CC BY
101
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 46-58
= Математика =
УДК 517.925
О структуре минимального глобального аттрактора обобщенной системы Льенара с полиномиальной нелинейностью
И. М. Буркин, Л. И. Буркина, Нгуен Нгок Хиен
Аннотация. Предложен аналитико-численный метод локализации скрытых колебаний многомерных систем автоматического регулирования. С использованием этого метода найден минимальный глобальный аттрактор трехмерного аналога системы Льенара с полиномиальной нелинейностью, содержащий шесть циклов.
Ключевые слова: многомерные системы, скрытые колебания, глобальный аттрактор, система Льенара, полиномиальная нелинейность.
1. Шестнадцатая проблема Гильберта, тринадцатая проблема Смейла и гипотеза Воронова
На втором международном конгрессе математиков (летом 1900 г.) Д. Гильберт представил 23 проблемы, выразив надежду на их благополучное разрешение благодаря новым методам, которые появятся в математике XX века. Шестнадцатая проблема состоит в нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными нелинейностями степени п. Усилия нескольких поколений математиков были направлены на решение этой проблемы. Однако надежды Гильберта не оправдались. Проблема оказалась слишком сложной для решения в общем виде.
На рубеже ХХ-ХХІ веков В.И. Арнольд предложил возродить опыт Гильберта и сформулировать наиболее важные проблемы, которые предстоит разрешить математикам в XXI веке. На его инициативу откликнулся известный американский математик С. Смейл, обозначивший 18 таких проблем. Тринадцатая проблема, по сути дела, повторяет шестнадцатую проблему Гильберта. Однако, ввиду выявившихся трудностей при решении этой проблемы в общем виде, акцент в тринадцатой проблеме С. Смейла сделан на изучение специального класса систем второго порядка -
систем Льенара:
x = у — F (ж), у = —G (ж),
(1)
где ^ (х) и С (х) — полиномы.
Изучению системы (1) были посвящены многие работы. Система Льенара оказалась удобной и интересной для изучения особенностей поведения предельных циклов на плоскости, в частности, для отыскания условий их существования, единственности и гиперболичности. Используя оригинальный метод сведения исследования системы второго порядка с квадратичными полиномиальными нелинейностями к специальному уравнению Льенара в сочетании с численными методами, Г.А. Леонов выделил класс систем, обладающих четырьмя циклами [1-3].
В случае С(х) = х система Льенара может быть записана в виде
где А — матрица размером 2 х 2, имеющая пару чисто мнимых собственных значений, х,Ь,с — двумерные векторы, а ^(и) — нелинейная функция. Знак (*) означает здесь транспонирование, а ниже, в комплексном случае, эрмитово сопряжение.
Перепишем систему (2) в виде
Многомерным аналогом системы Льенара будем называть систему (2) с матрицей A размером n х n такой, что для некоторого ß матрица A\ = A + ßbc* имеет пару чисто мнимых собственных значений и n — 2 собственных значений с отрицательными вещественными частями. Соответственно x,b,c — n-мерные векторы.
Одним из стимулов к проведению исследований, предпринятых в данной работе, послужила гипотеза, выдвинутая академиком А.А. Вороновым [4]. Суть этой гипотезы состоит в следующем.
Пусть система (2) имеет единственное состояние равновесия x = 0. Положим (р(а) = ßa, тогда система (2) перепишется в виде X = (A + ßbc*)x. Если, к примеру, при ß € (ß\, ß2) матрица A + ßbc* гурвицева, то говорят, что (ßl,ß2)- сектор устойчивости. Если при ß € (ß2,ß3) матрица A + ßbc* имеет k собственных значений с положительными вещественными частями, то ß € (ß2, ß3) — сектор неустойчивости степени k. А.А. Воронов предположил, что в системе (2) возникнет автоколебание с жестким возбуждением, если нелинейность (р(а) ведет себя так, как показано на рис. 1.
