CC BY
94. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.
5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.
Поступила в редакцию 28.05.2012
УДК 519.7
О ГЛУБИНЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМАМИ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ БЕСКОНЕЧНЫМ БАЗИСОМ
О. М. Касим-Заде1
Для всех бесконечных базисов найдены оценки схемной глубины всех булевых функций с точностью до небольшой аддитивной постоянной.
Ключевые слова: булева функция, схема из функциональных элементов, глубина схемы.
Bounds for the circuit depth of all Boolean functions tight up to a small additive constant are obtained for all infinite bases.
Key words: Boolean function, circuit of functional elements, circuit depth.
1. Будем называть базисом любое функционально полное множество булевых функций, т.е. такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую булеву функцию.
Базис называется конечным, если число существенных переменных входящих в него функций ограничено сверху, т.е. найдется такое число m, что любая функция этого базиса существенно зависит не более чем от m переменных; в противном случае базис называется бесконечным.
Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из функциональных элементов над произвольным фиксированным базисом B. Под глубиной схемы понимается наибольшее число функциональных элементов, составляющих ориентированную цепь, ведущую от входов схемы к ее выходу.
Наименьшая глубина схемы над базисом B, достаточная для реализации булевой функции f, называется глубиной функции f над базисом B и обозначается через Dß (f).
Базису B ставится в соответствие функция Шеннона глубины Dß(n), определяемая при всяком натуральном n соотношением
Dß(n) = max Dß (f),
где максимум берется по всем булевым функциям f от n переменных. Подробные определения этих и других используемых в работе понятий можно найти в [1, 2].
Известно [1], что для всякого конечного базиса B асимптотика функции Шеннона глубины при n ^то имеет вид Dß(n) = an + o(n), где а = (log2 m)-1, m — наибольшее число существенных переменных у функций базиса B.
В работе [3] показано, что для всякого бесконечного базиса B порядок роста функции Шеннона глубины Dß(n) при n ^ то равен либо 1, либо log n. Этот результат уточнен в [4], где установлено, что для всякого бесконечного базиса B либо существует постоянная ß, такая, что Dß (n) = ß при всех достаточно больших n, либо существуют постоянные y ^ 2 и 5, такие, что
logY n ^ Dß (n) ^ logY n + 5
при всех n. В настоящей работе результаты [3, 4] существенно усилены: оценки работы [4] приобрели конкретный вид. Предпошлем формулировке основных результатов настоящей работы ряд необходимых сведений.
1 Касим-Заде Октай Мурад оглы — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2. Пусть p — простое число. Обозначим через Fp поле классов вычетов по модулю p, Fp = {0,1,... , p — 1}. Известно [5] (см. также [3, 4, 6]), что всякую булеву функцию f можно представить, и притом единственным образом, в виде многочлена
п
f (xi,... ,Жп) = ао + ^ ^ ai\...iBXii ...Xis (mod p)
с коэффициентами ao,a^1...is G Fp (булевы значения 0,1 естественным образом погружаются в поле Fp, и булева функция f рассматривается как отображение f: {0,1}n ^ Fp). Степень этого многочлена (т.е. наибольшее число s, такое, что хотя бы один из коэффициентов aib..is = 0, или нуль, если все эти коэффициенты нулевые) называется p-степенью функции f и обозначается через degpf.
Пусть A — множество булевых функций. Если среди p-степеней входящих в это множество функций существует наибольшая, то будем называть ее p-степенью множества A и обозначать через degpA. В противном случае множество A содержит функции сколь угодно большой p-степени; последний факт будем символически записывать в виде равенства degpA = то.
В работе [4] доказано, что для всякого бесконечного базиса B имеет место один из двух случаев: либо degpB = то при всех простых p, либо существует единственное простое число p, такое, что degpB < то и degqB = то при всех простых q = p. В первом случае говорят, что B есть базис бесконечной характеристики, во втором — что это базис конечной характеристики p (подробнее об этом см. [3, 4]).
3. Основной результат данной работы содержится в следующем утверждении.
Теорема 1. Для всякого бесконечного базиса B либо существует постоянная в, 1 ^ в ^ 6, такая, что Db (n) = в при всех достаточно больших n, либо выполняются соотношения
|bg7n\ ^ db(n) ^ |bg7n\ + 5
при всех n, причем последнее имеет место в том и только том случае, когда B есть базис конечной характеристики p, и тогда y = degpB.
