CC BY
4УДК 519.7
О ПОРЯДКАХ РОСТА ФУНКЦИЙ ШЕННОНА СЛОЖНОСТИ СХЕМ НАД БЕСКОНЕЧНЫМИ БАЗИСАМИ
О. М. Касим-Заде1
Показано, что любая функция одного действительного переменного, выразимая в виде суперпозиции рациональных функций с действительными коэффициентами, логарифмов и экспонент и имеющая порядок роста не ниже n и не выше 2O(n \ является порядком роста функции Шеннона сложности схем над некоторым бесконечным базисом.
Ключевые слова: булева функция, схема из функциональных элементов, сложность, функция Шеннона.
It is shown that any function of one real variable being composition of rational functions
n
is an order of growth of the Shannon function for the circuit complexity over a certain infinite basis.
Key words: Boolean function, circuit of functional elements, complexity, Shannon function.
Будем называть базисом любое функционально полное множество булевых функций. Базис называется бесконечным, если содержит функции, существенно зависящие от сколь угодно большого числа переменных, и конечным, в противном случае.
Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из функциональных элементов над базисом B. Под сложностью схемы понимается число входящих в нее функциональных элементов. Обычным образом введем соответствующую базису B функцию Шеннона, Lb (n): для всякого n положим значение Lb (n)
B
n
Введем ряд понятий, касающихся описания асимптотического поведения числовых функций, следуя в основном [2, 3]. Будем называть функцию a(n) натурального аргумента n, принимающую действительные значения, финально положительной (финально монотонно неубывающей), если эта функция принимает положительные значения (соответственно является монотонно неубывающей) при всех достаточно боль-
n
Пусть a(n) и b(n) — две финально положительные функции. Будем говорить, что порядок роста, функции a(n) не больше b(n), и писать a(n) = O(b(n)), если существует такая постоянная с, что a(n) ^ cb(n) при всех достаточно больших n; при этом будем также говорить, что порядок роста функции b(n) не меньше a(n), и писать b(n) = Q(a(n)). Если порядок роста функции a(n) одновременно не больше и не меньше b(n), то будем говорить, что порядок роста функции a(n) равен, b(n), и писать a(n) = B(b(n)). Соотношение a(n) = o(b(n)) имеет обычный смысл: a(n)/b(n) ^ 0 при n ^ те.
Пусть bi (n), (n) — две финально положительные функции, связанные следующим соотношением: bi(n) = O(b2(n)). Будем называть интервалом, между функциями bi(n) и b2(n) множество всех финально положительных функций a(n), удовлетворяющих условиям a(n) = Q(bi(n)), a(n) = O(b2(n)).
Известно [4], что порядки роста функций Шеннона для всех конечных базисов одинаковы и равны 2n/n. Более того, для всякого конечного базиса B при n ^ те имеет место асимптотическое равенство Lb(n) = p2n/n + o(2n/n), где p — зависящая от базиса положительная постоянная [5].
Поведение функций Шеннона для бесконечных базисов разнообразнее. Известны базисы со следующими порядками роста функций Шеннона: log n,
2n/2, (2n/n)1/2 [6-101. Известен также пример базиса с порядком роста функции Шеннона в интервале между (n/ log n)1/2 и n [11]. Функция Шеннона может иметь константный порядок роста. Например, для базиса B = P2 всех булевых функций Lb(n) = 1 при
n
В работе [12] показано, что для всякого бесконечного базиса B выполняется соотношение Lb (n) = O (2га/2). Таким образом, для любого бесконечного базиса порядок роста функции Шеннона лежит в интервале между функциями 1 и 2n/2, причем обе границы достигаются. Целью данной работы является уточнение картины расположения порядков роста функций Шеннона между указанными границами.
1 Касим-Заде Октай Мурад оглы — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kasimzQmech.math.msu.su.
Грубую классификацию порядков роста функций Шеннона дает следующая теорема. Теорема 1. Для всякого бесконечного базиса В порядок роста функции Шеннона Lb (п) либо равен 1, либо лежит в одном, из двух интервалов: или между функциями log n и п, или между пи 2п/2.
1
log n 1 log n
своих границ) интервал, свободный от порядков роста функций Шеннона.
Из теоремы 1 также вытекает, что для всякого базиса порядок роста функции Шеннона или не n n n
n
(нестрогим образом) порядок роста любой функции Шеннона по одну сторону от себя. Если угодно, здесь лакуна вырождается в указанную границу.
Выше было сказано, что существуют базисы с порядками роста функций Шеннона log п и 2п/2. Из теоремы 3 данной работы видно, что существует также базис, у которого порядок роста функции Шеннона n
log n n
рядка роста функций Шеннона. Остается неизвестным, сколько в действительности различных порядков роста функций Шеннона содержится в этом интервалов, в частности конечно или бесконечно их число.
Во втором интервале — между функциями п и 2п/2 — удалось построить довольно обширное множество попарно различных порядков роста функций Шеннона.
Теорема 2. Если финально положительная функция А(п) удовлетворяет условиям: 1) функция А(п)/п является финально монотонно не убывающей, 2) log А(п) = o(n); 3) А(п — |3log2 А(п)]) = Q(A(n)); то существует базис В, такой, что Lb(п) = 0(А(п)).