Последнее означает, что решения системы с достаточно малыми начальными условиями будут асимптотически приближаться к единственному состоянию равновесия x = 0, а «почти все» остальные решения будут являться автоколебаниями в смысле Якубовича [5]. Частным случаем автоколебания с жестким возбуждением является орбитально устойчивый
x = Ax + Ъ<р(а), а = c*x,
(2)
x = (A + ßbc*)x + Ъ(<р(а) — ßa), а = c*x.
Рис. 1. Гипотеза Воронова
цикл, область притяжения которого не содержит точек окрестности состояния равновесия х = 0.
В настоящее время хорошо известно, что гипотеза Воронова, вообще говоря, не верна. В то же время можно указать условия на параметры А, Ь, с линейной части системы (2) и нелинейность р(а), при выполнении которых эта гипотеза становится справедливой и, более того, система (2) обладает несколькими орбитально устойчивыми циклами. Такие условия получены в работах [6,7]. Ниже приведены три утверждения, которые могут быть получены с использованием результатов и построений упомянутых работ.
Дробно-рациональную функцию комплексного аргумента р, определенную равенством х(р) = с*(А — р1п)-1Ь, будем считать невырожденной. Последнее означает, что степень многочлена в знаменателе дроби х(р) равна п и эта дробь несократима. Будем также предполагать, что график непрерывной функции р(а) имеет единственную общую точку а = 0 с прямой а + х(0)р = 0. Тогда система (2) имеет единственное состояние равновесия х = 0.
Предположим существование таких чисел Ц1 < Ц2, для которых выполнены соотношения
ср(ах) — р(а2)
а1 — а2
^ ц2 при а € (—те, те), а1 = а2.
(3)
Теорема 1. Пусть существует такое число X > 0, что выполнены условия
1. При всех и ^ 0 справедливо неравенство
И,е[1 + Ц1х(ги — X)]*[1 + Ц2Х(^и — X)] > 0.
(4)
2. Для некоторого ц € (ц1, ц2) матрица А + цЬс* имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе —X ^ И,е р ^ 0.
3. Для некоторого ц € (ц1, ц2) все собственные значения матрицы А + + цЬс* имеют отрицательные вещественные части (матрица гурвицева).
Тогда можно выбрать функцию p(a) в системе (2) так, чтобы она удовлетворяла условию (3), и при этом система (2) имела любое наперед заданное число орбитально асимптотически устойчивых циклов, по крайней мере один из которых содержит в своей области притяжения все точки сколь угодно малой окрестности состояния равновесия x = 0.
Следующая теорема дает конкретный рецепт выбора нелинейности, удовлетворяющей условиям (3), для которой система (2) имеет по крайней мере один орбитально устойчивый цикл, который содержит в своей области притяжения все точки сколь угодно малой окрестности состояния равновесия x = 0.
Теорема 2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1 и функция p(a) дифференцируема в точке а = 0. Если матрица A + p '(0)bc* имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями, не имеет их в полосе —X ^ Re p ^ 0, и выполнено условие
lim |p(a) — ßa| = п< те, (5)
то система (2) имеет по крайней мере один орбитально устойчивый цикл, который содержит в своей области притяжения все точки сколь угодно малой окрестности состояния равновесия x = 0.
Как показано в [7], выполнение условий (3) и (4) гарантирует существование n х n неособой матрицы H = H*, имеющей ровно 2 отрицательных и n — 2 положительных собственных значения и являющейся решением неравенства
2z*H[(A + XI)z + b£] + (ß 2c*z — £)(£ — ß ic*z) ^ — e(|z|2 + £2), z € Rn, £ € Rl.
Теорема 3. Пусть выполнено условие 1 теоремы 1. Пусть для некоторого ß € (ßl, ß2) матрица A + ßbc* не имеет собственных значений в полосе —X ^ Rep ^ 0. Тогда для всех решений x(t) системы (2) с p(a) = ßa, для которых x(0) € Q = {x : x*Hx ^ 0}, выполнено |x(t)| ^ те при t ^ те.
