CC BY
11УДК 512.548
О ПАРАСТРОФОВ ЛИНЕЙНЕЙНЫХ КВАЗИГРУППАХ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ТОЖДЕСТВАМИ
ДАВЛАТБЕКОВ АКИМБЕК АВАЛБЕКОВИЧ
кандидат физико-математических наук, и.о заведующий кафедрой алгебры и теории чисел ТГПУ им. С. Айни, Душанбе, Республика Таджикистан
СОБИРОВА МАВЖУДА РУЗИЕВНА
кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой математика и физика Деновского предпринимательского-педагогического института, р.Денау, Республика Узбекистан
ДУСТОВ СУНАТУЛЛО РАХМАНОВИЧ
преподаватель кафедры методики начального обучения Деновского предпринимательского-педагогического института, р.Денау, Республика Узбекистан
Аннотация. В статье описаны парастрофы линейных квазигруппы с помощью дополнительных тождеств с Т-квазигруппами.
Ключевые слова: примитивная квазигруппа, парастроф, Т-квазигрупп, абелева группа, антиавтоморфизм.
Класс линейных квазигрупп представляет большой интерес для исследования ввиду их близости к группам. Линейные квазигруппы введены и исследованы В.Д.Белоусовым в работе [1]. Белоусовым доказано, что если в квазигруппе Q, •) выполняется уравновешенное тождество, то Q, •) изотопна некоторой группе.
Квазигруппа называется линейнойнад группой (Q, +), если Q, •) имеет вид
xy = рх + щ y + с
для всех х,у е Q , где Aut Q,+), c - фиксированный элемент из множества Q [1].
Частными случаями линейных квазигрупп являются достаточно известные классы квазигрупп - медальные квазигруппы и Т-квазигруппы. Квазигруппа (Q, •) называется медиальной, если в ней выполняется тождество xu • yv = xy • uv. Согласно теоремы Брака-Тойоды [2]) медиальная квазигруппа линейна над абелевой группой (Q, +), причем рщ = щр. Т-квазигруппы введены чешскими алгебраистами Т.Кепка и Р.Немец в работах [3,4]. Линейная квазигруппа (Q, •) называется Т-квазигруппой, если группа (Q, +) - абелева, ар и щ не обязаны коммутировать. В работах [5,6] введены и
подробно исследованы различные типы обобщённых (или односторонных) линейных квазигрупп.
В данной статье устанавливается связь между различными видами прастрофов линейных и парастрафов алинейных, и одно сторонних прастрофов линейных прастрофов алинейных квазигрупп, а также левых (правых) Т-квазигрупп.
Отметим, что парастрофов линейных квазигрупп можно рассматривать, как парастрофов линейные и над коммутативными лупами Муфанг [7, 8] и даже над лупами Муфанг, но мы будем рассматривать только квазигруппы, парастрофов линейные над группой.
Известно [2], что квазигруппу можно определить как алгебру Q, • ,/,\) с тремя бинарными операциями (•), (/) и (\), в которой выполняются следующие тождества:
х •(х \ y ) = y, (y/х)^ х = y,
х \ (х ■ У ) = У, (у ■ х)/х = у.
В литературе квазигруппу (2, ■ ,/,\) называют примитивной квазигруппой (см. [1]).
Квазигруппа (2, ■) называется линейной слева (справа) над группой (2, +), если она имеет вид ху = рх + с + Ру (ху = ах + с + цу), где р (соответственно а) - подстановка множества 2, ре Аи (2,+) (ще Аи (2,+)). Линейная слева и справа квазигруппа называется линейной квазигруппой [9].
С каждой квазигруппой (2, ■) связаны пять квазигруппы, которых называют парастрофами квазигруппы ((, ■) [10]. Поясним этот факт. Если обозначим квазигрупповую операцию квазигруппой (2, ■) через А, то операцию А можно ассоциировать следующими квазигруповыми операциями:
А(х, х2)= х3 А(12) (х2, х)= х3 А(13)(х3, х2)= х ^ А(23)(х1, х3 )= х2 ^ А(132)(х2, х3 )= х ^ А(123)(х3, х)= х2. Это означает, что Аа (хет1, хет2 )= хет3
А(х,х2)= х3, где ае S = {е, (12), (13), (23),(123), (132)}- группа подстановок третьего порядка. Таким образом, для квазигруппы (2, А) существуют следующие пять парастрофы:
1) А((12))= А* = А',
2) А((13)) =-1 А = 1А ,
3) А((23)) = А-1 = Аг,
4) А((123)) = х (А-1 )=1 (гА) =а А =4 (1а),
5) А((123)) = (-1 А)"1 = г(А)=р А =4 (гА). Пусть (2, ■) линейная квазигруппа вида: х ■ у = рх + с + щу, то
1) АА (х, у) = ру + с + щх ;
2) А(х, у) = р 1 х + !рх с + 1р~хщу;
3) (А1 )х, у) = 1щ 1 рх + 1щ 1с + щ 1у;
4) (_1 А)х, у) = р'1 у +1рс + (щх;
5) (А'1 (х,у) = /щ-' ру + /щ-'с + щ-'у; её парастрофы .
