О проблемах Айзермана и Калмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРОБЛЕМАХ АЙЗЕРМАНА И КАЛМАНА*

Г. А. Леонов1, Н. В. Кузнецов2, В. О. Брагин3

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение

Выдвинутые Айзерманом [1] и Калманом [2] проблемы об устойчивости нелинейных управляемых систем стимулировали развитие методов обнаружения скрытых периодических колебаний в многомерных динамических системах.

В пятидесятых годах XX в. В. А. Плиссом [3] был разработан аналитический метод, позволяющий обнаруживать периодические колебания в системах третьего порядка, удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса—Гурвица. В дальнейшем этот метод был развит и для многомерных систем [4-7].

Оказалось, что такой обобщенный метод Плисса может рассматриваться как некоторый специальный вариант метода описывающих функций в критическом случае [8]. Объединенный с вычислительными процедурами, базирующийся на прикладной теории бифуркаций, этот метод позволил получить новые классы систем, для которых неверны гипотезы Айзермана и Калмана. Описанию этих процедур и посвящена настоящая статья.

Рассмотрим систему

лх

— = Рх + д<^(г* х), гёК", (1)

аЬ

где Р — постоянная п х п-матрица, д,т — постоянные п-мерные векторы, * — операция транспонирования, <^(а) — непрерывная, кусочно-дифференцируемая скалярная функция и ^(0) = 0. Пусть для всех к € (^1,^2) нулевое решение системы (1) с <^(а) = ка асимптотически устойчиво в целом (т. е. нулевое решение устойчиво по Ляпунову и любое решение системы (1) стремится к нулю при Ь ^ то, другими словами: нулевое решение — глобальный аттрактор системы (1)).

Такая форма записи нелинейных динамических систем с одной нелинейностью тра-диционна для теории абсолютной устойчивости нелинейных систем управления [9].

В 1949 году М. А. Айзерман [1] выдвинул предположение о том, что все системы (1), удовлетворяющие свойству

к1а < у>(а) < к2а, а = 0, (2)

устойчивы в целом.

Необходимые критерии абсолютной устойчивости [5-7] опровергают эту гипотезу.

* Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы.

© Г.А.Леонов, Н.В.Кузнецов, В.О.Брагин, 2010

В 1957 году Р. Е. Калман выдвинул аналогичную гипотезу [2] с более жестким условием: если в точках дифференцируемости у>(<т) выполнено условие

< ¥>'(<7) < М2,

(3)

то система (1) устойчива в целом.

Хорошо известно, что эта гипотеза справедлива при п = 2 и п = 3 [7]. Единственным широко цитируемым в литературе контрпримером к этой гипотезе являются результаты Фитса [10], где проведено компьютерное моделирование системы (1) при п = 4 с передаточной функцией

[(р + в)2 +0.92][(р + в)2 + 1.12]

(4)

и с кубической нелинейностью ¥>(а) = ка3.

Проведем компьютерное моделирование системы Фитса. При в = 0.01 и к = 10, восстанавливая систему по передаточной функции (4), получим

Х1

Х2 Хз

Х2,

хз,

Х4,

(5)

Х4 = —0.9803Х1 — 0.0404х2 — 2.0206хз — 0.0400х4 + ¥( —Хз)

с нелинейностью ¥>(а) = 10а3.

Моделируя данную систему с начальными данными Х1(0) = 85.1189, Х2(0) =

0.9222, Хз(0) = —2.0577, Х4(0) = —2.6850, получим «периодическое» решение (рис. 1).

СО

Рис. 1. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 85.1189, £2(0) =

0.9222, £3(0) = -2.0577, £4(0) = -2.6850 системы (5) на плоскость (£1,^2)-

Таким образом, в экспериментах Фитса были обнаружены периодические решения системы (1) при некоторых значениях параметров в и к. Однако для части параметров в € (0.572, 0.75), рассмотренных Фитсом, было показано [11, 12], что результаты экспериментов неверны.

Изложенное в [12] доказательство существования системы (1) при п = 4, для которой гипотеза Калмана не выполнена, является «теоремой существования» и нуждается в тщательной проверке.

2

Р

X

Рассмотрим предложенную в [12] систему

Х1 = Х2,

• 2 —— — *4,

• 2 ( ) (6)

•з = xi — 2x4 — ),

•4 = Х1 + хз — Х4 — ^(*4),

с нелинейностью у>(<г) = sign(a), изменив форму нелинейности на

( 5cr, V|сг| <

^) = ^ ! / ! ч ! (7)

I Sign(cr) + — ( сг - Slgn(cr)- ) , V|сг| >

График такой нелинейности изображен на рис. 2.

