CC BY
38
О ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКАХ КОПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
CONCERNING PARABOLIC POLYHEDRONS OF C0PSEUD0EUCL1DEAN SPACE
Л.Н. Ромакина L.N. Romakina
Копсевдоевклидово пространство К**, многореберник, многогранник в К**, параболический многогранник в К.'’, параболическое ребро, изотропно параболическое ребро параболического многогранника в йЛ Введено понятие многореберника плоскости с проективной метрикой Кэли - Клейна, обобщающее понятия многоугольника и п-контура, на основе которого дано определение конечного многогранника в копсевдоевклидо-вом пространстве К**. Исследованы многогранники пространства Н.все ребра которых принадлежат параболическим прямым, такие многогранники названы параболическими.
Copseudoeuclidean space of polyhedron in R.". parabolic polyhedron in parabolic edge, isotropic parabolic edge of a parabolic polyhedron inR*
The article presents the concept of a of the plane with Cayley-Klein's projective metrics, generalizing the concepts of a polygon and a n-contour on the basis of which the definition of a finite polyhedron in copseudoeuclidean space of /d. l is given. The polyhedrons of space of R** are examined; all their edges belong to parabolic straight lines. Such polyhedrons are called parabolic.
1 Копсевдоевклидово пространство Л** ■ рассматриваем как проективное пространство Р3 с фиксированным в нем действительным конусом АТ, называемым абсолютом пространства Пространство ^3* соответствует по принципу двойственности псевдоевклидову пространству Д и состоит из двух связных компонент, внутренней и внешней относительно конуса К областей, инвариантных относительно фундаментальной группы О преобразований пространства Кхъ*.
Положение по отношению к абсолюту определяет в пространстве четыре инвариантных относительно С типа плоскостей и четыре инвариантных относительно Gтипa прямых.
Плоскости, имеющие с конусом общую овальную линию, являются расширенными гиперболическими; касательные к конусу плоскости - флаговыми; плоскости, пересекающие конус К по двум его вещественным (мнимо сопряженным) образующим, являются копсевдоевклидовыми (коевкли-довыми). Только расширенные гиперболические плоскости пространства не содержат в абсолюте вершину конуса К.
Каждая прямая копсевдоевклидова простран-
ства пересекает абсолютный конус в двух точках, действительных различных, мнимо сопряженных, или действительных совпавших, т. е. является гиперболической, эллиптической или соответственно параболической прямой. В каждом преобразовании группы О инвариантно гиперболическое (эллиптическое) расстояние между точками гиперболической (эллиптической) прямой. В зависимости от принадлежности вершины абсолютного конуса параболические прямые пространства представляют два инвариантных относительно группы С типа прямых. Для пар точек на прямых, проходящих через вершину конуса, существует инвариант относительно подгруппы группы О, называемой группой движений пространства Покажем, что параболические прямые, не содержащие вершину конуса, являются в пространстве,?? 3* изотропными.
Предположим, что относительно некоторой подгруппы группы О, состоящей из автоморфизмов абсолюта пространства существует инвариант двух точек параболических прямых, не проходящих через вершину абсолютного конуса. Тогда данная метрика индуцирует метрику на параболических прямых в каждой расширенной гипер-
болической плоскости, а следовательно, и метрику в пучках параллельных прямых плоскостей Лобачевского, содержащихся в расширенных гиперболических плоскостях. Действительно, если существует инвариант двух точек А и В параболической прямой с несобственной точкой К относительно группы автоморфизмов абсолютной овальной линии у расширенной гиперболической плоскости, то на плоскости Лобачевского, реализуемой внутри линии у, существует инвариант двух параллельных прямых А'К и В'К, поляр относительно абсолюта точек А и В соответственно. Но на плоскости Лобачевского не существует инварианта двух параллельных прямых.
Таким образом, в пространстве й,5* касательные к абсолютному конусу прямые являются изотропными.
2. В классических пространствах постоянной кривизны определение понятия многогранника опирается на понятие многоугольника. Под многоугольником в указанных пространствах понимаем плоскую замкнутую ломаную, которая разделяет содержащую ее плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю относительно ломаной. Причем многоугольником называем либо только ломаную, либо ломаную с внутренней относительно нее частью плоскости. При переносе данного понятия в различные неевклидовы геометрии возникают некоторые особенности. Рассмотрим их.
