk-1(a(x)) = 0. Таким образом, pk-1x £ keraP|G[p] = 0, что противоречит порядку элемента х. Следовательно, ker а = 0. Покажем, что а — сюръективное отображение. Рассмотрим произвольное y £ G, где o(y) = pk, k £ N. Доказательство проведём индукцией по k. Пусть k = 1 и hp(y) = а, тогда из равенства а^°G[p]) = p°G[p] следует существование х £ p0G[p] такого, что а(х) = y. Пусть для любого l £ N такого, что 1 < l < k — 1, утверждение справедливо. Пусть l = k и рассмотрим элемент pk-1y, принадлежащий p0G[p] для некоторого порядкового числа а > k — 1. Тогда из равенства а^°G[p]) = p0G[p] следует существование x1 £ p0G[p] такого, что а(х1) = pk-1y. Так как а > k — 1, то p°G[p] С p°G С pk-1G. Поэтому, существует х £ G такой, что х1 = pk-1x. Тогда pk-1y = а(х1) = аpk-1x и pk-1 (y — ах) = 0. Следовательно, o(y — ах) < pk-1, и, по предположению индукции, существует z £ G такой, что y — ах = аз, то есть y = а(х + z) £ im а. Таким образом, im а = G и а £ Aut(G). □
Далее под радикалом Джекобсона J(E(G)) кольца эндоморфизмов E(G) будем понимать следующую его характеризацию: J(E(G)) = (а £ e(g) | Vв £ E(G), (1 — ав) £ Aut(G)} [10, гл. 4, теорема 15.3].
Пирс в [10] для редуцированной p -группы G без элементов бесконечной p-высоты (то есть для сепарабельной p -группы) вводит идеал H(G) = (а £ E(G) | Vх £ G[p], hp(x) < те ^ hp(x) < Л,р(ах)}. Здесь
Ьр(х) < те означает, что Ьр(х) = к для некоторого неотрицательного целого числа к.
Пусть С — редуцированная р -группа. Введём по аналогии с идеалом Н(С) идеал Н*(С) = {а € Е(С) | V0 = х € С[р] ^ Ьр(х) < Ьр(ах)}.
В следующем утверждении рассматривается более общий случай, чем в [1, предложение 20.2].
Лемма 1. Пусть С — редуцированная р -группа, тогда 3(Е(С)) С Н *(С).
Доказательство. Допустим противное, то есть пусть существуют а € 3(Е(С)) и 0 = х € С[р] такие, что Ьр(х) = Ьр(а(х)) = ст. Если ст — конечное порядковое число, то, как вытекает из доказательства предложения 20.2 [1], получаем противоречие с выбором элемента х. Пусть ст — бесконечное порядковое число. Представим группу С в виде: С =< Ь > ф В. Пусть а €< Ь >, Ь*(а) = к и о(а) = р. Тогда Ь*(а(х) + а) = Ь*(х + а) = к и о(а(х) + а) = о(х + а) = р. Следовательно, существуют разложения С =< с > ф С =< ^ ^ ® где а(х) + а €< с > и х + а €< d > . Проводя аналогичные рассуждения как выше, находим эндоморфизм ^ € Е(С) такой, что ^ :< с >^< d >, причём <^(а(х) + а) = х + а и ^С = 0. Тогда (1-<^а)(х) = ^>(а)—а. Представим элемент а в виде следующих разложений: а = пс+и = где пс €< с >, и € С, €< d >
и V € ^. Следовательно, имеем (1 — <^а)(х) = ^>(пс + и) — (md + V) = (^>(пс) — md) + (—V), где <^(пс) — md €< с > и (—V) € ^. Так как ^>(пс) — €< с >, то Ьр(<^(пс) — md) = 8 — конечное порядковое
число. Тогда Ь*((1 — ^>а)(х)) = тт{Ьр(<^(пс) — md), Ьр(—V)} < 8. Таким образом, эндоморфизм (1 — <^а) группы С понизил высоту элемента х, что приводит к противоречию. □
Приведём лемму 14.5 [10], доказанную Пирсом.
