CC BY
45
_____ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том II 1971
№ 4
УДК 629.7.015.46.24.07
О ПРИМЕНЕНИИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОГО МЕТОДА В РАСЧЕТАХ КРЫЛЬЕВ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ
Т. Г. Зураев
Рассматривается применение комбинированного вариационноразностного метода в расчетах крыльев малого удлинения со сложными условиями их закреплений в корне. В качестве аналога крыльев малого удлинения исследуется конструктивно-анизотропная пластина. Кратко иллюстрируются возможности и точность метода.
1. Крыло малого удлинения, как это принято в ряде работ (см. например, [1], [2]), рассматривается как конструктивно-анизотропная пластина. Общая энергия деформации такой пластины состоит из суммы энергий обшивки, стрингеров, поясов лонжеронов и нервюр. Энергией деформаций сдвига стенок лонжеронов и нервюр пренебрегаем. Обшивка представляет собой полую изотропную пластину. Энергию продольных и поперечных элементов рассматриваем как сумму энергий отдельных балок. Для упрощения вычислений заменяем стрингеры, пояса лонжеронов и нервюр приведенной толщиной обшивки. Изгибную жесткость Е1 заменяем распределенной по поверхности крыла цилиндрической жесткостью й. При этом имеем три типа различных по характеру работы силовых элементов: обшивку, работающую одновременно на изгиб и сдвиг, продольные элементы (лонжероны и стрингеры), нервюры, работающие на изгиб соответственно в продольном и поперечном направлении.
Система координат и расчетная сетка выбираются в зависимости от геометрии основных элементов крыла. Для стреловидных крыльев со сходящимися лонжеронами наиболее подходящей системой координат является косоугольно-полярная. В такой системе координат потенциальная энергия деформации крыла представляется двойным интегралом с постоянными пределами интегрирования по внутреннему интегралу, что упрощает вывод уравнений при применении вариационных методов.
2. Потенциальную энергию деформации крыла как анизотропной пластины в соответствии со сказанным выше записываем как сумму энергий пластины и перекрестных балок:
И = Ипд + «б- (2.1)
Полная потенциальная энергия деформации изотропной пластины в прямоугольной системе координат хОу (фиг. 1), как известно, имеет вид
Ах* ду* ) ( ^
/ дi w
дги) д2 ‘¡о дх2 ду2
удхду
^ j —под ^йхс1у.
(2.2)
Переход от прямоугольной системы координат к косоугольнополярной осуществляется по формулам
X А-У . {=г У
£ ’ соэ XI
(2.3)
Начало новой системы координат выбирается в пересечении передней и задней кромок крыла Ось ОЬ проходит по передней кромке крыла. Координата & имеет следующий вид:
8 =
8Ш(Х — б)
(2.4)
Выражение потенциальной энергии деформации балок представим в виде суммы
и6 = и*1) + и(2>, (2.5)
где и(1> — потенциальная энергия деформации продольных балок; и<2)—потенциальная энергия деформации поперечных балок. Потенциальная энергия деформации у'-й продольной балки (фиг. 2) записывается следующим образом:
¡ш,
д*чю
(И]:
(2.6)
Фиг. 1
Фиг. 2
Связь между координатой £;- и £ устанавливается формулой
/ = ^ 5*п ЗС м 7)
8Ш(х + 0,)-
Выражение для потенциальной энергии деформации г-й поперечной балки имеет вид
*-т/и'(жУА <2'8>
О
Переход от переменной 9 к 9 осуществляется по формуле
& =____5>П(Х + «) . (2.9)
1_Г 81па
вш (х +<*)
Суммируя по (' и / в формулах (2.6) и (2.8), получим потенциальную энергию продольных и поперечных балок:
т п
«б = Ы0> +«<*>= 2 (2.10) /=1 (=1
К изгибной жесткости дискретных продольных элементов (лонжеронов) присовокупим жесткости стрингерного набора. Вместо большого количества нервюр введем в рассмотрение меньшее их число, присоединив к ним соответственные жесткости. Таким образом, в функционалах (2.6) и (2.8) в выражении для функций жесткости Е1 продольных и поперечных элементов добавим цилиндрические жесткости стрингеров и нервюр, выраженные через приведенные толщины обшивки:
К1 £5пр.стр А2 , А а (х -Ь 0)
ШСТР =--------2-------+ Д» 81п(х + а + 6) ,
рг ЕЬпр,нН2 (х + а)
2 8т(х + « + 0) •
(2.11)
Здесь 8пр. стр — приведенная толщина обшивки, получаемая от „размазывания“ продольных элементов; опр. н — приведенная толщина обшивки, получаемая от „размазывания“ поперечных элементов; А — строительная высота крыла.