В первую очередь обратимся к термину «многоугольник», к его геометрическому смыслу. Каждое из классических пространств постоянной кривизны, евклидово, эллиптическое и Лобачевского, содержит плоскости одного типа: евклидовы, эллиптические и соответственно Лобачевского. Все автоморфизмы абсолютов указанных плоскостей имеют инвариант двух прямых, т. е. все углы между прямыми измеримы и мера угла сохраняется в любом линейном преобразовании плоскости. Поэтому в соответствующих геометриях для совокупностей п точек и п отрезков, циклически соединяющих эти точки, используем термин «/7-угольник», подчеркивая тем самым, что мера каждого угла является инвариантом содержащей его фигуры во всех линейных преобразованиях плоскости. Как известно, для совокупностей п точек и попарно соединяющих их прямых плоскости проективной, группа преобразований которой не имеет инвари-
антов ни пары точек, ни пары прямых, используем термин ««-вершинник». Этот же термин логичнее использовать и в геометрии флаговой плоскости, фундаментальная группа которой не имеет инвариантов ни пары точек, ни пары прямых.
В геометриях коевклидовой и копсевдоевкли-довой используем термин «/7-сторонник». Это обусловлено следующим. Во-первых, меры углов между непараболическими прямыми коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей являются инвариантами лишь групп движений, являющихся подгруппами фундаментальных групп, а углы между прямыми различных типов неизмеримы (формальное применение формул для вычисления меры угла между непараболическими прямыми дает бесконечно большое значение). Все параболические прямые этих плоскостей параллельны, каждые две параболические прямые имеют бесконечно удаленную общую точку, т. е не образуют угол. Во-вторых, измеримы стороны фигур и меры сторон непараболических(параболических) прямых инвариантны во всех линейных преобразованиях (во всех движениях) плоскости.
Области расширенных гиперболических плоскостей пространства Ж®', внутренние относительно абсолютного конуса, являются полными плоскостями Лобачевского, для которых термины «п-сторонник» и «л-угольник» равноправны. Внешние относительно абсолютного конуса области этих плоскостей являются гиперболическими плоскостями положительной кривизны. На гиперболической плоскости Н положительной кривизны, гомеоморфной листу Мебиуса без границ, в силу наличия трех типов прямых и отсутствия относительно фундаментальной группы преобразований данной плоскости инвариантов двух точек параболических прямых и двух прямых, хотя бы одна из которых параболическая, ни один из упомянутых терминов согласно сложившейся логике не может быть использован для обозначения упорядоченных совокупностей точек, в которых, по крайней мере, одна пара соседних точек принадлежит параболической прямой. Для обозначения некоторых типов таких совокупностей введен термин «/7-контур».
Итак, термин «многоугольник» для обозначения плоской замкнутой ломаной оказывается применимым не во всех неевклидовых геометриях.
Более существенная особенность связана со следующим фактом.
В неевклидовых геометриях существуют простые непрерывные конечные замкнутые линии, в частности простые конечные замкнутые ломаные, не разбивающие содержащую их плоскость на части. В качестве примеров можно привести эллиптическую прямую плоскости Ни исследованные в работах простые конечные замкнутые «-контуры нечетной размерности этой плоскости.
Учитывая отмеченные особенности, в первом разделе работы введем понятие «многоребер-ник» в плоскостях с проективной метрикой Кэли -Клейна, на основе которого во втором разделе определим многогранник пространства Л 3.
В разделе 3 исследуем свойства многогранников пространства ^3, все ребра которых принадлежат параболическим прямым.
Определение плоского многореберника
Пусть П - некоторая плоскость с проективной метрикой Кэли - Клейна, абсолютом которой является образ второго порядка (класса). Все прямые плоскости П по наличию несобственных точек могут быть отнесены не более чем к трем типам, т. е. могут быть гиперболическими, эллиптическими или параболическими прямыми. Каждые две точки плоскости П на содержащей их прямой могут определять различные объекты: отрезки, квазиотрезки и лучи.