Аналогично, если (2, ■) алинейная квазигруппа х ■ у = р х + с + щ у, то
1) АА (х, у) = р у + с + щ х ;
2) А(х,у) = р^1 х + !рх с + 1р~хщ у;
3) (а 1 )х, у) = 1щ~1рх + 1щ~1с + у;
4) (_1 а)х, у) = р-1 у + /рх с + (щ х;
5) (А4(х,у) = /щ-' ру + /щ-'с + щ-'у; её парастрофов .
Теорема 1. Если квазигруппа (2, А 1): А_1(х, у) = 1щ1рх + /щ~хс + щ_1у над некоторой группой (2, +) и квазигруппа (2, В 1): А_1(х,у) = /щ хрх01щ~1с0щ_1у над некоторой группой (2, ®) , то она будет Т-квазигруппой.
Доказательство. Пусть квазигруппа (0, А 1) обратная слева линейная над некоторой группой (<2, +) и (0, В -1) обратная слева алинейная над некоторой группой (9, ®) , тогда для любой операции А"1 е ^ имеем:
А~1( х, у) = I у- (рх +1 ухс + у- у = I у- р х 01 у ~хс 0 у- у, где (0, +) и (0, ф) - группы р е Ам(9,+), у 1 - обратной автоморфизм группы (0, +) , р, у - антиавтоморфизмы группы (0, ф). Тогда
А_1(х, у) = I у- рх + ау = I у х ф ( у, (1)
где а = Iу1 с + у"1 у, ( = Iу ~хс0 у"1 у, а, (-подстановки множества 0. Следовательно группы (0, +) и (0, ф) главно изотопны, поэтому по теореме Алберта изоморфны. Более того, из доказательства этой теоремы следует, что существует такой элемент к е 0, такой, что
Яс (х 0 у) = Ясх + Ясу , (2)
где Ясх = х + с. Из (2) следует, что
Я у-с(7 у - Рх + а у) = ЯI у-/р х + Я У -с у~1У'
или
у1 рх + ау = ухр х + у1с + (у, (3)
Положим в (3) у = 0, где 0-единичый элементы группы (0, +) получим: У1 рх + а0 = у1рх + у1 с + (0 или у1 рх = ух рх + q = ЯдУхрх, где д = а0-(0 -1 у- с
Подстановка Я ^Iу-рЯ-1-1сявляется автоморфизмом квазигруппы (0, +) ,
г-1
действительно,
RIy-y1 У7- <pR-U(х + у) = RIW,JУ- у^хфК-сУ)= R(iУ- уК-уУ ФIУ- УК-Ух)=rIw-ijУ- У К-сУ+1У-1У К-сх
Учитывая, что R IУ- У R-1-^ = IУ- у^-^-у, получим:
ri у-.С v У-1 у R-k(х+у)=rI У-.С rIi у-1 у R>c у+rI у-У rj У-1 УК-Ух ,
VcV У " yRI_i1-'c (x + •У)= RI y-yRJ У - УК-сУ + RIy-yRJ УК-УХ , y^1 у (х + j -1y_1c)+ q +1y~lc = y^1 у (y -1y_1c)+ q +1y~lc +1y- у(х -1y_1c)+ q +1y~lc y- у (х + y -1y_1c)=y^1 у (y -1y_1c)+ q +1y~lc +1y- у(х -1y _1c), y^1 ух + y^1 уу - y^1 у1 y_1c = уу - y^1 у1 y_1c + q +1y~lc +1y-1 ух -1y-1 у1 y_1c,
y^1 ух + уу = y^1 уу - у1 y_1c + q +1y~lc +1y-1 ух, Положим в последнем равенстве х = у = 0 получим, 0 = -y_1 у1 y_1c + q +1y~lc, следовательно, y~l ух + у_1уу = у_1уу + Iy l ух или х+у = у + х, то есть, (<2, +) абелева группа.
