CC BY
60
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)
УДК 511.3
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ1
В. Н. Чубариков (г. Москва)
СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения ................................................................168
Введение .................................................................... 168
1. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами........174
1.1 Известные леммы........................................................175
1.2 Леммы об оценках кратных тригонометрических сумм с простыми числами ........................................................................178
1.3 Теоремы .................................................................205
2. Распределение дробных долей значений многочленов от нескольких перемен-
ных в случае, когда переменные пробегают простые числа .............212
2.1 Дробные доли одного многочлена .......................................212
2.2 Совместные распределения ..............................................213
3 Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел ...............................................................217
3.1 Асимптотическая формула ..............................................217
3.2 Исследование особого рядя ............. .................................221
3.3 Теорема..................................................................229
4. Многомерная аддитивная задача с простыми числами...................230
1 Данная статья подготовлена по материалам докторской диссертации, которую В. Н. Чуба, риков выполнил в 1985г. в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
4.1 Асимптотическая формула ..............................................230
4.2 О значении величины особого рядя .......... ...........................235
4.3 Теорема..................................................................246
Список цитированной литературы ..........................................251
Обозначения
c,c1 ,c2, • • • — положительные абсолютные постоянные. c(a, b,... ,d) — некоторое положительное число зависящее от a,b,... ,d. е,£1,£2,... - сколь угодно малые положительные постоянные величины. Используются устоявшиеся обозначения для теоретико - числовых функций. n,l,m,r,n1,... ,nr - натуральные числа; m = (ni + 1)... (nr + 1); П - единичный m - мерный куб.
Штрих в знаках сумм означает, что на переменные суммирования накладываются некоторые ограничения, обычно это условия взаимной простоты значений этих переменных с некоторым целым числом. Нумерация формул в каждой
глсшб своя.
{ж} - дробная часть числа ж.
p,p1}... ,p11,... ,p1r,... - простые числа.
При цитировании нумерация формул берется в квэдрэ/тныб скобки, например [(17)].
При положительном B записи A ^ B, A = O(B) означают, что |A| ^ cB. ||ж|| = min ( {ж}, 1 — {ж} 1 - расстояние до ближайшего целого числа.
Введение
Многомерными проблемами теории простых чисел мы называем проблемы аналитической теории чисел, которые, в основном, сводятся к изучению кратных тригонометрических сумм с простыми числами, то есть сумм вида
Б = ^^ ... ^^ ехр2пйР (рг,...рг), (1)
Р1<Рг Рг <Рг
П\ пг
^ (хг,... ,хг) = ^2 ...^2 а(^>... Х. ..х1г, (2)
... ,ЬГ) - действительные числа, (рг,.. .рг) — простые числа.
Эти проблемы являются конкретной реализацией задачи установления различного рода закономерностей распределения значений функций от нескольких переменных^ определенных на дискретном мно^кестве ~ одной из центральных задач теории чисел. Подобный взгляд на задачу изучения закономерностей поведения функций данного типа выражен И. М. Виноградовым во Введении к монографии "Метод тригонометрических сумм в теории чисел". Далее И. М. Ви-ног радов пишет 1 "Из весьма разнообразных более частных видов этой в столь общей формулировке поставленной проблемы1, получаемых при тех или иных ограничениях, налагаемых как на функцию /(х\,..., хг) так и на совокупность П2; мы выделим, три достаточно большие и весьма важные для теории чисел, проблемы" (см. [2], стр.5).
1. Весьма важной является проблема распределения значений показательной функции
/ (хи...,хг ) = е2жгР (Х1'-'ХГ),
где Г(хг,...,хг) - вещественная функция; наиболее существенным в этой проблеме является установление верхней границы модуля суммы
5 = ^ / (хг,. ..хг ) = ^ е2тР Ы,-,Хг) п п
всех значений /(хг,... хг) в том случае, когда число Т точек совокупности П конечно (см. [2] , стр.5).
2. С рассмотренной проблемой 1 самым тесным образом связана проблема распределения значений дробной части
/ (хг, ...хг) = {Г (хг,. ..хг)}
вещественной функции Г(хг,... хг) (см.[2], стр.13).
3. Особый интерес представляет законы распределения значений функции / (хг,...хг), принимающей для точек хг,... хг совокупно с ти П целочисленные значения. Здесь в отношении каждого данного целого N возникает вопрос: для скольких точек совокупности П это N будет служить значением функции /(хг,... хг); иными словами: каково будет число IN) решений неопределенного уравнения
/ (хг,...хг ) = N. [(17)]
1т.е. задачи распределения значении функции.
2т.е. область определения функции /(х\,..., хг).
В некоторых случаях здесь речь идет только об установлении неравенства I(М) > 0, показывающего, что уравнении [(17)] разрешимо; в других случаях оказывается возможным установить для I(М) асимптотическую формулу; наконец иногда вопрос сводится о разыскании точного выражения для I(М), и т.д. см. [2], стр. 15.
Следует отмбтить ^ ч!то вообще говоря, сформулированные И. М. Виноградовым проблемы 1,2,3, представляют интерес в том случае когда /(х\,...Хг) и П несут в себе те или иные арифметические свойства. Выбирая соответствующим образом функцию /(х1,...хг) и область П, мы приходим к таким классическим задачам, как проблемы Гольдбаха, Варинга, Гольдбаха-Варинга, Гильберта-Камке, оценки сумм Г. Вейля и т.д.
В данной диссертации мы изучаем проблемы 1 и 2 в случае, когда функция Г (х1,.. .хг) является многочленом с произвольной действительными коэффициентами и координаты х3, 1 < в < г совокупноети П точек (х1,...хг) пробегают значения последовательных простых чисел. Проблема 3 исследуется в случае, когда / (р1}.. .рг) = (/1}..., /г) является вектор-функцией вида
/з = Л(ръ...рг)= р1 + ... + рГ, 1 < в < п
(проблема Гильберта-Камке в простых числах); также вектор-функцией вида
Рьъ...,ьг (р11,. . . ,р1г,. . . ,р1к,.. . ,ргк) = Рьъ..,ьг (р) = к
= ^2 рЪ ...рЬ (0 < < П1,..., 0 < и < Пг М + ... + и > 1)
3=1
(многомерная аддитивная задача с простыми числами).
Первый этап наших исследований состоит оценки в оценке тригонометрических сумм с простыми числами, то есть оценки при г = 1 сумм а Б становится однократной тригонометрической суммой с простыми числами. Оценки однократных сумм с простыми числами впервые получены И. М. Виноградовым в 1937 г. Для оценки сверху модуля такой суммы И. М. Виноградов сводит ее к небольшому количеству двойных сумм Ш,
Ш = ^^ п(т) ехР 2пгГ(тй).
й т
Схема И. М. Виноградова оценки величин Ш и более общих сумм Б вида
Б = ^^ехр2п/(х]), (3)
X 3
где неизвестные х и у пробегают некоторую последовательность натуральных чисел, изменяющихся в пределах соответственно от М + 1 до М + X и от N + 1
до N + У тсхковы. Применяя неравенство Коши, получим
М+У М+У
№\2 ^ X Ё Е Т(^
и=М +1 и1=М +1
м+х
Т = Т)= ^ е2тф(и\ ф(и) = ф(п,у) — ф(и,ы)
и=М +1
переменная и пробегает все целые числа от М + 1 до до М + X ("метод сглаживания"). В тех случаях, когда для однократной суммы Т = Т(у,у1) при любых фиксированных значениях известны удовлетворительные оценки, таким
способом можно получить нетривиальную оценку суммы (3) и, сумм с простыми числами. В частности, если Г(х) многочлен то оценка сумм с простыми числами сводится к оценке сумм Г. Вейля.
Подобным образом решение проблемы об установлении верхней границы модуля кратных тригонометрических сумм с простыми числами связана с исследованиями по теории кратных тригонометрических сумм, созданной А. А. Карацубой и его школой (см. [47]-[67]).
В настоящей работе путем двукратного применения метода мы сводим оценку суммы (1) к оценке кратной тригонометрической суммы W, переменные суммирования в которой пробегают сплошные промежутки целых значений:
Р1 Р2 Рг
W = ^^ ^^ ... ^^ ехр2пйГ(х1 ,х2 .. .хг)
Х1 = 1 Х2 = 1 хг = 1
Ф(х1;... хг) =Г1(х1,..., хг-1,хг) — Г (х1,..., хг-1,хг) —
— Г1(х1,.. . , хг-1, аг) — Г1(а1,. . . , аг-1 ,хг),
П1 Пг—1 Пг
Г1(х1,... ,хг-1,хг) ^ ... )х1 ...х*— х*гг
11=0 и=0
где а1}... ,аг-1,аг - некоторые фиксированные целые числа. Коэффициенты при одночленах х11 ...х—\ х*гг + ... + Ьг-1 > 1, > 1, у многочленов Г(х1}..., хг-1, хг) и Ф(х1}..., хг-1, хг) совпадают; это и позволяет применить оценки кратных тригонометрических сумм, найденные в статье [61].
Важно отметить, что в случае, когда длины промежутков изменения одних переменных существенно отличаются от длин промежутке: изменения других переменных, а также если коэффициенты при одночленах ... р1—1 р*гг, Ь1 + ... + 1г-1 > 1 Ьг > 1 близки к рациональным числам с малыми знаменателями,
то кратные тригонометрические суммы с простыми числами буд по существу, суммами меньшей кратности и тогда имеющихся оценок сумм Ж недостаточно для нетривиальной оценки суммы Б. В этом случае сумму Б мы оцениваем методом, близким к методу работы [63].
Изложенная выше схема рассуждений позволяет получать также оценки кратных тригонометрических сумм, в которых переменные суммирования пробегают произвольные последовательности цели чисел. Для нетривиальной оценки таких сумм, вообще говоря, достаточно,чтобы последовательность была густой", имела "небольшую" кратность повторения своих членов и, кроме того, нетривиально оценивалась соответствующая однократная тригонометрических сумма. Следует подчеркнуть,что и в этом случае существенным моментом в рассуждениях является использование результатов теории кратных тригонометрических сумм (см.[61],[63]).
Проблема 2 в нашей постановке, т.е. задача о распределении значений дробной части функции Г(рг,...,рг) применением леммы И. М. Виноградова "о стаканчиках" сводится к рассмотренной выше проблеме.
По проблеме 3 мы, как было отмечено выше, рассматриваем здесь две задачи. Первая — это вопрос о количестве представлений системы натуральных чисел Мп,... в виде
N = рп +... + рп, ...................
N1 = рг + ... + Рг,
где (рг,... ,рг) - простые числа, то есть проблема Гильберт Камке в простых числах. Исследованием этой задачи занимались К. К. Марджанишвили и Хуа Ло-кен (см.[12]). Вывод асимптотической формулы для числа решений системы (4) были посвящены работы К. К. Марджанишвили [32] и глсшы X и XI монографии Хуа Ло-кена [44]. Однако вопрос о нетривиальности этой асимптотической формулы, а вместе с тем и о наличии самих представлений до последнего времени оставался открытым. В диссертации мы решаем этот вопрос. Кроме того, получаем следующие оценки сверху и снизу для наименьшего числа слагаемых г в представлении (4), начиная с которого асимптотическая формула будет нетривиальна:
2п - 1 < г < п322п+20.
Вторую задачу, связанную с проблемой 3, мы называем многомерной аддитивной задачей в простых числах.
Она формулируется так. Требуется установить при растущих значениях правых частей N нетривиальную асимптотическую формулу для числа решений IN) системы уравнений
к
^рЪ ...р% = N ,...,и), (5)
3 = 1
(0 < ¿1 < п1,..., 0 < и < пг, ¿1 + ... + и > 1)
в простых числах 1 < в < г, 1 < ] < к, справедливую для всех к > к0 и при возможно меньшем значении к0 ■
Постановка подобных аддитивных задач содержится в [581.
В настоящей работе установлена асимптотическая формула для величины I(М) и для величины к0 получены оценки
2 - 1 < ко < гтп524(п+г),
где I = тах(п1,..., пг), п = п1 + ..., т = (п1 + 1)..., (пг + 1).
В диссертации найдены также необходимые и достаточные условия двух типов для разрешимости системы уравнений (5). Первые условия связаны с разрешимостью некоторых линейных систем сравнений по модулям, равным степеням простых чисел. Другие условия, так называемые условия порядка, связаны с рангом матрицы Якоби, соответствующей решению в действительных числах некоторой системы уравнений.
В настоящей диссертации мы используем метод И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, "метод сглаживания", "круговой метод" Харли Лип. туда Рамануджана в форме тригонометрических сумм, методы и результаты теории кратных тригонометрических сумм [38], а также основные идеи работ К. К. Марджанишвили [32], Хуа Ло-кена [44], А. А. Карацубы [18],[22] и Г. И. Архипова [48], примененные ими к решению аддитивных задач теории чисел.
Основные результаты диссертации полностью опубликованы в работах автора [67] - [75]. Мы используем также результаты совместных работ [53] - [66]. История и обзор результатов по проблемам, близким к теме исследования настоящей диссертации содержатся в монографиях [4], [22], [45].
Диссертация состоит из введения и четырех глав.
Первая глава "Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами" содержит вывод оценок сумм с многочленом общего вида в экспоненте.
Вторая и четвертая главы содержат приложения результатов первой главы. Во второй главе получены теоремы о распределении дробных долей многочленов от нескольких переменных, каждая из которых пробегает последовательные значения простых чисел. В четвертой главе выводится асимптотическая формула для числа решений системы уравнений в многомерной аддитивной задаче с простыми числами и даются необходимые и достаточные условия, при которых эта формула нетривиальна.
Несколько особняком стоит глава 3. Она посвящена исследованию нетривиальности асимптотической формулы К. К. Марджанишвили и Хуа Ло - кена для системы в простых числах, подобной системе проблемы Гильберта - Камке.
Более подробно изложение результатов диссертации содержится во вводной части к каждой из глав.
1 Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами
Настоящая глава посвящена оценкам кратных тригонометрических сумм с многочленом общего вида в экспоненте, переменные суммирования в которых принимают значения простых чисел. Наши результаты обобщают на г - кратный случай оценки И. М. Виноградова сумм с простыми числами ([1]-[4]) и являются новыми приложениями теории кратных тригонометрических сумм, разработанной в ([47]-[70]) на основе р - адического метода А. А. Карацубы (см.[22], глава XI, задачи). Полученные оценки по точности близки к СООТВ6Т-ствующим оценкам статьи ([61]). Здесь мы пользуемся методом сглаживания И. М. Виноградова [6] и результатами работ [47]-[70].
В §1 сформулированы известные леммы; в §2 доказывается леммы об оценках кратных тригонометрических сумм с простым числами; в §3 формулируются и доказываются теоремы 1, 2 об оценке краткой тригонометрической суммы с простыми числами.
Обозначения. г,пI,... ,пг, Р\,..., Рг - натуральные числа, ш = (п\ + 1) ••• (пг + 1), V тах(п \,...,иг) = 1, Р\ = тт(Рь ... , Рг). П единичный ш-мерный куб с координатами а(Ь... ,ЬГ), удовлетворяющими условиям
- (т(ti,...,tr))-1 < a(ti,...,tr) < 1 - (т(ti,...,tr))-1,
т (t 1, ...,tr ) = Pt1 ••• Ptr P- 6, (0 < t 1 < n I,..., 0 < tr < nr)
F(x 1}..., xr) — многочлен с действительными коэффициентами a(t 1}... ,tr).
П1 nr
F(x1;..., xr) = ^^ • • • ^^ a(t1,..., tr)i
t1 tr
tl=0 tr=0
(6)
Р1,... ,рг - простые числа.
Через Б = Б (А) = St(A) обозначим тригонометрическую сумму, в которой переменные суммирования пробегают значения простых чисел, т.е. сумму вида
S = ^^ • • • ^^ exp2nitF(p1,...,pr),
Р1 <Pl Pr<Pr
(7)
где координаты a(t1}... ,tr) точки A являются коэффициентами многочлена (6).
[a, b,..., c] - наименьшее общее кратн ое чисел a,b,... ,c, Ls = log Ps, s = 1,... ,r
L = log P, P = max(P1,..., Pr)
Определение 1. Точку А с координатами а(Ь1,.. Лг), 0 < Ь1 < п1,..., 0 ^ Ьг < пг назовем точкой первого класса если а = а(Ь1,... ,ЬГ) можно представить в виде
а
а = —+ в, (а, д) = 1, 0 < а < д,
д (8) \в\< т-1Р-н ••• Р0'1и
о < и < п1,...,о < гг < пг, г1 +-----+ гг > 1,
и наименьшее общее кратное ^ ^теел ... ), 0 < Ь1 < п1,..., 0 < < пг, и+• • •+и > 1, не превосходит Р1 . Остальные точки куба П назовем точками второго класса П2.
Определение 2. Б - приближением числа а, отвечающим, т > 1, назовем, а
а
а = - + в, (а, д) = 1, д < т, \в\< (дт)-1. д
1.1 Известные леммы
Лемма 1. Точки А = (а(1),..., а(п)) единичного куба, разобьем, на, два, класса, в соответствии с определением 1. К точкам первого класса, отнесем, точки, у которых Q < Р°'1и и \в(з)| < иР-3+°'1и, Остальные точки единичного куба, отнесем, ко втором,у классу. Для точек второго класса, положим
Д1 = Р-р1, Р1 = , » = 1,
п21п п
где 71 - некоторая, положительная постоянная; А для, точек первого класса, положим
Д1 = Q-0'5v+£, » = (т, Q)0'5v. Д1 = Q-0'5v+£6-0'5v, ¡л =1.
или такие
где
5о = тах(\в(1)\Р,..., \в(п)\Рп). Тогда при к < Д-2 будем иметь
^ (А)\
ехр 2п1кР (р)
р<р
< НРДщ,
Н = (1п Р) м^о), где постоянная, в знаке ^ зависит только от п,е,е0.
Доказательство см.[4], гл.7, теорема 1, стр.122.
Лемма 2. Для точек А первого класса ^ при к < Q2v справедлива оценка
\T (A)\
••• exp2nikF(xi,...,xr) ^
X1<Pl xr <Pr
< Pi ••• Pr Q—v+et, t = (k, Q)
Если, кроме того, положить
S (ti,...,tr ) = Pt1 ••• Ptr в (ti,...,tr), Sо = max \6(ti,..
tl + -+tr >1
то при S0 > 1 и k < (QS0)2v справедлива оценка
\T (A)\< Pi ••• Pr (QSo)
—v+e
постоянные в знаках ^ зависят только от ni,... ,nr ,е. Доказательство см. в [61], лемма 15, стр. 760.
Лемма 3. Пусть точка A принадлежит второму классу П2; и пусть s = 2,... ,r - натуральные числа, удовлетворяющие условиям
-1 < ^ - t < о
log Pi
К = ni + /12П2 + • • • + trПг ,
— Pr
Ar = Pi
тогда при k < A—2 имеем оценку
pr 132тк log8mK.
\T (A)\
••• exp2nikF(xi,...,xr)
X1<P1 xr <pr
< e32KPi • • • PrAr.
<
постоянная в зоне ^ зависит только от щ,... ,пг. Доказательство см. в [61], теорема 2, стр. 764.
Лемма 4. Пусть Е(х\,...,хг) - многочлен с целыми коэффициентам,и, Е (0,..., 0) = 0 и все коэффициенты его в совокупное ти просты с д. Тогда имеем
\S (q,F (xi,...,xr ))\
^•••Yl exp2ni
Xl = i xr = 1
,F(xi,..., xr)
q
< q
r—v+e
Постоянная в знаке ^ зависит только от ni,... ,nr,е. Доказательство см. в [58], лемма 8 а), стр.58.
Лемма 5. Г(х1;..., хг) - многочлен с действительными коэффициентами, Г(0,..., 0) = 0 и максимум модулей всех коэффициентов его равен а. Тогда имеем
\Ir |
г-1
exp2niF (x1,...,xr )dx1 ••• ,dxr
<
< min(1, 32ra-v(ln(a + 1) + 2)r-1).
Доказательство см. в [58], лемма 2, стр.54.
Лемма 6. Пусть Г(х1;... ,хг) - действительная дифференцируемая функция при 0 < хз < Р3, ] = 1,... ,г, причем, внутри интервала, изменения переменных функция,
д
-—Г (хь...,хг), ] = 1,..., г, дхз
кусочно монотонная, и знакопостоянная, по каждой переменной хз, в = 1 , . . . , г,
промежутков монотонности и знакопостоянства, не превосходит I. Пусть, далее, при 0 < 5 < 1 выполняют неравенства
д F (x1;..., xr)
dxj
<5, j = 1,... ,r
Тогда имеем равенство
Р1 Рг
• • • ^^ ехр 2п%Г(х1,..., хг) =
Х1 = 1 хг = 1 Г Р1 Г Рг
= ••• ехр2п%Г (х1,...,хг )йх1 ••• йхг+ ио ио
+ад • • • Рг(Р-1 + • • • + Р-1) (з + ^^ , \е\ < 1.
Доказательство см. в [58], стр. 73, лемма 16.
Лемма 7. Пусть все коэффициенты многочлена / (х1;... ,хг),
ni ni
ti i
f (x1, ...,xi) = •• •^J a(th . . .,tl )xt11 ••• x; ti=0 tl=0
представлены, в виде
a
a(t1,... ,tl) = a = —+ в,
q
где в ~ действительное число, a и q — целые числа, a > 0, q > 1, (a, q) = 1. Пусть, далее,
Q = H.O.K. q, 5 = P11 ••• Pflв, Д = max \5\, ti+-+ti>1 1 l ti+-+ti>1
0
0
где РЪ...,Р > 1.
Определим многочлен д(х1,... ,х\) равенством
I (хг + у1,...,хг + у1) = д(х1,... ,Х1),
где уг,... ,у1 - целые числа, \у3\ < Р3, в = 1,... ,1. Обозначим через а0 = а0(Ь1,..., и) коэффициенты многочлена д(х1,... ,х{).
