К нестационарной задаче простого преследования в классе импульсных стратегий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2015. Вып. 1 (45)

УДК 517.917 © Е. В. Котлячкова

К НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОСТОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ В КЛАССЕ ИМПУЛЬСНЫХ СТРАТЕГИЙ

Рассматривается задача простого преследования в классе импульсных стратегий преследователей. Цель преследователей — поймать убегающего, цель убегающего — помешать встрече. Для всех игроков заданы геометрические ограничения на управление — строго выпуклый компакт с гладкой границей. В основу данной работы положены основные идеи метода разрешающих функций. Формулируется аналог теоремы Б. Н. Пшеничного, позволяющий получить достаточные условия решения задачи. Рассмотрены случаи импульсного управления преследователей и отдельно случаи импульсного управления убегающего. В каждой задаче получены достаточные условия поимки убегающего. Результаты решения задачи с импульсным управлением преследователей иллюстрируются на примере в последнем пункте данной работы.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, импульсные стратегии.

Введение

Рассматривается задача простого группового преследования в классе импульсных стратегий игроков. Отметим, что импульсные управления рассматривались в монографии Н. Н. Красовского [1] и ряде других работ. Так, в работе [2] получены достаточные условия разрешимости задачи преследования в линейной дифференциальной игре двух лиц при условии, что один из участников либо оба используют импульсные стратегии. В работе [3] рассмотрена линейная задача преследования группой преследователей одного убегающего в классе импульсных стратегий. В работе [4] получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего для обобщенного стационарного примера Л. С. Понтрягина при условии, что преследователи используют импульсные стратегии.

В данной работе получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования при условии, что одна из сторон использует импульсные стратегии в нестационарной задаче простого преследования. Работа примыкает к исследованиям [5-10]. Полученные результаты являются продолжением работы [11].

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Кк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р\, Р2,..., Рп и убегающего Е. Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

Хг = а(Ь)иг, ||иг|| ^ р.

Е

у = а(Ь)ь, 11V| ^ а.

В начальный момент времени (Ь = Ь0) заданы начальные позиции преследователей хг(Ь0) = х0 и убегающего у(Ь0) = у0, причем х0 = у0. Сделаем замену ¿г = хг — у, получим систему вида

¿г = а(Ь)(щ — V), гг(Ь0 ) = г0 = х0 — у0. (1.1)

Пусть {л — последовательность вещественных чисел, не имеющая конечных точек сгущения, такая, что т0 = Ь0 < т\ < ... < тк < ....

§ 2. Групповое преследование в классе импульсных стратегий преследователя

Определение 2,1, Импульсной контрстратегией Аг преследователя Рг называется отображение Сг, ставящее в соответствие набору (т.,х1(т.),... ,хп(т.),у(т. Ь € [т,, т,+1), точку и. такую что и. Е и, где и = {и | ||и|| ^ р} , 3 = 1, 2,...,

Определение2,2, В игре Г происходит поимка, если существуют момент Т > Ь0 и контрстратегии А1, А2, Аз,..., Ап преследователей Р1, Р2,..., Рп такие, что для любой измеримой функции убегающего Е найдутся номер 5 и момент т0 € [Ь0,Т] такие, что х3(то) = у(то).

Определим множества:

= а(т, )и — ! ' а(г)Уйг,г№ т Е Н, з = 0,1,...,т,

А — В — разность множеств А и В то Минковскому.

Лемма 2.1. Пусть У — шар радиуса а с центром в начале координат, функ-

гв гв

ция а: [а, в] ^ Я1 непрерывна. Тогда В = а(Ь)У ¿Ь — шар радиуса а0 = а / |а(Ь)| ¿Ь

За 3 а

с центром в начале координат.

Доказательство. Обозначим через Вао шар ради уса а0 с центром в начале

ав

координат. Докажем, что В = Вао, Пусть d Е В. Тогда & = а(Ь)ь(Ь) ¿Ь, и поэтому

а

а в а в |&| ^ / |а(Ь)11V(Ь)| ¿Ь ^ а |а(Ь)| ¿Ь = а0. Следовательно, В С Вао, Пусть V Е Вао,

аа

V „ Гв

тогда V = — а Е V. Возьмем функцию г>(£) = г>signa(í), Получаем с1= а(£)ь(£) сИ = а а0 а

ав

= V / |а(Ь) | ¿Ь Е В. Следовательно, Вао С В, □

а

Утверждение 2,1, Множеатво = 0 для вс ех т Е Н, з = 0,1,... ,т, тогда,

г Т

и только тогда, когда |а(т,)|р ^ а |а(Ь)| ¿Ь.

