О поимке двух убегающих в задаче простого преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.977

© М. Н. Виноградова О ПОИМКЕ ДВУХ УБЕГАЮЩИХ В ЗАДАЧЕ ПРОСТОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Приведены достаточные условия поимки двух убегающих в задаче простого преследования.

Ключевые слова: дифференциальная игра, фазовые ограничения, кусочно-программные стратегии, контрстратегии.

§ 1. Простое преследование двух убегающих с фазовыми ограничениями

В пространстве Мк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 2 лиц: п преследователей Р\,... ,Рп и двух убегающих Е\, [1-5]. Законы движения каждого из преследова-

телей Рг и каждого из убегающих Е? имеют вид (г = 1,... ,п, ] = 1, 2)

Х&) = щ(Ь), иг € V; у?(Ь) = ь(Ь), V € V; хг, у?, иг, V € Мк. (1)

При Ь = 0 заданы начальные условия х^(0) = х0, у? (0) = у0, причём х0 = у0, V — строго выпуклый компакт в Мк с гладкой границей.

Предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого множества

В = {у : у € Мк, (рз, у) ^ Цз ,8 = 1,..., г},

где р1,... ,рг — единичные вектора, ,..., цз — вещественные числа такие, что Щ В = 0. Преследователи используют кусочно-программные контрстратегии.

Обозначим данную игру Г.

Определение 1. В игре Г происходит поимка, если существует Т > 0 и для любого разбиения а отрезка [0, Т] существуют кусочно-программные контрстратегии П\,... ,ип преследователей Р\,..., Рп, моменты времени Т\,Т2 € [0,Т], номера 1,8 € {1,... ,п} такие, что XI(Т1) = у1(т1), хз(т2) = у2(Т2) для любых траекторий у\,у2 убегающих Е\, Е2.

От систем (1) перейдем к системе

гг? = иг — V, гг?(0) = г0? = х0 - у0.

Введем следующие обозначения:

10 = {1,...,п}, д = шах{^|^ € V}, Х(а, V) =8ир{Х ^ 0 | — Ла € V — V}, с = у0 — у10.

Теорема 1. Пусть V — шар с центром в нуле, существуют множества 71,72 С {1,..., п}, 11,12 С 10 \ (71 и 72), II П 12 = 0 такие, что наборы

{г°1, г € 71, Р1,... ,рг, —с}, {г°2, г € 72, Р1,... ,Рг, с},

{г[ъ 1 € 71 \ (71 П 72 ), г02, 8 € 72 \ (71 П 72), г^1, а € 11, zв02, в € I2, p1, . . . , рг}

образуют положительный базис, причем 1711 ^ к, 1721 ^ к, |70| + |70| ^ к + 1, где 7° = (11 и 71) \ (71 П 72), 70 = (12 и 72) \ (71 П 72).

Тогда в игре Г происходит поимка.

§2. Преследование двух убегающих в нестационарной задаче простого преследования

Законы движения каждого из преследователей Pi и каждого из убегающих Ej имеют вид:

Xi(t) = a(t)ui(t), ui € V; ÿj(t) = a(t)v(t), v € V; xi,yj,ui,v € Rk (2)

При t = t0 заданы начальные условия xi(to) = x0, yj(t0) = yj, причём x0 = yj0, V — строго выпуклый компакт в Rk с гладкой границей, a : [to, то) ^ R1 — измеримая функция, ограниченная на любом компакте.

Систему уравнений (2) заменим следующей:

Zij = a(t)(ui - v), Zij = zij = x0 - y0.

Теорема 2. Пусть V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, существуют множества

J1J2 C{1,...,n}, Ii, I2 С I0 \ (Ji U J2), Ii П /2 = 0

такие, что наборы

{zil, * € Jb —c}, {zi2, * € J2, C},

{ZІl, l € J1 \ (J1 П J2^ z02, s € J2 \ (J1 П J2), Za1, а € I1, ze2, в € /2}

образуют положительный базис, причем | J11 ^ k, | J21 ^ k, Jl + |J2*| ^ k + 1, где c = y0 - y0, I0 = {1,...,n} J0 = (I1 U J1) \ (J1 П J2), J = (I2 U J2) \ ( J1 П J2).

Тогда в игре Г происходит поимка.

Список литературы

1. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

2. Банников А.С. Об одной задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 3-11.

3. Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. Вып. 4. С. 74-83.

4. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 380 с.

5. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. C. 40-51.

Поступила в редакцию 01.02.2012

M. N. Vinogradova

On the capture of two evaders in a simple pursuit—evasion problem

Sufficient conditions for the capture two evaders in a simple pursuit-evasion problem are obtained.

Keywords: differential game, phase restrictions, piece-program strategy, counterstrategy.

Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75

Виноградова Марина Николаевна, ассистент, кафедра математики и информатики, филиал Удмуртского государственного университета в городе Воткинске, 427433, Россия, г. Воткинск, ул. Расковой, 1 а. E-mail: [email protected]

Vinogradova Marina Nikolaevna, Assistant Lecturer, Department of Mathematics and Informatics, Udmurt State University Branch in Votkinsk, ul. Raskovoi, 1 a, Votkinsk, 427433, Russia