Тогда можно указать целые числа а0,д0, (а0,д0) = 1 и действительные числа в0, такие, что при всех ... имеют м,есто соотношения
а0 а
ао =--+ во,
Яо
причем, Q0 = Ц, Д ^ Д0 ^ А, и числа Q0 и Д0 определяются так же, как Ц и Д, но с заменой а,а,д, в соответственно на а0,а0,д0, во- Постоянная в знаках ^ зависит только от п1,... ,П1.
Доказательство см. в [63], лемма 19, стр.759.
Лемма 8. Пусть I (х) - многочлен с действительными коэффициентам,и I(х) = а0 + а1х + ■ ■ ■ + апхп, А > 0, 1 = ¡(А, I) - мера тех точек х отрезка [0,1} для которы,х \1 (х)\ < А. Тогда имеем, что
¡1 < тт(1, 4е(Аа-1)п),
где
а = тах(\а0\, \аг\,..., \ап\). Доказательство см. в [22], задача 1, гл. II, стр.48.
1.2 Леммы об оценках кратных тригонометрических сумм с простыми числами
В §2 и §3 мы будем пользоваться следующими обозначениями. Буквой Е обозначим множество целочисленных наборов (Ь1,...,ЬГ), 0 < Ь1 < п1,..., 0 < Ьг < пг, + ■■■ + Ьг > 1. Через Е0 обозначим те наборы из Е, для которых выполняются условия > 1, + ■■■ + Ьг-1 > 1; через Е^- те наборы, для которых = 0, Ь1 + ■ ■ ■ + Ьг-1 > 1; и наконец, через Е2 все остальные наборы Е, т.е. наборы (11,...,1Г), удовлетворяющие условиям > 1, Ьг = ■ ■ ■ = Ьг—1 = 0.
Рассмотрим далее Б - приближения чисел а = а(Ь1,... ) 0 < < п1,... , 0 < < пг, + ■ ■ ■ + > 1, отвечающие
г = г (гъ...,и ) = р*Г 6 р22 ■■■ р1/ ,
т.е. рассмотрим соотношения
а
а = - + в, 1 < Я < г, (а,д) = 1, \в\< (дг)-1
(9)
обозначим через Q, Q0 наименьшие общие кратные чисел q = д(11,... ,ЬГ),
для которых наборы (Ь1,...,1Г) принадлежат соответственно к Е,Е0,Е1 ,Е2; кроме того, обозначим через 8 максимум из величин
\в (ь,...,^ Ш ••• р*г
по всем наборам (11}... ,ЬГ) Е Е.
Лемма 9. Пусть Qo > Р^/80. Тогда имеем
\Б(А)\ < в8кР1 ••• РгА1Г/4
где величины к и Аг определены, в лемма 3. Постоянная в знаке ^ зависит только от п1,...,пг.
Доказательство. Имеем неравенство
Рг
\№(А)\ < ^
Хг = 1
У^ • • • ^^ ехр2пИЕ1(гр1,... ,рг—1,хг)
Р1<Р1 Рт-1<Рт-1
П1 Пт—1 Пт
Г1 (Р1, ... , Рг— 1, хг ) = ^2 ••• ¿2а(Ь>->*г )'Р1 ••• Р— х*гт
и=0 и—1=0 и=0
г1+...+гт—1^1
Возведем это неравенство в квадрат и воспользуемся неравенством Коши. Получим
Рт
\в(А)\2 < Рг £
Хт = 1
Хт =1
<Рг Е ■■■ £
Р1,Р1<Р1 Рт—1,Рт — 1<Рт—1 Г2 (р1, ... , р'т—1, хг)) < Рг ^
У^ ••• ехр2пИЕ1(р1,... ,рг—1,хг)
Р1<Р1 Рт — 1<Рт—1 Рт
У^ ехр 2пй(Е2(р1,... ,рг—1,хг) —
<
' £ х
Х1,Х1<Р1 Хт—1,Хт—1 <Рт — 1
X
Рт
У^ ехр 2пИ(Е2(х1,..., хг—1,хг) — Г2(х1,..., хг—1,хг))
Хт =1
П1 Пт—1 Пт
*1=0 Ьт—1=0 *т = 1
г1+...+и-1^1
) —1, ^)х 1 ' ' ' х г_1 х,
т—1 ^ *т Г— 1 ^ Г
2
Возведем последнее неравенство в квадрат и вновь воспользуемся неравенством Коши. Имеем
(А)|4 < Р2 ••• Р-Р £ ••• ^ ^ х
Х1, Х1<Р1 Хг-1,Х 1<Рг-1 Хг ,хг <Рг
х ехр 2пи(е2(х1, ..., хг-1,хг) — е2(х1, . . . , хг-1,хг ) — — Г2 (х1, . . . ,Хг-1,Хг) + р2(х1, ... ,хг-1,хг ).
Отсюда получаем неравенство
|.Б (А)\4 < Р2 ••• I* £ ••• £|£ ••• £ х
Х^^ хг <Рг Х1<Р1 хг <рг
х ехр 2пИ(Е2(х 1,..., хг-1 ,хг) — ^2(х 1,..., хг-1 ,хг) — Е2(х],,..., хг-1 ,хг))
Пусть максимум модуля внутренней суммы достигается при х1 = а1,..., хг-1 = аг-1, хг = аг. Тогда имеем
Б (А)\4 < Р3 ••• Р-ЦШ\, (10)
Ш = ^^ • • • ^^ ^^ ехр2пйФ(х1 ,...,хг-1 ,хг),
Х1<Р1 Хг-1<Рг-1 Хг <рг
Ф(х1;..., хг-1 ,хг) = Е2(х1, ..., хг-1,хг ) — Е2(х1,. .., хг-1 ,аг ) —
П1 пг
— ..., аг-1,Хг) = ^ • • • ^ 7 (и,... )х1 • • • хьгг.
ь1=о и=0
Заметим, что при (11,... , ¿г-1,¿г) Е Ео справедливы равенства
7(¿1,..., £г-1, £г) = а(11,..., 1Г-1,1Г).
Следовательно многочлены Ф(х1;... ,хг) и ^ (х1, • • • хг ) имеют одно и то же значение которое превосходит Ри/80. Кроме того, имеем
П1 Пг-1
а(Ъ1,... ,Ъг-1,£г) а1 • • • аг_1
7(0,...0,и) = — X/- а(£1,...,£г-1,и)(
ь1=о ьг-1=о
(П)
где 1 < ¿г < пг
7 (¿1 ,...,£г -1, 0) = — ^ а(11,..Аг -1,и )а1г (12)
и=1
(0 < ¿1 < П1,..., 0 < ¿г-1 < Пг-i.il +-----+ и-1 > 1).
Оценим теперь сумму Ж Обозначим через A0 точку в m мерном пространстве с координатами
_ (, \ _ \ a(t1,... ,tr), если (t1,... ,tr) G E0,
а0 — ao{t1, . . . ,tr) — i n /, J- \ А J?
y 0, если (t1,...,tr) G E0, a через B обозначим точку с координатами Y(t1,... ,tr),
0 < ti < ni,..., 0 < tr < nr ,ti +-----+ tr > 1.
Возможны два случая:
а) точка A0 относится ко второму классу,
б) точка A0 относится к первому классу.
B
второму классу. Действительно, если бы B
су, то по определению 1 получили, что y — Y(t1,... ,tr) можно представить в виде
b
Y — s + ^ (b,s) — l, 0 < b < s, | < m-1P-t1 • • • P-trP
(0 < t1 < n1,... 0 < tr < nr, t1 +-----+ tr > 1),
и наименьшее общее кратное Q чисел s — .s(t1,... ,tr)
(0 < t1 < m,... 0 < tr < nr, t1 +-----+ tr > 1),
не превосходит P°1v. ^o тогда коорди наты a0 — ®o(t1,... ,tr ) ^отк и A0 можно
представить в виде b
ао — y — . + (b, s) — 1, 0 < b<s, < m-1P-tl • • • P-trPO1 (13)
если (t1,... ,tr ) G E0 и а0 — y, если (t1,... ,tr ) G E0 ■ Следовател ьно, Q' - наименьшее общее кратное чисел s — s(t1}... ,tr), (t1}... ,tr) G E0, не превосходит Q . Отсюда имеем, что точка A0 принадлежит к первому классу, что проти-
B
классу, и из леммы 3 находим
\W\ < e32KP1 ••• PrAr,
где величины к и Ar определены в лемме 3.
Рассмотрим теперь случай б). Точка A0 принадлежит первому классу и поэтому справедливы соотношения (11). Покажем, что Q0 < P0-1u. В противном случае выполняется неравенство Q0 > P0-1u, и следовательно, Q0 — Q , так как Q" < P0'1u. Отсюда имеем, что найдется такой набор (t1,... ,tr) G E0, что
s(t1,... ,tr ) — q(t1,... ,tr ).
Из этого и соотношений (11) и (13) получим
1
— < вд
Ь
д в
<\в\ + \£\< (дт)-1 + т_р
.-1П0Л"~ 6
в-1 < т_1 + дт_1Р1 6,
. _ _ т-,1 ~0.1v
в > 0.5Р16 .
С другой стороны, имеем
в < я" < Р01"
При V_1 > 2 эти неравенства для величины в противоречивы, следовательно Я0 < Р°Ли. Представим коэффициенты 7(0,..., 0, ¿г), 7(¿1,..., ¿г_1, 0), определяемые (11), (12), в виде
7 (0,..., 0Л)
а1 (и) дЛи)
о>1(и) д1 (и)
п1 Пг-1
•••
д(^1,... , ¿г_1 ) ¿1 ¿г-1
, .. • • • _1
=0 ..., tr_l,tr)
¿1=0 ¿г—1=0
п1 Пг-1
Ми) = - ^ • • • ^ в(*1,.. .,и_1,и )а! • • • а—1, 1 < и < Пг
a2(tl, . . . , ¿г_1)
¿1=0 ¿г-1=0 ¿1+...+и-1>1
1(11,...,1г_1, 0)
д2 (¿1,.. .,и_ 1)
2(t1, . . . , ¿г— 1),
a2(tl, . . . , ¿г_1)
а(^1,... ,ЬГ)
У-_-а
д2^1,..., и_1) )
Т) -¿г
г ,
$2 (¿1,..., ¿г_1) = /З(г1,...,и)
¿г = 1
(0 < ¿1 < п1,..., 0 < и_1 < пг_1, ¿1 +-----+ и_ 1 > 1).
Отсюда имеем, что д1(Ьг) \ Я0,
Ши)\ < (п1 + 1) • • • (Пг_1 + 1)Рг_'гР16, 1 < ¿г < пг, д2(tl,..., ¿г_1 ) \ Яо,
1
Шь,...,и_1)\ < (пг + 1)р_г1 • • • р;Х-1 р6,
(0 < ¿1 < п1,..., 0 < ¿г_1 < пг_1, ¿1 +-----+ и_ 1 > 1)
а
г
г
Преобразуем сумму Щ подстановкой х3 = Q0ys + ^ где 1 < < Q0, -zsQ-1 <ys < Р - Zs)Q-1, в = 1,... ,т. Получим
Яо Яо
Щ =^2 ехр(2пМФг(21,...,2г ))ЩЪ (14)
Х1 = 1 гг= 1
Щ = ^ • • • ^ ехр(2пйФ2^0У\ + 21,. . . ^0Уг + 2г)),
У1 Уг
П1 «г-1 «
уи
'-Т ) - / / / /» I \ , ... , 2 г
г1=о гг-1=о и=1
п1 пг-1 пг
а2 (11> . . . ,Ъг~1) 211 2Ьг-1 + а1(1т) и
г1=о гг-1=о
д2 (Ь,...,и-1) 1 '"' ' г-1 Я1(и)
п1 пг-1
Ф2(х1,...,Хг ) = ^2 ••• в (¿1,...,и )х[1 ...хГг +
11=0 Ьг-1=0
п1 пг-1
+ ^• • • ^ в(гъ...,и-М1...х1г- + вЛи)х;
11=0 Ьг-1=0 и = 1
Из оценок ви), в2(^1,... ,и-1), в^г)^ имеем
< 0.5.
д
tФ2 (QoУl + 21,..., QoУг + 2г)
дУs
следовательно, к сумме Щ применима лемма 6:
"{Р1-Х1)^-1 с (Рг-гг )Я-1
(15)
(16)
Щ = ^ ••• ^ ехр(2пйФ2^0У1 + 21,...^0Уг + 2г ))х
О -Х^- О -Хг
X ¿У1 ••• дУг + 0(Р2 ••• Рг ^-г+1). Сделаем замену переменных интегрирования у1, ... ,Уг :
Хs = (QoУs + Zs)P7l, в =1,...,Г.
Получим равенство
Щ = Р1 ••• Рг 1г + 0(Р2 • • • Рг
1г = ••• / ехр(2пИФ3(х1,... ,хг ))дх1 ...дхг, ио Л)
Фз(х1, . . . ,хг) = Ф2(Р1х1,. . . , Ргхг).
Таким образом, для суммы Ж имеем оценку
\< Р1 ■■■ Рг \Б (Ц0, Ц0ФМ,..., Zr ))\ \ + 0(Р2 ■ ■ ■ Рг Ц-г+1),
Яо Яо
5 (Ц0,Ц0Ф1^1,.. г)) = ■■■^ ехр(2пйФ1^1,..., Zr)),
¿1 = 1 гь=1
многочлен Ф^],,..., zr) определен равенством (15). Так как по условию леммы Ц0 > Р1/80, то из леммы 4 находим
5 (Ц0, Ц0ФМ,..., Zr ))\ < Ц00-< Ц00Р1 80 + 80 < Ц00Дг. Следовательно.
в случае б) справедлива оценка
\ < Р1 ■■■ Рг Дг.
После подстановки оценки \ в (10), получим
\в(А)\ < е8кР1 ■■■ РгД1
Лемма доказана. Лемма 10. П
густь Ц0 < Р^ Тогда имеем оценку
Лемма 10. Пусть - натуральные числа, определенные в начале §2,
и пусть < РГ0, > Рз"/80 ■
\в(А) \ с е8кР1 ■■■ РгД?,
где к и Дг определены в лемме 3. Постоянная в знаке ^ зависит только от п1,... ,пг.
Доказательство. Очевидно, справедливо неравенство
\5(А)\<£--- Е
Ж1<Р1 Хг—1<Рг—1
ехр2пйГ(х1,... ,хг-1,р)
рг<рг
Е- Е
Х1<Р1 Хг-1<Рг—1
ехр 2пИБ1(х1,..., хг-1,р)
Р<Рг
= Т1,
П1 Пг—1 пг
Р1(х1,...,хг-1,р) = ^2 ■■■ ^2а(Ь1,...,и-1,и )х
г1=0 гг-1=0 и=1
х х1 ■ ■ ■ хГ— ри = ^ Мх1,... , хг-1)рг
г=1
П1 Пг-1
¡ь(хъ . . . , Хг—\) = а(11> ■ ■ . ^г-Ъ^Х*1 • ••X1—1.
*1=0 Ьт—1
Преобразуем сумму Т1 подстановкой х. = Q0ys +
1 < < Qo, -ZsQ-1 <Уз < (Р.З - ¿.з^-1, 8 = 1,. . . ,Г - 1. Получим неравенство Т1 < Т2, где
Яо Яо
Т2 = Е-Е Е ••• Е -
21 = 1 ^г-1 = 1 0<У1<Р1^— 0<Уг-1<Рг-1 Я-1
X
^Т ехр 2пИГ1^оУ1 + ¿1,.. .^оУг-1 + ¿г-1,р)
Р<Рг
Представим многочлен Е1{^0у1 + ..., Q0yr-1 + гг-1,р) в виде
Р1^0У1 + ¿1,..., QoУr-1 + ¿г-1 ,р) = Ф^0У1,. . . , QoУr-1,p) =
п1 Пг-1 пг
=Е ^...^Л )^0У1)!1- • • ^0Уг-1)*г-1 р!г =
*1=0 *г-1=0 *г=1
= ^2 9*^0У1).. .^0Уг-1)р!, г=1
п1 Пг-1
а1^1,..., ЬГ-1,1Г) = ^^ • • • ^^ а(Ь1,..., ЬГ-1,1Г) х
.1=*1 .г-1=*г-1
8Г— П ^.1—1 .г-1—г-1
(17)
В силу леммы 6 существуют целые числа а1,д1, (а1,д1) = 1 и действительные числа в1 такие, что при всех .. ,ЬГ-1,1Г,
0 < ^ < п1,..., 0 < Ьг-1 < пг-1, 1 < и < пг,
имеют место соотношения
а1
аЛ^,... ,Ьг- 1,и) = а.1 =--+ в1,
Я1
причем Q4 = Q4, 8 ^ 80 ^ 80, где
Q4 = И.О.Кдъ Q4 = И.О.Кд,
4 и >1 и >1
80 = тах Р^ • • • Рг
¿0 = тах Р11 ••• Рьгг Щ, и>1 1
¿1___р*г I
1г >1
Обозначим через , ^ (Ьг) величины
Я3 = И.О.К дъ з = 0,1, 2,; ^(и)= И.О.К д^ь,... ,и-1,и),
¿1 +-----Иг-1>1
д(и)= и.о.к д(гъ...,гг_).
Ь1 + ~+Ьг-1>1
Заметим, что
Я0 =Ш),...&(Пг)], д0 = №' (1),...,Я' (пг)].
Из леммы 6, примененной к многочленам
¡1^0 У1 + ^1,... ^0Ут-1 + Zr-l) и д^0У1,... ,Я0Ут-1), t = 1,...,пг следует, что Q(tr) = $(Ьг). Поэтому Q0 = Так как Q4 = [^0,^2]
;,31 1
$0^2] > Р3и/80, ТО
Q,2 > Q4Q-1 > Риг/4° Следовательно. для многочлена Ф^Уъ ..., QоУг-1,р) справедливо соотношение
П1 пг-1 Пг ,, , ч
а^Ь,... ,и-1,в)
Г- 1,Р) = 7 -"771 —--;-г +
Ф(QоУl,...,QоУr-l,p)^X]••• X
, 0 , 0 я1(£1,...,£г-1,э)
¿1 =0 Ьг-1 =0 8=1
+ в (¿1,..., и-1,в)) Ш^1 ... ^оУг-1)г-1 Р8 = = Ф1 (У1,.. .,Уг-1,р) (шod 1),
п1 п1 пг - 1
ф(У1,...,Уг-1,р)^ (а1!0';;;' ^ + Х ••• X ^...^в^
11=0 Iг-1 =0
пг
X Ш^1 • • • Шг-1)1г-1)Р8 = £ взр8 = £ Н3(У1,..., Уг-1)р8
8=1 8=1
Отсюда и из (17) имеем
Т2 < Qr0-1 Т. ••• Е X
0<У1<Р1Я-1 0<уг-1<Рг-1Я-1
X
у^ ехр 2пйФ1(уь... ,Уг-1,р)
Р<Рг
Qrо-1Tзз
Рассмотрим Д-приближения дробных долей Ьз(у1,..., ут-1), в = 1,... ,пг
отвечающие т(в) = РТ3 {Ь-зЫ,..
Ут-х)} = —;-г + 13.з(У1,.. .,Ут-г)
Яз(Уъ .. .,Ут-1) (аз(У1,...,Ут-1), дз(У1,...,Ут-1)) = 1 1 < д.з(У1,.. .,Ут-х) < т(в), \Рз(У1 ,...,Ут-1)\ < ^з(У1, . . . ,Ут-1)т (в))-1.
Обозначим через Q(y) наименьшее общее кратное чисел дх(Ух,.. .,Ут-1),.. .,Япг(Уъ .. .,Ут-1),
а через 6(у) - наибольшую из величин \вз(УХ, Т3 разобьем на три суммы
ут-1)\Р., в = 1,... ,пт. Сумму
Б-;
Тз = Бх + Б2 + Б3,
Л)
£ ••• Е ~'\Б(У1,...,Ут-1)\, 3 = 1,2,3. Б(У1,... ,Ут-1) = Е ехр (У1,... ,ут-1,р),
Р<Рг
причем область суммирования по У1,..., Ут-1 в каждой из сумм Б1, Б2, Б3 своя и определятся так.
Если (Б1}..., ВПг) является точкой второго класса относительно параметра Рт, то соответствующий набор (у1; ... ,Ут^отнесем к сумме Б^^; если же эта точка является точкой первого класса, причем Q(y) > Н = Р1пр или 6(У) > Н, то соответствующий набор (У1,... ,Ут-1) отнесем к су мме Б2, и наконец, все остальные наборы (у1}..., Ут -^отнесем к су мме Б3, т.е. сум ме Б3 отнесем такие наборы (у1,...,ут-1), для которых Q(y) < Н и 6(у) < Н. Оценим сумму Б1. ( 1 , . . . , - 1 ) Б1 ,
\Б(у1,...,ут-1)\ « НР1-Р1, р1 =
где ^ > 0 — некоторая постоянная.
Следовательно,
1
п21п пт'
Н = (1п Р) м^о)
1п1п _Р_
£0
Б1 « НР1 ••• Рт-1РГ1-Р1 +1 « НР1 ••• Р^-т+1Ат
Перейдем к оценке суммы Б2. Так как точка (В1,..., ВПг) принадлежит пер-
В.
виде
ь
= + вз, (Ьз,1з) = 1,
6
вя
т<(пг + 1)_1рг_з+0'1", в = 1,...
пг
I = [11,...,1пг ] < Р
0,1и
Г .
Покажем, что для точки (В1,... впг) первого класса имеет место неравенство Я (у) < Р°'1и. Действительно, в противном случае имеем Я (у) = I. Сле-довательно^ найдется в, 1 < в < пг, такое, что д3(у1,... ,уг_1) = 13. Отсюда
имеем
1
дs(Уl,.. .,Уг_1)1з
<
as(Уl,... ,Уг_1) Ь3
дs(yl,...,yr_l) 1з
<
^ \Ъ(У1,...,Уг_1)\ + в\< Рг
_s+0.1v
+ д_ (У1 ,...,Уг_1)рг
131 < дs (У1,...,Уг_1)Р7
_s+0.1v
+ Рг
6
< 2Рг
0.1и-1
1Ч> 0.5Рг
1 _0.lv
Последнее неравенство противоречит тому, что
Ь < I < Р01.
