Полукольца с условиями идемпотентности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.558

ПОЛУКОЛЬЦА С УСЛОВИЯМИ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ

А. А. Петров (г. Киров)

Аннотация

Изучаются полукольца, удовлетворяющие условиям идемпотентности и близкие к дистрибутивным решеткам по своим исходным свойствам. Особое внимание уделено строению коммутативных идемпотентных полуколец с двойственным законом дистрибутивности.

1 Предварительные сведения

Данная работа является продолжением статьи [1].

Полукольцом будем называть алгебраическую структуру (S, + , ■) с бинарными операциями сложения + и умножения ■, такую, что (S, +) — коммутативная полугруппа, (S, ■) — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Если в полукольце S существует нейтральный элемент 0 по сложению (Ух Е S x + 0 = 0 + х = x), удовлетворяющий свойству мультипликативности нуля (УхЕ S х ■ 0 = 0 ■ х = 0), то назовем S полукольцом с нулем 0. Полукольцо с коммутативным умножением называется коммутативным. Если в полукольце S существует нейтральный элемент 1 по умножению, то S называ-

хх = х х+х = х

зывается мультипликативно идемпотентным (аддитивно идем потентным). Полукольцо, одновременно мультипликативно и аддитивно идемпотентное, будем называть идемпотентным. Полукольцо удовлетворяет двойственному закону дистрибутивности, если на нем тождественно х + yz = (х + y)(x + z).

Полукольцо S с единицей 1 назовем 1-расширением полукольца A при помощи полукольца Б, если на S существует такая конгруэнция р, что [1]р = A и S/р = Б.

Полукольцо назовем дубль-полукольцом, если оно удовлетворяет тождеству х + y = xy. Дубль-полукольца коммутативны. Дубль-полукольца с 1 идемпо-тентны и послужили, наряду с дистрибутивными решетками с 1, «кирпичиками» для получения следующего утверждения структурного характера [1, теоре-

11 11 Собственный идеал P коммутативного полукольца S называется простым, если для любых элементов a,b Е S ab Е P влечет а Е ^и b Е P.

В произвольном полукольце S вводится «разностное» отношение ^ по формуле:

х ^ y ^ х = y V 3z Е S х + z = y.

Оно рефлексивно и транзитивно, но не обязательно антисимметрично. Если отношение ^ антисимметрично, то есть является отношением порядка, то S

S

емо, при этом:

х < y ^ х + y = y (Ух, y Е S).

Получается упорядоченное множество (S, , в котором любые два элемента

х и y имеют точную верхнюю грань sup(x,y) = х + y; такое упорядоченное множество будет верхней полурешеткой.

Аналогично, произвольное коммутативное мультипликативно идемпотент-S

отношение порядка то формуле: х y ^ xy = х (Ух,у Е S).

Лемма 1. Для произвольного коммутативного идем,потентного полу-S

S

2. S удовлетворяет закону поглощения, х + xy = х.

3. В S выполняется х + y = y ^ xy = х.

Доказательство. Импликация 1 ^ 2 очевидна.

2 ^ 3. Пусть в S выполняется тождество х + xy = х. Тогда если х + у = у, то xy = х(х + y) = х + xy = х. Обратно, из xy = х следует х + y = xy + у = у.

3 ^ 1. Пусть в S выполнено 3. Достаточно показать, что в S выполняется закон поглощения х + xy = х. Для любых x,y Е S имеем:

х + (х + у) = х + y,x = х(х + у) = х + xy.

S

дистрибутивности, — это в точности дистрибутивные решетки с нулем.

Доказательство. Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости проверим аксиомы решетки. Имеем для произвольных х,у Е Б

х = х + 0 • 0 = (х + 0)(х + 0) = хх, х = х + х • 0 = (х + х)(х + 0) = х2 + х2 = х + х, х = х + 0 • у = (х + 0)(х + у) = х + ху, х = х + у • 0 = (х + у)(х + 0) = х + ух, ху = ху + хух = хуху + хух = хух = хух + ухух = хух + ух = ух.