Замкнутой ломаной А, Ал ... А плоскости П назовем упорядоченную совокупность п точек
А, А. А плоскости П и упорядоченную совокупность п объектов (отрезков, квазиотрезков и (или) лучей) А Л.. А,АЪ АпА , циклически соединяющих эти точки.
Точки Ар А„.„, А назовем вершинами, а объекты/1/1/1 у!...А А, - звеньями ломаной.
1 2? Т 3’ П 1
Звенья замкнутой ломаной назовем смежными (несмежными), если они содержат (не содержат) общую вершину ломаной.
Общую точку несмежных звеньев замкнутой ломаной назовем особой точкой ломаной.
Замкнутую ломаную назовем простой, если она не имеет особых точек. В противном случае ломаную назовем составной, или самопересекаю-щейся.
Вершину замкнутой ломаной назовем истинной, если сходящиеся в ней звенья не лежат на одной прямой.
Если все звенья замкнутой ломаной являются отрезками, ломаную назовем конечной.
На рис. 1а представлены простые замкнутые ломаные копсевдоевклидовой плоскости с абсолютными прямыми 1у /,. Ломаные а и /? являются конечными, ломаная ё содержит квазиотрезки АВ и АС, следовательно, конечной не является. На рис. 16 представлены простые замкнутые ломаные расширенной гиперболической плоскости с абсолютной овальной линией у. Замкнутые ломаные X, К1М и Т3 ... Т6 являются конечными (на рисунке изображена часть отрезка КМ параболической прямой). Ломаные /г и V конечными не являются, так как ломаная ц содержит квазиотрезки АВ и АС, а ломаная V - лучи ЕВ и £Ж
Рис. 1. Замкнутые ломаные копсевдоевклидовой (а) и расширенной гиперболической (б) плоскостей
Каждая конечная ломаная плоскости П целиком принадлежит некоторой (возможно, единственной) компоненте этой плоскости.
Будем говорить, что простая конечная замкнутая ломаная а разбивает (не разбивает) содержащую ее компоненту П плоскости П на части, если дополнение ломаной о до П0 является несвязным (связным) множеством.
Компонента плоскости П как проективной плоскости с выделенным абсолютом может быть разбита содержащейся в ней простой конечной замкнутой ломаной не более чем на две связные части.
Простую конечную замкнутую ломаную плоскости П назовем плоским я-реберником (или плоским многореберником), если она разбивает содержащую ее компоненту плоскости П на части и все ее вершины являются истинными.
При выполнении указанных двух условий вершины ломаной будем называть вершинами, а звенья - ребрами плоского /?-реберника.
Предположим, что плоский п-реберник принадлежит некоторой (возможно, единственной) компоненте П0 плоскости П. Ту из частей, полученных при разбиении п-реберником компоненты П0, которая при расширении плоскости П ее абсолютом не содержит вещественных точек абсолюта, назовем внутренностью п-реберника. Дополнение внутренности п-реберника до содержащей его плоскости П без точек самого п-реберника назовем внешностью п-реберника.
На рис. 1а, 16 серой заливкой выделены внутренности плоских многореберников а, ДД и часть внутренности плоского многореберника ТГ..Т6 , входящая в рамки рисунка. Простая конечная замкнутая ломаная К1А1 (рис. 16) является 3-конту-ром гиперболической плоскости Й, она не разбивает// на части, следовательно, не является плоским п-реберником.
Приведем примеры плоских многореберников.
1. Пусть плоскость П евклидова, эллиптическая или Лобачевского. Каждый конечный п-угольник является плоским п-реберником.
2. П - коевклидова (копсевдоевклидова) плоскость. Каждый конечный п-сторонник является плоским п-реберником.
3. Пусть П- флаговая плоскость. Каждая конечная замкнутая ломаная разбивает флаговую плоскость как плоскость с аффинной базой на две связ-
ные части. Следовательно, на флаговой плоскости каждый конечный п-вершинник является плоским п-реберником.
4. На гиперболической плоскости положительной кривизны к плоским п-реберникам относятся, например, простой 4-контур (введенное определение внутренности многореберника в этом случае эквивалентно определению из внутренности простого 4-контура) и каждый конечный п-угольник, стороны которого принадлежат непараболическим прямым.