Лемма 14.5. Пусть С — сепарабельная р-группа. Равенство 3(Е(С)) = Н(С) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (*):
(*) если х € С[р], а € Н(С) и уп = х + а(х) + ... + ап-1(х), то существует у € С такой, что Ьр(у — уп) ^ те при п ^ те.
Последовательность {уга}пем, введённая Пирсом в данной лемме, как будет показано ниже, играет существенную роль при описании элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной р-группы.
Пусть С — сепарабельная р-группа и £р(С) = {а € Е(С) | Vx € С[р], Vв € Е(С) и уп = х + (ав)(х) + ... + (ав)п-1(х), п € Ж, последовательность {уга}гае^ сходится}. Сходимость последовательности {уп}пем рассматривается здесь в р-адической топологии группы С.
Напомним, что последовательность {$г}гем элементов группы С сходится к пределу д € С в р-адической топологии группы С, если для
любого n £ N существует k £ N такое, что g — gi £ pnG как только i > k.
Докажем один из основных результатов данной работы.
Теорема. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной p-группы G имеет вид J(E(G)) = Sp(G) П H(G).
Доказательство. Покажем, что J(E(G)) С Sp(G) П H(G). Поскольку J(E(G)) С H(G) (см. лемма 1), то осталось показать, что J(E(G)) С Sp(G). Рассмотрим произвольное а £ J(E(G)), тогда (1 — ав) £ Aut(G) для любого в £ E(G). Следовательно, для любого х £ G[p] найдётся y £ G[p] такой, что (1 — ав)(у) = х. Пусть yn = х + (ав)(х) + .. . + (ав)п-1(х) для любого n £ N, тогда yn = х + (ав)(х) +... + (ав)п-1 (х) = (1 + ав +
... + (ав^-1)^) = (1 + ав + ... + (ав^-1)^ — ав)(y) = (1 — (ав )n)(y).
Покажем, что y = lim yn. Рассмотрим произвольное n £ N и k =
n—
n + 1 покажем, что y — yi £ pnG для любого i > k. Действительно, y — yi = (ав)i(y). Так как ав £ H(G), то Л,р((ав)i(y)) > i > k > n. Следовательно, y — yi = (ав)Чу) £ pnG, то есть y = lim yn.
n—^
Докажем справедливость обратного включения. Пусть а £ Sp(G) П H(G). Согласно определению радикала Джекобсона кольца E(G) и предложению 1 достаточно показать, что для любого в £ E(G) выполняется: 1) ker(1 — ав) П G[p] = 0; 2) (1 — ав^^И = pnG[p] для любого n £ N. Покажем, что выполняется условие 1). Допустим противное, т. е. пусть существует 0 = х £ ker(1 — ав) П G[p]. Тогда (1 — ав)(х) =0 и, следовательно, Л,р((ав)(х)) = hp(x). Последнее равенство противоречит тому, что ав £ H (G).