Обозначим через В двухэлементную цепь. По классической теореме М. Стоуна [2, с. 93] в классе дистрибутивных решеток В — единственная подпрямо неразложимая решетка, поэтому она порождает многообразие всех дистрибутивных решеток.

Лемма 3. Произвольное полукольцо Б идемпотентно тогда и только тогда, когда, классы, любой конгруэнции р на, Б являются (выпуклыми) подполу-кольцами в Б.

Доказательство. Необходимость. Пусть х,у Е Б в хру. Тогда (хх)р(ху) и (х + х)р(х + у), откуда (ху)рхр(х + у). Кроме того, если элемент г Е Б удовлетворяет неравенствам х ^ г ^ у, то (х + г)р(у + г), откуда гру.

Достаточность. Для конгруэнции, являющейся отношением равенства, все классы одноэлементны. Поэтому х + х = х и хх = х для любого х Е Б

2 Упорядочиваемость

Б

тогда, когда, в нем, выполняется квазитождество

а + и + V = а ^ а + и = а.

Б

Тогда для любых а, и^ Е Б из а + и + V = а следует

а ^ а + и ^ а + и + V = а,

откуда а + и = а.

Достаточность. Пусть а,Ь Е Б такие, что а ^ Ъ и Ъ ^ а, то есть а + в = Ъ и Ъ + Ь = а для некоторых в,Ь Е Б. Тогда

а = Ъ + Ь = а + в + Ь = а + в = Ъ.

Б

Ух Е Б Зп Е N (п + \)х = пх.

Доказательство. Пусть а,и^ е Б — такие элементы, что а + и + v = аи

(к + 1)v = ^ для некоторого к Е N. Тогда

а = а + и + V = а + (и + V) + и + V = а + ки + Ы = а + (к + 1)и + (к + 1^ =

= а + (к + 1)и + ^ = а + ки + Ы + и = а + и,

Б

Следствие 1. Произвольное мультипликативно идемпотентное полукольцо упорядочиваем,о тогда и только тогда, когда, на, нем, тождественно 3х = 2х.

Доказательство. Достаточность следует из предложения 1, а необходимость из того факта, что в произвольном мультипликативно идемпотентном полукольце Б выполняется тождество 4х = 2х, и если Б упорядочиваемо, то 2х ^ 3х ^ 4х = 2х, откуда 2х = 3х.

Б

х, у, г Е Б

х + х + у + г = (х + у) + (х + г) = ху + хг = х(у + г) = х + у + г, в частности 4х = 3х. Остается применить предложение 1.

Замечание 1. Посмотрим, сколько элементов содержат свободные конеч-

Бп свободными образующими а1,а2,... ,ап. Если п = 1, то Б = {а1, 2а1, 3а1}. Если п = 2, то Б = {а1, 2а1, 3а1,а2, 2а2, 3а2,а1 + а2, 2а1 + а2} имеет 8 элементов, поскольку а1 + 2а2 = 2а1 + 2а2 = 2а1 + а2. При п = 3 получаем по правилу суммы

\Б| = 8 + 8 + 8 - 3 - 3 - 3 + 1 = 16.

пв лукольца Б является суммой некоторых образующих аи, возможно, с коэффи-

в

в

ментов равно числу 2п — п(п — 1)/2 — п — 1 всех га-элементных подмножеств п-элементного множества при га ^ 3. Каждой образующей аи соответствует 3 элемента: аи, 2аи, 3аи .Плюс 3п элементов. Далее имеется п(п — 1)/2 элементов вида а1 + а2 и еще п(п — 1)/2 элементов вида 2а1 + а2. В результате получаем:

\Б\ = 2п — п(п — 1)/2 — п — 1 + 3п + п(п = 1) = 2п + п(п + 3)/2 — 1.

Предложение 2. Для произвольного мультипликативно идемпотент-Б

следующие утверждения:

1. S упорядочиваемо.

2. Множество S + S является наибольшим аддитивно идемпотентным подполукольцом в S, а также его факторполукольцом.