2. Скрытые аттракторы динамических систем и методы
их отыскания
Напомним, что аттрактором динамической системы называется инвариантное замкнутое множество в ее фазовом пространстве, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящимся к бесконечности. Типичным примером аттракторов являются устойчивые точки покоя, орбитально устойчивые циклы, странные хаотические аттракторы. Если аттрактор обладает свойством глобальной притягиваемости для всех траекторий динамической системы, то его называют глобальным аттрактором. Глобальный аттрактор может иметь сложную структуру и представлять собой объединение
нескольких вложенных друг в друга локальных аттракторов. Наименьший («неделимый») глобальный аттрактор называют минимальным глобальным аттрактором. Так, например, минимальным глобальным аттрактором динамической системы второго порядка, имеющей единственное стояние равновесия и несколько вложенных друг в друга устойчивых и неустойчивых циклов, будет объединение состояния равновесия и всех циклов (рис. 2). Математически строгие определения аттракторов динамической системы, а также их классификацию можно найти, например, в книге [8].
Рис. 2. Минимальный глобальный аттрактор двумерной системы
С точки зрения вычислительных процедур, аттракторы нелинейных динамических систем можно разделить на самовозбуждающиеся и скрытые. Самовозбуждающиеся аттракторы содержат в своей области притяжения малые окрестности неустойчивых состояний равновесия системы. Стартуя из любой точки такой окрестности, после переходного процесса вычислительная процедура «выходит» на притягивающий колебательный режим (аттрактор). Именно такие аттракторы присутствуют в большинстве систем автоматического регулирования, а также в системах Лоренца, Ресслера, Чуа [9-11]. В отличие от самовозбуждающихся аттракторов, области притяжения скрытых аттракторов не содержат окрестностей точек покоя системы. Поэтому для их обнаружения численными методами требуется разработка специальных вычислительных процедур. Такие вычислительные процедуры, основанные на использовании метода гармонической линеаризации, метода малого параметра и метода описывающих функций предложены недавно в работах [12-14].
В настоящей работе предлагается принципиально иной подход к организации вычислительных процедур, позволяющих численно обнаруживать скрытые аттракторы нелинейных систем, основанный на использовании сформулированных выше теорем 1-3. Этот подход, также как методы, предложенные в работах [12-14], использует идею
гомотопии: рассматривается последовательность таких подобных систем, что первая система обладает легко обнаруживаемым самовозбуждающимся аттрактором (устойчивым циклом). Затем численно отслеживается эволюция начального периодического решения при переходе от одной системы к другой. Такой подход не только требует существенно меньших (по сравнению с методами, предложенными в [12-14]) затрат на этапе подготовки к реализации численного алгоритма, но и позволяет построить обобщенную систему Льенара третьего порядка с полиномиальной нелинейностью в виде многочлена пятой степени, минимальный глобальный аттрактор которой содержит пять точек покоя и 6 циклов.
Основная идея метода, применяемого в данной работе, состоит в следующем. Пусть матрица А и векторы Ь и с в системе (2) таковы, что выполнены все предположения теоремы 1 для некоторых Ц1 и Ц2. Тогда существуют числа ц3и ц4 (ц1 ^ ц3 < ц4 ^ ц2) такие, что при всех ц € (ц3, ц4) матрица А + цЬс* гурвицева (таких пар (ц3,ц4) может быть несколько) и числа ц5 и ц6 (ц1 ^ ц5 < ц6 ^ ц2) такие, что при всех ц € (ц5, ц6) матрица А + цЬс* имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе —X ^ И,ер ^ 0. В качестве нелинейности р(а) в системе (2) возьмем какой-либо полином нечетной степени, график которого «попеременно пребывает» в секторах устойчивости (ц3,ц4) и неустойчивости степени 2 (ц5 ,ц6). Тогда есть основания
предположить, что в системе (2) имеется несколько циклов, часть из которых является скрытыми в том смысле, они либо орбитально неустойчивые, либо области их притяжения не содержат окрестностей точек покоя построенной системы. Для реализации процедуры численного поиска орбитально устойчивого цикла поступим следующим образом: пользуясь теоремой
2, сконструируем кусочно-дифференцируемую непрерывную функцию ф(а), удовлетворяющую условиям (3) так, чтобы система (2) с такой нелинейностью имела по крайней мере один орбитально асимптотически устойчивый цикл, область притяжения которого содержит все точки малой окрестности состояния равновесия х = 0 системы. Пусть хо = 0 — какая-либо (произвольная) точка из окрестности состояния равновесия х = 0. Найдем численно решение хо(£) системы (2) с нелинейностью ф(а) на промежутке [0,Т], где Т достаточно велико, и начальным условием х0(0) = х0. Значение х0(Т) будет достаточно близко к циклу. Рассмотрим теперь, семейство систем (2) с нелинейностями е^р(а) + (1 — £])ф(а), где £] = 0.1j, ^ = 0,1..., 10. Решения этих систем будем обозначать х^(¿). При численном интегрировании каждой из систем семейства в качестве начального условия х^ (0) будем брать х^^(Т). Если при интегрировании всех систем семейства получаем цикл, то при j = 10 будет найден цикл системы (2) с нелинейностью р(а). Если же при некотором значении е^ цикл численным интегрированием не обнаруживается, то это означает, что произошла бифуркация и предполагаемый цикл у исходной системы не существует.