В дальнейшем используются следующие обозначения:
ЕЬ пр^рА* =д1; _ЕКук* = ^ (212)
Используя формулы (2.1), (2.3), (2.6) — (2.9), (2.11) и (2.12)
и заменив суммирование в выражении (2.10) интегрированием, по-
лучаем выражение полной потенциальной энергии деформации крыла в косоугольной полярной системе координат:
и =
1
сое** х
I »*
:Я£{
и о
д2ип 1 — 2&зтх1 + $2 , д%чю “Ж
0 / д2п> 1 дчю 1 \ . .
t дЬ рр 8ШХ^
/ д2 да 1 . дт 1
2(1 — ¡х)соз2х
1 дР ' д2 да д2 да 1
+
I 17 ^
III
X
2 1 -
(х + 8) в1пх
вШ ' э1п (•/ +
д&2 дР Р wg соэ4 XI1+
X
> д2уо \2 О2 8т(х+0)
дР ) 2 эт (х + « + 6)
—Г +- *) ]
япх
81п (X + «) ] „ дда
д2 да
81п (X + ®)
д& вШ (х + «)
йЫЬ.
(2.13)
3. В данной статье задача об определении деформированного и напряженного состояния крыла сводится к решению системы алгебраических уравнений. Суть используемого метода заключается в следующем: в функционале энергии (2.13) частные производные от прогибов да (9, ¿) по переменной 9 заменяются разностными соотношениями, что позволяет свести нахождение функции прогибов, зависящей от двух переменных, к системе функций прогибов, зависящих от одной переменной. Затем к функциям одной переменной применяется метод Ритца. Каждая из системы функций прогибов заменяется функциональным рядом с неизвестными коэффициентами. Элементы функционального ряда выбираются таким образом, чтобы ряд в целом удовлетворял тем условиям заделки силового элемента крыла в фюзеляж, которые ему присущи конструктивно.
Для того чтобы определить частные производные первого и второго порядка от прогибов по переменной 9 (в поперечном направлении крыла), на передней и задней кромках вводятся два фиктивных сечения с нулевыми жесткостями при отсутствии нагрузок на них. Частные производные в поперечном направлении заменяются следующими приближенными формулами;
дда
Ж
_1_
ДО
(10^+1 —да,);
д2 да ~д¥~
1
д&2
(®У+1
(3.1)
Неизвестные функции продольных прогибов задаются
в виде рядов
ю, = Еау<рг,-(0- (3-2)
Координатные функции должны удовлетворять условиям заделки в корне. Так, если взять степенной ряд, то при жесткой заделке он имеет вид
<3-3>
а при шарнирной
' I
/= X ■ (3'4)
г =17з%... V V
После применения операций метода Ритца получается система алгебраических уравнений, которая в общем случае имеет вид:
£й{/-2)л+/ сц, ¡-ч + ^Ь("-1)п+1 а,-,;-! + ^Ь%++1 а,-, ] + ЛЬ{"+\) л+г "+~
+ '^■Ь’и+ъ) п+1а1,]+2 ~ / ! (3-5)
здесь {а} — неизвестные коэффициенты функционального ряда (3.4), аппроксимирующего деформацию крыла; {Ь) — коэффициенты жесткости; Съ) — нагрузочные коэффициенты.
Для иллюстрации возможностей и точности метода приводятся результаты расчета прогибов и напряжений консольной пластины (см. фиг. 2). Дается сравнение с экспериментом и с результатами по другим методами (таблица и фиг. 3—5). На фиг. 5 даны для г м сравнения распределения по при-'77*; веденным нормальным напряжениям, полученными по различным методам.
Таким образом, данный метод расчета позволяет определить
¿паря напряжении у =
Жеаплая заделка по всем сеченая м
'-S. ' — _ N
Г
ч. ^
по методу [S]
1/L слочное решение 7 методу [/] 9Г£/рт /гЯтпп/7
Т7
,s ,7 х6 ^ ,5 х2
КО 1 0
Фиг. 5
напряженное и деформированное состояние крыльев со сложными условиями их закреплений в корне. Время, потребное для решения
По формуле (2.4) По данным работы [1] По данным работы [2] Из эксперимента Расхождение с экспериментом
"<°*°> ql* cos* ti 0,055 0,0552 0,056 0,0565 2,6%
задачи на ЭВЦМ, и время, необходимое на подготовку исходных данных по данному методу, получается очень незначительным, поэтому этот метод удобен для целей оптимизации силовой конструкции крыла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф р о л о в В. М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. М., Оборонгиз, 1957.
2. Williams М. L. A review of certain analysis methods for swept-wing structures. IAS, v. 19, № 9, 1952.
Рукопись поступила ЦХН 1970 г.