Доказательство. 1. Для любого x е S имеем

3x = x + x(x + x) = (x + x)(x + x + x) = 6x = 4x = 2x.

Остается применить следствие 1.

2. Пусть a Е S + S, то есть a = s + t для некоторых s,t E S. Имеем s + st = (s + s)(s + t) = s + s + st + st = 2s + 2st. Аналогично, t + ts = 2t + 2ts. Тогда

a = s + t = (s + t)2 = (s + st) + (ts + t) = (2s + 2st) + (2ts + 2t) = 2(s + t) = 2a.

Отметим, что бинарное отношение р на S, «склеивающее» элементы x и 2x, является конгруэнцией, такой, что факторполу кольцо S/р = S + S.

3 Идемпотентные дубль-полукольца

Теорема 1. Простые идеалы, любого коммутативного мультипликатив-

S

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем в полукольце S элементы a = b. Не выполняется одно из неравеств a b или b a. Предположим, что не верно a b. Главный идеал bS = {s Е S: s b} иолукольца S те содержит элемент a. В силу леммы Цорна существует идеал P, максимальный среди идеалов J в S, обладающих свойствами bS С J и a Е J. Покажем, что P — простой идеал. Пусть x, y Е S \ P. Тогда xS + P D P и yS + P D P, поэтому a Е (xs + P) П (yS + P). Значит, a = xs + p = yt + q для некоторых s, t E S и p, q E P. Следовательно,

a = a2 = (xs + p)(yt + q) = (xy)st + (xsq + pyt + pq),

откуда xy E P, поскольку xsq + pyt + pq E P. Что доказывает простоту идеала P. Остается заметить, что b = b2 Е bS С P, но a Е P. Тем самым, простой идеал P разделяет элементы a и b (a = b) данного полукольца S.

Обозначим через D двухэлементное идемпотентное дубль-полукольцо. Тогда из теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 3. Полукольцо D является, единственным подпрямо неразложимым идемпотентным дубль-полукольцом. Стало быть, D порождает многообразие всех идемпотентных дубль-полуколец.

P

S { P, S \ P }

S, факториолукольцо то которому изоморфно D.

Замечание 2. Свободное идемпотентное дубль-полукольцо с множеством X свободных образующих представляет собой полурешетку всех конечных непустых подмножеств в X с операцией объединения в качестве полукольцевых операций сложения и умножения.

4 Конгруэнция 5

S

нарное отношение ~:

(Vx, y Е S) x ~ y ^ x + y = xy.

Отношение ~ рефлексивно и симметрично. И для произвольных x,y,z Е S из x ~ y следует

(x + z)(y + z) = xy + xz + yz + z = x + y + xz + yz + z =

= x + y + z = (x + z) + (y + z), xz + yz = (x + y)z = xyz = xzyz,

то есть (x + z) ~ (y + z) и xz ~ yz.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Отношение ~ не обязано быть транзитивным. В самом деле, возьмем дистрибутивную решетку L, содержащую, по крайней мере 2 элемента a и b. Рассмотрим полукольцо S = L U {с} с присоединенным эле ментом с,

таким, что для любого x Е S выполняется x + с = xc = с. Тогда a ~ с ~ b, но

a ф b.

Элемент с полукольца S назовем поглощающим, если имеют место равенства: x + с = xc = с Vx Е S. Поглощающий элемент единственен. Он может быть присоединен к любому полукольцу внешним образом (как это сделано в замечании 3).

р

полукольце S, такой, что S/р является дистрибутивной решеткой, р.

Доказательство. Пусть a,b е S и a ~ b. Тогда для любой конгруэнци р, удовлетворяющей условию леммы, имеем aрb, так как

Мр = Мр + [ab]p = Нр +[a + b\p = Np + Мр + Ир =

= Мр + [Ь\р = [°]р + [Ь\р + [Ь\р = Мр Щр + ЩР = [Ь\р.