Л,-1

Доказательство, Так как а(т.)и — шар радиуса |а(т,)|р с центром в начале

Г тз Г тз

координат, / a(t)Уdt — шар радиуса а I |а(Ь) | ¿Ь с центром в начале координат,

'тз-1 итз-1

5

неравенство

то множество имеет хотя бы один элемент тогда и только тогда, когда выполнено

|а(т,)|р ^ а I |а(Ь)| ¿Ь,

Лз-1

□

а

Ь) + + Ы\\2((.Нъ)\р)2 - /?)

а(г° В) =_"_—

ис\4'г11з) ||г°||2 '

з

fTj 3

i и l- = / a(t)v(t) dt. Пусть к = к (г) = min {j: j G {1,2,3,...}, a(z®,I¡) ^ 1}.

Jrj — 1 l=1 Определим разрешающие функции

a(zi, Ij )=<

k-1

1 -Yñ&Ij), J = k, j=0

0, j = k + 1,....

Лемма 2,2, Пусть для всех j справедливо

г Tj

\a(Tj)\р ^ а \a(t)\ dt Л}_1

и существует 5 > 0 такое, что для л,юбого j выполнено неравенство

min max{a(z°, Ij)} ^ ó,

Ij&Vj i

r Tj

где Vj = a(t)V dt. Тогда существует p такое, что для, всех m, m > p, справедливо

Jrj_ 1 неравенство

n m i=l j=1

Доказательство, Отметим, что справедливы следующие соотношения:

n m m n m

i=1 j = 1 j=1 i=1 j = 1 Из определения величины 5 получаем, что справедливо неравенство

mm

таIj) ^ ^^ 8 = т8. j=1 i j=1

Тогда, выбрав в качестве т ^ получим требуемое неравенство, □

j

Г Tj

\a(Tj)\р ^ & \a(t)\ dt

jTj_ 1

и существует 5 > 0 такое, что для, л,юбого j выполнено

min таx{a(z°, Ij)} ^ 8 > 0.

Iji

Тогда, существует p такое, что для любого m, m > p, существует i, для, которого справедливо неравенство

m j=1

Теорема 2,1, Пусть для всех ] справедливо

г ,

\а(т,)|Р ^ а \а(г)\ ¿г

Л}-1

и существует 8 > 0 такое, что для, л,юбого ] выполнено

гшп тах{а(г°, /,•)} ^ 8.

I еУз г

Тогда, в игре Г происходит поимка.

Доказательство, Решение системы (1.1) предетавимо в виде

^ ГР

з=о

Зададим управления преследователей, полагая иг на каждом [т, ,т,+1) как решение уравнения

г т,+1

а(т, )иг — а(г)у(Ь)йг = —а(г0,1, )г0.

(1.1)

* (тр) = % + £ а(г0,1з )г0 = *?(1 — £ )).

з=о з=о

Тогда, в силу следствия и определения функции а (г0, I,), найдется та кое р, что хотя бы

р

одна из величин 1 — ^ а(г0, I,) обратится в нуль. Таким образом, произойдет поимка. □ з=0

§ 3. Групповое преследование в классе импульсных стратегий убегающего

Определение3.1. Импульсной стратегией Т убегающ его Е называется отображение ф, ставящее в соответствие моментам т,, позициям х1(т,),..., хп (т,), у(т,) точку V, такую, что у € V, где V = {у| ||у|| ^ а} ] = 1, 2,....

Определение 3.2. Контрстратегией Аг преследована еля Рг называется отображение Ог, ставящее в соответствие моментам т,, ] = 1, 2, 3,..., позициям хг(т,), у(т,) и точке у измеримую функцию и, (г), определенную па [т,, тз-+1) и такую, что и, (г) € и для г € [т, ,т,+1).