Определение многогранника в пространстве
Плоские многореберники и, а0 с общим ребром а, принадлежащие плоскостям пространства назовем смежными по ребру а, или кратко: смежными.
Последовательность а,, «а,ар плоских многореберников пространства ^3* назовем соединяющей цепочкой многореберников а1 и если (V/), /' = 1, р- 1, многореберники а., # ] являются смежными.
Конечным многогранником пространства Ж®* назовем такую совокупность О, конечного числа плоских многореберников пространства Л13', для которой выполняются следующие условия:
1) каждое ребро любого из плоских многореберников совокупности £2 является ребром двух и только двух многореберников этой совокупности;
2) для любых двух плоских многореберников совокупности О существует соединяющая цепочка из многореберников этой совокупности.
При выполнении условий 1), 2) многореберники совокупности £2, рассматриваемые со своими внутренностями, назовем гранями, их стороны -ребрами, а их вершины - вершинами многогранника.
Ребро многогранника соответственно типу содержащей его прямой будем называть гиперболическим, эллиптическим или параболическим. Ребро, принадлежащее изотропной параболической прямой, назовем изотропно параболическим.
Ребро многогранника назовем истинным, если смежные по нему грани не лежат в одной плоскости.
Далее в работе будем полагать, что все рассматриваемые многогранники являются конечными, а все их ребра - истинными.
Свойства параболических многогранников в
Многогранник пространства ^3* назовем параболическим, если все его ребра принадлежат параболическим прямым, т. е. являются параболическими или изотропно параболическими.
Теорема 1. Если грань параболического многогранника пространства Ж3* содержит параболическое ребро, то эта грань принадлежит флаговой плоскости.
Доказательство. Пусть АВ - параболическое ребро грани а параболического многогранника пространства Ж,8* (рис. 2). Тогда вершина Ш абсолютного конуса пространства принадлежит прямой АВ. Так как все вершины ломаной, ограничивающей грань а, истинные, то каждое смежное с АВ ребро этой грани принадлежит прямой, не проходящей через точку 5”, т. е. является изотропно параболическим. Пусть ребро ВС грани а принадлежит прямой, касающейся абсолютного конуса в точке#, тогда плоскость АВС. грани а касается абсолютного конуса по прямой НЫ, следовательно, является флаговой плоскостью. W
Теорема 2. Каждая грань параболического многогранника пространства Ж3* содержит, по крайней мере, два изотропно параболических ребра.
Доказательство. Пусть а - некоторая грань параболического многогранника $ пространства И ^ Если все ребра в а изотропно параболические, то лемма доказана. Предположим, что некоторое реброЛ5граниаявляется параболическим (рис. 2). Тогда вершина 51 абсолютного конуса пространства принадлежит прямой АВ. Так как все вершины ломаной, ограничивающей грань а, истинные, то 5* не принадлежит прямым, содержащим
смежные с АВ ребра многогранника Р в грани а. Следовательно, эти ребра являются изотропно параболическими. \¥
Все отрезки изотропных параболических прямых принадлежат внешней относительно абсолютного конуса компоненте пространства Ж®*, следовательно, согласно теореме 2, внешней компоненте принадлежат и все параболические многогранники этого пространства.
Теорема 3. Каждая грань параболического многогранника пространства Ж3* принадлежит либо флаговой, либо расширенной гиперболической плоскости.
Доказательство. Пусть а - грань параболического многогранника пространства Ж3*, принадлежащая плоскости а. По теореме 2, в а существует изотропно параболическое ребро, точку касания содержащей его прямой с абсолютным конусом обозначим N. Если плоскость а содержит вершину (5*абсолютного конуса, то а касается абсолютного конуса по прямой следовательно, является флаговой плоскостью. Если £ £ а , то плоскость а может быть только расширенной гиперболической, так как плоскость любого другого типа в пространстве ^3* содержит вершину абсолютного конуса. \¥
Теорема 4. По крайней мере, одна из смежных по изотропно параболическому ребру граней параболического многогранника пространства Ж3“ принадлежит расширенной гиперболической плоскости.