Следствие 1. Если квазигруппа (б, : 1 ^(х, у) = у-1 х + 1у- с + 1у-yу над некоторой группой (Q, +) и квазигруппа (Q, 1В): 1 В(х, у) = у-1 х + 1у-с + 1у-y у над некоторой группой (Q, ф) , то она будет Т-квазигруппой. Доказательство следствие 1 как доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Для Т-квазигруппы (q, А 1) следующие условия эквивалентны:
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
1) квазигруппа (q, А"имеет вид:
A" 1 (х, у) = V1 px + V1c + v 1 y, где V"2 p=s , V~2 = IV p , IV1c = V~2c.
2) в (q, А" 1) выполняется тождество полусимметричности:
x■(У ■ х) = У. Доказательство. 1) ^ 2) . Действительно
x ■ (у ■ х) = V1 px + V1 С + V 1 (v 1 ру + V1 С + V 1)=
= V 1 px + V 1 c +V 2 ру + V 2c + V2x = у. (4)
Пусть x = y = 0, тогда c = 0, V 10 = 10 = 0, где 0 - нулевой элемент группы (Q, +) . Тогда из равенств (4) получим:
V^px+V"2 ру + v2x = у, (5)
Положим в последнем равенстве x = 0. Тогда V"2 ру = у или V"2 p=s . Из равенства (5) при у = 0 следует, что V1 px + у~2x = s или V"2 = Vlp . Учитывая полученные равенства, имеем
V1 px+V 2 pу + V2x = V"2 pу или V px+V 2 pу = V 2x+Iy~2 PУ. Заменяя x на p"VI, у на p~ly21, получим x + y = y+x, то есть группа (Q, +) - абелева, следовательно, (q, А 1) - T-квазигруппа, причем V"2 p= s , V 2 = V 1 p , V 1 c = V 2c. Следствие 2. Для Т-квазигруппы (q, " 1 а) следующие условия эквивалентны:
1) квазигруппа (q, 1 а) имеет вид:
"х A(x,y) = p 1 x + Ip1 с + Ip~Vy, где Ip~Vp~1 = s, Ip~l = Ip~lvp lV, Ip_1 c = p Vp_1 с .
2) в (q, А" 1) выполняется тождество полусимметричности:
x^у ■ х) = у .
Доказательство следствие 2 как доказательство теоремы 2.
Нетрудно показать, что дистрибутивная квазигруппа квазигруппа (q, 1 а) является медиальной.
Действительно, предположим, что квазигруппа (q, " 1 а) вида: 4 A(x, y) = p" 1 x+Ip~x с+Ip~V У в ней выполняется, например тождество правой дистрибутивности:
(y ■ z )■ x = (y ■ x)^(z ■ x) Переходим в последнем равенстве к групповой операции (+) :
p 1 (p 1У + Ip 1 с + Ip~ V z)+ Ip 1 с + Ip~ V x =p 1 (y ■ x)+Ip~ 1 с + Ip~ V(z ■ x), p"2 y + Ip2 с + Ip~2Vz + Ip~ 1 с + Ip~ V x = = p" 1 (p" 1 y + Ip" 1 с + Ip~ V x)+ Ip 1 с + Ip" V(p 1 z + Ip 1 с + Ip" V), p"2 y + Ip2 с + Ip~2yz + Ipx с + Ip~ly x =
o o o 1 111111
= p y + Ip" с + Ip" v x + Ip" с + Ip" yp z + p" yp~ с + p" yp~ vx . После сокращения имеем:
Ip 2Vz + Ip~ 1 с + Ip" Vx = Ip 2Vx + Ip 1 с + Ip" Vp 1 z + p Xwp 1 с + p Xwp Vх. При y = z = x = 0, Ip x с = 0, Ip"2 с = 0, откуда с = 0. Тогда последнее равенство имеет вид :
Ip2y z + Ip~V x = Ip2V x + Ip~Vpl z + p~VpV х.
Если x = 0, то Ip= Ip~xyp~1 z, то есть, Ip"V= Ip~ xyp~1, При z = 0: Ip"Vx = 1р2щx + p"Vp Vх. Заменяя x на IVp, z на v lp2, получим x + z = z + x, то есть группа (Q, +) - абелева,. Таким образом, Q, _1л) - медиальная дистрибутивная квазигруппа.
