О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 512.572

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №3. С. 10-17.

Б01: 10.7463/шаШш.0316.0846913

Представлена в редакцию: 11.12.2015 Исправлена: 14.10.2016

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2

Киреева Е. А.*'* *[email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье рассмотрен квантовый аналог лиевского коммутатора. Если значение квантового параметра не равно 1, то относительно свободные алгебры с тождествами квантовой лиевской нильпотентности ступени 2 и 3 оказываются нильпотентными в обычном смысле. Мы точно вычисляем ступени нильпотентности этих алгебр в зависимости от квантового параметра. Рассматриваемый вопрос приобрел особую актуальность в связи с построением примеров бесконечно базируемых Т-пространств по модулю тождества лиевской нильпотентности ступени 2, а также активным развитием в последнее время теории квантовых групп. Принципиально важным является тот факт, что ответ формулируется в терминах корней из единицы.

Ключевые слова: многообразия ассоциативных алгебр; свободные алгебры; квантовый коммутатор

Введение

Пусть К — поле, А — свободная ассоциативная К-алгебра без единицы со свободными порождающими хх, х2, ... (для их обозначения мы также будем использовать символы х, у и я). Элемент V = V(хх,..., хп) е А называется тождеством ассоциативной К-алгебры М, если V(Д,..., /п) = 0 для любых Д, ..., /п е М. В этом случае выражение V = 0 также называют тождеством алгебры М. Например, всякая коммутативная алгебра удовлетворяет тождеству [х, у] = 0, где [х, у] = ху — ух — коммутатор или лиевский коммутатор элементов х и у, нильпотентная алгебра ступени 5 удовлетворяет тождеству ххх2 ... х8 = 0 и не удовлетворяет тождеству ххх2 ... х8-х = 0 для некоторого 5 е N. Если : £ е — произвольное, но фиксированное множество тождеств, то класс всех ассоциативных К-алгебр, удовлетворяющих одновременно всем тождествам V (£ е называется многообразием.

Идеал V свободной алгебры А называется Т-идеалом, если V — вполне характеристический идеал в А, т.е. ) С V для любого эндоморфизма а алгебры А. Хорошо известно, что между множеством всех многообразий ассоциативных К-алгебр и множеством всех Т-идеалов алгебры А существует естественное взаимнооднозначное соответствие. А именно, многообразию V ассоциативных алгебр соответствует Т-идеал, состоящий их всех

тождеств, выполняющихся во всех алгебрах из V. Если V — многообразие ассоциативных K-алгебр, V — соответствующий этому многообразию T-идеал в A, то факторалгебра A/V с порождающими x\ + V, x2 + V, ... называется свободной алгеброй многообразия V или относительно свободной ассоциативной алгеброй. K-подмодуль U в относительно свободной алгебре A/V называется T-пространством, если U — вполне характеристический подмодуль, т.е. a(U) С U для любого эндоморфизма а алгебры A/V. Основные определения, факты и библиографию, относящуюся к полиномиальным тождествам и многообразиям ассоциативных алгебр, можно найти в [1, 2].

Некоторое время назад в теории ассоциативных алгебр с тождествами большую актуальность приобрели алгебры, удовлетворяющие тождеству

[[x,y],z] = 0. (1)

А именно, как было доказано A.B. Гришиным [3] для случая поля характеристики 2 и В.В. Щиголевым [4] для случая поля характеристики p > 2, свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, заданного тождеством (1), содержит неконечнопорожденные T-пространства. Указанные T-пространства сыграли важную роль в решении проблемы конечной базируемости многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики [5, 3, 6]. С другой стороны, как было доказано автором [7], в относительно свободной алгебре многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством [x,y] = 0, т.е. в алгебре коммутативных многочленов, над произвольным нетеровым коммутативно-ассоциативным кольцом с 1 все T-пространства конечнопорождены.

Отметим, что (положительная) характеристика основного поля существенным образом влияет на конструкции всех построенных примеров неконечнопорожденных T-пространств, при этом, как было доказано В.В. Щиголевым [8], в свободной ассоциативной алгебре, а значит и во всякой относительно свободной ассоциативной алгебре, над полем характеристики 0 все T-пространства конечнопорождены.

