CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 512.548
Член-корреспендент АН Республики Таджикистан А.Хабибулло, А.А.Давлатбеков
ЛИНЕЙНЫЕ А-КВАЗИГРУППЫ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
В статье найдены соотношения, определяющие класс линейных А- квазигрупп, также выявлена связь линейных квазигрупп с А-квазигруппами.
Ключевые слова: линейная квазигруппа, А-квазигруппа, трансляция, примитивная квазигруппа, внутренняя подстановка.
Известно [1], что квазигруппу можно определить как алгебру (Q, • ,/,\) с тремя бинарными операциями (•) , ( / ) и ( \ ), в которой выполняются следующие тождества:
x•(x\y ) = y, (y /x)^x = y, (1)
x\(x^ y ) = y, (y • x) / x = y. (2)
В литературе квазигруппу (Q, • ,/,\) называют примитивной квазигруппой (см. [l]).
Определение 1. Квазигруппа (Q, • ) называется линейной над группой (Q, +), если она имеет вид xy = px + c + y, где р, ^ e Aut (Q, +), c - фиксированный элемент из множества Q [2].
Линейные квазигруппы впервые введены и исследованы В.Д.Белоусовым в связи с изучением уравновешенных тождеств в работе [2]. Далее Г.Б.Белявская и А.Х.Табаров в работах [3,4] изучали различные обобщения линейных квазигрупп, а именно: полулинейные, алинейные, смешанные типы линейности квазигрупп.
Автоморфизм р группы (Q, +) называется внутренним автоморфизмом относительно элемента а e Q , если ра (х) = а + х — а . Все внутренние автоморфизмы группы (Q, +) образуют группу относительно операции умножения автоморфизмов, которая обозначается через Int (Q, +). Очевидно, Int (Q, +)< АШ (Q, +), где Äut(Q, +) - группа автоморфизмов группы (Q, +) . Если группа (Q, +) - коммутативная, то Int (Q, +)= АШ (Q, +) .
Определение 2. Подстановка а множества Q называется внутренней подстановкой относительно элемента h e Q, если а(h) = h .
Адрес для корреспонденции: Хабибулло Абдулло, Давлатбеков Акимбек Авалбекович. 735360, Республика Таджикистан, г.Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: tabarov2010@mail.com
Очевидно, что все внутренние подстановки квазигруппы ^, •) образуют группу, которую обозначим через 1И (^, •).
Определение 3. Квазигруппа ^, •) называется А-квазигруппой, если 1Ь ^, •)<Ли(Q, •), то есть все внутренние подстановки являются автоморфизмами •).
В [5] доказано, что группа 1п (^, •) порождается следующими подстановками Rx у, Lx у и Т где Яху = R:1yRyRx, = Ь-х\уЬхЬу, Тх = Ц}ХЯХ, х^ = Ь-Ц (Нх ■ у), х оу = К—1 (х ■ уН), 5 = Як, Яах = ха, Ьау = ау, то есть
1н(Q, •)= <К.у, Ьх,у, Тх>. (3)
Имеет место следующая:
Теорема 1. Квазигруппа (^, •) является А-квазигруппой, если в примитивной квазигруппе
• ,/,\) выполняются следующие соотношения:
(((^)х)у)/(Н\(Их• у)) = [(г,х• у)/(Н\(Их• у))]• [(¿2х• у)/(Н\(Их• у))] , (4)
((х • уН ) / Н ) \ (х ( у (г! ¿2))) = ( ((х • уН) / Н) \ (х • к ))•((( х • уН ) / Н ) \ (х • yz2)), (5)
(Нх / Н) \ ((¿2) х) = ((Нх / Н) \ (г1х)) • ((Нх / Н) \ (¿2х)). (6)
Доказательство. По определению 1И (Q, • ) = (Rxy , Ьху, Тх ) < Ли (^, •). Другими словами
ЯХу (^ )= ЯХу (¿1 )• ЯХу (¿2 ) , (7)
Ьху ( ¿1^2 )= Ьх у у ( ¿1 )• Ьх у у ( ¿2 ) , (8)
Тх (^2 )= Тх (¿1 )• Тх (¿2 ) , (9)
где —произвольные элементы квазигруппы (Q, •) . Поэтапно, раскрывая равенства (7), (8) и
(9), получим:
Кх,у ( ^2 )= Rxgy RyRx ( ¿1^2 )= К-^у ((( ^2 ) Х ) у ) = (((^2 ) Х ) у ) / (х»> ) =
= (((^)х) у)/ Ь—1 (Нх • у) = (((^)х) у)/ (Н \ (Нх • у)).
Кх,у (¿1 )• Кх,у (¿2) = К^уК(¿1 )• •К^) = (гх-у)- к;(¿2х• у) =
= (( • у) / (х^у ))• ((• у) / ( )) = (( ¿1х • у )/ ЬН 1 (Нх • у )) • (( ¿2х • у)/ ЬН 1 (Их • у )) =
= [(• у) / (h \ (hx • у))] • [(X • у) / (h \ (hx • у))] .