Таким образом, имеем неравенство Я (у) < Р°Л1У. Покажем, что для всех в, 1 < в < пг, справедливы равенства
as(yl,... ,у_) = дs(Уl,...,Уr_l) Ь'
Действительно, в противном случае найдется такое в, 1 < в < пг, для которого выполняется неравенство
as(yl,... ,у_) = дs(yl,...,yr_l) Ь'
Тогда с одной стороны, имеем
as(yl,... ,у_) ^
>
, уг_1) ^дs
а с другой стороны, имеем и такое неравенство
Р
-0/¿V
as(Уl,... ,у_) Ь
дs(Уl,...,Уr_l) 1
< в(у1,...,уг_1)\ + т <
,_s+6
6
< 2Рг 6
^ р^0.11' + рг 6 < 2рг
Отсюда получим, что неравенства снизу и сверху для величины
as(у1,... ,у_) Ь3
дs (у1,...,уг_1) Ь
6
1
s
противоречивы.
Следовательно, при всех в, в — 1,..., пг выполняются равенства
Ьз а3(у1,...,уг-1) а а ( \
- - вз = /Зз(у1,...,уг-1).
1з Яз(у1,...,уг-1)
Отсюда находим
Ц(у) = 1>Н, 5(у) = 6 = тах Ргз\вз\ > Н.
1<в<пг
Таким образом, если набор (у1,..., уг-1) относится к сумме , то в силу леммы 1 имеем
\Б (у1,.. .,уг-1)\ « Рг Н—0-5и+£ « Рг Р-р,
\&\ « Р1 ■■■ Рг-1^-Г+1РгРГ. ценим сумму . Имеем
\5з\ < УРг,
где У - количество наборов (у1,... ,уг-1), 0 < у1 < Р1Ц——1,..., 0 < уг-1 < Рг—у для которых выполняются соотноптепия
6(у) < Н = Р3Г, Ц(у) < Н
и точка (В1,..., ВПг) принадлежит первому классу.
Обозначим через а0 множество точек (В1,..., ВПг), соответствующих наборам (у1,..., уг— 1), которые относятся сумме .
У.
а = П1(
V ¡1 Кг)
область в пг-мерном пространстве, которая определяется так. Точка (а1,..., аПг) принадлежит а , если
Ъ
аз = т~ + Zs, 1 < ¡з < г (в)
з
1
(Ьз,Нз) = 1, \Zs\ < (¡зГ(в))~ 3—1
Г (в) = Рг 6 , в = 1, ... ,пг,
[¡1,...,кпг} < Н. (18)
Пусть
Ь1 Ь
а = а ^пЛ
область, отличная от П с услови ем [кУ... ,к' ] < Н. Тогда найдется такой номер в, 1 < в < пг, что
Ь± =
к.ч ка
Следовательно,
к,ч
ЬЬА к'
Н
-2
в
меньше, чем
Н-2 - 2(т(в))-1 > 0.5Н
2
Но для любой точки множества ее в - для координата отличается от а1(0,..., 0, в)
д1(0,..., 0,в)
не более, чем
п1
пг-1
ь1=о ьг-1=о
^ \в(г1,...,1г-1,в)\Р11 ••• Р-1 < р^р* < Р- 6.
Таким образом, множество П0 пересекается те более, чем с одной областью Если У = 0, то для всех точек множества П0 справедливы соотношения
as(yl,..., Уг-1) = Ь>8_ qs(yl,... ,Уг-\) кs
(19)
кs
<Р^Н, в = 1,
,п
Так как Q(y) < Р3рп, > Р^40, р < V2/120, то Q'2 = Q(y) и следовательно, при некотором ц имеем
—-7^ = тr, ql(0,...,0,М = 1.
д1(0,...,0,^) к^
Из (19) имеем У < У1, где У1 - количество тех наборов (у1, которых справедливо неравенство
к^(У1,...,Уг-1) - к
< Р-^Н = к.
,уг-1), для
(20)
Положим
п1
В(у1,...,уг-1) = ^ ••• ^ в1(Ь,...,и-1ф)х
11=0 Ьг-1 =0
х ^У1 • • • ^0Уг-1Уг-1
Ь
s
пг 1
ai(0,..., 0,^) a Ьц Ь qi(0,..., 0,у) q h^ h'
Тогда неравенство (20) примет вид
п/ ч Ь а
В (У1,.. . , Уг—1) - - + -п д
< A. (21)
Определим теперь периодическую функцию х(х) с периодом, равным единице, соотношениями
1, если |х| < А, Х(х) = { (2А - |х|)А-1, если А < |х| < 2А, (22)
0, если 2А < |х| < 0.5,
и функцию ф(х) равенством
)(х) = х I х +
д П
™=4+a - h).
Тогда из условия (21) получим
0<yi<PiQ-1 0<yr-i<Pr-iQ-1
У < Е ••• Е Ф(В(у1,...,уг-1)) = У2.
0<У1<Р1Я-1
Разложим ф(х) в ряд Фурье
ф(х) = А+ Ф)е2™х, с(0) = 0,
.=—оо
|Ф)|< min (а, A-^j , |s|> 1.
Следовательно
Y « Pi • ••Pr-iQ-r+1A+ Y, AIT(s)|+
1<s<M
+ ^ A^S^T (s)| + Pi-pP2 • • • Pr-iQ-r+1,
M <s<M1
T (s)= ^2 ••• S exp2nisB(yi,...,yr-i),
0<yi<PiQ-1 0<yr-i<Pr-iQ-1
M = A-i, Mi = MPP.
Оценим сумму T (s).
Модули первых частных производных многочлена вВ(у 1,... ,уг_ 1) не преВ о сходя т
п П1 п3 Пг-1
д
дуз
11=0 = 1 3г-1=0
х Я0(Я0у1)н • • • Шз)3_1 • • • (Я0уг_1)и-1 <
< \в\^Я0Р11 • • • р:З3_1 • • • р_1 • • • р1_н • • • РЛ-1 Р_гР16 <
-)0.5
< Р0.5 < 0.5, э = 1,...,г - 1.
Следовательно. по лемме 6 имеем равенство
°Р1Я-1 рРг-1 Я-1
Т (в) = ••• ехр2п%вВ(у1,... ,уг_1)йу1 ••• йуг_1 +
Jо J0
+ 0(Р2 ...Рг_1Я^Г+2).
Т(в)
гз = Р_1Я0уз, э = 1,...,г - 1
Получим
Т (в) = Р1 ••• Рг_1Я^Г+1!г_1 + 0(Р2 • • • Рг_1Я^Г+2),
1Г_1 = •• ехР 2п1вЛ(г1,..., гГ_1)йг1 ••• ¿гГ_1, 00
п1 пг-1
Зл „¿г-1
А(г1,...,гг_1)= ••• ^1,...,и_1)4 ••• 4Г-
*1=0 Зг-1=0
tl + •••+t г-1>1
5(11. .,и_1) = ,.. .,и_1 ф)РЗ1 • • • РГ-
Пусть
5 = тах \5(Ь1,...,1Г_ 1)\. З1+-+и-1>1
Тогда для величины 5 имеем следующую оценку снизу
п1 п - 1
5 > п^^ \в1(г1,...,гг_1,^)\Р11 ••• РЗ- >
1=0 -1=0 и+...+г г-1 ^1 п1 п - 1
••• Е ш^...^_ 1,»)\(Я0у1)31 ••• (Я0уг_ 1)З
1=0 1=0
m
nr ±1 ( a b .. a b ^^ v-
>-[-<-h(0--lq-h ± £- £
\ 4 4 t1=o tr-1=
ab
_ ± > ••• у x
qh
xßl (t ь . . .,tr- i ,ß)(Qoy 1 )t1 • • • (Qoyr- 1 )tr-1D
t1=o tr-1=o >
> ni±! f J___l__А > nr +1
\Hq qr(0,..., 0,ß) )
m \Hq qr (0,..., 0,ß) J ~ 4mHr(0,... , 0,ß) Отсюда по лемме 5 для суммы T(s) находим
IT (s)| << Pi ••• Pr-iQ-r+1 min (l, |s|-n Hn (t (0,... , 0,ß))n) .
Следовательно
< Pi ••• Pr-iQ-r+1 A± Pi ••• Pr-iQ-r+1A Y, m-n Hn (t (0,..., 0,ß))n ±
1<s<M
± Pi ••• Pr-iQ-r+1A-1 ^ s-2-nHn (t(0,..., 0, ß))n ±
M <s<M1
± Pl-pP2 • • • PrQ-r+1 < Pl-pP2 • • • PrQ-r+1.
Отсюда получаем, что Б3 < УРГ ^ Р1 • • • РгQ0r+1P1 р
Тз = + Б2 + Бз < Р1 ••• РгQ—r (А)\ < ^-г+1Тз << Р1 ••• РгР-р.
Лемма доказана.
Лемма 11. Пусть величины ^ и ^ условиям Q < Р,
¿>ш-1Р01. Тогда
(А)\ << Р1 ••• РгР-р,
где
р = —:-, п = тах(п1,... ,пг),
п21п п
^ > 0 - некоторая постоянная. Постоянная же в знаке ^ зависит только от п1, ... ,пг.
Доказательство. Пусть 5 = \5(t1,... ^г)\, ¿8 > 1. Тогда имеем неравенство
\Б(А)\< £ - £ £ - £ | £ х
Х1<Р1 Х3-1 <Р-1 Хе+1<Ре + 1 Хг <Рг Р.<Р. (23)
х ехр 2жИР1(х1, ..., х8-1,р8, х8+1, ..., хг) ,
П1 п.9-1 пе п.9 + 1 Пг
Р1(х1,. . . ,Х8-1,р8,Х8+1,. . . ,Хг ) = Х •"ЕЕ X • • • Е х
ь1=о ь.-1=о гв=о ¿3+1=о гг=о
. ¿г )х1 . . . Х8—1 р8 Х8+1 ^ ^ ^ ХГ .
Обозначим через д наименьшее общее кратное чисел д(Ь1,.. Лг) с условиями Ь1 > 0,...,Ьз—1 > 0, Ьз > 1,1+ > 0,...,ЬГ > 0. Тогда д < Ц. Представим переменные хг в виде хг = дуг + Zl, 1 < Zl < д, —Zlд—1 < уг < (Рг — Zl)д—1, I = 1,..., в — 1, в + 1,... ,г. Определим многочлен
ф1(у1,...,уз—1,рз,уз+1,...,уг)
в виде
Фl(yi,...,ys-1,Ps,Vs+1,---,yr ) =
Fi(qyi + zi,... ,qys-i + Zs-i,Ps,qys+i + Zs+i, ■■■ ,qyr + Zr) =
Js—11 <^s—i, Fs)4ys n1 ns-i ns ras+l n.
E-^EE ai(ti,...,tr )(qyi)tl ••• (qys—i)ts-1 x
tl=0 ts-i=0 ts = i ts+i=0 tr=0
X Ptss (qy.s+i)ts+1 ••• (qyr )tr
Тогда по лемме 7 существуют рациональные приближения чисел ai =
ai(ti,... ,tr) такие, ч то ai = — + /3i, (ai,qi) = 1, q' = H.O.K qi, 6 =
qi ts>i
max \8-\_\Pi1 • • • Ptr и выполняются соотношения te>i
q = q , 6 < 6 < 6.
Следовательно
$i{yi,...,ys—i,Ps,ys+i,---,yr )
ns-1 ns ns + 1
ni ns-1 ns ns + 1 Tlr / \
= £ -EEE-E (a, + "0 (qyi)'1
t1=0 ts-1=0 ts = i ts+1=0 tr=0 '
= &i(yi,... ,ys—i,Ps,ys+i,Уг) (mod 1)
Ptss
(qyr )r =
Ф = ф (yi,.. .,ys—i ,Ps,ys+i. ,Уг ) =
n1 ns-1 ns ns + 1 nr
= EE E •••J2ei(ti,---,tr)(qyi)t1^ ••Pls• -(qyr)
t1=0 ts-1=0 ts = i ts+1=0 tr =0
l=i
Обозначим через y набор (yi}..., ys—i,ys+i,..., yr). Представим коэффициенты Bi многочлена Ф в виде
B
l=
ai (У)
qi(y)
+ l3i(у), (ai(y),qi(y)) = 1, 1 < q2(y) < т(l),
\m\< (qi(у)т(l)) — i, T(l) = Ps
J-1
Введем еще обозначения:
Q(У) = [ql(У),...,qns (у)], 6(у) = тах в (у)\Р[
1<1<и3
Из неравенства (23), после замены переменных суммирования на дуг + I = 1,...,в — 1, в + 1,...,г, найдем
Б(Л)\< Г1 Е ... Е Е ... Е X
0<У1<Р1д-1 0<уе-1<Ре-1д-1 0<уе+1<Ре+1Я-1 0<уг <Рг Я-1
X
^ ехР 2^г^Ф(у1,... ,уз-1,р,Уз+1,.. .,Уз)
Р<Рв
дт-1Т1.
Т1
Т1 = Б1 + Б2 + Б3,
Бл = Е ••• Е Е ••• Е 01Б(ЙИ = 1.2.3.
0<У1<Р1Я-1 0<уе-1<Ре-1Я-1 0<уе+1<Ре+1Я-1 0<уг <Рг Я-1
Б(У) = Е ехр ... ,Уз-1,Р,Уз+1,... ,Уз),
область суммирования по наборам у = (у1,... ,уз-1,р,уз+1,... ,уз) в каждой из сумм Б1,Б2, Б3 своя и определяется так. Ее ли точка (В1;..., ВПв) является точкой второго класса относительно параметра Рз, то соответствующий набор У Б1 ,
либо Q(y) > Н = Р1пр, либо 6 (у) > Н, то соответствующий набор у отнесем к Б2, все остальные наборы у отнесем к сумме Б3. В случае, когда набор у относится либо к сумме Б1, к сумме Б2, для оцен ки Б (у ) воспользуемся леммой 1.
Получим
\Б(У )\« Р1-Р,
Отсюда имеем
\Б1\ + \Б2\« Р1-РР2 ••• Рт Я-т+1 Оценим сумму Б3. Очевидно имеем
\Бз\ < УРз,
где У - количество наборов у = (у1,..., уз-1,уз+1,..., ут),
0 < У1 < Р1Я-1,... 0 < у.з-1 < Рз-1Я-1,
0 < у3+1 < ■ ■ 0 < Уг < Ргя ,
для которых
5(у) < н = Р'Г, д(у) < Н (24)
и точка (Б1,..., БПа) принадлежит первому классу. Множество таких точек (Б1}..., БПе), удовлетворяющих условиям (24), обозначим через Так же, как и в лемме 9 доказывается, что если У = 0, то множество П0 принадлежит всего литтть области Пь определенной условиями (22). Следовательно, справедливы соотношения
Б к
Б1 - ~т
П1
< Р-гН, 1 < 1<ич.
аг (у) = Яг (У) V Пусть
5' = \в х(1 1,..., Ьэ-1, ¡,Ьэ+1,.., и )\Р!1 • • • Р-- Рр++1 • • • РУ (25) в некотором I > 1. Тогда величина У оценивается верху величиной У1, количеством тех наборов у, для которых справедливо неравенство
- |
< Р-Н = А, (26)
Бг(у) = Бг.
Определим теперь периодическую функцию (х) равенством
Ф1(х) = X (х - £) ,
где х(х) определена соотношением (22). Из условия (26) и определения ф1(х) имеем
Ух< Е ••• Е Е ••• Е МБгт = У2.
0<У1<Р1Я-1 0<у—1<Р—1д-1 0<уд+1<Рд+1д-1 0<уг <Рг Я-1
Отсюда после разложения функции ф1(х) в ряд Фурье
Мх) = А+ ^ сл(1)е2пг1х, сл(0) = 0;
Ь=—оо
\сл(Ь)\ < шт ^А, аАь^ при \Ь\ > 1,
получим
У2 < Р1 ••• Рэ-1Рэ+1 ••• Рг Я-Г+1А+ ^ А \Т (Ь)\ +
1<г<ы
+ Е А-1Ь-2 \Т(Ь)\ + Р1 ••• Рэ-1Рэ+1 ••• Ргд-г+1Р-р, м <г<м1
t (t)= £ ••• £ £
^Т exp2nitBi (y),
0<У1<Р1Я-1 0<у3-1<Р3-1д-1 0<у3+1<Р3+1д-1 0<уг <Рг Я-1
М = А-1, М1 = МРР
Оценим сверху модули первых частных производных многочлена ЩВ1 (у) при Щ < Мц
д
% B (y)
П1 nk nr
< ■■■Y.tk в (ti,...,tk,... ,tr )|x
t1=0 tk = i tr=0
xq(qyi)11 • • • (qyk)tk-i • • • (qyr)tr « ^qP-P-1 Pi < 0, 5
k = 1,..., s — 1, s + 1,... ,r.
Отсюда в силу леммы 6 следуют соотношения!
ГР1Я-1 rPs-lq-1 rPs+lq-1 Г Рг Я-1
т m <
exp 2nitBi(y)dyi... dys-idys+i ...dyr
00
+
+O (Pi• •• Ps-iPs+1 • • • Prq-r+1 {P-1 + ••• + P-i + P-ii + ••• + Pr-1)) «
« Pi••• Ps-1 Ps+1 • • • Prq-r+1 (Ur-11 + P-1 + ••• + P-i + P-i+i + ••• + Pr
(28)
Ir-1 = ••• exp 2nitA(y)dyi • • • dys-idys+1 • • • dyr ; 00
n1 ns-1 ns + 1 nr
a(v) = Y1••• Y, £ •••Y,Y(ti,...,ts-i,ts+i,...,tr)
ix
t1=0 ts-1=0 ts+1=0 tr=0
t1 + -+ts-1+ts + 1 + -+tr >1
xy1 • • • ys-1 ys+1 • • • yr ;
Y (tb . . . ) ts-1 ,ts+1, . . . ,tr) = /3i(t1, . . . , ts-1, l, ts+1, . . . , tr )P11 • • • Ps-i Ps+i В соотношении (25), определяющем 5', возможны два случая:
а) ti +----+ ts-i + ts+i +----+ tr > 1,
б) ti = • • • = ts-1 = ts+1 = • • • + tr = 0.
P tr Pr .
0
0
7 - максимальное из чисел \7(¿1,... ,£8-1,£ц+1,... ^г)\ при условии, что ¿1 + • • • +
¿8-1 + ¿8+1 + • • • + ¿г > 1
0 ^ ¿1 < п1, ..., 0 < ¿8-1 < п8-1, 0 < ¿8+1 < п8+1 ,..., 0 < ¿г < пг.
в случае а) имеем
7 = 5'Р-1 > 5Р-г > Р-1Р01-1и
Случай б) подразделим (см. (26)) на два: 1)кг > 1, 2)кг = 1. Тогда для случая справедливы неравенства
п.-1 п.+1
1
П 8 +1
7 = ¿^••^ Ъ •••¿^П (Ч,
¿1=0 ¿.-1=о ге+1=о гг=о
ш
(¿1, . . 8-1^ 8+1, . . . Л )\ =
п1
П8
пя-1 п3+1
ш
£
^ ^ ^ Е
г1=о гв-1=о г3+1=о ¿г=о г1+-+г.-1+г.+1+-+и >1
\р1(и, . . . ,¿8-1,1, ¿8+1, . . .,и )\ х
^ р'1 рг.-1 рг.+1 туЬг ^
х Р1 ' ' ' Р8-1 Р8 + 1 • • • РГ ^
>
п 8 + 1
п1 п.-1 па + 1 пг
ш
Е/" Е Е ••^\вl(tl,...,ts-1,l,t8+l,...,tr)\х
г1=о гв-1=о г3+1=о гг=о г1+-+г.-1+г.+1+-+и >1
х Ш'1 • • • (ду8-1)*'-1 (ду8+1)*'+1 • • • (ду-)'г >
^ щ+^гь1 — в(0,...,0,1,0...,0)\—
ш \Щ
кг
п1
п.-1 п.+ 1 пг
г1 =о г.-1=о г.+1=о гг=о
/ у в1(t1, ... , 18— 1 , 1^ 8 + 1, . . . ,£г )х
х (дУ1)г • • • ^Уг)г
) ш \кг
> п+±(1 — Р-1Р1 — Д ] >> И-1
Выше все неравенства выписаны при условии, что набор У = (у1, ... ,У8-1,У8+1, ... ,Уг ) относится к су мме Б3, и следовательно, для него справедливо соотношение (27)). Рассмотрим теперь случай 2), т.е. случай, когда кг = 1. Тогда Ъг = 0,
г
и из неравенств, аналогичных случаю 1), получим
п1 п3-1 п3 + 1 пг
\
7 > — ( \в (0,..., 0,1, 0 ..., 0)\-т
Е- Е Е "Ех
г1=0 га-1 =0 г3+1=0 и=0
хв 1 (11,.. .,г8_ 1,1,18+1,.. .,и )(ду 1 )31 • • • (ду8_ 1 (ду8+1 )и+1 • • • (дуг )3г |) >
> ^ (с5'Р_ - А) >> 5Р_ > Р_Р01.
т
Таким образом, для величины ^ справедливо неравенство
7 > Р_
следовательно, по лемме 1.1.5 имеем
\1г_1\ < \Ь\_°5<
-0,5и,-0^ „ иг,0,51^ г>—0.05v2
где V тах(п1,..., пГ) = 1.
Подставляя эту оценку 1Г_1 в (28)), а полученное неравенство \Т(¿)\ в (27)), найдем
У2 < Р1 ••• Ps_lPs+l • • • Рг д_Г+1А + Р1 ••• Ps_lPs+l • • • Рг д_Г+1Ах
х Р0'^P—0'05v2 + Р1 ••• Ps_lPs+l • • • Ргд_Г+1А_1 х
1<г<ы
х ^ г2_0'^ Р0'51" P—0'05v2 + Р1 ••• Р3_1Р3+1 • • • Рг д^Р^, м <г<Ы1
так как А = Р_ Н = Р_1 Р^, то для величпны У2 имеем
■2 < Р1 ••• Ps_lPs+1 • • • Ргд_Г+1Р_р.