Отметим еще несколько очевидных свойств отношения ~ .

ab

S

1. a ~ a + ab.

2. a + b ~ ab ^ a r'^ b.

3. Если в S выполняется квазитождество a ~ b ^ a = b, то S является дистрибутивной решеткой.

Обозначим через 5 транзитивное замыкание от ношения ~ на S :

(Ух, y G S ) x5y ^ 3z\, z2,... ,zn G Sx ~ z\ ~ z2 ~ ~ zn ~ y.

Ясно, что отношение 5 является конгруэнцией на любом коммутативном идем-

S.

5

55 ца с двойственным законом дистрибутивности является полукольцо S = L U {с} из замечания 3.

5

S

S. S,

лее с двойственным законом дисрибутивности, аксиоматически очень близки к

5

с классом дистрибутивных решеток только по одноэлементным полукольцам.

Предложение 3. Для произвольного коммутативного идемпотентно-го полукольца S факторполукольцо S/5 является дистрибутивной решеткой,

55

a, b S

выполнено равенство [a]5 = [a]5 + [a]5 [b]s , поскольку a ~ a + ab.

a, b, с

тентного полукольца S с двойственным законом дистрибутивности a ~ с ~ b влечет a + b + с = abc.

Действительно, a + b + с = a + bc = (a + b)(a + c) = (a + b)ac = ac + abc = ac(c + b) = abc.

Предложение 4. В любом, коммутативном идемпотентном полукольце, удовлетворяющем двойственному закону дистрибутивности, имеет м,есто равенство 5 =~ о ~ .

Доказательство. Пусть для некоторых элементов a, b,c\,c2,... ,cn из S выполняется a ~ c\ ~ c2 ~ ■ ■ ■ ~ cn ~ b. Покажем, что a ~ c ~ b для элемента c = a + c\ + c2 + ■■■ + cn + b = acc ■... ■ cnb. Рассуждение проведем индукцией по

п. Случай п = 1 вытекает из леммы 7. Предположим, что утверждение верно для натурального числа п — 1. Тогда получаем a ~ сх ~ d для

d = сх + с2 + • • • + сп + b = с\02 ■ ... ■ спЬ.

Положим с = a + d = a + сх + с2 + ••• + сп + b. По лемме 7 имеем с = a + сх + d = a^d = ad = aсхс2 ■ ... ■ спЬ. Ясно, что a ~ с ~ b.

Очевидно, что всякое коммутативное идемпотентное полукольцо с поглощающим элементом является ^-полукольцом, причем в нем 6 =~ о ~ .

Замечание 5. Класс 6-полуколец замкнут относительно взятия конечных прямых произведений и факторполуколец, но подполукольца 6-полуколец не обязаны быть 6-полукольцами (см. замечание 3). Прямое произведение 6-полуколец с условием 6 =~ о ~ снова будет 6-полукольцом с условием 6 =~ о ~ .

S

ства полуколец Sj (j Е J), если на S существует такая конгруэнция р, что факторполукольцо S/р есть дистрибутивная решетка и все классы (подполукольца в S) разбиения р могут быть проиндексированы элементами j Е J так, что они будут изоморфны соответствующим полукольцам Sj.

Суммируя сказанное, получаем следующий результат:

Теорема 2. Для любого коммутативного идем,потентного полукольца

S,

следующие утверждения:

S6 венным, законом, дистрибутивности.

S

6

ственным законом, дистрибутивности.

S6

том,, который равен как сумме, так и произведению всех своих элементов.

Для доказательства достаточно воспользоваться предложениями 3, 4 и леммой 7.

a, b 6 S,

влетворяющего двойственному закону дистрибутивности. Выясним, как они складываются и умножаются. Пусть a ~ b, то есть a + b = ab. Тогда подпо-лукольцо в S, порожденное элементами a и b, равно {a,b} или {a,b,a + b.} В первом случае a + b = ab = ^п a + b = ab = b (получаем изоморфные полукольца). Полукольцо во втором случае определено однозначно.