Проверим выполнение равенства 2). Пусть х £ pkG[p]. Так как а £ Sp(G), то последовательность (yn}n^N сходится, где yn = х + (ав)(х) + ... + (ав^-1^). Так как х £ pkG[p] и pkG[p] — вполне характеристическая подгруппа, то yn £ pkG[p] для любого n £ N. Пусть y = lim yn, тогда существует t £ N такое, что y — yn £ pkG[p] как только
n—^
n > t. Следовательно, y £ pkG[p]. Тогда имеем hp((1 — (ав))(у) — x) = hp(((1 — (ав))^) — x) + (1 — (ав))(у — yn)) = hp (—(ав )n(x) + (1 — (ав))(у — yn)) > min(hp((ав)n(x)), hp(y — yn)}. Здесь учитывалось то, что y — yn £ pkG[p] (то есть y — yn £ G[p]) и ав £ H(G), тогда hp(1 — (ав))(y — yn)) > min(hp(y — yn), (ав)(y — Уп)} = hp(y — yn). Так как ^((ав^х)) и hp(y — yn) стремятся к те при n ^ те, то hp((1 — (ав))(у) — х) = те. Следовательно, (1 — (ав))(у) — х = 0 поскольку G — сепарабельная p-группа. Таким образом, х = (1 — ав)у и справедливо равенство (1 — ав^G[p] = pkG[p] для любых k £ N и в £ E(G). Следовательно, (1 — ав) £ Aut(G) для любого в £ E(G), то есть а £ J(E(G)). □
Из теоремы следует, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной р-группы С в точности совпадает с множеством всех элементов а € Н(С), для которых выполняется следующее условие: для любых х € С[р] и в € Е(С) последовательность {уга}гае^ сходится в группе С, где уп = х + (ав)(х) + ... + (ав)п-1(х). Это условие будем называть условием Пирса. Заметим также, что существуют сепарабельные р-группы С, в которых множество всех элементов а € Н(С), удовлетворяющих условию Пирса, не совпадает с Н(С). Например, если С — неограниченная группа, являющаяся прямой суммой циклических р-групп [1, следствие 20.6], то есть в этом случае имеем (5Р(С)П Н(С)) С н(С).
Следующее утверждение показывает, что лемма 14.5 [10] является следствием теоремы.
Следствие 1. Для сепарабельной р-группы С следующие условия эквивалентны:
1) 3(Е(С)) = Н(С); -
2) если х € С[р], а € Н(С) и уп = х + а(х) + ... + ап 1(х), то существует у € С такой, что Ь(у — уп) ^ те при п ^ те;
3) Н(С) С (С).
Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно следует из [10, лемма 14.5]. Эквивалентность условий 1) и 3) вытекает из теоремы. □
Доказательство следующего утверждения аналогично доказательству предложения 1, но для полноты изложения приведём его.
Лемма 2. Пусть С — делимая р -группа и а € Е(С). Для того, чтобы а € Аи£(С) необходимо и достаточно выполнения равенств кег а П С[р] =0 и а(С[р]) = С[р].
Доказательство. Необходимость. Первое равенство получим из определения автоморфизма группы С. Включение а(С[р]) С С[р] следует из замечания 1. Пусть х € С[р]. Так как а € Аи^С), то х = а(а-1х). Поскольку а-1х € С[р] (см. замечание 1), то х € а(С[р]).
Докажем достаточность. Если а(х) =0 и о(х) = рк, то о(рк-1х) = р и а(рк-1х) = 0. Тогда рк-1х € кег а^|С[р] = 0, что противоречит порядку элемента х. Следовательно, кег а = 0. Покажем, что а — сюръективное отображение. Рассмотрим произвольное у € С, где о(у) = рк, к € N. Доказательство проведём индукцией по к. Пусть к = 1, тогда из равенства а(С[р]) = С[р] следует существование х € С[р] такого, что а(х) = у. Пусть для любого I € N такого, что 1 < I < к — 1, утверждение справедливо. Пусть I = к и рассмотрим элемент рк-1у, принадлежащий С[р]. Тогда из равенства а(С[р]) = С[р] следует существование х1 € С[р] такого, что а(х1) = рк-1у. Так как С — делимая р -группа, то
С = рк-1С. Следовательно, существует х € С такой, что х1 = рк-1х. Тогда рк-1у = а(х1) = арк-1х и рк-1(у — ах) = 0. Следовательно,
о(у — ах) < рк-1, и, по предположению индукции, существует г € С
такой, что у — ах = аг, то есть у = а(х + г) € та. Таким образом,
т а = С и а € Аи^С). □
Замечание 2. Если С — делимая р-группа, то 3(Е(С)) = рЕ(С) [7, лемма 2.2].
Пусть С — делимая р -группа. Рассмотрим идеал в кольце эндоморфизмов этой группы Ьр(С) = {а € Е(С) | С[р] С кега}.