следовательно
\Бз\ < Р&У < р8У2 < Р1_рР2 • • • Ргд_Г+1.
отсюда находим
\Б (А)\ << дГ_1 (\й\ + \ Б2 \ + \Бз\) << Р1_рР2 ••• Рг. лемма доказана.
Пусть точка А относится к первому классу. Тогда для координат её а = а(Ь1,...,1Г) выполняются соотношения (8)). Пусть Е3, Э = 0,1, 2 - множества целочисленных наборов, определенные в начале §2. Обозначим через Яз
наименьшее общее кратное чисел д(11}...,1г) - знаменателей рациональных приближений чисел а(Ь1,... ,ЬГ) из (8)), - при условии, что набор (¿1,...,1Г) относится к множеству Е^. Эти обозначения будут нами использоваться в леммах 1.1.12, 1.1.13.
Лемма 1.1.12. Пусть точка А относится к первому классу, и пусть Q0 > Q0'2 . Тогда справедлива оценка
\Б(А)| < Р • • • РгQ-0'05v+£(\t\,Q)0'25v
Постоянная в знаке ^ зависит только от щ,... ,пг ,е.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.1.9, после возведения суммы Б (А) в четвертую степень и двукратного применения неравенства Ко-ши при некоторых фиксированных натуральных числах а1,...,аг, 1 < а1 < Р1, . . . , 1 < а1 < Рг, получим
|4 ^ т~>3 т~>3 т~>3
\Б (А)\4 < Р3 ••• Р-1Р;3\Ш\, (29)
Ш = ^^ • • • ^^ ехр 2пй Ф(х\,... ,хг-\,хг),
Х<Р-1 ХТ-1<РТ-1 хТ <РТ
Ф(х\,..., хг-1,хг) = Р2(х\,..., хг-1,хг) — Р2(х1,. . . , хг-\, аг) —
П1 пТ
—Р2(аг,..., аг-1, аг) = ^ • • • ^ 7(¿1,... ,ЬГ)х\1 • • • хх;;
¿1=0 1Т =0 11+...>1
П1 пт—1 ПТ
Р2(х1,... ,хг-1,хг ) = Е ••• ^ ... )х1 ••• х1— х1Т;
¿1=0 ¿т-1=0 IТ =0
¿1+...+гт-1>1
Из определения многочлена Ф(х1,..., хг) находим следующим соотношения для его коэффициентов
7 (¿1,..., ¿г¿г) = а(11,..., ¿г-1,ЬГ) При ¿1 + • • • + ¿г> 1, ¿г > 1, т.е. набор I € Е0;
п1 Пт-1
а(г1,..., гг)а11 • • • а1Т—
7(0,...,0,и) = — ^ а(11,...,1г-1У
г1=0 гТ-1=0 ¿1+...+и-1>1
При ¿г > 1; т.е. набор Ь € Е2\
7(*1 ,...,и-1,0) = — ^ а(гъ...,гг-1)а1Т
¿Т-1 = 1
При Ь1 + • • • + Ьг-1 > 1, т.е. набор £ Е Е1. Отсюда в силу соотношений (8)), определяющих точку первого класса ^, получим
7 ® = 0§ + А®,
а() = , в1 (£) = в(£) при £ Е Е0; (30)
Я1(£) Я(Ь)
= - Е а1 "г , в1 (£) = - Е в(Ы (£ Е Е1); (31)
~*г — 1 tг — 1
П1 Пг-1
а(ь)
"1 • • • аг_1;
а1(£) = _ "(Ц) 11 г—
Я1(Ь) ¿—1¿—> я(ь) •••
Е- £ •<£!; (32)
п1 П—1
.гг а1___г,гг-1
у (Х^
г1 —0 гг-1—0
в1(£) = - Е • • • Е в(£)а^а^ • • • а— (£ Е Е2).
следовательно, имеем, что Я1(Ь1,..., Ьг-1)^ при Ь1 + • • • + Ьг > 1
\в1(Ь1,...,Ьг-1, 0)\< Р-^ ••Р-*г Р?1 при Ь1 + •••+ Ьг-1 > 1;
|й/п п + м ^ (и1 + 1) • • • (П-1 + 1) и-иг>0,1у . . . .
\в1(0,..., 0,ЬГ )\ < -Рг г при Ь1 + •••+ ъг = 1.
т
Преобразуем теперь сумму Ш подстановкой хэ = Q0ys + 1 < < Q0.
-ZsQ0 1 <уэ < (Рэ - ^э^о 1, в = 1,. .. ,Г. получим
Яо Яо
ш = ^ • • • ехр(2жйф1^1>... ^г ))Ш1, (зз)
Х1 — 1 хг — 1
Ш = • • • 52ехр(2тЬФ2@0у1 + Zl,..., QoУr + Zr)),
У1 Уг
где суммирование по переменным уэ ведется по всем целым числам промежутка
-ZsQ-1 <уэ < (Рэ - Zs)Q-1, в = 1,...,т;
П1 Пг—1 Пг
*1—0 *г-1—0 *г—1 Я(Ь1,...,Ьг)
г-1>1 04)
а(ь,...,и) _ *1
*г— 1—0 *г -
п Пг 1 а1(Ь1,...,и-1,0) ¿г—1, а1(0,...»0,Ьг) и.
+ ^ ^ а1(Ь1,.. .,Ьг-1, 0) _*1 *г—1 +
+ • • Я Ь , 0) ^ • •^г-1 +2-и
г-1^1
П1 Пг—1 Пг
ф2(хъ...,хг) = Ев(щ х• ••хг+
п1 Пг-1
г1=0 гг-1 =0 гг=0 г1+...+и-1 >1
11 Ъг-1
+ Х/" Е в1(Щ1,...,Щг-1,0)х1 • ••х- + ^2 в1(0,..., 0,и х.
Ъ1=0 Ъг-1=0
и=1
Оценим первые частные производные по у3 многочлена ЩФ2(Я0у1 +г1,..., Я0уг + гг) при Щ <
д
§2 (Я0У1 + 21Я0Уг + ^ )
дУз
П1 Па Пг—1 пг
<\*\Е^Е"• Е Е^в)|х
11=0 Ъ* = 1 1=0 1г =1
X Я0(Я0У1 + г^1 • • • @0Уз + г-У' ^^ • (Я0Ут + )г +
п1 па Пг-1
+ ^Е^Е ••• Е , 0)\х
Ь1=0 Ъ* = 1 Ъг~ 1 =0
X Я0(Я0У1 + 21) 1 • • • (я0уЗ + г3)и-1 • • • (Я0Уг + ¿г)г-1 <
< ЩЯ0Рг-1Р0'1и < Р-0'5 < 0, 5 в = 1,...,г - 1;
д
&2(Я0У1 + 21,..., Я0Ут + гг)
дУз
Следовательно. по лемме 1.1.6 имеем
^\г\Я0Рг-1Р0'1и < о, 5.
Wl
"(Р1-г{)Я-1 п (Рг-гг)Я-1
ехр 2пйФ2(Я0У1 + ¿1,..., Я0Ут + ¿г )б,у1 • • • ¿уг+
1 -21Я0
+ 0(Р2 •• •РгЯ- +1)
Сделаем замену переменных интегрирования
Хз = Р- 1(Я0 Уз + гз), в = 1,...,г
Получим равенство
Wl = Р1 • •• РГЯ-Г 1г + 0(Р2 • • • РгЯ-Г+1)
1Г = ••• ехр2пйФз(х1,... ,хг )йх1• — йхг, 00
1
1
Фз(х1, . . . ,хг) = Ф2(Рх,. . . , Рг хг). Подставляя в (33) и переходя к неравенствам, найдем
\< (Р1,..., Рг )\№ ^Ф^,..., Zr ))\ ■ \1 \ + 0(Р1 ■ ■ ■ Рг—1Ц—Г+1),
Яо Яо
5(Ц0, Ф1Г,..., Zr)) = Е ■ ■ ■ Е ехр 2тФГ1,..., Zr)
¿1 = 1 Хт =1
и многочлен Ф1(z1,..., zr) определен равенством (34)). Так как коэффициенты многочлена Ф1(z1,..., zr) являются рациональными числами, наименьшее общее кратное знаменателей которых равно Ц0, то по лемме 1.1.4 имеем
\в (Ц0, Ф1^1,..., Zr ))\ « Ц00—"+4е(\г\,Ц0Т,
где е > 0 сколь угодно малое число.Следовательно,
\« Р1 ■■ ■Рг ц—и+4ет,ц0у,
представим это неравенство в (29)), получим
№(А)\ < Р0'75■ ■ ■ Р?'75\ш\°'25 « Р1 ■ ■■ РгЦ^0'25и+£(\г\,Ц0)0'25^ «
« Р1 ■■ ■Ргц—0'05и+£(\г\,ц)°'25и
лемма доказана.
Лемма 1.1.13. Пусть точка А относится к первому классу, а и пусть Ц0 < Ц0'2, Ц2 > Ц0'4 ■ Тогда справедлива оценка
\№(А)\ « НР1 ■ ■■РгД(\1\,Ц)05, Д = Ц—02,
1п1п Р
Н = (1п Р) 1п(1+£о) .
Постоянная в знаке « зависит только от п1,... ,пГ ,е. Доказательство. Имеем неравенство
№(А)\ < Ту, (35)
т = £••• Е
ехр 2пИР1(х1,..., хг—1,р)
Х1<Р1 Хг—1 <Рг — 1
п1 пт—1 пг
Р<Рг
1т—1
Б2(х1,... ,хг—1,хг ) = Е ... ,Ьг—1,Ьг )х\1 ■ ■ ■ хг—{ х"г ■
¿1 ^т-1^ ь а(Ь1, . . . , ьг—1, ьг)х ---
Ь1=0 Ьт-1=0 Ьт =0
Представим переменные хз, в = 1,... ,г — 1, в виде
хз = Ц0уз + Zs, 1 < Zs < Ц0, —ZQ0 1 <уз < (Рз — Zs. (36)
когда получим соотношение
р1(Я0у1 + Zl,... , Я0уг_1 + Zr_l,p) = Ф(р)(тоё1)
s=1
пг
S=1 V
п1 пг-1
Ф(р) = Е AsPS = ^ Фs(zl,...,Zr_l)^^ ••• Е в(и,...,и_1,в) х
г_1) + ••• в (tl,
31=0 3г-1=0
пг
3г-1\ ггР
(а \
х (Я0у1 + ^ )31 • • • (Я0уг_1 + гг_1)и-1) р = ^^ + в^ ps;
п1 пг-1 / ч
Фs(Zl,...,Zr_l) = ^ = £ • •• ^ а(11,...,1г_1,в) ¿1 • • ¿г-1
^ 31=0 3-1=0 Ф1,...,и_1,в)
^1 • • • 1
Для величины В^ 1 < в < п имеет оценку
т
п1 пг-1
X/" Е в ^1,. . . ,и_1,в)(Я0у1 + Zl)tl ••• (Я0уг_1 + £Г_1)
31=0 3г-1=0
Ьг-1
<
< (п1 + 1) • • • (пг_1 + 1)5P—S =
т
(пг + 1)
5Р_
В силу того, что точка А относится к первому класс у, имеем \5\ < т 1Р1>'11У. Следовательно,
5' = \Bs\Ps <
1
пГ + 1
Р0'1" <
1
пг + 1
г) 10пг Рг
Отсюда находим, что точка (А1,..., Апг) относится к первому классу относи-
Рг
Т2
2=
У^ ехр 2пйФ(р)
Р<Рг
< НРгА1(\1\,Я2)°'5/пг,
1
А1 = Я_2пг+, А1 (\1\,Я2)п < Я—0'5v+£(\t\,Я2)0'5/nг = А'.
Поставим эту оценку в (35))
\Б(А)\ < Р1 ••• Рг_1Т2 << НР1 ••• РгАг(Щ,Я)0'51У, Аг = Я_0'2"
1
лемма доказана.
1.3 Теоремы
Теорема 1.1.1. Пусть точка А принадлежит второму классу П2. Тогда при 1 < t < Р2, справедлива оценка
\№(А)\< Р1 ••• Рг- 1а, Д = в8кР1-р,
К = П1 + /12П2 + • • • + ¡г Пг , ¡2,... , ¡г
натуральные числа, удовлетворяющие условиям
1п Р8 1
— 1 —— ¡¡8 < 0, 5 = 2,...,г; р =
о^
1п Р1 ' ' ' ' 128шк ^(8шк)
Пусть точка А принадлежит первому классу П0. Тогда при 1 < t < Я имеем оценку
\№(А)\ < ИР1 ••• ргД^Я)0'2^
гл глг- , 1п 1п Р
Д = , И = (1п Р) М1^
И, наконец, пусть точка А принадлежит первому классу П1,
5 = тах \в\Р11 ••• Р'г > 1
гл+-+гг >1 1 г
Тогда при 1 < t < Р®'2 будем имеет:
\Б(А)\< ИР1 ,...,РгД, Д = 5-,"+£
Постоянные в знаках ^ зависть только от п1,... ,пг,е,е0 £0 > 0, е > 0 — сколь угодно малое фиксированное число.
Доказательство теоремы проведем методом математической индукции по числу переменных г. Утверждение теоремы справедливо при г =1 (лемма 1). В силу предположения индукции при г — 1 переменной и любой точки А имеет место оценка суммы № (А), сформулированная в теореме. Докажем теорему для г переменных.
Пусть точка А относится ко второму классу П2. Возможны четыре случая (относительно величин Я,Я0,Я0,Я2 см. начало §2):
1. Яо > Р1'80;
2. Яо < Р^80, Я2 >Р?/80-,
3. Яо < Риг/80, Я2 < Р\/8°, Я > Ро1
4. Я > Р0!1, 5 < ш^Р0^-
В случае 1 оценка суммы № (А) получена в лемме 9, в случае 2 - в лемме 10, в случае 4 - в лемме 11. Осталось разобрать случай 3.
Очевидно имеем неравенство
РТ
\Б(А)\< Т1 = Х
ХТ=1
• • • ^^ ехр 2пйР1(р1,... ,рг-1,хг)
Р1<Р1 Рт-1<Рт-1
гр г_1 'х г
П1 Пт — 1 ПТ
Р = Р\(ръ . . . ,Рг-1,хг ) = Х ••• X . .¿г-1, ¿г )'р[1 ...р1Т—1
¿1=0 ЬТ-1=0 ¿Т=0
г1+...+и-1>1
п1 Пт-1
X/" XI 1г1...-гт—1 (хг)р11
гт—1
• • • рт-1
г1=0 гТ-1=0 г1+...+гт-1>1
разобьем переменную хг на арифметические прогрессии с разностью, равной Q0.
хг — QoУr + 2г , 1 < 2г < ^ — 2гQ0 < Уг < (Рг — 2г^0
1-1
(37)
Имеем
Яо
Т2 = ЕЕ
Т,Т = 1 Ут
Т1 < Т2,
• • • ехр 2пгр (р1,... ,Рг-1, QoУr + 2г)
Р1<Р1 Рт-1<Рт-1
где переменная уг пробегает значения го (37). Представим многочлен Р в виде Р1(р1, • • • Рг-1^0Уг + 2г) = Ф(Р1, • • • Рг-1^0Уг) =
П1 Пт—1 ПТ
= Х ^ X Ё^,..^ )р1 ...р— ^0Уг)гТ =
г1=0 гТ-1=0 ¿т=0 г1+...+гт-1>1
п1
Пт — 1
Х- X ^..Л— (Я0Уг )р11 ...Рг-1.
¿1=0 ¿Т-1=0 ¿1 + ..+Т-1>1
В силу леммы 7 справедливы соотношения:
а1
аЛ^,... 1,и) = а1 =--+
Я1
Q4 = Q4, $0 < д0 < 60,
Q4 = Н.О.К дъ Q4 = Н.О.К д
(38)
1>1
¿1+»^-1>1
ö0 = max Pt^ ••PШ,
0 tl+-+tr-1>1 1
öa = max Pt^ ••P? |
tl + -+tr-1> 1 1 '
Обозначим через Qj, Q'(tt,... ,tr-1) величины Qj = H.O.K q1, j = 1, 2;
J (ti,...,tr )€Ej
Q' (t1 ,...,tr-1) = H.O.K q1(t1,...,tr-1,t), t1 > 1
Q(t1,... ,tr-1) = H.O.K q(t1,... ,tr-1,t), t1 > 1
(0 < t1 < n1,..., 0 < tr-1 < nr-1, t1 +-----+ tr-1 > 1)
Qo = H.O.K Q(t1,...tr-1),
tl ,---,tr — 1> 1
Qo = H.O.K Q'(t1,...tr-1). t1,...,tr—1> 1
Рассмотрим вновь соотношения (38) для коэффициентов а1 и применим лемму 6 к многочленам ft1,,.,,tr—1 (Q0yz + zr) и qt1,,.,,tr—1 (Q0yr). Получим
Q(t1,...,tr-1) = Q' (t1,...,tr-1), t1 + •••+ tr-1 > 1. следовательно, Q0 = Q0,
Q = [Q0, Q1] = Q4 = [Q0, Q1] > p3v/80,
Q' > Q4Q-1 > PV/40.
преобразуем многочлен Ф(р1,... ,pr-1,Q0yr) исходя из соотношений (38) для а = a1(t1,... , tr-1, tr) :
П1 Пг—1 nr
Ф(P1,...,Pr-1Q0yr ) = Е
t1=0 tr—1=0 tr =0
t1+...+tr-1>1
х( ■ ■ f) + ß1 (t1,...,tr Л p1 • • •prr--1(Q0yr )tr =
= ... ,tr-1,yr) (modl)
и1 Пг-1
¿1=0 Я^и.-Лг-1)
Ь1 + ...+Ьг-1^ 1
+ ^ РЛЬ,..., и )(ЯоУт )и) р1 • • • Р- =
гт=о
и1 Пг-1
= Е ••• Ев ••Р%- -
1+■
Следовательно
Ч=0 г-1=0
11+---+гг-1>1
т2 < Яо
о<уг <рг д-
^2 ••• Е ехр2пйФ1(р1,... ,рг-1,уг)
Р1<Р1 Рт-1<Рт-1
= ЯоТз-
Так как суммы Т3 проводится аналогично оценке соответствующей суммы Тз из леммы 10. Много члены В3 необходимо замени ть на В(Ь1, - - - г—1) , величины т(в) = Рг 6 — на величины т(Ь1, - - - ,и-1) = Р-^1 - - - Рг—1 Р1 6, Я(у) = Я(у1, - - - ,Уг-1) на Я(Уг), 5 (у) — на 5(уг), наборы у = (у1, - - - ,Ут-\) — на переменную уг, и в соответствующих местах вместо оценки однократной тригонометрической суммы (лемма 1) применить оценку (г — 1)- кратной суммы, справедливой в силу предположения индукции.
Для точек А, относящихся то второму классу, оценка суммы Б (А) получена.
Пусть точка А относится к первому классу П^ Возможны следующие случаи (величины Я1,Я0,Я1,Я2 определены перед формулировкой леммы 12).
1- Яо >д0'2;
2- Яо < Я°'2,Я2 > Я0,4;
3- Яо < Я0'2,Я2 < Я0'4;
4- Я < Р01, 1 < 5 < т-1РГ;
В случае 1 оценка суммы Б (А) получена в лемме 12, в случае 2 — в лемме 13. Вывод оценки Б (А) в случае 3 аналогичен вводу ее в случае 2. Для этого в формулировке и доказательстве леммы 13 необходимо заменить Я2 на Я1, набор неизвестных (х]_, - - -, хг-1) на переменную хг, переменную р — на набор (р1} - - - ,рг-1), Вз на В(1]_, - - - ,1г-1) и в соответствующих местах вместо леммы 1 воспользоваться оценкой (г — 1)-кратной суммы по простым числам, справедливой в силу предположения индукции.
А
то для каждой ее координаты имеют место соотношения:
а(и, --- ,и)
а = —+ в, (а, Я) = 1, Я
1
5 = max \в\Р\1 ... Ptr < m-1P0'lv,
tl + -+tr > 1 r 1
Q = H.O.K q < P0'1v.
tl + -+tr >1 1
B рассматриваемом случае 5 > 1. Положим
5 = \в(1и...,и)\Р11 ...Р3г, ts > 1 (39)
Тогда для суммы Б (А) имеем (и ри д = в):
\Б(А)\ > £ \Т1\,
хд <Рд
Т1 = 52 ••• 52 52 ^"52 ехр2паР1(р1,...,ря_1,хя,рд+1,...,рг),
Р1<Р1 Рд-1<Рд-1 Рд + 1<Рд+1 Рг<Рг
пд п1 Щ-1 пд+1 пг
Е1(х1,...,хг ) = ^52 •" Е Е •"Е а(Ь,...,и )х1 ...хГг.
Зд=0 31=0 Зд-1=0 Ьд+1=0 Зг 31+-+гч-1+гч+1+-+и >1
Представим теперь переменную хд в виде хд = Яу + 1 < г < Я, - хЯ_1 < у < (Рд - z)Я_1. Тогда
Р1(х1,... ,хд_1,Яу+х ,хд+1... ,хг) = Ф(хь... ,хд_1,хд+1... ,хг )(тоЛ),
п1 пд-1 пд+1 пг
Ф(х1,. . . ,хд_1,хд+1 ...,хг ) = 52 ••• ^2 У^ -У.х
31=0 3д-1=0 3д+1=0 Зг =0 31+-+гд-1+гд+1+-+и >1
хA(t1, . . . , tд_1, Ьд+11 . . . , Ьг)х11 . . . хд_1 хд+1 . . . хГ
пд а(ь ь) пд
А(и,..., Ьд_1 ,Ьд+1, ...,Ьг ) = V а( ь — ' г) гЗд + 52 в (Ь1,..., Ьг )(Яу + г)Зд.