Доказательство. Пусть ар а, - смежные по изотропно параболическому ребру АВ грани параболического многогранника Р пространства Т^3*. Так как все ребра многогранника ^истинные, то грани ар а„ не лежат в одной плоскости. Точку касания прямой АВ с абсолютным конусом/^обозначим Аг. Если ни одна из граней ар а, не лежит в плоскости, содержащей вершину £ абсолютного конуса, то эти грани лежат в расширенных гиперболических плоскостях и теорема доказана. Если плоскость одной из граней а;, а, содержит точку 5, то образующая ЖУ конуса К полностью лежит в этой плоскости, следовательно, плоскость является флаговой. Ребро АВ и образующая ШМ' определяют единственную флаговую плоскость, содержащую изотропно параболическое ребро АВ. Следовательно, не более чем одна из граней
Я,, а, лежит во флаговой плоскости пространства М^. Тогда, по теореме 3, вторая грань принадлежит расширенной гиперболической плоскости. \¥
Теорема 5. Параболический многогранник пространства ^3* содержит, по крайней мере, две грани в расширенных гиперболических плоскостях.
Доказательство. Пусть ^ - параболический многогранник пространства Т^3*, и а - его некоторая грань. По теореме 3, возможны два случая:
1) а принадлежит флаговой плоскости;
2) а принадлежит расширенной гиперболической плоскости.
Рассмотрим первый случай. По теореме 2, а содержит хотя бы два изотропно параболических ребра, Пусть грани ар а, смежны с а по этим ребрам. Тогда, по теореме 4, грани а; и а, принадлежат расширенным гиперболическим плоскостям. В первом случае теорема доказана.
Пусть а принадлежит расширенной гиперболической плоскости. По теореме 2, в грани а найдется изотропно параболическое ребро а. Если грань /?, смежная с а по ребру а, принадлежит расширенной гиперболической плоскости, то теорема доказана. Предположим, что /? лежит во флаговой плоскости. По теореме 2, кроме ребра а в/?, существует еще хотя бы одно изотропно параболическое ребро Ь. Плоскость у, смежная с/? по ребру Ь, согласно теореме 4, принадлежит расширенной гиперболической плоскости. Плоскости граней а и у различны, так как грани а и у смежны с гранью р по различным истинным ребрам а и Ь. Таким образом, не менее двух граней многогранника Рпринадлежат расширенным гиперболическим плоскостям пространства Я®*» \¥
В данной работе представлены первые результаты теории многогранников в пространстве с плоскостями, в которых не выполняется теорема Жордана (не каждая простая конечная замкнутая ломаная разделяет плоскость на части). С учетом особенностей копсевдоевклидова пространства Ж3* дано определение многогранника. Введены в рассмотрение и исследованы многогранники этого пространства, ребра которых принадлежат параболическим прямым. Доказанные свойства параболических многогранников позволят в дальнейшем провести классификацию топологически правильных параболических мно-
гогранников пространства R^* и доказать следующую теорему: каждый топологически правильный параболический многогранник копсевдоевклидова пространства является гексаэдром.
Автор выражает благодарность А.М. Турину за предложение исследовать многогранники в копсевдоевклидовом пространстве.
Библиографический список
1. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского. М.: Просвещение, 2001.
2. Ашкинузе В.Г. Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. IV: Геометрия
3. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971.
4. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.
5. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. М.: МЦНМО, 2003.
6. Ромакина Л.Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Саратов.: Научная книга, 2008.
7. Ромакина Л.Н. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Вып.
3. С. 14-26.
8. Ромакина Л.Н. Конечные замкнутые 5-кон-туры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Вып. 1. 38-49.
9. Ромакина Л.Н. Определение лучей, отрезков и квазиотрезков различного типа прямых при построении классических неевклидовых геометрий на моделях Кэли-Клейна // Междун. конференция «62-е Герценовские чтения»: сб. науч. тр. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. С. 103-109.
10. Ромакина Л.Н. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны, порожденные правильным я-контуром // Теория относительности, гравитация и геометрия: межд. конф. «Petrov 2010 Anniversary Sympozium on General Relativity and Gravitation»: труды. Казань, 1-6 ноября 2010 г. Казань: Казан, ун-т, 2010. С. 227-232.