Замечание 1. Если в процессе реализации описанного алгоритма на некотором шаге цикл не обнаруживается, то это может означать, что очередной цикл имеет очень малую область притяжения. В этом случае целесообразно попытаться уменьшить шаг дискретизации по є и повторить процедуру поиска с меньшим шагом.
Замечание 2. Если система (2) с нелинейностью р(а) имеет состояние равновесия х = 0, то в системе (2) можно выполнить замену переменной у = х — х. Полученная при этом система будет иметь нулевое состояние равновесия и для поиска скрытых устойчивых циклов может быть вновь применена описанная выше процедура.
После того, как численно найден какой-либо устойчивый цикл системы, процедура поиска другого устойчивого цикла может быть осуществлена аналогичным образом. При этом вспомогательная система с нелинейностью фі(&) конструируется, опираясь на теорему 3, с учетом информации об амплитуде цикла, найденного на предыдущем шаге. Подробнее этот способ подбора нелинейности фі(&) будет продемонстрирован ниже.
Неустойчивые циклы, присутствующие в минимальном глобальном аттракторе, могут быть найдены с использованием, например, «метода стрельбы» [15].
3. Минимальный глобальный аттрактор системы с полиномиальной нелинейностью
Рассмотрим систему
х 1 = х2,
х 2 = Хз,
Система (6) имеет 5 неустойчивых состояний равновесия типа седло-фокус: (0, 0, 0), (±0.160049, 0, 0), (±0.209353, 0, 0).
Нетрудно убедиться в том, что для рассматриваемой системы справедливо неравенство (4) с ц1 = 0.4, ц2 = 10, X = 0.5. При этом матрица А + цЬс* при ц € (1.2, 7.2) имеет два комплексно-сопряженных собственных значения Xl)2 с положительными вещественными частями, одно
х з = —8.6х2 — хз + <р(а),
<р(а) = 3.3а — 0.63а3 + 0.028а5,
(6)
а = —18х1 — х2 — х3.
Эта система имеет вид (2), где
5р2 + 5р + 90
отрицательное собственное значение и не имеет собственных значений в полосе -0.5 ^ Иер ^ 0. Матрица А + Ье* является гурвицевой, также как и матрица А + 9Ье*. Таким образом, здесь выполнены условия теоремы 1 для указанных значений , ^2, А. Пользуясь теоремой 2, заменим в системе (6) нелинейность р(а) на функцию ^(а) такую, чтобы новая система имела орбитально устойчивый цикл, область притяжения которого содержит точки сколь угодно малой окрестности состояния равновесия (0,0,0). Из предыдущих рассуждений и теоремы 2 следует, что можно положить,
например,
ф(а) = <
а - 0.23, а < -0.1,
3.3а, |а| < 0.1,
а + 0.23, а ^ 0.1.
Результат работы алгоритма поиска устойчивого цикла системы (6) представлен на рис. 3-5 (проекции на плоскость (х2,хз)).