Из равенства (8) имеем:
4,у ( 7172 ) = 4оу К Ку ( 7172 ) = 4оу (Х (У (7172 ))) =(Х О У ) \ (Х (У (7172 ))) = = Щ 1 (X • ук) \ (X (у (7^2 ))) =((X • ук) / И) \ (X (у (7^2 ))) .
4,у ()• 4,у (72 )= КОЛК () •уКА (72 )= 4Оу (X • ^ )■ (X ■ у72 ) =
= (( X о у) \ (X • ъ )) • ((X о у) \ (X • у72 )) = (Щ 1 ( X • ук) \ ( X • уг, ))• (Щ 1 ( X • ук) \ (X • у72)) =
= ((( X • ук) / И) \ (X • у^ ))•((( X • ук) / И) \ (X • у72 ))•
Аналогично из равенства (9) получим:
Тx (7172 ) = Щ (7172 ) = ^ (7172 ) X = ^X \ ((7172 ) X) = Щ ^ \ ((7172 ) X) =
= к; (к*) \ (( 7172 ) X) = , / к) \ (( 7172 ) X) .
Тx (71 )• 4 (72 ) = 4х Щ (71 )• 4^ Щ (72 ) = (^ • (72^ = ^ \ (^) \ (72X) =
= ЩXX \ (ZlX) • RA14x \ (7^)= Щ1 (Иx) \ (ZlX) • •1 (^) \ (72X) =
= ((Ы / и) \ (7^)) • ((^ / и) \ (72X)) .
В.А.Щербаковым (см.[6]) найдена другая система порождающих для группы 1п (0, •), а
именно: 1п (0, 0=<4,у , 4,у , рх,у > , где 4,у = LXОyLxLy , 4, у = К1уЩКу , 4,у = К1уЩКу ,
X оу = К,Г1 (X • уИ), X * у = Щ1 (уИ • X), X • у = Щ1 (X / уИ).
Исходя из этого, теорему 1 можно интерпретировать в следующием виде:
Теорема 2. Квазигруппа (0, •) является А-квазигруппой, если в примитивной квазигруппе
(0, • ,/,\) выполняются следующие соотношения:
[(гX • у) / (И \ (hx • у ))] • [(72X • у) / (И \ (Ик • у))] = (((7172 )X)у ) / (И \ (hx • у)) , (10)
((уИ • х) / И) \ (у (7172) X) = ((уИ • X) / И) \ (у71 • X) • ((уИ •х) / И) \ (уг2 • X) , (11)
((X / ук) / И) \ (X / у (77 )) = (((X / уИ) / И) \ (X / у71)) • (((X / уИ) / И) \ (X / у72)) . (12) Связь А-квазигрупп и линейных квазигрупп определяет следующая:
Теорема 3. Пусть линейная квазигруппа ^, • ) является А-квазигруппой относительно элемента Н, где Н = 0 - ноль группы (^, +). Тогда (^, •) имеет вид ху = рх + уу, ру = ур.
Доказательство. Пусть линейная квазигруппа (£, •) является А-квазигруппой. Очевидно,
что
Яух = %рх, Ьху = , К\х =р- 1Кух, Ь 'ху = у 1 Ь/у,
где трансляции группы ^, +).
По определению Кх у , Ьх у, Тх е Ли (^, •) . Тогда
Кх,у ( гlг2 )= К. у ( ¿1 )• ^ у ( г2).
Раскрывая левые и правые части последного равенства, получим:
(¿1 ¿2) = К?у КуК (гlг2) = р 1К—у^ ) =
= 1—у( Х. у) Щу/(/2 ¿1 + PWг2 + Ух) = 1К—Х. у) (р3 ¿1 + /"УЧ + РУХ + У у) =
= р—1 (р3 ¿1 + р2уг2 + рух + уу — у (х • у)) = = р~1 (р3+ р1уг2 + рух + уу — уЬЬ^ (Их • у)) = = р—1 (р3¿1 + р2уг2 + рух + уу — уу~ рН (р2Н + рух + уу)) = = р~1 (р3 + р2уг2 + рух + уу — (—рН + р2Н + рух + уу)) = = р—1 (р3+ р2уг2 + рух + уу — у у — рух — р2И + рН) = = р2 + руг2 + ух + р~ :уу — р ~1уу — ух — рН + И. К,у (¿1 )• Кх,у (¿2 ) = рКх,у (¿1) + уКх,у () = рКх^у ^^ (¿1) у ^^ () :
= рр~ ^ х.у) ^ур^А ¿1) + ур ^ х.у) ^р^А ¿2 ) =
= Кух.у) (р2¿1 + рух + уу) +ур~1Кух.у) (р2¿2 + рух + уу) =
= (р2 ¿1 + рух + уу — у( х • у ))+ ур—1 (р2 ¿2 + рух + уу — у( х • у )) = = (р2 + рух + у у — уЬН (Их • у)) + ур~1 (р2 + рух + уу — уЩ (Их • у)) = = (р2 ¿1 + рух + уу — уу—1Ь—И (р2Н + рух + уу)) +
+yp~1 (p2z2 + pyx + yy - yy' 1%фк (p2h + (pyx + yy)) =
= (p2Zj + pyx + yy - yy - pyx - p2h + ph) +
+yp-1 (p2 z2 + pyx + yy - yy - pyx- p2h + ph ) = p2 zj + pyx + yy - yy -
-pyx -p2h + ph + ypz2 + y2 x + yp~ lyy - yp~ lyy - y2 x - yph + yh. Из полученных равенств имеем:
p2zj + pyz2 + yx + p~lyy - p~:yy - yx - ph + h = p2zj + pyx + yy - yy -
-pyx -p2h + ph + ypz2 + y2x + yp~lyy - yp~lyy - y2x - yph + yh.