о

Рис. 2. График ^р(а) при i = 5 и сектор устойчивости.

Для системы 6 с нелинейностью 7 найдем периодическое решение. Промоделируем данную систему с начальными данными *i(0) = 0, *2(0) = 1/2, *з(0) = 0, *4(0) = 0. Полученное периодическое решение изображено на (рис. 3).

В [13-15] указывается на ошибки в работе [12]. Так, в работе [13] говорится “He tried to prove that this system and systems close to this have a periodic orbit. But his arguments are not complete, and we checked numerically that in the region where he tries to find the periodic orbit all the solutions have w-limit equal to the origin”; в [14] говорится, что “In 1988 Barabanov gave ideas for constructing a class C1 MY-SYSTEM (Markus—Yamabe system) in 4 dimensions with a nonconstant periodic orbit, — and hence a counterexample to MYC (Markus—Yamabe Conjecture) in R4. But the details of his paper were in some doubt”, в [15] говорится, что “в 1988 г. Н. Е Барабанов сделал попытку построить контрпример к теореме Маркуса—Ямабе в Rn при n > 4. Недавно в его статье были найдены ошибки”.

В [13] предприняты попытки преодоления проблем, возникших в [12], при помощи аналитико-численных методов.

ЗЗ

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x3(t)

Рис. 3. Проекция траектории с начальными данными £х(0) = 0, £2(0) 1/2, £з(0) = 0, £4(0) = 0 системы (5) на плоскость (жэ,ж4).

Проведем моделирование системы, предложенной в [13],

• l = Х2 •2 —Х4

9І3І . .

х3 = xi- 2ж4 - (р{хА)

І837 . .

.г’4 = х\ + .г’з — .г’4---(Д.г^),

где

=

!8O

VN <

9OO

9185’

. 900 900

sign (a)----, V<7 > -----.

b v 79185’ 1 1 9185

График такой нелинейности изображен на рис. 4.

(8)

(9)

Рис. 4. График <^(<7) при г = 5 и сектор устойчивости.

t

о

З4

x3(t)

Ї O

O 1OOO 2OOO 2 t

Рис. 5. Проекция траектории о начальными данными Х1(0) = 0, Х2(0) = 1/2, хз(0) 0, Х4(0) = 0 системы (8) на плоскость (жз,ж4).

3OOO

Моделируя решение системы (В) с начальными данными xi(0) = 0, x2(0) = 1/2, x3(0) = 0, x4(0) = 0, получим периодическое решение изображенное на рис. 5.

Здесь необходимо отметить, что в рассмотренных выше примерах поиск систем с периодическими решениями осуществляется эмпирически. На поиск самих систем, а так же их решений затрачивается много времени и сил.

В настоящей статье предложен конструктивный алгоритм построения классов систем (І), для которых неверна гипотеза Калмана.

Аналитико-численный метод вычисления периодических решений

Следуя работам [В, І6—ІВ], рассмотрим аналитико-численную процедуру вычисления периодических решений.

Будем вначале предполагать, что мі = 0, М2 = М > 0, матрица P имеет два чисто мнимых собственных значения ±iwo (wo > 0) и остальные ее собственные значения

имеют отрицательные вещественные части. В этом случае систему (І) можно записать

в виде

x і = -wox2 + biy>(xi + c*x3),

x 2 = woxi + b2^(xi + c*x3), (І0)

x з = Ax3 + b^(xi + c*x3).

Здесь xi, x2 Є R1, x3 Є Rn-2, A — постоянная (n — 2) x (n — 2)-матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части, b и c — постоянные (n-2)-мерные векторы, bi и b2 — некоторые числа.

Запишем передаточную функцию системы (І0) от «входа у>» к «выходу r*x»:

W(p) = r*(P -pi)-1 q= + о +c*(A_pI)-ib.

p2 +

Введем в рассмотрение функцию ^°(a) специального вида («насыщение»):

n I Ма, V|a| < є;

/И = { 3 (ІІ)

^sign(a)Mє3, V|a| > є.

Здесь ^ < ^2, М — некоторые положительные числа, є — малый положительный параметр.

Для системы (10) с = <£>0 имеет место следующий результат.

Теорема 1 [8, 16]. Если выполнены неравенства

то для достаточно малого е система (10) с нелинейностью (11) имеет орбитально устойчивое периодическое решение, удовлетворяющее соотношениям

друга вне малых окрестностей точек разрыва.