3д = 0 д(Ь1,...,Ьг ) Зд = 0
Фиксируем г, и покажем, что точка А1 с координатами (Ь1,... ,Ьд_1Ьд+1,... ,ЬГ) относится к первому классу. Действительно, знаменатель несократимой дроби
а к '
а = а(ьи.. .,ЬГ) ^д
ь £=0 д(ь1,.. .,и) '
делит наименьшее общее кратное Я всех чисел д(Ь1,... ,ЬГ), Ь1 + ... + ЬГ > 1. И
следовательно, наименьшее общее кратное Я не превосходит Р®'1 . Величина в
пд
ч
в = в (t1,.. .,tg-1tg+1, ...,tr ) = 52 в (t1, ■ ■ )(Qy + z)tq,
tq = 0
удовлетворяет неравенству
\в| < (nq + i)sp1_t1... р_-1 p++1 ■■■ pr~tr <
< (nq + i) P _ti P tq 1 P_tq+1 P-tr P0,lv
< pl ■ ■ ■ Pq_ i Pq+1 . . . pr pi .
m ч 4-
Отсюда имеем
Si = t max + + < i \BP1 ... P—1 P+1 ... Ptr < P0iv.
tl+...+tq-1+tq+1 + ...+tr <i 4 m
Таким образом, точка Ai относится к первому класс у. Пусть (tl}... ,tr) набор, для которого выполняется соотношение (39). Обозначим через ф и g многочлены
(Qy + z) = B (ti, ■ ■ ■ ,tq_ltq+i,. ■ ■ ,tr), g(v) = ф(Р0, V), когда максимум модулей коэффициентов g(x) равен
xp_t1 p—ta — l р—ta + l p—tr
SPl ■ ■ ■ Pq_l Pq+l ■ ■ ■ Pr ■
Пусть K(G) - количество целых значений y, для которых
G< \p(Qy + z)\ < 2G Тогда в силу предположения индукции имеем
[log Pq] + l
\S (A)\ < BPl ■■■Pq_lPq+l ■■■ Pr + J]
j=0
K (2jD)Pl ■ ■ ■ Pq_ l Pq+l ■ ■ ■ Pr (log Pr )r_2,
Pl _ p_t1 p_tg_l p_ts + l p_tr
D = Pl ■ ■ ■ Pq_l Pq+l ■ ■ ■ Pr ■
By
Шу + z)\ < D.
В силу леммы 8 мера ц тех точек x, для которых \g(x)\ < 2jD не превосходит
1
< min(1, (2jS_l) "q).
n
ков, то из определения g(x) и tp(Qy + z) и неравенства (39) имеем
K(2jD) < PqQ_l(2jS_l)"q + i <
< PqQ_l(2jS_l)v + ^ли 2jS_l < 1;
K(2jD) < PgQ 1 + 1, если 2j8 1 > 1 Подставим найденные оценки в (39) и заменяя в (39) при 2j8-1 > 1 величину 2j на 8, получим
\S(A)\ < Pi... Pr8-v(log Pr)r-1
Теорема доказана полностью.
Лемма 14. Пусть £ < 0, 01, L = log P, 80 < eLS, Q ^ eLS, t < e2vLS. Тогда, для суммы,
s' = xe2wif {p),
P<P
где
f (p) = anp : n + ... + aip,
имеем неравенство
S' < PL-1+9£(t,Q)0'5uq-0'5u+£' ,
или также
S' < PL-1+9£(t,8o)-0'5v, если 80 > 1.
Доказательство см. в 4,стр. 126, теорема 1а.
Теорема 2. Пусть е < 0, 01, 6 < вь% Q < вЬЕ, Ь < в2иЬЕ (величины 6 и Q определены, в начале §2). Тогда для, суммы
Б (А) = Ё — Ё ехр2пйР (р1,...,рг),
Р1<Р1 Рт <Рт
где
П1 пТ
Р (Р1,...,Рг ) = X ••^ а(Ь1,...,и )р1 ...рГТ
¿1=0 гт=0
Имеем оценку
Б (А) < Р1... Рг Ь-1+9£(Ь, Q)0'5v Q-0'5v+£',
также
S(A) < P1... Pr L-1+9£(t, 8q)-0'5v , если 8 > 1.
Доказательство теоремы 2 проводится также дословно, как и доказательство теоремы 1, только в соответствующих местах вместо леммы 1 применяется лемма 14.
2 Распределение дробных долей значений многочленов от нескольких переменных в случае, когда переменные пробегают простые числа
2.1 Дробные доли одного многочлена
Докажем теорему 2 о распределении дробных долей значении многочлена от нескольких переменных, каждая из которых пробегает последовательность простых чисел. Настоящая теорема обобщает на кратный случай теорему И.М.Виноградова [4], глава 8, стр.134.
Теорема 3. Пусть р1,... ,рг- простые чи ела, Е (х1,...,хг) -многочлен, определенный соотношением (3), Б (а) -количество на боров р1,... ,рг, 1 < р1 ^ Р1,..., 1 < рг ^ Рг, удовлетворящих условию
... ,рг)} < а.
Представим Б (а) в виде
Б (а) = п(Р1) • ...• п(Рг )а + Х(Р1, ... , Рг, а), где п (х) - количество простых, не превосходящих х. Тогда справедлива оценка
Х(Р1,...,Рг, а)
<< Р1+£ • Р2• ...• РгА1,
где А1 для многочлена Е (х1,... ,хг), относящегося ко втором,у классу определяется так:
А1 = в8кР-р,р-1 = 130тк 1о§ тк; а, для, многочлена Е (х1,... ,хг), относящегося ко первому классу,
Аг = Q-0'05v+£;
и если к том,у же 5 > 1, то
А1 = 5-и+£;
причем, £ > 0-сколь угодно малая постоянная.
А1 < 0, 1
и 2А1 < а < 1 - А1/2. Рассмотрим функцию Ф(х) из леммы 2, гл. II книги [4] при г = 1, А = А1, а = 0, 5А1, в = Т. Получис
Б(а) = N (а, А1) + 0(Р1+£ • Р2 • ...• Рг А1),
N (а, А1)= Е - Е *(Е (р1,...,рг)),
Р1^Р1 Рг < Рг
Положим
{Рр, если А Е П
Я0'1!У, если А Е П о
Р"^, если А Е По, 5 > 1
Тогда после разложения функции Ф(х) в ряд Фурье будем иметь: N (а, До) = п(Р-) • • • п(Рг )а + И + О (РО+Р • • • Рг До) ,
V №(А)\ + ^ \№(А)\ + ^ \№(А)\ + Е + Е
И< X —т~ + Е 2+ = Ео + Е2 +
о«А21 а2 1 ^<А2 2 2
Для оценки Е0 и Е2 воспользуемся оценкой суммы St(А) из теоремы 1, а для суммы Е3 - тривиальной оценкой Р0,... ,РГ получим
И << Р0+£Р2 ...Рг До.
Следовательно
Б (а) = п(Р-) • ... • п(Рг )а + Х(Р-+£,... , Рг ,а), что и требовалось доказать.
3 Совместные распределения
Введем следующие обозначения. Пусть ¡3 (х0,..., хг)- многочлены от г- переменных с вещественными коэффициентами,
П1 пг
¡3 (Хо, ... ,Хг) = X . . . X (¿1, . . . Л )х01 . ..хГг.
11=0 1г=0
Пусть далее, ш = (п0 + 1)... (пг + 1), Р0,...,РГ положительные числа, 1 < Р0 = тт(Р0,...,Рг) = Р, Д = Р-2р, р-1 = 128шк к^8шк, к-величина, определенная в лемме 3 гл.1, а0,..., аз-целые числа,
а\ ^ Д-1, 3 = 1,...,8.
Определим вещественные числа В равенствами
В = В(¿0,... ,£г; ¿0,... ,в,а) = ¿0а0(£0, .. .¿г) + ... + ^аз^-]^,.. .¿г).
Пусть а и д-целые числа,
а
В = - + г, д ^ 1, (а, д) = 1, \г\ ^ (дг)-1,
д
т = т (¿1,...,и) = Р11 ...Р1г Р-1/6-
Пусть при фиксированных а1,... ,as число Q = Q(a1,..., as) есть наименьшее кратное чисел q = q(t1,... ,tr) с условия ми t1 + ... + tr ^ 1, 0 ^ t1 ^ n1,..., 0 ^
tr ^^ Пг •
Положим
Q0 = min Q(d1,... ,ds),
d1,...,ds
ö = ö(d1,... ,ds) = max P^ ... Pfrrlz(tu ... ,tr)|, t1,...,tr
где t1 + .. .tr ^ 1, 0 ^ t1 ^ n1, ..., 0 ^ tr ^ nr, ö0 = min ö(d1,..., ds).
d1,...,ds
Разобьем, далее, наборы многочленов (f1,...,fs) с коэффициентами 0 ^ aj (t1,...,tr) < 1,j = 1,...,s; 0 ^ t1 ^ n1, ..., 0 ^ tr ^ nr на два класса E1 и E2. К первому классу E1 отнесем такие наборы многочленов
( f1 , . . . , fs )
Q0 < P0'1
все оставшиеся наборы многочленов (f1,..., fs) отнесем к кл ассу E2.
Теорема 4. Пусть D(a1,..., as) - число наборов простых чисел р1,... ,pr, удовлетворяющих условиям:
{f1(P1,... ,Pr)} <01,..., {fs(P1,... ,Pr)} < 0s;
2 ^ P1 ^ P1,..., 2 ^ Pr ^ Pr. Представим D(a1,... ,as) в виде
D(&1, ... ,0s) = Пр) • ...• n(Pr )&1 • ... • 0s + ,..., 0s).
Тогда
X(01,...,0s) < P1 •...•Pr A1, где А1 для набора многочленов второго класса определяется так:
А1 = в8кР-р1,р-1 = 130тк \og8mn,
( f1 , . . . , fs )
А1 = (Q0Ö0)-v+e.
Доказательство. Пусть S(d1,...,ds) означает кратную тригонометрическую сумму
s
s (d1,...,ds) = Е ... Е exp (2™5> fj (P1 ,...,Pr ^ .
P1<,P1 Pr <,Pr j=1
Е1 Е2
главы I имеем
\Б(dl,...,ds)\^ Р1 • ... • РгА0,
где \d1\,..., < А_1, а величина А0 для наборов второго класса определяется следующим образом:
А0 = в8к Р _р0 = 128тк log 8тк, сь дл я наборов первого класса
А0 = (Я050)_ П+£.
Не нарушая общности, будем считать, что А0 ^ 0,1. Рассмотрим периодическую функцию Ф3 (х) с периодом 1, определенную в лемме 2 главы II книги [4]. Пусть аз и вз — любые вещественные числа, А1 ^ вз - аз ^ 1 - А1,1 ^ Э ^ в. Положим в этой лемме г = 1. Будем иметь
Ф 3 (¡з (Р1,... ,Рг ))=1, еСЛИ а3 +0, 5А1 ^ ¡3 (Р1,...,Рг) ^
^ вз - 0, 5Аl(mod 1),
0 ^ Фз( ¡з (Р1,...,Рг)) ^ 1, если аз - 0, 5А1 < ¡3 (р1,...,рг) <
< а3 + 0, 5А1(mod 1),
или вз - 0, 5А1 < ¡3(р1 ,... ,РГ) <
< вз + 0, 5А1(mod 1),
Фз( ¡3 (Р1,...,Рг)) =0, если вз + 0, 5А1 ^ ¡3 (Р1 ,...,Рг) <
< 1 + а3 - 0,5А1(mod 1);
: ¡з (Р1,...,Рг)) = в3 - а3 + Е (зи ехР (Ри... ,Рг^ +
и=1
+К ехр ( - 2пiv¡з(Р1,... ,Рг))) ;
тах(\д^\, \Ни\) ^ — .если 1 ^ V ^ А_1;
ПV
тах(\ди\,\К\) ^ -2г—2.если V > А_1; п2 А^ 2
Положим
и = и(а1,в1,...,а3,в3)= X ... X (р1,...,рг)) ... (Р1,...,Рг)).
Р1<Р1 Рт ^Рт
Тогда справедливо равенство
и = п(Р1)... п(Рг )(01 — а1)... в — ав) + Н, \Б (Пь...,Пз)\
^ ... ^ (1 ...¿3
+ у^ у^ у^ у^ \Б(dl, . . . ,Ьз)\__+
0<|^1|<Д-^ ' Д—ЧккД-1' '' 0<|й.кд—1 А(П1... Лк-1(1к+1 ...Ьз
+ V ...V ... V __ Р1 -.Рг ,
^ ^ ^ ^ _1 А1 (1... (к-1(к+1...(з
1 . . . Г г
А1(2Я1
к1 0<|^1 |^Д-1 |>Д-1
причем й = тах(1, \п(\); а штрих над знаком суммирования означает, что сум-
1, . . . , з 1 = . . . = з = 0
Так как при \П1\,..., \Пз\ < А-1 для суммы Б(п(1,..., п(з) справедлива оценка
\Б ((1,..., (з)\ <<Р1+£Р2 ...Рг А0,
то
н« Е ■■■ Е Р!+Р2"Ра°+
п1 .. .пз
_Р1+£Р2... Рг А0
А1(2 п
+ ^ ^ 1... А 1 ^ А 1 ... , 1 А( ¿1... Пк-1<Пк+1 ...йз
I-1 Л — Л. ^ Л — 1 П^ ,7 к '
+ у^ у^ у^ у^ Р1Р2 . . . Рг
, , 1"' ^ л А1 (2 (1... (к-1(к+1 ...Пз
к1 |^КД-1 К|>Д-1 ^^Д-1 1 к 1 к 1 к+1 з
Отсюда имеем, что
Н << Р1+£Р2... РгА1
Поэтому для величины 0(а1,... ,аз) справедлива указанная выше формула для А(аь ...,аз)
\\(аъ...,аз)\ <<Р1+£Р2 • ... • РгАъ
Теорема доказана.
4 Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел
В этой главе решается задача об одновременном представлении натуральных чисел Ni,..., Nn в виде
N1 = pi + ... + pk, ... ... ... ...
Nn = РП +... + РП,
где pi}... ,pk - простые чи ела, n ^ 3. Возможность исследования системы (40) открыл метод И.М.Виноградов оценок тригонометрических сумм с простыми числами ([1]-[11]). Система (40) изучалась К.К.Марджанишвили [32]
Ni , . . . , Nn
ограниченным количеством слагаемых к при растущих параметрах Ni}..., Nn оставалась открытым. Основным результатом работ [32], [44] является условная асимптотическая формула для числа I решений (40):
I = oy(PL-l)kP-1 n(n+i) + O (pk-2n(n+l)L-k-i log Lj , где о и y соответственно особый ряд и особый интеграл,
P = Nl/n, L = log P, к > cn2 log n (см.[12]).
Условность этой формулы состоит в том, что предполагается существование к0 = ко (n) такого, что при к ^ к0 особый ряд о положителен. Развивая результаты Г. И. Архипова по проблеме Гильберта-Камке ([47]—[49]), в §2 этой
ко
снизу. Эти оценки имеют вид
2n - 1 ^ к0 ^ n322n+20,
Ni , . . . , Nn
системы (40).
4.1 Асимптотическая формула
Выведем асимптотическую формулу для числа решений системы уравнений (40) при числе слагаемых порядка n2 ln n. Этот метод будет опираться на следующие леммы.
Лемма 15. Пусть n ^ 3, к, к1 - целые числа, к ^ 2к1,
к1 = [n2(2ln n + lnln n + 4)},
и пусть
J = f ... [ \S(A)\kdA, 00
S(A) = Y, e
eini(a„p"+...+aip)
p^P
Тогда будем иметь
J ^ рk-1 n(n+1)
Доказательство, см. в [4], теорема 4, гл. IV, стр. 70.
Лемма 16. Пусть A = (an,...,a1), as = ^ + ¡3S, \fis\ ^ P-sLB, Q = [qn,...,qi], B > 0 - постоянная. Тогда для некоторой постоянной C1 > 0 имеем
S (A) = T (a, q)V (fin, ...,в1) + O (Pe-ClVZ^j ,
где
T(a,q) = Ш)^ e 91 ,
rP e^ni^ixX)
V (en, ...,pi)= e-dx, ф(х) = en xn + ... + I3ix.
J2 log x
Доказательство, см. в [44], лемма 10.4, стр. 143. Лемма 17. Пусть W1 = min(l, \в1... f3n\-1/n ). Тогда имеем
Г1 e2ni^{y) l Г1
/ l^ypdy = L J0 e2 dy + O(WL-2 logL),
p
i'1 e2ni^(y)
--pdy « W1L-1.
J 2 log yP
p
Доказательство, см. в [44], лемма 10.5, стр. 144.
Теорема 5. Пусть I(Nn,..., N1) обозначает число решений системы уравнений
Р1 + ... + Pk = N1,
P1 + ... + pi = N2, (41)
рП + ... + pi = Nn,
ее неизвестные ps > 2n, s = 1,...,k пробегают значения простых чисел. Пусть Nnn = P, log P = L. Тогда, при k ^ [2n2(2\og n + log log n + 5)] для числа, решений I(Nn,..., N1) справедлива, асимптотическая формула
I (Nn,.. .,N1) = 10Pk-1 n(n+1)L-k + O(Pk-1 n(n+1)L-k-1 log L), (42)
где y и a - соответственно особым интеграл, и особым ряд рассматриваемой проблемы,
-1-е» / 1 \ k
I = f ... f ( f exp(2ni(anxn + ... + a1x))dx I x
-е -е 0
x exp (—2ni (yNnan + ... + pa^) dan ... da1,
а = = ^ ^ ■■■52А(Яп,...,Я1), (44)
яи=1 я=1 [яп,-,я!\=Я
Л(дп,...,дг)= ^ ■ ■■ ^ Тк ехр (-2ш (-
* ехр(-2™^ М + ■■■ + ^ М
Т = Т(а, д) = 52 ехр ( 2т ( — хп + ■ ■ ■ +—-х
л^х<п V V
ф(() V \дп " д-
где штрих в знаках суммирования означает, что переменные а3 и х пробегает приведенные системы вылетов соответственно по модулю д3 и (.
Доказательство. Разобьем точки Л единичного и-мерного куба П на два класса П^ и П2. Для этого представим каждую координату а = щ, 1 ^ Ь ^ п, в виде
а
а = - + в, (а,д) = 1, 0 ^ а < д, в = $Р-г, д
и обозначим через ( наименьшее общее кратное чисел д, а через 60 ~ наибольшее среди чисел К первому классу П1 отнесем те точки Л, для которых
( ^ Ьн, 60 < Ьн, Н = п(21пп + 1п1пп + 9)
Остальные точки Л отнесем то второму классу П2. Далее имеем
I (Мп, ■■■,N1)= ! ••• [ (Б (Л))к е-2пгЛ*м ¿Л = I- + 12,
Б (Л) = ^ е2пг{апРп+...+а1Р), л х N = апМп + ■ ■ ■ + а^1,
Р4Р
11 = I •••I (Б (Л))к в-2пгЛхМ ¿Л, 12 = I ••• I (Б (Л))к в-2пгЛхМ ¿А.
сначала оценим сверху величину 12. Имеем к ^ к0, к0 = к1 + 2к2, к1 = п2, к2 = [п2(21пп + 1п1пп + 4)]. Применяя для оценки суммы |Б(Л)| на точках Л второго класса П2 леммы 1, 14 и лемму 15 для среднего значения тригонометрической Б(Л)
1121 < (РЬ-1)к-ко тах 1Б (Л)1к1 [ ••• ! Б (Л)|2к2 ¿Л <
Л&0,2 ] ] п
< (РЬ-1)к-к°(РЬ-1-°^н)к1 Р2к2-^ < Рк-^Ь-к-\ (45)
Поскольку
Ь-0'2»к1Н+2к2 < Ь-1, 0, 2пН - 2к2 > 1, Н> (10к2 + 5)^
п
Рассмотрим интеграл 10. Так как П состоит из непересекающихся областей
ш(а,д)2, то имеем
= £ £ •••£ £' - £ 1 («•«)•
Яи = 1 4=1 04ап<дп 0^а1<Я1
[Яп'-'Я1\=Я
I (а, д) = I ••• I №к (А)е-2тЛхМ ¿А. ш(а,я)
В силу леммы для интеграла I(а, д) получим
I(а, д) = Т(а, д)ке-2жг(мх !) х *!•••! ш(а,я) Ук ( вп, . ., ^^^¿вп . . . (46)
+О (Рк-^е-с1^) ,
N х а = N — + ... + N1ао, N х в = Nвп + ... + N^1, д дп д1
ГР е2жг(впуп+...+в1 у)
V = У(0п,...,0о)= -;-¿у,
Л ^ у
п ап 0 а1 вп = ап--,...,в1 = а---.
дп д1
В интеграле V сделаем замену переменной интегрирования у = Рг. В силу леммы 17 будем иметь
V = РЬ-1 W + О(ШоЬ-21og Ь).
Подставляя
последнее выражение в формулу (46) и делая затем замену переменных
вп = Р п1п,...,во = Рц,
находим
Т/ \ грк / \ -2жг(мх а)ч, I (а, д) = Т (а, д)е V ч) х
, Г Г
х (РЬ-1)к Р... wк е-2жг(м ^¿вп ... ¿во+ +О ((РЬ-1)кР-^Ь-11ogЬ\Т(а,д)\^ + О (Рк-те-^
2 Область ш(а,д) состоит из точек а, координаты которых удовлетворяют условиям
а--
ч
<Р-*ЬН.
Суммируя далее по всем (a, q) с условием [qn,... ,q\] = Q < LH и распространяя затем суммирование по (a, q) на всевозможные значения Q от 1 до будем иметь
h = 1a(PL-1)kP-^ + O (.Pk-^L-— logL) . (47)
Из найденных формул (45), (47) получим асимптотическую формулу для I. Теорема доказана.