Определение 3.3. В игре происходит поимка, если существуют момент Т > г0 и контрстратегии А1, А2, А3,..., Ап преследователей Р1, Р2,..., Рп такие, что для любой стратегии ф убегающего Е найдутся номер 5 и момент то € [г0,т] такие, что будет выполнено равенство х3 (т0) = у(т0).

Определим множества

= I 3 а(г)и¿г — а(т,где т € Н, ] = 0,1,...,т.

Л,-1

Утверждение 3,1, Множество Wm = 0 для, всех m £ N, j = 0,1,... ,m, тогда

г

и только тогда, когда / |«(t)| dtp ^ |a(rj)|а.

T.j i

Доказательство, Так как и — шар ради уса |а(т3-) |р, V — шар радиуса |а(т3-) |а, то множество имеет хотя бы один элемент, когда выполнено неравенство

r-Tj

|a(t)| dtp ^ |a(rj)|a,

Tj-i

что и требовалось доказать, □

Введем функцию а следующим образом:

о ^ _ у) + У(4»2 + 1к0112((Нт,)|р)2 -

||<г°||2

з

Пусть к = к (г) = тт{;: з £ {1, 2, 3,...}, Е ь) ^ 1}, Определим разрешающие

1=1

функции

з = 0,1,..., к- 1,

к-1

1 - Е 3 = к,

3=0

0, з = к + 1,....

a(z®,v) = <

Лемма 3,1, Пусть для всех j справедливо неравенство

г T

p |a(t)| dt ^ |a(rj)|а

Tj i

и существует 5 > 0 такое, что для, л,юбого j выполнено

minmax{o!(z°,г»)} ^ 8.

v€V i

Тогда, существует p такое, что для, всех m, m > p, справедливо неравенство

n m

J2J2a(zi,v) > n

i=l j=0 j

r Tj

/ |a(t)| dtp ^ |a(jr)|a

Jfj-i

5 > 0 j

min max{ö7(z°, г»)} ^ 8.

ij i

Тогда, в игре происходит поимка.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1,

§ 4. Пример

Рг

XXг г^Хг, 'X г (0) ХХ0 , 11 ^^г 11 ^^ Р. Е

у =гу, у(0) = y0, ||у| ^ а

После замены получим систему ¿г = г(иг — у), гг(г0) = г0. Определим множества

= т, и — [3 гvdг.

Будем считать, что т, = т]. Тогда неравенство = 0 будет выполнено, если

т 2 т 2 / 1 , — 1 1 , \ тэР ^ I-2---2~ 111 Р > т<т-

Введем функцию а следующим образом:

a(z°,/j) =

I II 2

\zi H

где I, = гу(г) ¿г. Рассмотрим множество V, = IV ¿г. Данное множество является

</Т,—1 и т, —1

компактным с гладкой границей, так как представляет собой шар радиусом т2<т-

2

с центром в начале координат. Предположим, что

0 G Int co{z0 ,z0,... }, тогд a z°, z0,... образуют положительный базис [12]. Поэтому условие 0 G Int co{z0, z0,..., z^} гарантирует выполнение условия теоремы о том, что существует 5 > 0 такое, что для любого j выполнено

min max{öi(z°, Ij)} ^ 6. (4,1)

Ij i

Докажем неравенство (4,1), Отметим, что

(z0

(z° ) + |(z0 )|

_/ О Г \ у -.„ * , , , „ , , , , ^ . , J,

шах,и) = шах---,, Пио- ^ шах-,, Пио

г г г ||^0|2 г Н^Р

х0 I.) + \(г0

Обозначим Ъ = ^ ' о 2 Представим /? в виде /? = где с Г. Тогда

|Zо У

(z0 I •) + l(z0 I-)l min таx{ä{z%,L)} > min max{ ' 3 , ,, ^ ' j)l } >

Ij £Vj ^ ^ ij&Vj i 11 z0 H2

^ mmmax --—,, nno--— \ ^ mmmax -,, nno-И,-.

vev г 11 z0 H2 vev i 11 z0 H2

(z0 V) + l(z0 V)l

Если 0 G Int co{Z° zS,..., Z°}, то SQ = min maxi M n i 0 } > 0.

v€V i 11 z0 H2

Кроме того, Yj ^ Yi Для всех j. Поэтому получаем, что

min max{ö7(Z°, L)} ^ 7^0 > 0.