Теорема 1 позволяет определить близкое к гармоническому устойчивое периодиче-

с 2 =0. Все точки этого периодического решения либо расположены в области притяжения устойчивого решения ж1^) системы (14) с 2 = 1, либо при переходе от системы (14) с 2 = 0 к системе (14) с 2 = 1 наблюдается бифуркация потери устойчивости и исчезновения периодического решения. В первом случае можно численно определить ж1^), выпуская траекторию системы (14) с 2 = 1 из начальной точки ж0(0).

Стартуя из точки ж0(0), вычислительная процедура после переходного процесса выходит на периодическое решение и вычисляет его. Для этого промежуток [0, Т], на котором происходит вычисление, должен быть достаточно большим.

После вычисления ж1^) можно перейти к следующей системе (14) с 2 = 2 и организовать аналогичную процедуру вычисления периодического решения ж2(£), выпуская из начальной точки ж(0) = ж1(Т) траекторию, которая при возрастании £ приближается к периодической траектории ж2(£) (или здесь наблюдается бифуркация потери устойчивости и исчезновения периодического решения).

Продолжая эту процедуру далее и последовательно вычисляя периодические решения ж5'(£), используя траектории системы (14) с начальными данными ж5'(0) = ж5-1(Т), либо приходим к вычислению периодического решения системы (14) с 2 = т, либо на некотором шаге наблюдаем бифуркацию исчезновения периодического решения и останавливаем алгоритм.

Ьі < 0,

0 < ^&2^о(е*Ь + Ьі) + Ь^,

ж1(і) = — 8іп(^0і)ж2(0) + О(є), ж2(і) = ео8(^0і)ж2(0)+ О(є), ж3(і) = О(є),

(12)

Рассмотрим теперь для і = 1,..., т конечную последовательность функций

У|ст| < є-; У|ст| > є-;

(13)

Будем выбирать т так, чтобы графики функций ^ и <^+1 мало отличались друг от

ское решение ж(і) = ж0 (і) системы

— = Рх + (г*ж)

(14)

Предположим, что нами вычислено периодическое решение жт(£) системы (14) с монотонной и непрерывной функцией ут(а). В этом случае организуем аналогичную вычислительную процедуру для последовательности систем

— = Рх + д 1рг(г*х),

(15)

где г = 0, . .., Н, ^°(а) = ут (а) и

^г(а)

Ма,

г(а - sign(а)еm)N + sign(а)^еm,

У|а| < ет; У|а| > ет.

(16)

Здесь N — некоторый положительный параметр, такой что НЖ < ^2.

Нахождение периодических решений ж®(£) системы (15) дает при каждом г = 1,..., Н некоторый контрпример к гипотезе Калмана.

Приведем соответствующие примеры.

Пример 1. Рассмотрим систему

Здесь при у(а) = ка устойчивость линейной системы (17) имеет место для к € (0, 9.9), и для кусочно-непрерывной нелинейности у (а) = у°(а) с достаточно малым е по вышеизложенной теореме существует периодическое решение.

Применим алгоритм построения периодических решений. Возьмем ц = М = 1, е 1 = 0.1, е2 = 0.2, ..., ею = 1 и будем для 2 = 1,..., 10 последовательно строить решения системы (17), полагая нелинейность у(а) равной у3 (а) согласно (13). Здесь для всех е3', 2 = 1,..., 10, будут существовать периодические решения.

Начальные данные устойчивого периодического колебания на первом шаге при 2 = 0 согласно теореме примут вид

Поэтому при 2 = 1 выпускаем траекторию из точки ж1(0) = жз(0) = ж4(0) = 0, ж2(0) = -1.7513. Проекция этой траектории на плоскость (ж1,ж2) и выход системы г*ж(£) = ж1(£) — 10.1жз(£) — 0.1ж4(£) изображены на рис. 6.

Здесь видно, что после переходного процесса происходит выход на устойчивое периодическое решение. Вычислительная процедура на первом шаге заканчивается на точке ж1(Т) = 0.7945, ж2(Т) = 1.7846, ж3(Т) = 0.0018, ж4(Т) = —0.0002, где Т = 1000п.

Далее, при 2 = 2 берем начальные данные ж1(0) = 0.7945, ж2(0) = 1.7846, жз(0) = 0.0018, ж4(0) = —0.0002 и получаем периодические решения (рис. 7).

Продолжая эту процедуру при 2 = 3,... 10, последовательно приближаем (рис. 8-14) периодическое решение системы (17) (рис. 15).

Заметим, что при е3- = 1 нелинейность уз (а) является монотонной. Вычислительный процесс заканчивается в точке ж1(Т) = 1.6193, ж2(Т) = —29.7162, ж3(Т) = —0.2529, ж4(Т) = 1.2179, где Т = 1000п.