4.2 Исследование особого ряда
Лемма 18. Пусть f (x) - многочлен степени n с целым,и коэффициентами, f (0) = 0, коэффициенты f (x) в совокупности взаимно просты q, v = 1/n. Тогда справедлива, оценка
0^x<q
2ni
e q
^ c(n,e)q
1-V+£
Доказательство, см. [44], следствие 1.3, стр. 13.
Особый ряд а = ..., N1) асимптотической формулы для числа реше-
ний системы уравнений (41) имеет вид
а =
Q=1 qn=l qi=l [qn,-,qi]=Q
A(qn,-..,qi)= ... Tke-2ni(N *q):
0^a„<qn 04ai<qi
1
*{Q)
m 1 ST^' xn+...+^x)
T = - > e \q™ qi )
T m(Q) Z^ e •
В силу оценки суммы Т из леммы 18 получим
яи=1 41=1
< Е Яп+к[-и+£).
я=\
Отсюда следует, что ряд а сходится при к > 2и2. Лемма 19. При к > 2и2 справедливо равенство
а = ТТ О» °v = lim рапф-к(pa)W(pa; к),
Ш(ра; к) обозначает число решений системы сравнений
хП + ... + хП = Ып{тав,ра),
х1 + ... + хк = Ы^товр*),
0 ^ хV ^ ра, (хи ,р) = 1, 1 ^ V ^ к.
Доказательство, см. [44], леммы 11. 5-11. 7, стр.162. Ряд ар можно представить также в виде
ар
1 + ^ Е ..^А(дп,...,дг).
а=1 дп = 1 Я=1
[д„,...,Я1]=ра
Лемма 20. Пусть р ^ 2п, к ^ 3п32п — п = к\ и набор Ып,... удовлетворяет условию разрешимости. Тогда для величины Ш1(р}г; к) имеет место оценка
Шг(рк- к) ^ ери(к-п) > 0, с = грК+2*+1)(п-к1), к - целое число, определяемое условием,
рК ^ п< рК+1,
8 - показатель степени, с которым, простое р входит в разложение числа, (п — 1)! на множит ели; Ш1(рн; к) - число решений систем,ы, сравнений
х{ + ... + хп = Мп(тоё.рн),
х1 + ... + хк = N1(modph), неизвестные которой могут принимать значения, полной систем,ы, вылетов
рп
Доказательство, см. [48], леммы 11, стр.31.
Представим натуральное число п +1 в виде
п + 1 = 1(р — 1) + г, 0 ^ г < р — 1. Рассмотрим систему сравнений
х{ + ... + хк = ^(тофа), в = 0,1,... ,п; (48)
х1 , . . . , хк
по модулю ра, р - простое число. Рассмотрим, кроме того систему линейных сравнений с неизвестными . . . , Ьгр+г '■
1р+г
Е ^ V8 = Ns(modpa), в = 0,1,..., п. (49)
и=1
(V,р) = 1
Набор ..., N1) назовем удовлетворяющим условию разрешимости, если для некоторого N0 разрешима система (49) по модулю ра, где р - простое число и а - любое натуральное число.
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 21. Из разрешимости системы (48) следует разрешимость системы (4-9), и наоборот, из разрешимости системы (49) следует существование такого числа к, к — N0(modpa), при котором, систем,а, (48) имеет реш,ение.
Доказательство. Для любого х взаимно простого с р, решение = (х), 1 ^ V ^ 1р + г, (у,р) = 1, системы сравнения
1р+г
Ти • V3 - xs(modpa), в = 0,1,
(50)
V = 1
(V,р) = 1
имеет вид
(
Т
±V -
\
1р+г
П (х - ¡) »=1 (»,р)=1 \ »¿V
(
\
-1
1р+г
П (V - ¡)
»=1 (»,Р)=1 \ )
(modpa).
Действительно, для этого достаточно показать, что показатель степени с которым р входит в числитель выражения для Т не меньше показателя степени р Обозначим через 5р(г) этот показатель:
г = р&р(ьЧъ (¿1,р) = 1.
При х и V взаимно простых с р имеем
( \
1р+г
8р Д (х - ¡)
»=1
(»,р)=1
\ »=1>
1р+г
П(х - ¡)
/
»=1
/
> 5р
/ \
1р+г ]> - ¡)
»=1
( \
1р+г
П (V - л)
/
»=1
(»,р)=1
\
/
Следовательно, выражение для ^ определено корректно.
Пусть система сравнений (48) имеет решение х1}... ,хи- Тогда, полагая в системе (49) х = х^ 1 ^ ] ^ к, получим, что
IV -X%х)(modpa), ^,р) = 1.
3 = 1
5
р
Пусть теперь разрешима система (49). В качество решения возьмем наименьшие неотрицательные вычеты по модулю ра, а величину к проложим равной + - - - + Ьгр+г и тогда решение системы сравнений (48) возьмем в виде
Х1 = ... = хг1 = 1, Хг1+1 = - - - = хг2 = 2,
ХЬ1+...+ь1р+т-1+1 = - - - = хчр+т = 1р + Т-
Лемма доказана.
Лемма 22. Пусть р ^ 2п, к ^ п322п+20 = к1 и набор Ыи, . . ., Ы1 удовлетворяет условию разрешимости. Тогда для величины Ш(ра; к) имеет м,есто оценка
Ш(ра; к) ^ сра(к-п),
где с> 0 — некоторая постоянная.
Доказательство. Пусть 1 ^ а1 < . . . < ап+1 ^ 1р + т; (а^ ,р) = 1, 1 ^ ] ^ п + 1. Положим
п
М3 = Ns — А^а3г, А = 3п12п1 — пь щ ГП
Г=1
1.2]
Очевидно, набор Мп, ..., М1 удовлетворяет условию разрешимости. Следовательно, найдутся вычеты 11,- - - ,Ьп+1, удовлетворяющие системе сравнений
п+1
а3г = М3(твйр8п), в = 0,1,---,п-
Г=1
Возьмем а =16 + к + к1 + 5, 5 = 5р((1р + т)!), рк ^ п < рк+1, рК1 ^ п1 < рК1+1, а ^ 8п. Пусть Ьг наименьшие неотрицательные вычеты то модулю ра, тогда имеем
п п+1
А^а'3 + ^ Ьг а3г = ^(твё.ра), в = 0,1,-.-,п.
Г=1 Г=1
Положим N0 = к = пА + Ь1 + ... + Ьп+1 и покажем, что разрешима система сравнений
п А к
Е Е ^ + Е х3т = мз(твё,р8п), в = 1,--.,п, (51)
г=1 1=1 т=пА+1
к п+1
Е х3т = ^ Ьг а3; гг,1 = аг + р16Пг VI,
т=пА+1 г=1
т = 1,... ,п; I = 1,..., А;
и вычеты и^ ^ у являются неизвестными. Поскольку = Ьг (шод,ра), г 1,... ,п + 1, то из (51) получим
п в1 , ^ / А \ п+1
ЕЁ ! ^[И V = РаТ, К < (тоёр8п)
г=1 д=1 \ ' \г=\ ) г=1
в = 1,... ,п; в1 = шт(в, п1). Далее, так как по лемме 20 разрешима система сравнений
у? + ... + ьА = 0(шоф8п),
ь2 + ... + ьА = 0(шоф8п), ь1 + ... + ьА = Я(шов,р8п),
Я = [1, 2,..., п1], то подставляя решение (53)в (52), получим
^ваг 'ир^я = рр
р^ч Я = р»^ К а* (шойрш), в = 1,...
Г=1 Г=1
Решение системы сравнений (54) можно представить так:
п+1
п.
щ = ра-1б-к1
¡г(.шойр8п-16-к1), I = 1,...,п,
где ¡11,
=Г I а)
, ¡¡п+1 - некоторые целые числа; рК1 ^ п1 < рК1+1
I а) =
Р(аг) =
1 . . . 1 . . . 1
= 2а1 ... 2а1 . . . 2а
пап-1 ... паг1-1 ... пап
1 1 аг 1 ..
2а1
па'-
2а-1 а2 2аг+1
паг_1 а^ па+
1
2ап
па
п— 1
Разложим определитель Р(аг) по столбцу
п
Р(аг) = Е а3г1в(аь), п
*=1
¡*(аг) = — Д а - аг)а*(а1,..., ап).
г<3 Ь3=1
(52)
(53)
(54)
(55)
Следовательно, знаменатель дроби в (55) является делителем чисел вЬ = в О - аг)... (а - а—1)(а1 - щ+х)... (а - Оп).
Имеем
5р(вЬ) = 5р(в) + 5[Ь) ^ 8р(в) + 5р((1р + т)!) ^
1р + т
^ к +
1р + т + 1р + т
р2
_ р .
+ ... ^ к +
р - 1
Отсюда получим, что показатель степени р в (55) неотрицателен при условии
а - 16 - к1 - к - 5 ^ 0.
Тем самым доказана разрешимость системы (54) в числах иг, VI.
к
к = иА + Ь1 + ... + Ьп+1 ^ иА + (и + 1)ра ^ ^ иА + (и + 1)рК1+К+ +16 ^
Р-1 +16
^ иА + (и + 1)и р р-1
(п + 1)р +16
= иА + (и + 1)и2р (р-1)2 .
Пусть р = 2, тогда получим
к ^ и42п - и2 + (и + 1)и222(п+1)+16 ^ и322п+20. Пусть р = 3, тогда
к ^ и42п - и2 + (и + 1)и233(п+1)+16 ^ и322п+20. Пусть р ^ 5, тогда
р
и следовательно
(р-1)2 +16 < 22п+16
к ^ и322п+20.
Таким образом, при к ^ к17 а ^ 8и разрешима система сравнений
к
У^ х3г = Ns(modpa), в = 1,...,и. (56)
Г=1
Положим а = 2к + 25 + 3 ^ 8и, в = к + 5 +2, 5 = 5р((1р + т)!), рк ^ и < рк+1. Оценим снизу число решений Ж(ра+1; к) системы сравнений
к
Е г&г = Ns(modpa+1), в = 1,...,и, (57)
Г=1
где неизвестные принимают значения из приведенной системы вычетов по модулю ра+1. Пусть
= хг + рвуг, 0 ^ уг ^ р - 1, 2в ^ а + 1, 2 ^ в < а.
Тогда для любых уп+1, ■ ■ ■, Ук можно найти такие у1}... ,уп, что ... ,гк будут решением (57). Действительно, имеем
кк У^ врв уг х3г-1 = N - ^ х3г (modpa+1), в = 1,... ,п.
Г=1 Г=1
х1 , . . . , хк
пк
вх3г-1уг = А3ра-в - 52 вх3г-1ут (modpa-|3+1), в =1,...,п. (58)
г=1 г=п+1
Зафиксируем уп+1,... ,ук и решим систему линейных сравнений (58). Получим
Аз @п-т(х11 . . . , хп)
ут = Р
= Ра-в ^^
=1 в (хт - х1) ... (х т хт-1)(хт хт+1) . . . (хт хп)
к
^ у (хг - х1)... (хг - хт-\)(хг - хт+1)... (хг - хп) (хт - х1) ... (х т хт-1)(хт хт+1) . . . (хт хп)
г=п+1
т = 1,... ,п;
где аг (х1;..., хп) г-элементарная симметрическая функция чисел х1}... ,хп причем а, в, 5, к удовлетворяют условию а - в - 5 - к ^ 0,
5 ^ 8р ((хт х1) . . . (хт хт-1)(хт хт+1) . . . (хт хп)) .
Следовательно,
кп
Ш(ра+1; к) ^ р
Аналогично проведем переход от системы сравнений по модулю ра+1 к системе по модулю ра+2. Для этого нам потребуется условие рв > 2п-1. Таким образом, при к > а получим
Ш(ра+1; к) ^ р(к-а)(к-п) = 01рн(к-п).
Лемма доказана.
Лемма 23. Пусть к, п - натуральные числа, р > 2п. Тогда при к ^ к2 = [32п21п п] справедлива оценка
Ш(р; к) ^ 1.
Доказательство проводится аналогично доказательству лемм 1, 2, 3 статьи
[18] с заменой полной системы вычетов на приведенную систему вычетов по р
Лемма 24. Пусть р > 2п, к ^ к2 = [32п21пп]+2п, п - натуральное число. Тогда
Ш(р,; к) ^ рп-к2р,(к-п).
Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 14 статьи [48] .
Лемма 25. При к ^ п2 + п +1 справедлива оценка
ар = 1 + 0(р-1-).
Доказательство. Имеем
Яп = 1 41 = 1 [дп,...,д!]=р1
^ Е... Е ф(Уп)... ф(Ц1)р-1к" = р1(п-к"]-
\р1 Я1 \р1
Отсюда при к ^ п2 + п +1 имеем
ар = 1 + О ^Ер1(п-ки)^ = 1 + 0(рп-ки) = 1 + 0(р-1-).
Лемма доказана.
Теорема 6. Пусть к ^ п322п+20. Тогда для на бора удовлетво-
ряющего условию разрешимости, справедливо неравенство
а ^ с(п) > 0,
а
Доказательство. Имеем
а = ф1ф2фз,
ф1 = П ар, ф2 = Д ар, фз = Д ар,
р^2п 2п<р4с1(п) р>с1(п)
где с1 (п) - постоянная го леммы 25 и такая, что при р > с1(п) выполняется неравенство
ар = 1 + 0(р-1-) > 0.
Из леммы 22 следует, что
ф1 ^ С2(п) > 0,
а из леммы 24 следует, что
ф2 ^ Сз(п) > 0.
В силу леммы 25 имеем, что бесконечное произведение ф3 сходится и что ф3 ^ с4(п) > 0. Отсюда получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
4.3 Теорема
Здесь мы получим основную теорему III главы. Как показано в §2, для разрешимости системы (41) требуется выполнение арифметических условий (лемма 21). Они необходимы также для положительности особого ряда а (теоремы 4, 5). Другой тип условий - условия порядка, связанные с положитель-ностыо особого интеграла 7. Особый интеграл рассматриваемой здесь задачи совпадает с особым интегралом в проблеме Гильберта-Камке и был полностью исследован Г. И. Архиповым ([48]-[49]).
Лемма. Справедливы неравенства
22'п('п—к) кпп-кп—к—Пт'п(к—п) ^ ^ 2^п2 к2ппк-2птк-3п-п2
где т - наибольшее значение характеристики решения (х1,...,хк) системы уравнений
^ у ,лут
m=1
xsm = NSP-s, s = 1,...,n. (59)
Характеристикой набора (x1,..., xk) будем называть величину A(xi,..., xk), определяемую следующим, образом,. Некоторым способом к выбираем из этого набора п чисел с различными номерами. Пусть это будут числа, z1,..., zn. Возьмем еще два, числа, z0 = 0, zn+1 = 1. Тогда
A(x1 ,...,xk) = max min \zi — z. \.
Доказательство, см. в [48], теорема 5, стр. 51.
Будем говорить, что асимптотическая формула теоремы 5 нетривиальна, если а > 0 и j > 03
Назовем набор (Nn,..., N1) правых частей системы уравнений (41) допустимыми, если
1) выполняются условия (49),
2) найдется решение системы (59), для которого характеристика т больше нуля.
Теорема 7. 1) Если набор N = (Nn,..., N1) не является, допустимым, то асимптотическая формула теорем,ы, 5 будет тривиальна.
2) Если набор N = (Nn,..., N1) - допустимый, то при k ^ n322n+20 асимптотическая формула теорем,ы, 5 - нетривиальна.
3) Если k ^ 2n — 1, то существуют допустимые наборы N = (Nn,..., N1), для, которых асимптотическая формула теорем,ы, 5 - тривиальна.
Доказательство. Утверждение 1) следует из лемм 21 и 26. Утверждение 2) следует из теоремы 6 и леммы 26. Утверждение 3)
является следствием утвер~
ждения 1) теоремы 4 статьи [48], стр. 44.
3Мы полагаем, что Ns = Ps(es + O(P 1/2)) при P ^ и поэтому величины y и а можно считать не зависящими от P.
5 Многомерная аддитивная задача с простыми числами
Еще один важным приложением полученных оценок кратных тригонометрических сумм с простыми числами является задача об одновременном представлении совокупности натуральных чисел слагаемыми вида р1 ...р1гг, 0 < < щ,..., 0 < < пг. Далее мы выводим асимптотическую формулу для количества таких представлений. Как и в соответствующих задачах для однократных тригонометрических сумм с простыми числами (см. [32], [44] ), асимптотическая формула будет нетривиальна при больших к тогда и только тогда, когда выполнены арифметические условия и условия порядка. Они подобны условиям, полученным в [66]; отличие состоит только в том, что переменные суммирования принимают значения из приведенной системы вычетов по некоторому модулю. Стимулом для их вывода послужила работа Г.И.Архипова [48] по проблеме Гильберта-Камке и совместная работа Г.И.Архипова и автора [66] для обобщения этой проблемы на случай кратных сумм, в которых суммирования ведутся по сплошным промежуткам (а не по простым числам).
5.1 Асимптотическая формула
Пусть далее 3(М) обозначает число представлении набора N = N(0,..., 1),..., N(п\,..., пг)) в виде
к
Т,рЪ ...р% = М (ь>...,ь)
(60)
(0 < и < п\,..., 0 < и < пг, и +-----+ и ^ 1)
где неизвестные р3 простые чиела, 2и-1 < р3^ < Р3, в = 1,... ,г; ] = 1,..., к. Буквы 7 и а обозначают соответственно особый интеграл и особый ряд рассматриваемой задачи,
г+ж г+ж
7 = ... I Шк(Л)в-2тВ¿Л
Ш (Л) = ... ехр2п1РА(х\,... ,хг )йх\ ...¿хг
ю Jо
« пг
РА(хх,... ,хг) = .. Л )х\1 ...хГ, а(0,..., 0) = 0
-лухх,... ,хг) = • • а(11,... )
г1=о и=о
«4 nr
B = 52 ^"52 a(ti,tr )N (ti.., tr )P-t1 ... P-tr
ti=0 tr=0
9(0,...,1)
-= £ ••• £ E ...
9(0.....i) = i q(ni,..,«r) = i a(0,...,i) = i
(a(0,...,i),q(0,...,i)) = l
q(ni,...,«r)
Tkf„ „\ -2niD
52 U k (a,q)e~
a(ni,...,nr ) = i (a(ni,...,nr),q(ni ,...,nr)) = i
Q Q
U (a,q) = ф(Я)~г 52 ••• 52 exp2ni§a,q (x),
xi = i xr = 1
(xi,Q) = i (xr ,Q) = i
ni nr a(t , ... , t )
Фа,9 (x) = £ x\i ...xlr, q(0, ..., 0) = 1
t=0 t=0 q(ti,-,tr)
ni nr
d = £ •••£ -jtHr N (ti'-'tr
ti=0 tr=0 q(ti,-,tr)
буква Q обозначает наименьшее общее кратное чисел q = q(ti, ...,tr), 0 < ti < ni,..., 0 < tr < nr, ti + ... + tr > 1. И пусть, наконец, выполняются условия LsL-1 ^ 1, s = 2,..., r и буква к обозначает величину, определенную в теореме 1, vmax(ni;..., nr) = 1.
Теорема 8. При k > 16 m к log 16 m к + 3 имеет место асимптотическая формула
J (N) = -y(Pi ...Pr L-1...L-I)k (P-.P-)" т + +0((Pi...Pr L-1 ...L- l)k (P« ...PПг )-f L-1 log L). [ '
Доказательство. Каждую координату a = a(ti,...,tr), 0 < ti < n 0 < tr < nr, единичного m- мерного куба П представим в виде
a
a = - + в, (-, q) = 1, 0 < a<q, в = $P-ti ...P-tr (62)
и обозначим через ф наименьшее общее кратное чисел д а через 60 — наибольшее среди чисел |$| с условиями 0 < < и\,..., 0 < < пг, + ... + > 1. Тогда к первому классу П1 отнесем те точки Л, для которых ф < Ь°, 50 < Ьн, С = 60гу-1, Н = Згу-1 . Остальные то чки Л куб а П отнесем ко второму классу П'2. Очевидно, имеем
3 (М) = •• • Бк (Л)в-2т(АхМ )3/Л,
Б (Л) = ••• ^2 ехр2п1РА(р1,...,Рт),
Р1<Рг Рг <Рг
П
П1 пг
ба(р1, ...,рг ) = а(*1,...,*г )Р1 • • •рг , а(0,.., 0) = 0
г1=0 и=0
п1 пг
Л х N =^2" •¿2«^..,и )ы(г1,...,гг).
11=0 и=0
В соответствии с разбиением куба П на два класса П1 и П'2 интеграл 3(М) разобьется на сумму:
3 (М) = 31 + 32.
Для любой точки Л, принадлежащей второму классу П'2, и из теорем 1,2 Б(Л)
Б(Л)1 « р^ •• рг (ь-0>05"а+£а + ь-ун+£Н) « р1 •• • ргь-2г. (63)
Положим к0 = [8тк \og16mK] + 1, где величина к определена в теореме 1. Тогда в силу теоремы 3 статьи [58], стр. 769, имеем
1Б(Л)1к0¿Л « (Р1...РГ)к0(РП1 • • • РПг)-т (64)
поскольку
п
1п Р3
—— « 1, в = 2,..., г; к « 1. 1п Р1
(постоянные в знаках ^ зависят только от п и г). Следовательно. из (63), (64) учитывая, что к > 2к0 + 1, получаем
32 < тах\Б(А)\к-к0 •• • \Б(А)\коdA <
^ (65)
< (Р1 • •• Ргь-1 • • • Ь-1)к(Рп • • • Рп)-ть-1
Выведем теперь асимптотическую формулу для 31. Обозначим через ш(а, д) область, соответствующую фиксированным наборам а и д из (62), и 80 < Ьн. Для любых двух различных наборов а,д и а', д' облает и ш(а,д) и ш(а',д') не пересекаются. Поэтому имеем
3 = £ 52^^52522^^5223(а,д), (66)
Я<Ьа Н.О.К.(д)=Я атоёд
где (а(Ь1,...,и),д(Ь1,...,Ьг)) = 1, 0 < а(Ь1,...,и) < д^,..,^) 0 < < п1,..., 0 < Ьг < пг и
3 (а, д) = ] •• •у Зк (А)в-2жг(ЛхМ ^А.