Некоторое представление о функциях, удовлетворяющих условиям теоремы 2, дает следующее утверждение.
Говорят, что функция f (ж) одного действительного переменного финально эквивалентна, функции $(ж), если существует число жо (вообще говоря, зависящее от обеих функций), такое, что f (ж) = g(x) при всех ж > ж0.
Классом, L называется наименьшее множество всюду определенных функций одного действительно-
ж
любыми двумя принадлежащими ему функциями f (ж) и ¿т(ж) содержит все функции, финально эквивалентные f (ж) + ¿г(ж), f (ж) — ^(ж), f (ж)^(ж), ef(x), g^)/f (ж), log |f (ж)| (в двух последних случаях при условии, что f (ж) не является финально эквивалентной константе 0). Побробнее об этом см. [2, 3].
Теорема 3. Если функция А принадлежит классу L и удовлетворяет условиям А(п) = Q(n); log А(п) = O (п1/2); то существует, базис В, такой, что Lb(п) = 0(А(п)).
Из теоремы 3 следует, что порядками роста функций Шеннона сложности схем над бесконечными базисами являются, в частности, функции вида: па при любом действительном а ^ 1, п log(k) п натуральном k (log(fc) ж обозначает k-кратную итерацию функции логарифма), 2п при любом положительном действительном а ^ 1/2. Выражаясь не вполне формально, можно сказать, что порядками роста
функций Шеннона являются все функции класса L в интервале между п и любой функцией вида 2о(п 1 ). С содержательной точки зрения всякий такой интервал в некотором смысле плотно заполнен порядками роста функций Шеннона.
Принадлежность порядка роста функции Шеннона классу L, вообще говоря, необязательна. Например, согласно теореме 2, функция Шеннона может иметь порядок роста n log(+) п, где log(+) п обозначает п
п
Отметим, что в работе [13] полностью решена близкая по постановке задача о характеризации функций, асимптотически эквивалентных функциям Шеннона сложности схем над бесконечными базисами из элементов с произвольными положительными весами, где под сложностью схемы понимается сумма весов входящих в нее элементов. Класс функций Шеннона в этой задаче намного шире, и общая картина их поведения иная.
Отметим также, что упомянутые в начале статьи оценки порядков роста функций Шеннона из работ [6-8] впервые были установлены для задачи о сложности схем над базисами, содержащими элементы с нулевыми весами, где под сложностью схемы также понимается сумма весов ее элементов. Эти оценки практически без изменений переносятся на соответствующие бесконечные базисы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные
методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Hardy G.H. Orders of Infinity. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1910.
3. Бурбаки H. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1965.
4. Muller D.E. Complexity in electronic switching circuits // IRE Trans. Electron. Comput. 1956. EC-5, N 1. 15-19.
5. Лупанов О.Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. 1, № 1. 120-140.
6. Gilbert E.N. Lattice theoretic properties of frontal switching functions //J. Math, and Phys. 1954. 33, N 1. 5767. (Гилберт Э.Н. Теоретико-структурные свойства замыкающих переключательных функций // Кибернет. сб. Вып. 1. М.: ИЛ, 1960. 175-188.)
7. Марков A.A. Об инверсионной сложности систем функций // Докл. АН СССР. 1957. 116, № 6. 917-919.
8. Нечипорук Э.И. О сложности схем в некоторых базисах, содержащих нетривиальные элементы с нулевыми весами // Проблемы кибернетики. Вып. 8. М.: Физматгиз, 1962. 123-160.
9. Нечипорук Э.И. О синтезе схем из пороговых элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 11. М.: Наука, 1964. 49-62.
10. Лупанов О.Б. О синтезе схем из пороговых элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 26. М.: Наука, 1973. 109-140.
11. Касим-Заде О.М. О сложности реализации булевых функций схемами в одном бесконечном базисе // Дискретный анализ и исследование операций. 1995. 2, № 1. 7-20.
12. Касим-Заде О.М. Общая верхняя оценка сложности схем в произвольном бесконечном полном базисе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 4. 59-61.
13. Карпова H.A. О некоторых свойствах функции Шеннона // Матем. заметки. 1970. 8, вып. 5. 663-674.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 511
КРИТЕРИИ ПОЛНОТЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОДНОМЕСТНЫХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ В Pk
Д. Ю. Панин1
Рассматривается задача о полноте систем одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида. В работе получены критерии полноты для указанных функциональных систем.
Ключевые слова: функции многозначной логики, одноместные функции, замыкание, полные системы.
Systems of unary monotone functions of multi-valued logic are considered. These functions are monotone with respect to partial orders of special form. Criteria for the completeness of the functional systems are obtained.
Key words: functions of multi-valued logic, unary functions, closure, complete systems.
Рассматривается задача о полноте систем одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида. Подобные вопросы возникают при изучении свойств предполных классов монотонных функций, не имеющих конечных порождающих систем [1-4]. В работе получены критерии полноты для указанных функциональных систем (см. также [5-7]).
Пусть P — множество с заданным на нем отношением частичного порядка Будем считать, что P имеет наименьший элемент (будем обозначать этот элемент через 0). Пусть а, в G P- Если для этих
Панин Дмитрий Юрьевич — аси. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pank.dmQgmail.com.