Квантовый аналог универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли был введен В.Г. Дринфельдом [9] и М. Джимбо [10]. Это определение тесно связано с определением квантовой плоскости и, как следствие, с понятием квантового коммутатора

[x,y]q = xy - qyx,

где q — некоторый обратимый элемент основного поля K (или его расширения).

В связи с этим особую актуальность приобрела задача изучения свободных алгебр многообразий ассоциативных алгебр, удовлетворяющих квантовым аналогам указанных выше тождеств. Для квантового аналога коммутативных алгебр доказана следующая теорема.

Теорема 1. Свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством

[x, y]q = 0, (2)

является нильпотентной ступени 2, если q = ±1, нильпотентной ступени 3, если д = —1 и характеристика К не равна 2, не является нильпотентной, если д = 1.

Для квантового аналога алгебр с тождеством (1) доказана следующая теорема.

Теорема 2. Свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством

[[х,у], ,4, = 0 (3)

является нильпотентной ступени 3, если д3 = 1, д = —1, нильпотентной ступени 4, если д3 = 1, д =1, нильпотентной ступени 5, если д = —1 и характеристика К не равна 2, не является нильпотентной, если д =1.

1. Вспомогательные построения

Рассмотрим алгебру Вп, где п € N определяемую следующим образом. Алгебра Вп как векторное пространство над К порождена элементами Ъг1...гк, где к,г^ ... гк € N к ^ п, г1 < ... < гк. Чтобы определить умножение в Вп, положим

Ъ31...3к = . . ) Ъгг...

Ч '

если к ^ п и ..., ) — перестановка элементов г1 < г2 < ... < гк (функция

обозначает знак такой перестановки), и

Ъ31 -Зк = 0,

если к > п или в последовательности эдементов ^4, .. ., ]к есть одинаковые. Определим

ЪЗ1...Зк ■ Ъ3к+1...ЗВ = ЪЗ1...Зв

Из определения очевидным образом следует, что алгебра Вп ассоциативна, удовлетворяет тождеству х1... хп+1 = 0, и не удовлетворяет тождеству х1... хп = 0. Нетрудно также проверить, что алгебра В2 удовлетворяет тождеству (3) для произвольного д, и тождеству (2) для д = —1.

Заметим, что алгебра В4 удовлетворяет тождеству (3) для д = —1. Действительно, для попарно различных г, к, £ выполнено

[[Ъг, Ъз ]-1,Ък ]-1 = (Ъз + Ъ^)Ък + Ък (Ъц + Ъ,ч) = 0;

[[Ъг,Ъ3к ]-1,Ъ4]-1 = (Ъгзк + Ъ]ы)Ъг + Ъг(ЪЗк + Ъ3кг ) = + Ъ3кг4 + Ъ3 + Ъ3кг = 2Ъгзк — 2Ъг3к4 = 0.

Пусть д — элемент поля К, такой, что д3 = 1, д = 1. Рассмотрим алгебру С, определяемую следующим образом. Алгебра С как векторное пространство над К порождена элементами сг, где г € N сгз-, где г, ] € N г = ; и элементами сгз-к, где г, к € М, г < ], г < к, = к. Чтобы определить умножение в С, положим

СЗ1З2З3

З132 , < ^Ъ ^3 < ^2, = ^

д%М3Л, ^2 < ^Ъ ^2 < ^ Л = ^

а при к > 3 положим Далее, определим

СЛ 32...3к 0

Непосредственно проверяется, что умножение в С определено корректно, и для всех индексов г,^, к выполняется = д^^. Действительно, пусть, например, г < , г < к, = к, тогда = q2cíjk = q-1cíjk, т.е. = дс^. Заметим теперь, что алгебра С удовлетворяет тождеству (3). Действительно,

д = [cí, cj]дск - - ^cj]д = (cíj - — ^(cíj - д^) =

cíjk qcjík qckíj + д ckjí cíjk Qcjík д cíjk + д Сугк 0

Из определения также очевидным образом следует, что алгебра С ассоциативна, удовлетворяет тождеству = 0, и не удовлетворяет тождеству хуг = 0.