Ij i

Тем самым неравенство (4,1) доказано. Следовательно, если Tj = rj для всех j, р > ат и выполнено включение 0 G Int co{z°, z0,..., zП}, то в игре произойдет поимка.

Список литературы

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

2. Чикрий А.А., Матичин И.И. Линейные дифференциальные игры с импульсным управлением игроков // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11. № 1. С. 212-224.

3. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траекториями. Киев: Наукова думка, 2005. 220 с.

4. Петров Н.Н. Задача группового преследования в классе импульсных стратегий преследователей // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 2. С. 38-44.

5. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

6. Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. Вып. 4. С. 74-83.

7. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51.

8. Банников А.С. О задаче позиционной поимки одного убегающего группой преследователей // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 3-7.

9. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. № 2. С. 234-241.

10. Виноградова М.Н. О поимке двух убегающих в задаче простого преследования с фазовыми ограничениями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 4. С. 3-8.

11. Котлячкова Е.В. Простое преследование с фазовыми ограничениями в классе импульсных стратегий // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 48-52.

12. Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 4. С. 606-617.

Поступила в редакцию 25.04.2015

Котлячкова Елена Владимировна, старший преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

E-mail: [email protected] E. V. Kotlyachkova

About non-stationary problem of simple pursuit in the class of impulse strategies

Keywords: differential game, group pursuit, impulse strategy. MSC: 49N70, 49N75

The problem of simple pursuit in the class of impulse strategies of pursuers is considered. The goal of pursuers is evader's capture, the goal of evader is to prevent the meeting. The geometrical constraints on controls of players are strictly convex compact set with a smooth boundary. The basis of this work is based on the basic ideas of the method of resolving functions. We formulate an analogue of Pshenichnyi's theorem allowing to obtain sufficient conditions for solving the problem. Cases of impulse controls of pursuers and the cases of impulse controls of evaders are considered separately. In each case the sufficient conditions for a winning strategy are obtained. The results of solving the problem with impulse controls of pursuers are illustrated on an example.

REFERENCES

1. Krasovskii N.N. Teoriya upravleniya dvizheniem (Theory of motion control), Moscow: Nauka, 1968, 476 p.

2. Chikrii A.A., Matichin I.I. Linear differential games with impulse control of players, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2005, suppl. 1, pp. S68-S81.

3. Krivonos Yu.G., Matichin I.I., Chikrii A.A. Dinamicheskie igry s razryvnymi traektoriyami (Dynamic games with discontinuous trajectories), Kiev: Naukova Dumka, 2005, 220 p.

4. Petrov N.N. A problem of group pursuit in the class of impulse strategies of pursuers, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2009, vol. 48, no. 2, pp. 199-205.

DOI: 10.1134/S106423070902004X

5. Blagodatskikh A.I., Petrov N.N. Konfliktnoe vzaimodeistvie grupp upravlyaemykh ob"ektov (Conflict interaction of groups of controlled objects), Izhevsk: Udmurt State University, 2009. 266 p.

6. Petrov N.N. To a nonstationary group pursuit problem with phase constraints, Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 8, pp. 1525-1531. DOI: 10.1134/S0005117914080153

7. Bannikov A.S., Petrov N.N. On a nonstationary problem of group pursuit, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010, vol. 271, no. 1, pp. S41-S52.

DOI: 10.1134/S0081543810070047

8. Bannikov A.S. About a problem of positional capture of one evader by group of pursuers, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2011, no. 1, pp. 3-7 (in Russian).

9. Vagin D.A., Petrov N.N. A problem of group pursuit with phase constraints, J. Appl. Math. Mech., 2002, vol. 66, no. 2, pp. 225-232. DOI: 10.1016/S0021-8928(02)00027-8

10. Vinogradova M.N. On the capture of two evaders in a simple pursuit-evasion problem with phase restrictions, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2011, no. 4, pp. 3-8 (in Russian).

11. Kotlyachkova E.V. Simple pursuit with phase constraints in a class of impulse strategies, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2012, no. 3, pp. 48-52 (in Russian).

12. Petrov N.N. On the controllability of autonomous systems, Differ. Uravn., 1968, vol. 4, no. 4, pp. 606-617 (in Russian).

Received 25.04.2015

Kotlyachkova Elena Vladimirovna, Lecturer, Department of Differential Equations, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: [email protected]