Рис. 3. Цикл при є = 0 Рис. 4. Цикл при є = 0.5 Рис. 5. Цикл при є =1
Найденному циклу принадлежит точка (0.11379,0.73295,-1.33225). Заметим, что цикл не симметричен относительно начала координат, в то время как система (6) не меняется при замене (хі, Х2, хз) на (-хі, -Х2, -хз). Этот факт дает основания предполагать, что наряду с найденным циклом Гі система обладает и симметричным ему циклом Г2. В самом деле, это цикл обнаруживается при численном интегрировании с начальным условием (-0.11379, -0.73295,1.33225). На рис. 6 представлены оба найденных цикла.
Рис. 6. Симметричные циклы
Рис. 7. График «выхода» а(і)
Из рис. 7 видно, для найденных циклов Г1, Г2 выполнено соотношение |а(£)| < 2.5.
Теперь, пользуясь теоремой 3, попытаемся отыскать устойчивый цикл Г3 рассматриваемой системы, отличный от циклов, найденных выше.
Заменим в (6) нелинейность р(а) на функцию
■01(а) = <
9а + 32.5, а < -5,
2.5а,
9а - 32.5, а > 5.
В силу теоремы 2, система с такой нелинейностью будет иметь цикл, область притяжения которого содержит точки сколь угодно малой окрестности состояния равновесия (0, 0, 0). Этот цикл заведомо отличен от найденных ранее циклов Г1, Г2 системы (6). В самом деле, он содержится в конусе О = {х : х*Нх ^ 0}. Если он совпадает с циклом Г1 или Г2, то для него выполнено условие |а(£)| < 2.5 при всех £ е (-го, го). Но тогда Г3 есть траектория линейной системы с р(а) = 2.5а. Матрицы А + 2.56с* не имеет собственных значений в полосе -0.5 ^ Иер ^ 0. Поэтому все решения такой линейной системы с начальными условиями в О, согласно теореме 2, являются неограниченными при £ ^ го. Значит Г3 = Г1, Г3 = Г2. Теперь мы повторим процедуру поиска скрытого аттрактора, описанную выше, стартуя из какой-либо точки цикла Г3. Результат работы алгоритма поиска «большого» устойчивого цикла системы (6), отличного от циклов Г1 и Г2, представлен на рис. 8-10 (проекции на плоскость (х2,х3)).
Рис. 8. «Большой» цикл Рис. 9. «Большой» цикл Рис. 10. «Большой» цикл при е = 0 при е = 0.5 при £ = 1
Пусть х — некоторое, отличное от тривиального, состояние равновесия системы (6). Легко убедиться в справедливости равенств Ах = 0, р(с*х) = = 0. Поэтому, после замены переменной у = х - х, получим систему у = = Ау + 6р(с*у + с*х). Положив а = с*у, р1(а) = р(а + с*х), приходим к системе у = Ау + 6^1 (а), имеющей состояние равновесия у = 0, для которой справедлив весь проведенный выше анализ. Следовательно, для поиска скрытого цикла исходной системы, можно также сконструировать вспомогательную нелинейность так, чтобы система с такой нелинейностью имела цикл, область притяжения которого содержит точки из сколь угодно малой окрестности состояния равновесия х, и применить описанную выше процедуру. Для поиска цикла, область притяжения которого содержит
точки из сколь угодно малой окрестности состояния равновесия жі = (— -0.209353, 0, 0), в качестве вспомогательной нелинейности возьмем функцию
Г0.5ст - 2.31, а < 3.68,
^з(а) = \ 4.7а, 3.68 < а < 3.88,
[9а - 34.49, а ^ 3.88.
В результате работы описанного алгоритма обнаруживаем цикл, представленный на рис. 11 (проекция на плоскость (ж2,жз)). Пользуясь соображениями симметрии, находим еще один цикл, расположенный в окрестности состояния равновесия —ж1 = (0.209353, 0, 0) (рис. 12). На рис. 13 представлена проекция обоих найденных циклов на плоскость (жі,ж2).
