CC BY
41
7k ^ж . Обозначим моменты, в которые происходят фокусировки на Qk . В каждом } выделим элементы Qk ,min , Qfc ,max, На которых разности f \m,тік )lJ- f0 (m)/) принимают наименьшее и наибольшее значения. Очевидно,
f[M,
Tifc ,min)1 ^jP'ik ,min ]- f0(M)/b
ik,min)^ 0,
f\M, Tlk .max)I (% ,max) " f> MV Pit ,max) > 0. (4) Из А, Б и (1) следует, что при k ^ж разности
f{M, Tik .max)1 (pit ,max)_ f^M, Tik ,min j1 l^i'k ,min J монотонно убывают и стремятся к нулю. Значит обе разности из (4) при t ^ ж также стремятся к нулю. Отсюда следует, что (3) имеет место.
Для t> <ж предполагается, что: на р,t>) сосредоточены все возмущения из (йп)1 (i = 1,2,...); на любом р, t'\ с [^о, t>) число возмущений предполагается конечным. Остальные предположения о возмущениях остаются прежними. Доказательство того, что процесс п фокусирует на неподвижную точку A(Ц-), проводится так же, как для случая t> =ж .
Если т1 (все или их часть) являются точками а -фокусировки, то процесс п ст -фокусирует на fo(M). Такая фокусировка будет иметь место и в случае, когда условия Б, В выполняются приближенно.
Рассмотрим случай, когда возмущения (АП)а (а = 1,2,...) не приводят к фокусировке на Q.a . Пусть каждое Q.a подвергается воздействию воз-
мущений (*4Лі = 1,2,...) и любое (^n)a,i лишь незначительно изменяет распределения вероятностей на Q.a . Считаем, что возникающие в результате возмущений распределения fa,i{M)l (оа)
(i = 1,2,...) образуют последовательность, равномерно сходящуюся на Q.a . Если условие В имеет место, перечисленные требования выполняются для всех Q.a и распределения на Q.a , к которым сходятся
faiM)1 (П«) (« = 1,2,...), удовлетворяют условиям А, Б, то имеет место (3). Проверка этого утверждения с незначительными изменениями проводится
так же, как для случая, когда возмущения (АП)а сразу приводят к фокусировке.
Литература: 1. Дикарев В.А., Герасин С.Н., Слипченко Н.И. Стабилизация вероятностей состояний марковского процесса при локальных возмущениях его фрагментов // Доп. НАН України. 2000. №8. С. 90-93. 2. Дикарев В. А. Фокусировка распределений марковских процессов. // Доп. НАН України.1999. №11.С.100-103. 3. Конторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.
Поступила в редколлегию 24.07.2002
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.
Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: функциональный анализ, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел.: (0572) 33-5703 (дом.), (0572) 40-94-36 (раб.).
УДК 517.9+532.5
О ПОСТРОЕНИИ СТРУКТУР РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ СТОКСА
СИДОРОВ М.В.
Рассматриваются постановки основных краевых задач для функции тока в случае медленного течения вязкой несжимаемой жидкости. Строятся структуры решения указанных задач.
Стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости описывается хорошо известными уравнениями Навье-Стокса [1]:
-vAv + (v-V)v = —1 Vp + b (1)
P v '
и уравнением неразрывности
divv = 0. (2)
Здесь v — поле скоростей; p — давление; b — поле объемных сил; v — кинематическая вязкость; р — плотность.
вязкости мало (т.е. мало число Рейнольдса), и нелинейными членами в (1) можно пренебречь. При этом получаем линеаризованные по Стоксу уравнения вязкой несжимаемой жидкости. Задача определения v и p в области Q (задача Стокса) имеет вид
vAv = — Vp + b Р
divv = 0,
v = 0
Ian
(3)
(4)
(5)
Вопросы существования и единственности решения задачи (3) — (5) изучались в монографии О.А. Ладыженской [2]. В частности, доказано, что существует единственное обобщенное решение задачи (3)-(5) v є W 2(о) и p є І2Ь).
Достаточно широкий класс течений может быть сведен к двумерным течениям. Итак, рассмотрим двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости в конечной области Q плоскости xxOx2. В развернутом виде уравнения (3), (4) имеют вид
Решение системы (1), (2) сопряжено со значительными трудностями, связанными, в основном, с присутствием в (1) нелинейного члена (v • V)v .