Доказательство этого утверждения опирается на следующие утверждения, представляющие самостоятельный интерес.
Теорема 2. Для всякого базиса B бесконечной характеристики и для всякой нетривиальной (т.е. отличной от селекторной) булевой функции f выполняются соотношения 1 ^ Db(f) ^ 6.
Теорема 3. Для всякого бесконечного базиса B конечной характеристики p и для всякой булевой функции f, отличной от констант, выполняются соотношения
riogT degpf\ < db(f) < rog7 degpf\ +5,
где y = degpB.
Таким образом, для всех бесконечных базисов получены двусторонние оценки функции Шеннона глубины, различающиеся лишь на небольшую аддитивную постоянную. Более того, для всех бесконечных базисов и всех булевых функций указаны оценки глубины с точностью до небольшой аддитивной постоянной.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 43-81.
2. Savage J.E. The complexity of computing. N.Y.: Wiley, 1976 (Сэведж Дж.Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998).
3. Касим-Заде О.М. О глубине булевых функций при реализации схемами над произвольным базисом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 18-21.
4. Касим-Заде О.М. О глубине булевых функций над произвольным бесконечным базисом // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2007. 14, № 1. 45-69.
5. Smolensky R. Algebraic methods in the theory of lower bounds for Boolean circuit complexity // Proc. 19th Annual ACM Symp. Theory Comput. N.Y.: ACM Press, 1987. 77-82.
6. Boppana R.B., Sipser M. The complexity of finite functions // Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. A: Algorithms and complexity / Ed. by J. van Leeuwen. Amsterdam: Elsevier, 1990. 757-804.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 539.3
СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ С ЛОКАЛЬНО СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Д. В. Бондаренко1
Численно-аналитически исследуется задача на собственные значения для дифференциального уравнения четвертого порядка, моделирующая свободные поперечные колебания сильно неоднородного упругого стержня. Разыскиваются представляющие интерес в прикладном аспекте низшие моды колебаний.
Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля, поперечные колебания, метод ускоренной сходимости, сосредоточенная неоднородность.
The eigenvalue problem for the fourth-order differential equation simulating the free transverse oscillations of a strongly inhomogeneous elastic beam is studied numerically and analytically. The lowest modes of oscillations that are of interest in applications are sought.
Key words: Sturm-Liouville problem, transverse oscillations, advanced convergence method, local inhomogeneity.
Как известно [1—5], самосопряженная задача на собственные значения и функции (задача типа Штурма-Лиувилля)
(p(x)u'')'' — Ar(x)u = 0, 0 < x < l, 0 < p- ^ p(x) ^ p+ < то, 0 < r- ^ r(x) ^ r+ < то; (1)
u(0) = u(l) = 0, u'(0) = u'(l) = 0, (2)
записанная в безразмерных переменных, ставится для нахождения собственных частот шп = у/Х^, (Хп > 0, n = 1, 2,... ) и форм колебаний un(x) неоднородного по длине упругого стержня с жестко закрепленными в точках x = 0 и x = l концами. Функции p(x) и r(x) определяют меняющиеся по длине изгибную жесткость стержня и линейную плотность соответственно. В теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие формы колебаний (условно n < 10).
Приближенные двусторонние оценки [2, 3] собственных значений задачи (1), (2) имеют вид
A- < An < A+ A± = 7Пр±/г^; yi и 4,7300, Y2 и 7,8532, Y3 и 10,9956, Y4 и 14,1372, Yn = (n + 1/2)n + O(e-nn),
где Yn — корни трансцендентного уравнения cos Y ch y = 1.
Задачу (1), (2) можно свести к форме, удобной для численно-аналитических исследований:
и' = 9, 9' = —m/p(x), m' = k, k' = —Ar(x)u; (3)
u(0) = u(l) = 0, 9(0) = 9(l) = 0, (4)
где дополнительные переменные m(x) и k(x) имеют вполне механический смысл и соответствуют изгибающему моменту и перерезывающей силе.
Стандартная процедура метода сагиттальной функции [4] для нахождения собственных значений и функций задачи (3), (4) заключается в построении общего решения уравнений (3), зависящего от параметра A, с последующим удовлетворением условий в точках x = 0 и x = l. Необходимое и достаточное
1 Бондаренко Дмитрий Валерьевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