Пусть теперь a ф b. Тогда a ~ c ~ b для некоторого элемента c Е S. Под-полукольцо в S, порожденное элементами a,b и с, обладает в силу леммы 7 поглощающим элементом a + b + с = abc. Оно является факторполукольцом десятиэлементного Æ-полукольца T = {a, b, с, ab, ac, bc, abc, a + ab,b + ab,a + b}

a, b, c

определяющими соотношениями a + c = ac,b + c = bc.

5 Конгруэнция y

S

ным законом дистрибутивности введем бинарное отношение y '■

(Ух, y Е S) xyv ^ x + xy = x и y + xy = y.

y

XYy и yYz, то

X = X + xy = X + x(y + yz) = X + xy + xyz = X + xyz =

= (x + xy)(x + z) = x(x + z ) = X + xz,

z = z + yz = z + (y + xy)z = z + yz + xyz = z + xyz =

= (z + x)(z + yz) = (z + x)z = z + xz,

y

x, y, z S xyy

X + z = X + xy + z = X + z + (x + z)(y + z), y + z = y + xy + z = y + z + (x + z)(y + z) xz = (x + xy)z = xz + xzyz, yz = (y + xy)z = yz + xzyz.

y S.

y

S

шей конгруэнцией, факторполуколъцо по которой будет дубль-полукольцом,

y

Доказательство. Для произвольных x,y е S имеем (х + y)Yxy, поскольку

X + y = (х + y)2 = X + y + xy = X + y + (х + y)xy, xy = xy + (x + y)xy;

это означает, что S/y является дубль-полукольцом.

Далее, для любых элементов а,Ъ Е Б и для любой конгруэнции р на Б, такой, что Б/р — дубль-полукольцо, из а^Ъ вытекает арЬ, так как

Ыр = [а\р + [аЪ]р = [а\р + [а\р + Мр = Ыр + [Ъ]р =

= Ыр + [Ъ]р + [Ъ]р = [Ъ]р + [аЪ]р = [Ъ + аЬ\р = Мр ■

То, что 7-классы являются дистрибутивными решетками, вытекает из определения отношения 7 и леммы 1.

Замечание 7. В полукольце Т из замечания 6 7-классами служат 6 одноэлементных подполу колец и четырехэлементная дистрибутивная решетка {аЪ, а + аЪ,Ъ + аЪ,а + Ъ}. Отметим, что трехэлементное подполукольцо Т = {аЪ, а +

Ъ, а + Ъ + с} в Т будет подпрямо неразложимым полукольцом.

6 Свободные коммутативные идемпотентные полукольца с двойственным законом дистрибутивности

Обозначим через Б (X) свободное коммутативное идемпотентное полукольцо с двойственным законом дистрибутивности с множеством X свободных образующих.

Предложение 6. Полукольцо Б(X) обладает каноническим антиавтоморфизмом.

Доказательство. Построим отображение ф : Б(X) ^ Б(X), тождественное на X и сопоставляющее каждому элементу в Е Б «двойственный» элемент. Поскольку в является суммой произведений свободных образующих, ТО ф(в) будет произведением соответствующих сумм эти же образующих. Например, ф(х + у) = ху, ф(ху) = х + у для любых х, у Е X. Такое ф является антиавтоморфизмом полукольца Б, отображающим верхнюю полурешетку (Б, на нижнюю полурешетку (Б, =^).

Лемма 8. Для любых элементов а\,... ,ап произвольного коммутативно-

Б

отрезок [а\ ■ ... ■ ап,а\ + ... + ап] является дистрибутивной решеткой.

Доказательство. Обозначим е = а\ + ... + ап и 9 = а\ ■... ■ ап. Элемент е является наибольшим, а 9 — наименьшим элементом в

Т = [а1 ■ ... ■ ап, а1 + ... + ап\

относительно порядка ^, то есть 9 + х = х,х + е = е для любого х Е Т. Кроме того, 9е = 9. Тогда получаем 9 ^ 9х ^ 9е = 9, откуда 9 = 9х для всех х Т. Т 9 Т

дистрибутивная решетка.