2. Доказательства основных теорем

Доказательство теоремы 1. Пусть д =1, А — относительно свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр Ж1, задаваемого тождеством (2), т.е. в А выполняется тождество ху = дух. Пусть д = ±1. Тогда получаем

ху = дух = д2ху,

откуда ху = 0, т.е. алгебра А нильпотентна ступени не больше 2. Из соображений степени ясно, что а41 не является нильпотентной ступени 1.

Пусть теперь д = —1 и характеристика поля К не равна 2, т.е. -1 = 1 в К. Тогда

хуг = х(—гу) = —жгу = — (—гх)у = гху.

С другой стороны,

хуг = — г(ху) = — гху,

откуда получаем 2гху = 0, т.е. гху = 0, и алгебра А нильпотентна ступени не больше 3. Рассмотрим алгебру В2, определенную выше. Доказано, алгебра В2 принадлежит многообразию Ж1, и, так как в этой алгебре не выполняется тождество ху = 0, то оно не выполняется и в алгебре АЦ.

Доказательство теоремы 2. Пусть д = 1, А2 — относительно свободная алгебра многообразия ассоциативных алгебр Ж2, задаваемого тождеством (3), т.е. в А2 выполняется тождество [х, у]дг = дг[х,у]д.

1. Пусть д3 = 1, д = ±1. Тогда получаем

хуг — духг = дгху — д2гух.

Подставим y = x, тогда (1 — q)x2z = q(1 — q)zx2, откуда x2z = qzx2. Линеаризуя последнее тождество, получаем

(xy + yx)z = qz(xy + yx). Умножим последнее тождество на q и сложим с предыдущим, тогда

xyz — qyxz + qxyz + qyxz = qzxy — q2zyx + q2zxy + q2zyx,

откуда

(1 + q)xyz = q(1 + q)zxy,

и, следовательно, xyz = qzxy.

Таким образом, получаем xyz = qzxy = q2yzx = q3xyz, откуда xyz = 0, и алгебра A2 нильпотентна ступени не больше 3. Рассмотрим алгебру B2, определенную выше. Доказано, что алгебра B2 принадлежит многообразию W2, и, так как в этой алгебре не выполняется тождество xy = 0, то оно не выполняется и в алгебре A2.

2. Пусть теперь q3 = 1, q =1. Подставим z = [s,t]q в тождество [x,y]qz = qz[x,y]q.

Получаем [x,y]q [s,t]q = q[s,t]q [x,y]q, откуда [x,y]q [S,Î]q = q[S,Î]q [x,y]q = q2[x,y]q [s,t]q, т.е.

[x,y]q [s,t]q=0.

Имеем теперь (xy — qyx)[s,t]q = 0, т.е. xy[s,t]q = qyx[s,t]q. Тогда

xy[s,t]q = qyx[s,t]q = q2xy[s,t]q

и, следовательно, xy[s,t]q = 0.

Рассуждая аналогично для второго коммутатора, получаем xyst = 0, т.е. алгебра A2 нильпотентна ступени не больше 4. Алгебра A2 в этом случае не является нильпотентной ступени не больше 3, поскольку доказано, что алгебра C принадлежит многообразию W2.

3. Пусть q = —1 и характеристика K не равна 2. Тогда в алгебре A2 выполняется тождество [x,y]-iz = —z[x,y]-b и, следовательно, [x,y]-izi = —zt[x, y]_i. Тогда

[x, y]_izt = —z[x, y]_it = zt[x, y]_i,

откуда zt[x, y]_i = —zt[x, y]_i, т.е. [x, y]_izt = 0. Следовательно, xyzt = —yxzt. Подставим t = ts, тогда

xyzts = —xzyts = zxyts.

С другой стороны, xyzts = —zxyts. Таким образом, в алгебре A2 выполняется тождество xyzts = 0, то есть алгебра A2 нильпотентна ступени не больше 5. Алгебра A2 в этом случае не является нильпотентной ступени не больше 4, поскольку доказано, что алгебра принадлежит многообразию W2.