Для достаточно медленного движения отношение порядка конвективных сил инерции к порядку сил 52
( я2
|2,, А
d2v, д\
—1 1
dx[ dx2 I р cXj
1 dp
+ b1,
ґд V,
2
д 2v
oXj2 dx2
2
1 dp
=----— + b2
p dx2
(6)
(7)
РИ, 2002, № 3
dv, dv2
- + ■ 2
= 0
(8)
cXj dx2
Анализ двумерных течений удобно производить с помощью функции тока у (х, х2), вводимой соотношениями
Зш Зш
v = зХ2 , v2 “ (9)
(уравнение неразрывности (8) при этом обращается в тождество). Если еще ввести завихренность С, по формуле
Г dv2 Эv1
дхі dx2 '
(10)
то из (11), (12) можно исключить давление. При этом получим систему
ЛС = -
V
дЬ2 дЬ,
\
і 'дЬі дЬ2'
V удх2 1
и\5Q= 0
ди
3n
= 0,
дП
и
Д2и = F,
и15Q= °,
2
3 и
3n
= 0,
дП
предлагаются структуры решения в виде РИ, 2002, № 3
и = ю2ф J (14)
2
и = юФі---[ф,П2Ю + 2^!®! + юФ2] , (15)
соответственно. Здесь Dk — дифференциальный оператор, действующий по формуле
(
Dkf =
Эю Э
Эю Э
f;
(16)
дхі дх2), (11)
Ду = -С . (12)
Система (11),(12) уже не содержит давление, однако в общем случае не удается корректно задать граничные условия для завихренности С, на твердых стенках и при решении прикладных задач эти условия приходится задавать приближенно. Этого можно избежать, если от системы (11), (12) перейти к одному уравнению для функции тока [2]:
(13)
т-, дЬ, дЬ2
Если поле b потенциально, т.е. b = VB, то —1 = —2-
Эхі дх, 3x2 6X2
функция ю(хь X2) удовлетворяет условиям: ю> 0
в Q , Ю = 0 на дО, Н = 1 на дО; Ф , Фі, Ф2 -неопределенные компоненты структуры.
Рассмотрим постановки основных краевых задач для функции тока в случае медленного течения вязкой несжимаемой жидкости и построим их структуры решения.
1. Пусть участок 9Q, границы дО области q соответствует неподвижной стенке, а участок дО2 =дО \ 3Q, — твердой стенке, движущейся со скоростью v*(х) = (v*(x), v2(x)). Тогда функцию тока необходимо подчинить таким граничным условиям:
Зу
Мдп= Мх), эП
= 0
5Q,
Зу
3n
= Ых)
(17)
где g0(x) = -v*(x)т , а f }(х) может быть получена
интегрированием по дО соотношений
Эу
Зт
= 0
5Qi
дх2 дхі —Е
и (13) преобразуется к виду Д2у = 0 .
Граничные условия для функции тока могут быть получены из условий, накладываемых на вектор v. Если жидкость примыкает к неподвижной стенке, то в этих точках скорость жидкости обращается в нуль. Это означает, что в нуль обращается нормальная и тангенциальная составляющие скорости (так называемое условие прилипания). Если же жидкость примыкает к подвижной твердой стенке, то в таких точках скорость жидкости должна по величине и направлению совпадать со скоростью соответствующей точки стенки. На жидких границах должны быть поставлены условия непротекания и скольжения. Это означает, что на границе дО области О можно задать значение функции тока у
Эу д \
и ее нормальных производных— или —тт . Как
3n an2
видно, мы получаем для функции тока задачу, во многом аналогичную задачам изгиба тонкой упругой пластины, жестко защемленной или свободно опертой на границе. В [3] для задач
Д2и = F,
Зу
Зт
и
= v*(x)n . Если v*(x)n = 0 , то v|5Q = const
5Q = 0 . Отметим, что функция f0 (х) должна удовлетворять условию сохранения полного потока: J (Vf, т )ds = 0 .
можно положить
5Q
/ю|| = 1
Пусть ю|5а = 0 , ю > 0 в Q , |v<
Ч5Q, = 0 , Ю1 > 0 в О и 3^2 , |Vroi|| ®2Іsn, = 0 , Ю2 > 0 в О и 3Qi, |Vffl2||
5Qi
5Q-
= і.
= і
Структуру решения задачи (13), (17) будем искать в виде
у = Ф0 +Фі, (18)
где Ф 0 учитывает неоднородные условия в (17), а Фі определяется формулой (14). Функцию Ф 0 можно выбрать в виде
Ф0 = f ~®{g + Dif), (19)
где f = ECf 0 — продолжение в область q функции ®і~
f0, а Я
\ Эю 2 * Зю 2 *
, ~xJ = ~vi“—v2 . Тогда
юі +Ю2 ’ Зх2 Зхі
структура решения задачи (13), (17) примет вид
I Зю2 * Зют *
Юі I — VI----V2
1 Зх2 Зхі I Зю df Зю df
у = f -ю ---—-------------- +----— +-----—
юі + ю2 Зхі йхі Зх2 Эх2
2
+ ю2Ф.