ж1 = —ж2 — 10 у(ж1 — 10.1 жз — 0.1 ж4), ж2 = ж1 — 10.1 у(ж1 — 10.1 жз — 0.1 ж4), ж3 = ж4,

ж4 = —жз — ж4 + у(ж1 — 10.1 жз — 0.1 ж4).

(17)

ж1(0) = О(е), ж3(0) = О(е), ж4(0) = О(е), ж2(0) = —1.7513 + О(е).

20

10

0

-10

-20

-30

-20

0

х„

20

20

10

-10

-20

50

1

100

Рис. 6. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = £з(0) = £4(0) 0, £2(0) = -1.7513 на плоскость (£1,£2)-

0

0

£ = 0.2

Рис. 7. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 0.7945, £2(0) 1.7846, £з(0) = 0.0018, £4(0) = -0.0002 на плоскость (£1,£2).

х

£ = 0.3

х

Рис. 9. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 3.8129, £2(0) 0.5056, £з(0) = 0.0416, £4(0) = 0.013 на плоскость (£1,£2)-

х

£ = 0.5

Рис. 10. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 3.8854, £2(0) -4.3572, £з(0) = 0.0342, £4(0) = 0.0938 на плоскость (£1, £2)-

х

£ = 0.6

х

Рис. 12. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 1.1209, £2(0) 9.7293, £з(0) = 0.1817, £4(0) = -0.3342 на плоскость (£1,£2)-

£ = 0А

Рис. 13. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = -4.0482, £2(0) = -7.4042, £з(0) = -0.4370, £4(0) = 0.1263 на плоскость (£1,£2).

х

х

£ = 0.9

х

20

10

х 0

-10

-20

50

1

100

Рис. 15. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 23.3012, £2(0) = -4.2240, £з(0) = 0.9856, £4(0) = 0.0905 на плоскость (£1,£2).

Рис. 16. График ^г(с) при г = 5 и сектор устойчивости.

Отметим, что если вместо последовательного увеличения е3 вычислять решение с начальными данными согласно (12) при е = 1, то решение «сорвется» к нулю.

Продолжим, далее, последовательное построение периодических решений для системы (17), заменив нелинейность у>(<г) на строго возрастающую функцию ^*(<г) (15), где ц =1, ет = 1, N = 0.01, при 1=1,... ,5. График такой нелинейности изображен на рис. 16.

Полученные периодические решения изображены на рис. 17-21.

При вычисление решения для г = 6 происходит исчезновение периодического решения (рис. 22).

0

х

Рис. 17. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 1.6193, £2(0) -29.7163, £з(0) = -0.2529, £4(0) = 1.2179 на плоскость (£1, £2).

х

Рис. 18. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = -29.6754, £2(0) = 20.8277, £з(0) = -1.2737, £4(0) = -0.4976 на плоскость (£1,£2).

2

х

I = 3

20

'х 0

0 50 100 150 200

1

х

Рис. 20. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = -9.1968, £2(0) = -16.1835, £з(0) = -0.9760, £4(0) = 0.9528 на плоскость (£1,£2).

х

I = 5

30

20

10

0

-10

-20

-30

-20

0

х.

20

20

10

"х 0

-10

-20

0 1000 2000 3000

t

3500 3600 3700

4000

Рис. 21. Проекция траектории с начальными данными £1(0) = 21.9632, £2(0) = -4.2469, £з(0) = 1.5638, £4(0) = -0.0774 на плоскость (£1,£2).

I = 6

30

20

10

0

-10

-20

-30

-20

0

х

20

20

10

-10

-20

0 100 200 300 400 500

1

Ке^(ію))

Рис. 23. Годограф системы (17).

Воспользуемся методом Попова для проверки устойчивости системы. Как видно из рис. 23, через точку на вещественной оси (-1/к), где к =1, нельзя провести прямую так, чтобы годограф целиком лежал бы справа от прямой.

Пример 2. Для системы (17) со строго возрастающей гладкой нелинейностью

ф(а) = 1апИ(ст)

существует периодическое решение (рис. 24).

О < —1ап1і(<т) < 1, Уст а<г

(18)

20

50

1

100

а

а

Є — Є

а

а

Є

Є

0

х

Пример 3. Рассмотрим систему

Х1 = — Х2 — 6 у>(ж1 — 6.2 хз — 0.2 Х4),

Х2 = Х1 — 6.2 ^(х1 — 6.2 хз — 0.2 Х4),

Х3 = 1.01Х4,

Х4 = —Хз — 1.01Х4 + у(х1 — 6.2 Хз — 0.2 Х4).