ш(а,я)
Для суммы Б (А) при А Е ш(а,д) найдем асимптотическое выражение
(67)
Б (А)= ^ - ехр2пгГл(р1,...,рг) + 0(Р? Р2 •• • Рг ) =
/Р1<р1<Р1 /РТ <рг <рг Я-1 Я-1 1 (68)
= £ ... £ ехр(2пгРа,я (¡1,..,1г ))Т (к,..,1г) + 0(Р? Р2 •• • Рг),
11=0 1т =0 (к,Я)=1 (1г ,Я)=1
Т (¡1,...,1г )= 52 ...52 ехр2пгБв (р1,...,рг).
/Р1<р1<Р1 /РТ <рг <Рг р1=11(то4 Я) рт=1т (то4 Я)
Перепишем Т(¡1,..., I г) в виде
Т (¡1,...,1г )= 52 ."52 ехр(2пгБв (п1 ,...,пг ))х
у/Р[<п1 <Р1 ^РГ<пт <Рт
х (п(п1, Я, ¡1) — п(п1 — 1^,11))...(п(пг ,ЯХ) — п(пг — 1,Я,1г))
и сделаем преобразование Абеля последовательно по каждой переменной. Получим
Т (¡1,..,1Г ) = £ (-1)* £ £ ... £ £ ...
1<31<-<3.<г л/р-[<Яп <Рп-1 у/Р~е<Я]е <Р]е-1у/Р1<п1<Р1 ... Е (п(п1,Я,11) - п(п1 - 1,Я,11))...(п(пг ) - п(пг - 1,Я,1г ))х
<пг <РТ
хДЛ ехр(2пгР> (Р, Р)) + ехр(2пгР> (Р1,...,Рг)) ^ ••• ^ х
уР1<п1<Р1 л/РТ<пг <Рт х(п(п1,Я,11) - п(п1 - 1,Я,Ь)) • • • (п(пг ,Я,1г) - п(пг - 1,Я,1г)),
р1 [ Яз, если 3 = 31,...,3з> 3 \ рз, если 3 = 31, ...,з*.
Так как Я < Ьс, то для п(х,Я,1) по теореме Зигеля справедлива асимптотическая формула (см. [22]):
1 гх ¿и
п(х,Я,/) = ^г Ьгх + 0(хе-сл^Пх), Ьгх = — + с
ф(я) к 1п г
Подставим эту формулу в последнее выражение для Т(¡1} ...,1Г). Будем иметь
<"п1 ¿и
T(li,...,lr) = v(Q) r Е ••• Е exp(2niFe(ni,...,nr))
i
nr" '
—1 ln tl
y/Pi <n1<P1 yPT<Ur <Pr 1
dt
r + O(\e\P^1+l...P'nr+lL-1 ...L-1 e-cVL) + O(Pi...Pr L-1 • • • L-1 e-cVL) =
Jnr-l ln tr
= *(Q)" fP\. . fPr eXp2'rF(t'V'tr'dti .dtr + O(Pi . . . PrL-1 .. . L-le-G) =
J 2 J 2 1' tl• • .ln tr
= p(Q)-rPl• • • PrL-1 ..х-1 i ... / exp(2niF,s(tl, • • • ,tr))dtl, • • •,dtr+
Jo Jo
+O(Pl . • • Pr х-1 •.. L-1L-1 log L)
Отсюда и из (68) имеем
5 (A) = U (a,q)W (S) + O(Pl...Pr х-1 ...L-l х-1 log L)
Подставляя эту формулу в (67) и распространяя интегрирование в ней на все m - мерное пространство, а затем получившееся выражение подставляя в (68) и распространяя суммирование в ней по всем Q > 1, найдем
Jl = а7 (Pl-Pr L-l...L-l)k (Pn1 •••P?r)-m +
+O((Pl...Pr х-1. .. L-l)k (Pn1 ...Pn)-m х-1 log L).
Вместе с оценкой (65) последняя формула дает асимптотическую формулу для J(N).
5.2 О значении величины особого ряда
Сначала дадим оценку кратной рациональной тригонометрической суммы, у которой переменные суммирования пробегают приведенные системы вычетов по некоторому модуля, т.е. суммы вида
(\ = £ /.. £ <ехр2пгГ (Х1 )
\ 1 ' Х1 = 1 Хг = 1
Я
Х1 = 1 Хг—'
П1 пГ
¿1 гт^Г
Р(х1, ...,хг) = £ ... £ а(Ь1, )х1 ...х1Г, 11=0 и =0
где а(0,..., 0) = 0, а(Ь1,...,Ьг) -целые.
Лемма 27. Пусть 1 = д1...дк - произведение попарно просты,х чисел, 1 = д3Я3. Тогда выполняется равенство
(Р(х1,...,хг)\ _ с (Я-1 Р(Я1х1,...,Яхи (Я-1Р(Цкх1,..,Цкхг)\
Ч 1 ) =Ч 11 ) -31{ т- ) ■
Доказательство. Если у3,з, в = 1,...,г; ] = 1,...,к, пробегает приведенную систему вычетов по модулю 3 то х3 = Я1у3, 1 +... + ЯкУв, к, в = 1, ...,г, пробегает приведенную систему вычетов по модулю. Отсюда получаем, что
к
Р (х1,...,хг) = Р (Яз У1 ,з ,...,Яз Уг,з )(то(1д)
3 = 1
Отсюда следует утверждение леммы. Лемма 28. Пусть
п1 пГ
Р(х1? ...,хг) = £ ... £ а(11} ...,ЬГ)х1 ...х1Г ь1=о и=0
(а(0,..., 1),..., а(п1, ...,пг),р) = 1 и п - максимальное из чисел, п1,...,пг. Тогда справедлива, оценка
Р(х1р..,х^ < (5п2п)г(а + 1)г-1рга-^п
Доказательство проведем методом математической индукции по числу переменных многочлена. При г = 1 и любом а > 1 утверждение леммы справе дл и во (лемма 18). Предположим, что лемма верна для г — 1 переменной и любого а > 1. Докажем ее для г переменных.
Пусть (а(в1;..., вг),р) = 1, в1 > 0,
пп
С(х1, ...,хг) = £ ... £ Ь(Ь1, ...,и)х1 ...х1Г,
г1=о и=о
ъ(и, ...,гг)
Г а(г1,..., 0,
гт), если о < г1 < п1,...,о < гт < пг
0, .
Тогда 81
( Р(х1,...,хгЛ = \ - у^
V ра / у у
V " ' I— п х_ = 1
к=0 хг = 1
рк (хг )
'... ' ехр2пъ
Х1 = 1 Хг—1 = 1
. G(xl,..., хг)
ра
С(х1,...,хг) = ^ ^ ... ^ ^ х1, ...,хг—1 фЬ1,..,Ьг—1 (хг).
11=0 Ьг—1=0
(г - 1)
нометрическую сумму, а по лемме 6 работы [58] оценим количество точек хг, 1 < хг < ра, удовлетворяющих условию
Получим
Э1
р к=0
фз1,...,зг—1 (х1) - 0(modpk).
= V (5п2п)т-1(а + 1)т-2р(т-1)а-
х
\т— 1 та—а
х5п ра-п < (5п )т (а + 1)т-1р
Лемма доказана.
Лемма 29. Пусть коэффициенты многочлена Р(х1,..,хт) в совокупности взаимно просты с д, т.е.
(а(0,..., 1), ...,а(п1, ...,пт),д) = 1.
Тогда справедлива оценка
^Р(х1, ...,хт) ^
< (5п2п)ть(я)(т(д))т-1 дт-'
где у(д) - число различных простых делителей д, т(д) - число всех делителей 1-
Доказательство. Утверждение леммы следует из лемм 27 и 28. Лемма 30. Ряд а из теоремы абсолютно сходится при к > Доказательство. Имеем
Н<Е X ••• Е А(д(п1 ,...,пт),..., д(0,.., 1))|.
Я=1 я(п1,...,пг ) = 1 д(0,...,1) = 1 [д(т,...,пг ),...,д(0,...,1)]=д
а:
а:
а
а —к
Из леммы 29 следует, что
\Л(д(пъ ...,пг),..., д(0,• ••, 1))| << ф(д(пъпг )).Мя(0,• ••, 1))Як(-П+£) Отсюда получим
м«Е Е ••• Е Ф^(п1,..,пг))...ф(о,.., тк(-п+£) =
У^ дт-1+к(-п +е)
я=1
Следовательно,
ряд а сходится при к > пт. Лемма
доказана.
Обозначим через Ж(й; к) число решений системы сравнений
(0 < г1 < п1,•••, 0 < и < пг, г1 +-----+ и > 1)
к
Ех^ • ••хГ = N (гъ-^и )(тойй),
3 = 1
где неизвестные , 1 < в < г, 1 < ] < к, принимают значения из приведенной системы вычетов по модулю й.
Лемма 31. При к > пт имеем равенство
а = ТТ ар, ар = Иш ра(т-1)ф-кг(ра)Ж(ра; к).
а—
рр р
ар
(69)
ар = 1 + Е Е ' " Е Л(д(п1,-,пг),•••, д(0, • ••, 1))
а=1 д(т,...,пг )=1 д(0,...,1) = 1 [я(п1,...,пг ),...,я(0,...,1)]=ра
Доказательство. Пусть
(70)
=.№) = £ £ • •• Е х
д(т,...,пг) = 1 ^(0.....1) = 1
[д(пи...,пг ),...,д(0,...,1)^ (71)
X Е ••• Е' Тк е-2т( а ХМ)>
1<а(пх,...,пг )<д(пх ,...,пг) 1<а(0,...,1)<д(0,...,1)
X ехр
Т = Т(0) = ф(Я)-г Е ••• Е X
1<х!<д 1<х!<д
••,гг) ^ 1Л
(т пг /,
2™ Е ••• Е ^
а х N = у ...у a(t 1,'",tr\
N(ttr).
Тогда при k > nm в силу леммы 30 имеем
а = lim Еi(D).
Преобразуем теперь выражение для W(D; k):
D
D
W (D; k) = D-m+1 52 52 х
b(n1,..,nr) = 1 b(0,..., 1)=1 ( (
X
V
х exp
52 ■ ■■ У exp
1<xi<D 1 <xi<D
n1 nr
2ni ~D
t1=o tr=o
\ tl+...+tr ^1
b(t1,-,tr)xtL
X
(
2ni ~D
n1 nr
b(t1,...,tr )N (t1,...,tr)
г1=0 и=0 \ +...+и >1 )
Представим каждое Ь(в1,...,вг) в виде
Ь(в1,...,вг) = а(в1,..., вг) В д(в1 ,...,вг)'
(а(в1,...,вг ),д(в1,...,вг)) = 1 Как и раньше, обозначим через Q наименьшее общее кратное
д(в1,..., вг), 0 < в1 < щ,..., 0 < вг < пг, в1 + ... + вг > 1
Имеем
W (D; k) = D-m+^ ^ ••• J2
х
Q\D q(ni,...,nr) = 1 q(0.....1) = 1
[q(ni,...,nr ),...,q(0,...,1)] = Q
х E ••• E'
1<a(ni,...,nr )<q(ni,...,nr) 1<a(0,...,1)<q(0,...,1)
Lp(D) Tk exp ( 2ni- х N
(tni^ х Nj
Следовательно, получим
k
W(D; k) = D-m+1p(D)rkE1(D).
(73)
Таким образом
а = lim Dm-lV(D)-rkW(D; k). Далее воспользуемся мультипликативностью <p(D) и W(D; k), будем иметь:
а = li^ Пp(m-l)ap(а)фЫа))-гкw(pap(a); k),
p<a
где ap(a) определяются из равенства
d! = Y[ pap(a).
p<a
а
а = П aV
P
Второе выражение для ap получается из равенств (71), (73) при D = pa. Дока-
D = pa
соответствующих рассуждений.
Пусть и1}..., nr- натуральные чпела, p- простое число, n = nl + ... + nr, t = tl + ... + ^.Определим ч исла ml, ...,mr следующим образом
nj + 1 = lj (p — 1) + Vj, 0 < Vj < p — 1; mj = nj + lj + 1.
Рассмотрим систему сравнений
k
...xfi = N (tl ,...,tr )(modpa)
'3 J (74)
(0 < t < n , ... , 0 < tr < nr),
N(t , ... , tr), 0 < t < n , ... , 0 < tr < nr неизвестные x rj,
1 < s < r,..., 1 < j < k, пробегают значения из приведенной системы вычетов по модулю pa. Система сравнений (74) состоит из m = (nl + 1)(n2 + 1)...(nr + 1) сравнений. Рассмотрим далее систему линейных сравнений с неизвестным t(vl,...,vr):
mi mr
У^ ...^2 t(vl,..,vrX1 ,...,vsrr = N(sl,...,sr)(modpa)
vi=l vr=l (75)
(vi,p) = l (vr ,p) = l
(0 < s < n , ... , 0 < sr < nr)
Лемма 32. Из разрешимости системы сравнений (74) следует разрешимость систем,ы, (75), и наоборот, из разрешимости систем,ы, (75) следует,
существование такого числа к, к = N(0,..., 0)(modpa), что систем,а (61) имеет решение.
Доказательство. Сначала заметим, что при (х\,р) = 1,..., (хг ,р) = 1 разрешима система сравнений
т\ тТ
X ••• X Т^ = х11 ,..,хГг(modpa)
V1 = 1 Уг = 1 (76)
(Vi ,р) = 1 (Уг ,р) = 1
(0 < ^ < п1,..., 0 < вг < пг) Действительно, решение системы (76) можно взять в виде
Т...,Уг) = Ту1 (х\)...Туг(хг)(modpa), где ТУв (х8)- решение системы (лемма 21)
т„
X ТУз(х8)ь13 = xls(modpa), 0 < I < п8.
Уа = 1
(Уз,р) = 1
Имеем
т1
тТ
У1 = 1 ут = 1
(У1,р)=1 (Уг ,р)=1
^ Т(У1,...,Уг^ ,..., иг
=
т1
X ТУ1 (х№
У1 = 1
\(ут ,р) = 1
/
X ТУт (хг )Ц
ут=1
\(Ут ,р) =
= х1 ...хГ (modpa)
/
Из разрешимости систем (74) и (76) следует разрешимость системы (75). Оче-
к
ма (74) имеет решение. Лемма доказана.
Набор N = (N(п1}..., пг),..., N(0,..., 1)) назовем удовлетворяющим условию
разрешимости для некоторого N(0,___, 0), если система сравнений (75) имеем
решение при любом простом числе p и любом натуральном числе а.
Лемма 33. Пусть к > к0 = rmnъ24:(n+r") и набор удовлетворяет условию разрешимости. Тогда для, величины Ш(pa; к) справедливо неравенство
Ш^; к) > охГ^-^,
где с = с(п, к^) > 0 некоторая, постоянная. Доказательство.
т1
М (Ь,...,и) = )-X а11 ...а.
а1 = 1
ат = 1
где штрих в знаках суммирования означает, что (а1;р) = ... = (аг,р) = 1.
Набор М так же, так и набор М, удовлетворяет условию разрешимости. Следовательно, при 7 = 4к + 2[(р-1)2 (п + г)] + 1, рк < п < рк+1 имеет решение система сравнений
т1 т-
'...^2 'Т(а1,...,аг)а1 ,...,а1Т = М(г1,...,гг)(шodpY)
а1 = 1 аТ=1 (77)
(о < г1 < п1,...,о < и < пг)
Пусть а = 7 - к. Обозначим через с(а1}..., аг) наименьший неотрицательный вычет числа Т(а1, ...,аг) по модулю ра. Тогда имеет место система сравнений
т1 тТ
У^ '...^2 ' с(а1, ...,аг )а1 ,..,аг; = М (г1,...,гу )(шodpa)
а1 = 1 аг=1
(о < г1 < п1,..., о < гг < пг)
Положим
т1 тТ
к1 = ^ '... Е (с(а1, ...,аг) + 1).
а1 = 1 аг=1
В силу определения набор М отсюда имеем
т1 тТ к
^ '... Е 'а11 • • • а1Т + Е а\)3 • • • аггг3 = N^1,..,^)(шodpa)
а1 = 1 аТ = 1 з=т+1
(о < г1 < т,...,о < и < пг)
(78)
(79)
Положим Ь = а - к, = а3 + рьази(а1,..., аг), 1 < 3 < к. Тогда найдутся такие и(а1, ...,аг), что система сравнений
т1 тТ к1
Е^Е'^ ••• гГТ + Е аЪ •" = N^1, ...,1г)^ра)
а1 = 1 аг=1 3=т+1
(о < г1 < п1,..., о < гг < пг)
имеет решение.
Действительно, так как 2Ь > 7 и выполняется (80), то при некоторых А(а^ ..., аг) имеет место система сравнений
т1 тТ
Ьу
а1 = 1 аг=1 т1 тТ
'...^2 ' иа1 • • • аУТи(а1, ...,аг) =
(81)
А(а1,..., аг)а± - - - ау (шоар* )
а1 = 1 аг=1
= ра-Ь Е Е 'А(а1,..., аг)а1 • • • а\Т^¿р^-ь)
(о < и < т,...,о < и < пу)
Поскольку а — Ь = к > 6(1); || Ь, то в качестве решения этой системы можно взять числа и(а1,..,аг), удовлетворяющие сравнениям
Ьи(а1,.., аг) = ра-ъ\(а1,.., аг)(шойр1-ъ)
Покажем далее, что разрешима система сравнения
(82)
к1
£У11з • • • Уг,з = N1(11,...,и)(шо4р^+1)
з=1
(0 < Ь1 < п1,..., 0 < и < пг)
где у3з = а3з + а33ръу(а13, ...,аг3), в = 1,..., г; ] = 1,..., к; а33- решение (80). '
Зафиксируем ь(а1 ,3,..., аг ,3), ] = ш + 1,... ,к.Жз системы (82) следует, что при 7 + 1 < 2Ь, Ь = 2к + [ (р-1)2 (п + г)] + 1, выполняется система сравнений с неизвестными ь(а1 ,3,..., аг ,3) = у(а1,..., аг), 1 < ] < ш:
т1 тГ
системы
'...^2 • • • а*гГь(а1,..., аг) =
а1 = 1 аГ=1
к1
= Х(г)р1-ъ — ^ ЫЪ • • • а% ъ(а1,3,..., аг,3 )(шовр'р1+1-ъ)
3=т+1
Отсюда находим
у(а1,... ,аг) = р1 .
£ пт ПП' ь — аГ1—
¿1=0
и =0
к1
£ У(а1,3,.. 3=т+1
г,3
з=1 ъз = 1
ъа=аа
(а а,3 — Ьв)
^ а — Ьв)
з=1 ъа = 1
ъа =аа
г
) ПП'
(шойр1+1-ъ)
при условии, что
7 — Ь — к — 63 > 0, 63 = 6(ш3!).
3=1
Но последнее условие выполняется, так как
п + 1
ш3 = п3 + 13 + 1 = п3 +
р — 1
+ 1 <
(п3 + 1)р
63 = 6(шз!) =
шв
р
++
ш.з
р1
+
р — 1 шз
р — 1
6 (пз + 1)р; 7 = 4х + 2
63 < (р — 1)2 ; 7 4х + 2
р
(р — 1)
(п + г)
+ 1.
Далее аналогично устанавливается разрешимость системы (65) по модулю р3, в > 7 + 1. Для величины к1 имеем оценку
к1 < тра < тр3к+2[(п+г)]+1 < тп424(п+г)-1 = к2.
Возьмем к = 2к1гп и при произвольных х3,з, 1 < в < г, к1 + 1 < ] < к из приведенной системы вычетов по модулю р1 положим
к
N1(11,•••,и) = N1(11,•••,гг) - £ х\з,..,х%
3=к\+1
(0 < и < п1,•••, 0 < и < пг, и +-----+ и > 1)
Поскольку системы сравнений (80), (82) имеют хотя бы одна решение, то
Ж(р3; к) > (ф(р3))(к-к1)г
Теперь оценим величину Ж(р3; к), в > 7, снизу. Запишем Ж(р3; к) через тригонометрическую сумму
Ж (р3; к)= р-(т-1)3 Е ••• Е х
Ь(п1,...,пг )=1 Ь(0,...,1) = 1
(рв рв \ к ¿'•••I^'ехр2пг/в (х1,-,хг П ехр(-2пг( В х Щ,
Х1 = 1 Хг р / р
п1 пг
¡в (х1 ,••• ,хг) = ^Ь^ •••>*' )х1, • • • ,хГг Ь(0,..., 0) = 0
и=0 гг=0
п1 пг
в
- X N =Е Ь(г1 , -Л ^ (р, ..,1Г)
р г1=0 гг=0
Соберем в сумме для Ж(р3; к) вместе слагаемые с условием
(Ь(п1)...)пг ),...,Ь(0,..., 1),р3) = рг.
Соответствующую сумму обозначим через . Тогда
3
Ж(р3; к)= р-(т-1)3^ ^ г=0
Представим Ж(р3; к) в виде
Ж(р3; к) = +
т = Е Ег,
з—^<г<з
^ =52 Ег, Преобразуем т . Для этого представим Ь(г,... ,ЬГ)
в виде
Ь(г и) = р3-1 а(г и ).
Имеем
р~< р~<
щ = р-(т- г)3 ^ ... ^ Хр(в-1)к. Т и р )е-2М А а(п1,...,пг ) = 1 а(0,..., 1 )=1
Т Р ) = Е'- "Е 'е*Р2пг1Ф: ),
Х1 = 1 %1 = 1
А = (а(п 1,...,Пг),..., а(0,..., 1)).
Отсюда получим
т = р(в-1)(иг-т+1)т р; к).