53
k
2. Пусть, по-прежнему, 5Qj соответствует неподвижной твердой стенке, но через участок 8Q2 в область q втекает (или вытекает) жидкость, причем задана скорость течения v°(x). В любой точке x є dQ 2 можно вычислить изменение функции тока
sx
y(x) = v(A) + Jv°(x0nx' dsx' , (20)
0
где y(A) — значение функции тока в точке A є dQ2, от которой ведется отсчет длины sx> дуги к текущей точке x' є 5Q2; nx- — единичный вектор внешней нормали. В этом случае необходимо поставить такие краевые условия:
Чао, = 0, Меа2
/о(x),
^ = 0
dn ао
(21)
здесь / = EC/о, g = ECgо, D^V
2 д(йі д '
Z—'—
Уг=1 дх, dxt J
к
V.
Тогда общую структуру решения задачи (13), (23), (24), используя обобщенную формулу Эрмита, можно записать в виде
Т =
В1 , ^2 2 ^ 3
®1 ®2
1 Г
2 + 3
Ю, ®2
ю2 В1 + ю? В2 3 2
®2 "к ®1
(25)
Как видно, структура (25) содержит три неопределенные компоненты ®1 , Ф2 , Фз . Попробуем упростить ее. Рассмотрим числитель выражения (25): з
&2 В\
®2 B2 =®21" / -®if g + D11/
здесь /;)(x) определяется из (20). Структуру решения задачи (13), (21) также будем искать в виде (18), только функцию Ф о теперь возьмем в виде
фо = f + ®А/ ,
2
+
у° + ю2Ф2 (ф2d22№2 + 2d12Ф2 +ю2Ф3)
Последнее слагаемое, очевидно, можно включить в 1
слагаемое ro2ro2®1. Таким образом, получим
где / =■
Mjf
. Тогда структуру решения задачи
®1 + ®2
(13), (21) можно записать в виде
т=-
(
- raD1
\
+®2
2
ю Ф
+^2
3. Предположим, что область Q ограничена другой жидкостью или газом (покоящимися). В этом случае на границе dQ следует задать такие условия:
I о д 2\у
Чао=^ = const,
on
= о
(22)
дП
Структуру решения задачи (13),(22) можно получить, учитывая (15), в виде 2
^ = ^ + ЮФ1----[®1D2Ю + 2D1®1 + йФ2].
4. Таким образом, в модели вязкой жидкости краевые условии для функции тока у в достаточно общем виде могут быть записаны следующим образом:
Maa, = ^ = g оМ,
1 °n ао1
lan -
= у° = const,
5 \
an2
= о,
(23)
(24)
5Q 2
где /о, go — заданные на dQ функции.
Построим структуру решения задачи (13), (23), (24). В соответствии с (14), (15) общие структуры, учитывающие на dQt краевые условия (23), (24), имеют соответственно вид:
V1 = /-^(g + DP/ ^)+®2®1 = B1(f, g, Ю1, Ф^,
у 2 = V + 2---22 [® 2 D2^ra2 + 2D1^ Ф 2 + ra2® 3
= В2(у ’ ®2’ Ф2’ Ф3),
у = -
®2 +Ю1
/-ra^g + DW/) +ю2у° +ю2ю2ф' +
(26)
22
+ ю2ю2Ф2 [ф2d22>Ю2 + 2D^®2
2
1
где Ф' = ®1 -—Ф3 . В отличие от (25) структура (26) содержит уже не три, а две неопределенные компоненты.
Недостатком структур (25) и (26) является то, что в точках стыка граничных условий (т.е. когда одновременно ®1 и a 2 обращаются в нуль) знаменатель обращается в нуль. В этих особых точках структуру необходимо доопределить раскрывая неопределен-
о
ность о. Далее можно аппроксимировать неопреде-
ленные компоненты с помощью какого-либо приближенного аналитического метода (например, метода Галеркина) и получить опять же в аналитическом виде другие характеристики вязкого потока: поле скоростей по формулам (9) и давление, решив соответствующую задачу Неймана для уравнения Пуассона.
Литература: 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736с. 2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с. 3. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. К.: Наук. думка, 1987. 176 с.
Поступила в редколлегию 24.07.2002 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.
Сидоров Максим Викторович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. (0572) 40-94-36.
54
РИ, 2002, № 3