Предложение 7. Для любого а Е Б(X) подполукольцо [а\1 является свободной дистрибутивной решеткой.

Доказательство. Элемент а Е Б(X) записан через свободные образующие {хх,..., хп} С X как некоторая сумма та произведений. Поэтому а лежит в под-полукольце [хх ■ ... ■ хп, хх + ... + хп\ полукольца Б(X), являющемся по лемме 8 дистрибутивной решеткой. Легко видеть, что [а\^ = [хх ■ ... ■ хп,хх + ... + х„\ . И [а\1 является свободной дистрибутивной решеткой со свободными образующими х\ + х\ ■ ... ■ хп, . . . ,хп + х\ ■ ... ■ хп.

Предложение 8. В полукольце Б(X) конгруэнция 5 П 7 есть отношение равенства.

Доказательство. Пусть а,Ъ Е Б(X) такие, что а5Ъ и а^Ъ. Ясно, что а и Ъ могут быть записаны с помощью одного и того же набора свободных образующих {хх,... ,хп} С X. Существует такой элемент с Е Б(X), что а + с = ас и Ъ + с = к;. Пусть с выражен через {х^,..., хт,ух,..., уь} С X, где 1 ^ ц ^ п для всех I = 1,.., т. Обозначим х = х\ ■... ■ хп,у = у\.уь и 9 = ху. По пред-

ложению 7 полукольцо [9]1 = [9,хх + ... + хп + у\ + ... + уь\ является дистрибутивной решеткой. Так как а + с = ас, то (а + 9) + (с+9) = ас+9 = (а + 9)(с + 9). Откуда в дистрибутивной решетке [9]^ а + 9 = с + 9. Аналогично, Ъ + 9 = с + 9. Значит, а + 9 = Ъ + 9. Далее, а + 9 = а + ху = (а + х)(а + у) = а(а + у) и, аналогично, Ъ + 9 = Ъ(Ъ + у).

Рассмотрим гомоморфизм а : Б(X) ^ [9]1, такой, что а(х) = х Ух Е X \ {ух,..., уь },а(уз) = х У] = 1,..,к. Тогда в силу леммы 8

а = а + х = а(а) + а (9) = а (а + 9) = а(Ъ + 9) = Ъ + х = Ъ.

Получаем, что 5 П 7 есть отношение равенства на Б(X).

Теорема 3. Полукольцо Б(X) является подпрямым произведением свободной дистрибутивной решетки Б (X)/5 и свободного идем,потентного дубль-полукольца Б (X )/^(.

Доказательство. Заметим, что Б(X)/5 является свободной дистрибутивной решеткой со свободными образующими [х\г то всем х Е X, а Б(X)/у является свободным идемпотентным дубль-полукольцом с множеством {[х\7 : х Е X} свободных образующих. Остается применить предложение 8.

Из предложений 3, 5 и теоремы 3 вытекают:

Следствие 4. Многообразие V всех коммутативных идемпотентных полуколец с двойственным, законом, дистрибутивности порождается двухэлементными полукольцами В и О, а, также одним трехэлементным, полуколь-Т

СЛЕДСТВИЕ 5. ([3]). Решетка всех подмногообразий многообразия V будет четырехэлементной булевой решеткой, состоящей из тривиального многообразия, многообразия всех дистрибутивных решеток, многообразия, всех идемпотентных дубль-полуколец и сам,ого многообразия, V.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с идем потентным умножением / / Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2011. № 14. С. 21-32.

[2] Гретцер Г. Общая теория решеток. М.:Мир, 1982. 456 с.

[3] McKenzie R., Romanowska A. Varieties of Л-distributive bisemilattices // «Contrib. Gen. Algebra. Proc. Klagefurt Conf., 1978». Klagefurt, 1979. P. 213218.

Вятский государственный гуманитарный университет (г. Киров) Получено 23.04.2012