Оценим теперь сверху ■ В силу леммы 28 имеем неравенство
\е\<р-(т-1)з 52 ■■■ 52 Т(р3)\к«
Ь{п1....,пг) = 1 Ь(0,...,1) = 1
(Ь(п1,...,пг ),...,Ь(о,...,1),ре)=рг
Следовательно,
т« рз(кг-т+1) А7.
Таким образом, получим
т(р3; к) = т + т > (ф(р3))кгр-з(т-1)(ф7))-к1гр^(т-1)-
-рз(кх-т+1) > с(ф(р3))кгр-з(т-1)
Лемма доказана.
Лемма 33. При к > 2тп справедлива оценка
ар = 1 + 0(р-1-)
Доказательство.
р'
р'
Справедлива оценка
£ ■■■ £ \Л(д(п1,...,пг),...,д(0,..., 1))\ «
я(п1,...,пг )=1 д(0,...,1)=1
(д(пг,...,пг ),...,д(0,...,1))=р1
52 ■■■У *(<1(п1>.., пг)),.., Ф(0, ..., 1))р(-г^£)к
д(п!,...,пт )\р1 д(0,...,1)\р1
_ р(т—1)г—к1у+кге
=р
Отсюда имеем при к > 2тп
ар = 1 + О ^52рг(т-1-кг,+к£^ = 1 + О (рт-1-к^+к^ = 1 + 0(р-1-). Лемма доказана.
Лемма 33. Пусть к > к0, к0 = гтпъ2А(п+г'). Тогда для на бора N удовлетворяющего условию разрешимости, справедливо неравенство
а > с(п) > 0,
где а - сингулярный ряд теоремы 6.
Доказательство. В силу леммы 34 существует положительная постоянная с1 = с1(п1,..., пг), что выполняется неравенство при к > 2пт
ар = 1 + 0(р-1-) > 0. Поэтому в силу леммы 34 имеем, что бесконечное произведение
Ф2 = П ар > С22 > 0
Р>С1
сходится к положительному числу.
р < с1
Ф1 = Д ар > Сз > 0.
Р<€1
Следовательно,
а = ф1ф2 > с4 > 0.
Теорема доказана.
5.3 Теорема
Сначала найдем условие положительности особого интеграла 7 в зависимости от решений в действительных числах системы уравнений
к
••• х% = ви), (83)
3 = 1
где 0 < < Н\,..., 0 < гг < пг величины ,гг) определяется равенствами
в (ги ) = N (ги ••• р-^,
а неизвестные хпри 1 < в <, 1 < ] < к, удовлетворяют уеловиям 0 < х3^ < 1.
Обозначим через П область точек х 1 ^ в ^ г, 1 ^ ] ^ к, для которых выполнены неравенства:
1) 0 ^ х3 з ^ 1, в = 1,...,г; ] = 1,...,к;
к
2)
У] x\ j ' ' ' xr j ß (t 1, ■ ■ ■ ,tr)
1 , j r, j j=1
^ h, h ^ 0,
0 ^ t1 ^ n1} ■ ■ ■, 0 ^ tr ^ nr Объем области П обозначим через ß(h), т.е. положим
Mh) = У ■■■J dxn ■ ■ ■ dxxrk ■ п
Лемма 7. При к > nm справедливо равенство
Y = y (ß (ni,■ ■■,nr ),■■■, ß(0, ■■■, 1)) = lim 2-m+1 h-m+1 ß(h) ■
Доказательство. Так как при к > nm интеграл сходится абсолютно, то он представляет
собой непрерывную функцию по совокупности переменных ß(t1 ,■■■ ,tr), 0 < t1 < n1, ■■■, 0 < tr < nr, t1 + ■■■ + tr > 1. Положим
F (ß) = F (ß(nu...n ),■■■,ß 1)) =
rßim,... ,nr) r ß(0,..., 1)
= ■■■ y (^(n]., ■ ■ ■ ,nr ),■■■, a(0, ■■■, 1))dä
Jo Jo
Отсюда имеем
Y(ß) = dm~JF(ß) = hmm 2-m+1h-m+1J -J Y(ä)dä. (84)
Покажем, что Р(в) можно представить в виде:
Р (в ¡-'1хи- -Лх1к- "-1хл'
Ыв)
где ^1(в) обозначает область точек с условиями
0 < хз3 < 1 1 < в < г, 1 < ] < к;
0 < хц ... хг1 + ''' + х1 к ... хгк < в (^1,..., Ьг) (0 < Ь1 < п1,..., 0 < и < пг) Действительно, согласно определению функций Р(в) и 7(а) имеем
_ [-¡3{П1,..,ПГ) гф{0,..,1) [-¡3{П1,..,ПГ) гф{0,..,1) Г-+Ж Г- + Ж
Р (в) = ... ч(а)1а = .../ "а .../ х
и0 и0 и0 и0 и-Ж и-Ж
П1 п Г
Г1 Г1 2пг(52 ••• Е (и(Ь 1,...,и)-а(Ьъ...,Ьг))г(Ьъ...,Ьг))
х | I ...у е 11=0 1Г=0 "х | "г,
где величины и(Ь1,... ,ЬГ) определяются равенствами
u(t1, . . . , Ьг) — х11 . . . хг1 + ' ' ' + х1 к . . . хгк
(0 < Ь1 < п1,..., 0 < Ьг < пг, Ь1 + ... + Ьг > 1) Отсюда, меняя порядок интегрирования и интегрируя по а, получим
т-Г-С (й... 110^2^:^)» „
х [ ... [ ехр(2п1и(Ь1,... ,ЬГ )г(Ь1,...,Ьг ))"х11..."хг"г
00
[■1 [-1 ( г+ж г+Ж п1 Пг , /
/ •••/ П-1Г(
0 -70 \ •'-Ж ¿-Ж ¿1=0 Ь г=0 4
ехр 2п1и(ь1,..., ьг )г(ь1,... ,ьг)
'0 ¿0 \ ^-ж ^-ж Ь_=0 Ьг=0 \ 2п{г(ь1,..., и)
ехр(2пг(и(11,...,1г) — в (1ъ.. и ))г(гъ...,и)) "хп "х^
2пгг(ь1,... ,ьг)
1 1 п1 п-т+Ч ••• / "хх11• хгкЦ••• П х
^ ^ Ь1=0 Ьг=0
( [+Ж (8т2пг(г)и(г) ът2пг(Ь)(и(Ь) — в(Ь))\ , N
ч ¡-ж\-^щ т ; "V
В силу равенства
имеем
F (ß) = 2-m+1
sin ах п
-dx = — sign а,
lo X 2
„1 ni
П - П '(sign z(t) - sign(z(t) - ß(t)))dxn • • • dXrk
t1=0 tr=0
I u(t<ß(t))
.,xrk <1
dx
11
dx
rk
dx11... dxrk.
lQi(ß)
Таким образом, требуемое равенство для функции F(ß) доказано. Воспользовавшись последним равенством и формулой (84) получим
Y(ß) = lim 2-m+1h-m+1ß(h).
Лемма
доказана.
Определение. Рассмотрим систему уравнений
k
Fti,...,tr (X) = Ё xlj ,...,хьг = ß (ti ,...,tr), j=i
(0 < ti < ni,..., 0 < tr < Ur, ti + ... + tr > 1),
где X- набор целочисленных переменных (x11,..., xr1,..., x1k,..., xrk). Матрицей Якоби решения X этой системы уравнений назовем матрицу вида
(
д
дх
Ft
t1,...,t
(X)
s,3
)
строки которой нумеруются наборами (11,...,1Г), 0 < < п\,..., 0 < < пг, +... + > 1, упорядоченными некоторым образом, а столбцы нумеруются как: 5 + г— 1), 1 < 5 < г, 1 < ] < к.
Лемма 36. Пусть для некоторого решения х3^ 1 < в < г, 1 < ] < к, системы уравнений (60) при к > т его матрица Якоби имеет максимальный ранг, равным т — 1. Пусть некоторая ее подматрица размера (т — 1) х (т — 1), определитель которой равен £ > 0. Тогда
1) при достаточно малом Н> 0 для объема ц(Ь) области П имеет м,есто оценка
¡1(К) > сл(е)2т-1Кп-1,
где с1(£)- некоторая положительная постоянная;
2) при к > пт для особого интеграла, 7 имеем оценку
Y > ci(e) > 0
1
0
0
Доказательство. Обозначим через у1, • • • ,ут-1 те переменные, для которых определитель матрицы Якоби функций
к
Ъ1,...,и (у) =Е уъ•• •угз
3=1
(0 < г1 < п1, ••.,0 < гг < пг, г1 +... + гг > 1),
больше е > 0. Пусть дал ее ут ,...,укг оставшиеся переменные. Пусть гт, • • •, гкг- любые числа, удовлетворяющие неравенствам
\%3 - у.3\ <61, в = т,. • •, кг.
В силу теоремы о неявных функциях найдется 61 = 61 ( е) > 0 ции
%1 %1 (%т1 • • • , %кг ) ,
%т-1 %т-1(%т1 • • • , %кг^
являются решением системы уравнений
Ъг1,..,гг (%1,...,%кг) = в (11,...,и)
(0 < г1 < п1, ••.,0 < гг < пг, г1 +... + гг > 1), Возьмем к > 0 достаточно малым и любые и1, • • • ,ит-1 с условиями
\и3 — %3\ < кг-1п-1т-1 = 62, в = 1,... ,т — 1.
Тогда
\и'3\ •••и;г - у3\ ...иХ \ < кт-1
и набор (и1, • • •, ит-1, %т, • • •, %кг) принадлежит области П. Множество таких наборов обозначим через П^ Имеем
1^(к) > ! • • • J йи1 • • • йит-1 • • • й%кг = п1
= бкг-т+1(2б2)т-1 = С1(е)2т-1кт-1,
С1(е) = 6к1г-т+1(гтп)-т+1 > 0 В силу леммы 35 из этого неравенства получим
7 = 7(в) > С1(е) > 0.
Лемма доказана.
Отметим, что если для любого решения системы уравнений (83) матрица Якоби имеет ранг меньший т — 1, то из леммы 35 и соображений размерности области П следует, что 7 = 0. Действительно, возьмем любое решение системы уравнений
к
3=1
(0 < и < щ, •••, 0 < и < пт, и + ••• + и > 1)
т — 1
с(Ь\, • • • ,и) = с(Ь\, • • • ,и; х),
П- пТ
¿•••¿^•••Л ) = 1,
1Л=0 и=0
удовлетворяющий условиям
п- пг
^•••^^¡•••¡и ¡•••¡х%-1 •••хТТз = 0, 3 = (86)
1-1=0 1Т =0
Рассмотрим в (кг + т — 1)- мерном пространстве множество V точек (x11,•••,xтk ¡сф,^^ 1), • • • ,с(пх, • • • ,пт)) с условиями (85), (86). Покажем, что поверхность, частью которой это множество является, имеет небольшую размерность. Предположим, что в некоторой точке размерность этой поверхности будет > кг — т + 1. Зафиксируем теперь набор (с(0, • • •, 1), • • •, с(п\, • • •, пт)). На рассматриваемой поверхности получим слой Vc. Его размерность будет > кг — 2т + 2. С другой стороны, из системы (86) имеем, что размерность множества К будет ^ кг — к.
Но так что при к > 2т — 2 справедливо неравенство кг — к < кг — 2т + 2, то предположение о размерности поверхности V
неверно. Следовательно, в ка^ж-дом точке размерность пространства V меньше кг — т +1. Но это означает, что и размерность поверхности, задаваемой (85) и получаемой проекцией поверхности V при с(0, • • •, 1) = 0, • • •, с(п\, • • •, пт) = 0, также будет меньше кг — т + 1. Следовательно, объем ц(к) этой поверхности в (кг — т + 1)- мерном пространстве равен 0, а по лемме 35 отсюда имеем, что 7 = 0.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Лемма 37. Если для любого решения системы уравнений (83) его матрица Якоби имеет ранг < т — 1, то особый интеграл 7 равен 0.
Назовем набор правых частей системы уравнений (60) допустимым, если этот набор 1) удовлетворяет условию разрешимости (75), 2) матрица Якоби некоторого решения системы уравнения (83) имеет максимальный ранг, равный т1
(85)
Как и в главе III, будем готовить, что асимптотическая формула теоремы 8 нетривиальна, если а > 0 и y > 0-
Завершим главу следующей теоремой.
Теорема 10. 1) Если набор
N = (N (m,...,nr),..., N (0,..., 1))
не является допустимым, то асимптотическая формула теоремы 8 - тривиальна.
2) Если набор N - допустимый, то при k > rmnb2i(n+r') асимптотическая формула теоремы 8 - нетривиальна.
3) Если же k > 2l, l = max(n1,... ,nr), то существуют допустимые наборы, N, для, которых асимптотическая формула - тривиальна.
Доказательство. Утверждение 1) следует из лемм 32и 37. Утверждение 2) следует из теоремы 9 и леммы 36. Утверждение 3) является следствием утвер~ ждения 1) теоремы 4 статьи [48], стр.44.
В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю профессору A.A. Карацуба и доктору физико-математических наук Г.И. Архипову, влияние которых на мои занятия математикой трудно переоценить.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Виноградов И. М. Избранные труды - М.: ИЗД-ВО АН СССР, 1952.
[2] И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел - Труды МИАН СССР, т.ХХШ, стр. 1 - 109.
[3] И. М. Виноградов Особые варианты метода тригонометрических сумм -М.: Наука, 1976.
[4] И. М. Виноградов Метод тригонометрических сумм в теории чисел - М.: Наука, 1980.
[5] И. М. Виноградов Новое решении проблемы Варинга // ДАН СССР. 1934. т.2, №6, стр. 337-341.
[6] И. М. Виноградов О некоторых новых проблемах теории чисел / / ДАН СССР, 1934, т.З, №1, стр. 1 - 6.
[7] И. М. Виноградов Некоторые теоремы аналитической теории чисел // ДАН СССР, 1934, т.4, №4, стр. 185 - 187.
[8] И. М. Виноградов О приближениях посредством рациональных дробей, имеющих знаменателем точную степень // ДАН СССР, 1935, т.2, №1, стр. 1 - 5.
[9] И. М. Виноградов О некоторых рациональных приближениях // ДАН СССР, 1935, т.З.ЛЧ. стр. 3-6.
[10] И. М. Виноградов Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР, 1937,т.15, №6, стр. 201 - 204.
[11] И. М. Виноградов Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел // Тр.Тбил.мат.ин-та, 1938, т.З, стр. 1 - 67.
[12] И. М. Виноградов Некоторые проблемы аналитической теории чисел // Тр. Третьего Всесоюзного матем. съезда, Москва, 1958, т.З, стр. 3 - 13.
[13] А. А. Карацуба Проблема Варинга для сравнений по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, сер. I (1962),стр. 28-38.
[14] А. А. Карацуба Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР, сер.матем., 1964, г.28. стр. 237-248.
[15] А. А. Карацуба О системах сравнений // Изв. АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, №4 стр. 935-944.
[16] А. А. Карацуба Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, сер. матем., 1966, т.ЗО, №1, стр. 183-206.
[17] А. А. Карацуба Среднее значение модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, сер.матем., 1973, т.36, стр. №6, 1203-1227.
[18] А. А. Карацуба Об одной системе сравнений // Матем.заметки, 1978, т.19, №3, стр. 389-392.
[19] А. А. Карацуба Системы сравнений и уравнения варинговского типа // ДАН СССР, 1965, т.165, №2, стр. 274-276.
[20] А. А. Карацуба О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1969, г. 189. №1, стр. 31-34.
[21] А. А. Карацуба Распределение произведении сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях // ДАН СССР, 1978, г. 192. №4, стр. 724-727.
[22] А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел - М.:Наука, 1983.
[23] Landau Е. Vorlesungen über Zahlentheorie - 1927, Bd.2, Leipzig.
[24] Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах "аддитивной" и "дистрибутивной" теории простых чисел // ДАН СССР, 1945, т.49, №1, стр. 3-7.
[25] Линник Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха - Виноградова // Мат.сб., 1946, т.19, вып.1, стр. 3-8.
[26] Линник Ю. В. Оценки сумм Вейля по методу И.М.Виноградова // Изв.АН СССР, сер. матем., 1942, 6(1), стр. 41-70.
[27] Линник Ю. В. О суммах Вейля // Мат.сб., 1943, 12(54), №1, стр. 28-39.
[28] Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел - М.: Наука, 1962.
[29] Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении двух чисел суммами m-ых и n - их степеней // ДАН СССР, 1936, т.2, №6, стр.257-258.
[30] Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении n чисел суммами
n
1937, т. 1, стр.609-601.
[31] Марджанишвили К. К. Об одной системе диофантовых уравнений // ДАН СССР, 1939, т.22, №11, стр.471-474.
[32] Марджанишвили К. К. Об одной задаче аддитивной теории чисел // Изв.АН СССР, сер. матем., 1940, №4, стр. 193-2И.
[33] Марджанишвили К. К. Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам, Докторская диссертация. -М.1949.
[34] Марджанишвили К. К. Об некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах // Матем. сб.,1953, 33(75), №3, стр.638-675.
[35] Марджанишвили К. К. Об одном особам ряде // Тр. МИАН, 1976, 142, стр.174-182.
[36] Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit aer ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl, n-ter Potenzen // Math. Ann 1909, Bd. 67 , s. 281 - 300.
[37] Kamke E. Verallgemeinerungen des Waring - Hilbertschen Sätzen. // Math. Ann. 1921, Bd.83, s.8 -38.
[38] Hardy G.H., Eamanujan S. Asymptotic formulae in combinatory analysis // Proc. London Math. Soc. (2), 17(1918), 75-115.
[39] Hardy G.H., Littlewood J.E. A new solution of Waring's problem // Gatt. Nachr. 1920, 33 - 54.
[40] И. M. Виноградов Sur un theoreme general de Waring // Мат. сб., 1924, т.31, стр. 490 - 507. 1928, №4, стр. 393-400.
[41] И. М. Виноградов О теоремие Варинга // Изв.АН СССР, ОФМН, 1928, №4, стр. 393-400.
[42] И. M. Виноградов Об одном классе совокупных диофантовых уравнении // Изв.АН СССР, ОФМН, 1929, №4, стр. 355-376.
[43] Hardy G.H., Littlewood J.E. The number Г(к) in Waring's problem // Proc. London math. Soc., 28 (1928), p.518 - 542.
[44] ХуаЛо -кен Аддитивная теория простых чисел // Тр.Ml IAI 1.19 17. т.22, стр. 1-179.
[45] Хуа Ло-кен Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел - М.: Мир, 1964.
[46] Hua Loo - keng On the number of silutions of Tarry;s problem // Acta sei. Sinica, 1952, v.l, №1, p. 1-75.
[47] Г. И. Архипов О значении особого ряда в проблеме Гильберта -Камке // ДАН СССР, 1981, Т.259, №2, стр. 265-267.
[48] Г. И. Архипов О проблеме Гильберта-Камке // Изв. АН СССР, сер. матом.. 198 I. Т.48, №1, стр. 3-52.
[49] Г. И. Архипов Исследование по проблеме Гильберта-Камке / Докторская диссертация. -М.: 1984.
[50] Г. И. Архипов Кратные тригонометрические суммы // ДАН СССР, т.219, №5, 1974, стр.1036-1037.
[51] Г. И. Архипов Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Матем. заметки, г. 17. вып. I, 1975, стр.143-153.
[52] Г. И. Архипов Оценки двойных тригонометрических сумм Г.Вейля // Тр.МИЛН, 1976, т. 142, стр. 46-66.
[53] Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков О кратных тригонометрических суммах // Докл. АН СССР, 1975, т.222, №5, 1017-1019.
[54] Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, 1976, т.40, вып. I, 209-220.
[55] Г. И. Архипов, А. А. Карауцба, В. Н. Чубариков Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы // Тр.MI IAH. 1977, г. 1 13. с.3-31.
[56] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Точная оценка числа решений одной системы диаофантовых уравнений // Изв. АН СССР, сер. матем., 1978, №6, с. 1187-1226.
[57] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Матем. зам., 1979, т.25, №1, с.3-14.
[58] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы // Тр.МИАН, 1980, т. 151, с. 1-128.
[59] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Об одной системе диофан-товых уравнений // ДАН СССР, 1980, т.252, №2, с.275-276.
[60] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Равномернее оценки кратных тригонометрических сумм // ДАН СССР, 1980 т.252, №6, с.1289-1291.
[61] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР, сер. мататем., 1980, т.44, №4, с.723-881.
[62] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Новые равномерные оценки кратных тригонометрических сумм // ДАН СССР, т.272, №6 I, с.11-12.
[63] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Особые случаи теории кратных тригонометрических сумм // Изв.АН СССР, 1983, т.47, №4, с.707-784.
[64] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри // ДАН СССР, 1979, т.248, №2, с.268-272.
[65] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы // Изв.АН СССР, сер.матем., 1979, г. 13. №5, с.971-1003.
[66] Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об арифметических условиях разрешимости нелинейных систем диофантовых уравнений // ДАН СССР, 1985, т.284, №1, с.16-21.
[67] Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // ДАН СССР, 1976, т.227, №6, с.1308-1310.
[68] Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Матем.зам., 1976, т.20, №1, с.61-68.
[69] Чубариков В. Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Матем.зам., 1978, т.23, №6, с.799-816.
[70] Чубариков В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его обобщений // Тр.МИАН, 1981, г. 157. с.214-232.
[71] Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // ДАН СССР, 1984, т.278, №2, с.302-304.
[72] Чубариков В. Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв.АН СССР, 1985, т.49, №
[73] Чубариков В. Н. Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел // ДАН СССР, 1985, г.256. №4, с.525-591.
[74] Arkhipov G. I., Karacuba A. A., and Chubarikov V. N. Multiple trigonometric sums // Proc. of Steklov Institute of mathematics., 1982, issue 2, p. 1-126, Amer. Math Soc.
[75] Чубариков В. H. Многомерная аддитивная задача с простыми числам // ДАН СССР, 1986 №4, с.805 - 808.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Поступило 8.12.2011