Рис. 11. Цикл в окрестности состояния Рис. 12. Цикл в окрестности состояния равновесия х равновесия (-хх)
0.23518207,
Рис. 13. Симметричные циклы
0.7 32_
-0.732..
1-
0.6-
( 0.2-
-з I -1.8 -0.6 0.6 1.8 ) 3
V -02-
-1-
-2.456.
.2.456.
Рис. 14. Неустойчивый цикл
Поскольку график нелинейности р(а) системы (6), «проходит» последовательно через сектор гурвицевости (0,1.9) и сектор (1.2,7.2) неустойчивости степени 2, то, опираясь на результаты работ [6,7], есть основания предположить, что рассматриваемая система имеет еще один орбитально неустойчивый цикл. Изложенный выше метод поиска скрытых циклов непригоден для поиска орбитально неустойчивых циклов. Для поиска таких циклов могут быть применены, например, методы, изложенные в книге
[15]. С помощью «метода стрельбы» удается найти орбитально неустойчивый цикл системы (6), которому принадлежит точка (0.7148, 0.55, -9). Этот цикл приведен на рис. 14.
На рис. 15 представлена проекция на плоскость (х\, х2) всех шести циклов системы (6).
Рис. 15. Минимальный глобальный аттрактор исследуемой системы
Итак, минимальный глобальный аттрактор обобщенной системы Льенара (6) с нелинейностью - полиномом пятой степени представляет собой совокупность пяти точек покоя и шести циклов, пять из которых являются орбитально асимптотически устойчивыми.
Список литературы
1. Leonov G.A. Two-dimensional quadratic systems as a Lienard equation // Diff. Equations and Dynamical System. 1997. V. 5. № 3-4. P. 289-297.
2. Leonov G.A. Hilbert’s 16th problem for system. New method based on a transformation to the Lienard equation // Inter. J. Bifurcation and Chaos. 2008. V. 18. Р. 877-884.
3. Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах // ПММ. 2010. Т. 74. № 1. C. 37-49.
4. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергоиздат, 1981. 304 с.
5. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: в 2 ч. Ч.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992. 368 с.
6. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 5. C. 585-595.
7. Буркин И.М., Соболева Д.В. О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. C. 5-16.
8. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 143 с.
9. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. Р. 65-75.
10. Rossler O.E. An Equation for Continuous Chaos // Physics Letters. 1976. V. 57A.5.
Р. 397-398.
11. Chua L.O. A zoo of Strange Attractors from the Canonical Chua’s Circuits // Proc. of the IEEE 35th Midwest Symp. on Circuits and Systems (Cat. No.92CH3099-9). Washington, 1992. V. 2. Р. 916-926.
12. Hidden oscillations in dynamical system / G.A. Leonov [et al.] // Trans Syst. Contr. 2011. № 6. Р. 54-67.
13. Analytical-numerical localization of hidden attractor in electrical Chua’s circuit / N.V. Kuznetsov [et al.] // Lecture Notes in Electrical Engineering. 2013 V. 174.
Р. 149-158.
14. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems: From hidden oscillation in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits // Inter. J. Bifurcation and Chaos. 2013. V. 23. 1330002
15. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1991. 364 с.
Буркин Игорь Михайлович ([email protected]), д.ф.-м.н., зав. кафедрой, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
Буркина Лариса Ивановна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Нгуен Нгок Хиен ([email protected]), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
On Structure of Minimal Global Attractor of Generalized Lienard system with polynomial nonlinearity
I. M. Burkin, L. I. Burkina, Nguyen Ngoc Hien
Abstract. The new analytical-numerical methods for the study of hidden oscillations of multidimentional automatic control systems are proposed. With use of this method it is found minimal global attractor of three-dimensional analogue of Lienard system with polynomial nonlinearity, containing six cycles.
Keywords: multidimensional systems, hidden oscillations, global attractor of generalized Lienard system, polynomial nonlinearity.
Burkin Igor ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, head of department, department of mathematical analysis, Tula State University.
Burkina Larisa ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Nguyen Ngoc Hien ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tula State University.
Поступила 30.05.2014