Пусть h = 0, где 0 - ноль группы (Q, +). Тогда
2 -j -j 2 p zj +pyz2 + yx + p yy-p yy-yx =p zj +pyx + yy-yy- pyx +
2 -1 -1 2 +ypz2 + y x + yp yy - yp yy - y x .
Положим в последнем равенстве x = 0:
2 —j —j 2 -1 -1 p Zj +pyz2 +p yy-p yy =p Zj + yy-yy + ypz2 + yp yy-yp yy.
Аналогично, при y = 0, имеем:
2 2 p zj +pyz2 = p zj + ypz2, pyz2 = ypz2, то есть
<py=yp, Vz e(Q, •) .
Аналогичным образом раскрывая Lx (z:z2) = Lxy (Zj )• Lxy (z2), получим, что py = yp. Из соотношения Тх (zxz2) = Tx (zx )• Tx (z2) имеем:
T (ZjZ2 ) = L- Rx (Z:Z2 ) = y Ryfxp(ZjZ2 ) = y 1L%x (p2zj + pyZ2 + y) =
= y-j (-pSx + p2zj + pyz2 + yx) = y-j (-pRh lLhx + p2zj + pyz2 + yx) =
= y~1 (-p p~ lR\hL/°hyx+p2 zj+pyz2+yx) = y~1 (-R%L/hyx+p2 zj + pyz2 + yx) =
= y~1 (yh - yx - ph + p2 zj + pyz2 + yx) = h-x- y ~lph + y ~Ap2 zx + y ~lpyz2 + x . Tx (z ) • Tx (Z2 ) = pTx (Zj) + yTx (z2 ) = pL-x Rx (Zj)+ yL-x Rx (Z2) = = py lL/°p,xRyxp( Zj ) +yy lLc'p— R/yxp( Z2 )= pylL/0p-x (pZj +yx) +L/p-x (pZ2 +yx) =
= py 1 (-px + (pzx + yx) + (-px + (pz2 + yx) = py 1 (-p p XR_ lwh%hyx + (pzx + yx) +
+ (-p p ~lR%-yhL%hyx + pz2 + yx) = py1 (yh -yx -ph + pz^ + yx) + yh - yx - ph + pz2 + yx =
= ph -px- py~lph + py_1pzj + px + yh - yx - ph + pz2 + yx. Из полученных равенств имеем:
h-x-y~lph + y~lp2zx + y-1pyz2 + x = ph -px-py~lph + py lpzx +px +
+ yh-yx-ph + pz2 + yx.
Пусть h = 0, где 0 - ноль группы (^, +). Тогда
-1 2 -1 -1 x + y p z1 + y pyz2 + x =-px + py pz1 +px —yx + pz2 +yx.
Положим в последнем равенстве x = 0:
y~lp2z1 + y~lpyz2 = py~1pz1 + pz2.
Аналогично, если z1 = 0 , то имеем:
-i -i y pyz2 = pz2, y py = p, py = yp.
Теорема доказана.
Поступило 01.08.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970, 392 с.
2. Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. - Мат. сборник, 1966, 70 (112):1, с. 5597.
3. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Характеристика линейных и алинейных квазигрупп. - Дискретная математика, РАН, 1992, т.4, вып.2, с.142-147.
4. Табаров А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. - Дискретная математика, РАН, 2007, т. 19, вып.2, с.63-73. (Translation in Discrete Math.Appl.17(2007), №3, pp. 253-260).
5. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. - М.: Наука, 1967.
6. Shcherbacov V. Elemеnts of Quasigroup Theory and Applications. - Moldova, 2017.
А.Дабибулло, А.А.Давлатбеков
А-КВАЗИГУРУДДОИ ХАТТЙ
Донишгохи Давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар макола синфи А-квазигурухдои хаттй тавсиф дода шудаанд, инчунин алокаи квазигурухдои хаттй бо А-квазигурухдо ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: квазигурууои хаттй, А-квазигуру%%о, трансилятсия, квазигуруууои примитивы, гузоришуои дохилй.
A.Khabibullo, A.A.Davlatbekov LINEAR A-QUASIGROUPS
A.Rudaki Kulob State University
In the article the ability to define class ratio linear A-quasigroups were found also the relationship linear quasigroups with A-quasigroups is revealed.
Key words: linear quasigroups, linear А-quasigroups, translations, primitive quasigroup, inward productions.