Здесь при у(а) = ка устойчивость линейной системы (19) имеет место для к € (0, 6.2),

и для кусочно-непрерывной нелинейности у (а) = у0 (а) с достаточно малым е по вы-

шеизложенной теореме существует периодическое решение.

Применим алгоритм построения периодических решений. Возьмем ц = М =1, е 1 = 0.1, е2 = 0.2, ..., ею = 1 и будем для ] = 1,..., 10 последовательно строить решения системы (19), полагая на каждом шаге нелинейность у(а) равной у3(а) согласно (13).

Здесь для всех ез, ] = 1,..., 10 будут существовать периодические решения, и при е3' = 1 нелинейность уз (а) является монотонной.

Продолжим далее последовательное построение периодических решений для системы (19), заменив нелинейность у(а) на строго возрастающую функцию ^*(а) (15), где ^ = 1, ет = 1, N = 0.01, при г = 1,..., 4.

График такой нелинейности при г = 4 изображен на рис. 25.

Рис. 25. График фг(&) при г = 4 и сектор устойчивости.

Полученное периодическое решения при г = 4 изображено на рис. 26.

X 0

л ' 3500 3600 3700 ■

0 1000 2000 3000 4000

Рис. 26. Проекция траектории с начальными данными #i(0) = 4.4820, #2(0)

9.8605, #з(0) = 0.8440, #4(0) = -0.8877 на плоскость (#i,#2)-

Рис. 27. Проекция траектории c начальными данными #i(0) = #з(0) = #4(0) = 0, #2(0) = —5 системы (20) на плоскость (#i,#2)-

Пример 4. Для системы (19) со строго возрастающей гладкой нелинейностью

ф(а) = tanh(а) = ^ + ^ , существует периодическое решение (рис. 27).

0 < —tanh(a) < 1, Veda

(20)

Литература

1. Айзерман М. А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости в «большом» динамических систем // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4. Вып. 4. С. 186-188.

2. Kalman R. E. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Transactions of ASME 1957. Vol. 79, N 3. С. 553-566.

3. Плисс В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения. Л.: Изд-во ЛГУ, 1958. 183 с.

x

x

4. Noldus E. On the sharpness of Popov’s theorem // Internat. J. 1970. Control 12. N4.

5. Леонов Г. А. О необходимости частотного условия абсолютной устойчивости стационарных систем в критическом случае пары чисто мнимых корней // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193. №4. С. 756-759.

6. Leonov G. A., Burkin I. M., Shepelyavyi A. I. Frequency methods in oscillation theory. Dor-drect: Kluver, 1993.

7. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency methods for nonlinear analysis. Theory and applications. Singapore: World Scientific, 1996.

8. Леонов Г. А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах, Прикладная математика и механика. Т. 74. Вып. 1. 2010. С. 37-73.

9. Lefschetz S. Stability of Nonlinear Control Systems. New York: Academic, 1965; Moscow: Mir, 1967.

10. Fitts R. E. Two counterexamples to Aizerman’s conjecture // Trans. IEEE. 1966. Vol. AC-11, N 3. P. 553-556.

11. Математическая жизнь в СССР. В ленинградском математическом обществе // УМН. 1982. Т. 37. №1. С. 163-167.

12. Барабанов Н. Е. О проблеме Калмана // Сибирский мат. журнал. 1988 Т. XXIX, №3. С. 3-11.

13. Bernat J., Llibre J. Counterexample to Kalman and Markus—Yamabe conjectures in dimension larger than 3 // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1996. Vol. 2, N 3. P. 337-379.

14. Meisters G. A Biography of the Markus—Yamabe Conjecture, [http://www.math.unl.edu/ gmeisters1/papers/HK1996.pdf], (1996).

15. В Московском математическом обществе // УМН. 1998. Т. 53. №2. С. 169-172.

16. Леонов Г. А. О проблеме Айзермана // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 37-49.

17. Леонов Г. А., Брагин В. О., Кузнецов Н. В. Алгоритм построения контрпримеров к проблеме Калмана // Доклады академии наук. Сер. Математика. 2010. Т. 433, №2.

18. Леонов Г. А., Вагаййцев В. И., Кузнецов Н. В. Алгоритм локализации аттракторов Чуа на основе метода гармонической линеаризации // Доклады академии наук. Сер. Теория управления. 2010. Т. 433, №2.

Статья поступила в редакцию 14 апреля 2010 г.