Следствие 3. Пусть Q, _1л) - квазигруппа вида: 1 A(x, y) = p" 1 x +Ip"VУ +Ip 1 с Тогда <p= Ле(0) Ip " V = Lf (0) I< , Ipс • Ip-1 с = 0 где 0 • е(0) = 0, / (0) • 0 = 0, Ra х = х ■ a, Lх = a ■ х для всех a ■ х e Q.
Доказательство. Положим в равенстве 1 A(x, y) = p~1 x + Iq>~ V y + Iq>~1 с, j = Iv<P 1 (< 1 с), х ■ I<v 1 (< 1 с)=< Хх + V1 << 1v(< 1 с)+Ip 1 с = p" 1х, то есть < с)= , тогда RIppс) = Re(0). Из A(x,y) = px + Ip~Vy + <с при
х = p (p"1 с), p" >(p"1 с)+ Ip"VУ + <1 с = Ip~VУ получим. Тогда Lpi pс) = Lf w.
Учитывая, что p"1 p(p"1 с)- 0 =p"1 p(p"1 с)+ Ip"1 + Ip" хс = 0 заключаем, что ppp"1 с)=/ (0) , то есть p_1 = L/(0).
Из 1 A(x, y ) = p 1 x + Ip" V У + Ip 1 с при х = у = 0 получим:
1 A(0,0) = p~10 + Ip^1 v0 + Ip"1 с, то есть Ip"1 с = 0■ 0 . Следствие доказана.
Следствие 4. Пусть (q, _1л) - квазигруппа вида: А х(х,у) = IV px + v V+IVе ■ Тогда V_1 p = Re(0), = Lf(0) V 1е , IV1 с ■ IV1 с = 0, где 0 ■ е(0) = 0, /(0) ■ 0 = 0, Rах = х ■ a, Lх = a ■ х для всех a ■ х e Q.
Доказательство следствие 4 аналогично, как доказательство следствие 3. Аналогично, можно доказать для парастрофов алинейные квазигруппы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппа. - мат. Сборник 1966, 70(112); 1, 3 с.55-97.
2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М. Наука, 1967 г.
3. Kepka T. and Nemec P. T-quasigroups.I. Acta univ.Carolin. Math.Phys., 1971, v.12, №1, р.31-39.
4. Kepka T. and Nemec P. T-quasigroups. II. Acta univ.Carolin. Math. Phys., 1971, v.12, №2, р.39-49.
5. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Характеристика линейных и алинейных квазигрупп.
6. Дискретная математика, РАН, 1992, том 4 вып. 2, с.142-147.
7. Табаров А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп.
8. Дискретная математика, РАН, 2007,том 19. вып. 2, с.67-73.
9. Scerbacov V.A. On linear and inverse quasigroups and their applications in code theory. Thesis a Doctor's Degree, Chisinau, 2006.
10. Nemec P. Arifmetical forms of quasigroups. Comment. Math. Univ. Carolin., 1988, vol.29, no.2, p.295-302.
11. Табаров А.Х., Давлатбеков А.А. Линейные А-квазигруппы. Доклады АН РТ, 2017, том 60, №10, с.475-481.
Замечание. Аналогичным образом можно представить любой гомоморфизм алинейных квазигрупп и их парастроф.
ЛИТЕРАТУРА
1.Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп \ Москва.: Наука 1967. 223 с.
2. Бегларян В.А. К теории гомоморфизмов в квазигрупах \ диссертация - Ереван 1981. 85.С.
3. Давлатбеков А.А. Автоморфизмы, эндоморфизмы и конгруэнции обобщенных линейных квазигрупп \ диссертация -душанбе 2019. 87.С.
4. Табаров, А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп \\ Дискретная математика, РАН. -2007.- Т. 19. № 2. - С.67-73.
5. Дудрик, Н.Н. Автотопии CI-квазигрупп (скрещенно-Обратимых квазигрупп). Вестник Приднестровского университета. Серия естественных наук. - 2014.- №3. - С. 67 - 72.
6. Об автотопиях, антиавтотопиях линейных (алинейных) квазигрупп и их парастрофов\\ Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук.- 2022. №2. -С. 153 - 162.
7. Головко И.А. Эндотопии в квазигруппах // Резюме докладов 1Всесоюзного симпозиума по теории квазигрупп и ее приложениям. Сухуми, 1968, C. 14-15.
8. Щукин К.К. Действие группы на квазигруппе. Кишинев, КГУ, 1985, 91 с.