Предложение 2. Пусть С — делимая р-группа, тогда 3(Е(С)) =
¿Р(С).
Доказательство. Покажем, что 3(Е(С)) С Ьр(С). Пусть а € 3(Е(С)) и допустим противное, то есть пусть а € ¿р(С). Последнее означает, что существует 0 = х € С[р] \ кег а. Тогда а(х) = (ра1)(х) = а1(рх) = 0 и, следовательно, х € кег а, что противоречит выбору элемента х.
Покажем, что 3(Е(С)) 5 ¿р(С). Для этого необходимо доказать, что (1 — ав) € Аи^С) для произвольных а € Ьр(С) и в € Е(С). Согласно лемме 2 покажем 1): кег(1 — ав) П С[р] = 0. Рассмотрим произвольный элемент х € кег(1—ав) П С[р], тогда (1—ав)(х) = 0. Следовательно, х = (ав)(х) = а(в(х)) = 0, поскольку в(х) € С[р] С кег а. Покажем 2): (1 — ав)(С[р]) = С[р]. Поскольку (1—ав)(С[р]) С С[р], то для произвольного у € С[р] имеем (1 — ав )(у) = у — а(в (у)) = у (так как в (у) € С[р] С кег а). □
Заметим также, что некоторое описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов делимой р-группы бесконечного ранга можно найти в работе [8].
Замечание 3. Пусть С = ® Тр(С) — периодическая группа. Тогда
р€Р (С)
Е(С)= П Е(Тр(С)) и 3(Е(С))= П 3(Е(Тр(С))).
р€Р(С) р€Р(С)
Доказательство. Следует из [3, §106, упр. 4(а)] и [4, часть 4, §15, упр.
4]. □
Следствие 2. Пусть С — делимая периодическая группа, тогда
3(Е(С))= П ^р(Тр(С)).
р€Р (С)
Доказательство. Следует из замечания 3 и предложения 2. □
Список литературы
1. Крылов П. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов / П. А. Крылов, А. В. Михалёв, А. А. Туганбаев. - Томск : ТГУ, 2002. - 464 с.
2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1974. - Т. 1. -336 с.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1977. - Т. 2. -415 с.
4. Anderson F. W. Rings and categories of modules / F. W. Anderson, K. R. Fuller.
- N. Y. : Springer-Verlag, 1992. - P. 380.
5. Hausen J. The Jacobson radical of some endomorphism rings / J. Hausen // Lecture Notes in Math. - 1977. - Vol. 616. - P. 332-336.
6. Hausen J. Ideals and radicals of some endomorphism rings / J. Hausen, J. A. Johnson // Pacific J. Math. - 1978. - Vol. 74, N 2. - P. 365-372.
7. Hausen J. Determining Abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings / J. Hausen, J. A. Johnson // J. Algebra. - 1995. - Vol. 174. - P. 217-224.
8. Haimo F. Endomorphism radicals which characterize some divisible groups / F. Haimo // Ann. Unev. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. - 1967. - Vol. 10. - P. 25-29.
9. Liebert W. The Jacobson radical of some endomorphism rings / W. Liebert // J.Reine Angew. Math. - 1973. - N 262/263. - P. 166-170.
10. Pierce R. S. Homomorphisms of primary Abelian groups / R. S. Pierce // Topics
in Abelian groups (New Mexico State Univ. 1962). Scott. Foresman. Chicago. IL.
- 1963. - P. 215-310.
V. M. Misyakov
On the Jacobson radical of the endomorphism ring of a torsion abelian groups
Abstract. Action of elements of the Jacobson radical of the endomorphism ring of an abelian torsion group on the group itself is investigated.
Keywords: abelian group; endomorphism ring; Jacobson radical
Мисяков Виктор Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36 тел.: (3822)460369 ([email protected])
Misyakov Viktor, Tomsk State University, 36 Lenin Prospekt, Tomsk, 634050 associate professor, Phone: (3822)460369 ([email protected])
