О полукольцах над полурешетками и их приложениях к теории формальных языков Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Молоденкова И. Д., Молоденков В. А. Обзор численных методов для решения задач приближения непрерывных функций с использованием сплайнов и осредняющих операторов. Саратов, 1998. 37 с. Деп. в ВИНИТИ № 986-В98.

3. Молоденкова И. Д. Приложение операторов осреднения к задаче восстановления функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 57 - 59.

4. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1993. № 1. С. 13 - 18.

УДК 519.4

В. А. Молчанов

О ПОЛУКОЛЬЦАХ НАД ПОЛУРЕШЕТКАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ К ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ

Как известно из теории формальных языков конечных слов (см., например [1]), распознаваемость языка Ь конечным автоматом равносильна распознаваемости Ь синтаксической полугруппой этого автомата, которая является полугруппой бинарных отношений на множестве состояний такого автомата. Этот принципиально важный факт лежит в основе разработанного М. П. Шютценберже алгебраического подхода к теории распознаваемых языков. Однако простые примеры показывают (см., например [2]), что при развитии такого подхода к формальным языкам бесконечных слов аппарат полугрупп бинарных отношений оказывается уже недостаточным и необходимо применять матричные полугруппы над конечными полукольцами. Примеры таких полуколец дает рассматриваемый в настоящей статье функтор категории верхних полурешеток с нейтральными элементами в категорию полуколец.

При изложении материала используются основные понятия и обозначения теории решеток из работы [3] и теории категорий из работы [4].

Пусть Ь = (Ь,<) - упорядоченное множество. Подмножество А с Ь называется полуидеалом Ь, если оно минорантно насыщенно относительно порядка <, т. е. для любого х е Ь условия х < а, а е А влекут х е А. Так, элементы а е Ь определяют полуидеалы сР-{хеЬ: х<а}, которые называются также главными идеалами Ь. Множество всех полуидеалов упорядоченного множества Ь обозначим символом Р(Ь).

ТЕОРЕМА 1. Для любой верхней полурешетки с нейтральным элементом Ь =(Ьу,0С) справедливы следующие утверждения:

1) множество с бинарной операцией А + В = А и В (здесь

А,Ве Д/,)) является коммутативным моноидом с нейтральным элементом 0 = 0;

2) множество F(L) с бинарной операцией

AxB = {xeL:(3 аеА, ЬеВ ) х < avb } (здесь А,В е F(L)) является коммутативным моноидом с нейтральным элементом 1 = {0L};

3) алгебраическая система F(L) = (F(L), +, х, 0, 1) является коммутативным полукольцом, удовлетворяющим свойству

х 0 => ху + у= - ху.

Такое полукольцо F(L) называется полукольцом над полурешеткой L.

Доказательство. Пусть L =(L,v,0¿) - верхняя полурешетка с нейтральным элементом 0¿ и каноническим порядком <. Тогда утверждение 1) очевидно. Для доказательства утверждения 2) отметим, что для любых А, В, С е F(L) выполняется равенство (А х В) х С = =А х (В х С). В самом деле, условие х е (А х В) х С равносильно тому, что х < avb\/c для некоторых а е А, Ъ е В, с е С. Так как полурешетка L с нейтральным элементом 0¿ удовлетворяет тождеству xvO¿ = х, то множество {0/,} является полуидеалом L и для любого А е F(L) выполняются равенства:

А х {Oz.} = {х е L : (3 аеА) х < avOL } = {xei:(3 аеА) х<а}= А. Для доказательства утверждения 3) покажем, что для любых А, В, С е F(L) выполняется равенство {А+В)хС = АхС + ВхС. В самом деле, условие х е (А + В) х С равносильно тому, что х < dvc для некоторых d е А и В, с е С. Очевидно, что это эквивалентно тому, что х < ave или х < bvc для некоторых а е A, b е В, с е С, т. е. х е А х С + В х С. Осталось заметить, что для любых непустых полуидеалов А, В решетки L выполняется равенство: Ах В + В = А х В. Действительно, если А * 0, то 01 е Л и, значит, А х В + В = =А х В + {0¿} х В— (А + {0¿}) х В — А х В.

Примеры

1. Если L - одноэлементная решетка, то F{L) - двухэлементная решетка 2.

2. Если L - четырехэлементная решетка 22, то F(L) - шестиэлемент-ное коммутативное полукольцо.

Пусть /- гомоморфизм упорядоченного множества L = (L,<) в упорядоченное множество ¿i = (¿i, <i). Обозначим символом / отображение F(f): F(L) -> F(L\), которое для элементов А е F(L) определяется по формуле J(A) = {х е L\ \ (3 а е А) х <\J{á)}.

Пусть L - категория верхних полурешеток с нейтральными элементами, морфизмами которой являются гомоморфизмы таких полурешеток, и S - категория полуколец, морфизмами которой являются гомоморфизмы полуколец.

ТЕОРЕМА 2. Пара отображений

L |->F(L) (LeObL) и (/eHomL)

определяет ковариантный функтор F категории L в категорию S.

Доказательство. Пусть L,L\- верхние полурешетки с нейтральными элементами ОД и каноническими порядками <,<ь соответственно. Покажем, что для любого гомоморфизма f. L L\ отображение / является гомоморфизмом полукольца F(L) в полукольцо F(Li). Очевидно, что fi0) = 0 и Д{0}) = {Oí}. Далее, для любых A, Be F(L) выполняются равенства: fiA+B) =fiAvjB) = fiA)\jfiB) = =fiA)+fiB). Кроме того, выполняется равенство fiAxB) =fiA)xf(B), так как если х efiAxB), то найдутся такие а е А, Ъ е В, что х <i fiavb) =fia)wfib), т. е. х efiA)xfiB). Обратно, если х 6 fiA)*f\B), то х <i yvz для некоторых у е fiA), z е fiB). Тогда найдутся такие а е A, b е В, что у <i fia), z <i fib), и, следовательно, x <i yvz <ifia)vfib) -fiavb), т.е. x efiAxB). Осталось заметить, что для любых L, L\, L2 е Ob L, f e Horn {L\, L2), h e Horn (L2, L3) выполняются равенства F(1L) = \F(L) и F( fh ) = F(f)F(h).

Пусть Lfm - категория конечных решеток с гомоморфизмами и SXfm - категория полуколец над решетками из ЬГт, морфизмами которой являются гомоморфизмы полуколец.

ТЕОРЕМА 3. Категории Lfin и SLfíB эквивалентны.

Доказательство. Пусть L,L\ - конечные решетки и ф - изоморфизм полукольца F(L) на полукольцо F(L). Нетрудно видеть, что в полукольце F(L) полуидеалов конечной решетки L главные идеалы этой решетки, и только они, являются ненулевыми идемпотентами относительно операции умножения. Поскольку изоморфизм ср сохраняет такие идемпо-тенты, то существует биекция / множества L на множество L\, которая для элементов а е А определяется по правилу: fia) = h, если <р(а'4) = ЬА для некоторого b е В. Тогда для любых a, b е L справедлива эквивалентность: аА + ¿>Л = ЬА <=> а < Ь. Отсюда следует равносильность следующих условий:

а<Ъ, аА+ЬА = ЬА, ф(ад)+ф(ЛА)=ф(йд), fiaf +fibf =fib)\ fia) <xfib). Следовательно, / является изоморфизмом решетки L на решетку Ь\.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЛаллеманЖ. Полугруппы и комбинаторные приложения. М : Мир, 1985.

2. Perrin D., Pin J. Е. Semigroups and automata on infinite words // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 1-32.

3. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

4. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.