Заключение

Доказано, что для квантовых аналогов тождеств коммутативности и лиевской нильпотентности ступени 2 свободные алгебры, а значит и все алгебры указанных многообразий являются нильпотентными в обычном смысле. В частности, это означает, что данные свободные алгебры не содержат неконечнопорожденных T-пространств, и, таким образом, квантовый случай принципиально отличается от классического. Отметим, что в данной задаче, как и ожидалось, значение квантового параметра играет более существенную роль, чем характеристика основного поля. Представляется интересным изучить в будущем квантовые аналоги и других важных тождеств.

Список литературы

1. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 18. С. 117-240.

2. Drensky V.S. Free algebras and PI-algebras. Singapore: Springer-Verlag Singapore, 2000. 272 p.

3. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости T-пространств и T-идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. С. 101-118.

4. Щиголев В В. Примеры бесконечно базируемых T-пространств // Математический сборник. 2000. T. 191. С. 143-160. DOI: 10.4213/sm467

5. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. С. 47-66.

6. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых T-идеалов // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. С. 307-312.

7. Киреева Е.А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в алгебрах многочленов // Чебышевский сборник. 2001. Т. 2, № 1. С. 54-60.

8. Щиголев В.В. Конечная базируемость T-пространств над полями нулевой характеристики // Известия РАН. Сер. математическая. 2001. Т. 65, №5. С. 191-224. DOI: 10.4213/im362

9. Дринфельд В.Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга — Бакстера // Доклады Академии наук СССР 1985. Т. 283. С. 1060-1064.

10. Jimbo M. A q-difference analogue of U(0) and the Yang-Baxter equation // Letters in Mathematical Physics. 1985. Vol 10. P. 63-69. DOI: 10.1007/BF00704588

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 3, pp. 10-17.

DOI: 10.7463/mathm.0316.0846913

Received: Revised:

11.12.2015

14.10.2016

http://mathmjournal.ru

> Bauman Moscow State Technical University

On Quantum Lie Nilpotency of Order 2

Kireeva E. A.1'*

[email protected]

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: varieties of associative algebras, free algebras, quantum commutator

The paper investigates the free algebras of varieties of associative algebras modulo identities of quantum Lie nilpotency of order 1 and 2. Let q be an invertible element of the ground field K (or of its extension). The element

= xy - qyx

of the free associative algebra is called a quantum commutator. We consider the algebras modulo identities

[X,y ]q = 0 (1)

and

[[X,y ]q ]q = 0. (2)

It is natural to consider the aforementioned algebras as the quantum analogs of commutative algebras and algebras of Lie nilpotency of order 2. The free algebras of the varieties of associative algebras modulo the identity of Lie nilpotency of order 2, that is the identity

[[x,y ],z ] = 0,

where [x, y] = xy — yx is a Lie commutator, are of great interest in the theory of algebras with polynomial identities, since it was proved by A.V. Grishin for algebras over fields of characteristic 2, and V.V. Shchigolev for algebras over fields of characteristic p > 2, that these algebras contain non-finitely generated T-spaces.

We prove in the paper that the algebras modulo identities (1) and (2) are nilpotent in the usual sense and calculate precisely the nilpotency order of these algebras. More precisely, we prove that the free algebra of the variety of associative algebras modulo identity (1) is nilpotent of order 2 if q = ±1, and nilpotent of order 3 if q = —1 and the characteristic of K is not equal to 2. It is also proved that the free algebra of the variety of associative algebras modulo identity (2) is nilpotent of order 3 if q3 = 1, q = ±1, nilpotent of order 4 if q3 = 1, q =1, and nilpotent of order 5 if q = —1 and the characteristic of K is not equal to 2. The corollary of the last fact is that this algebra doesn't contain non-finitely generated T-spaces.

References

1. Bakhturin Yu.A., Ol'shanskiy A.Yu. Tozhdestva. Sovremennye problemy matematiki. Funda-mental'nye napravleniya [Identities. In: Contemporary problems of mathematics. Fundamental trends]. Moscow, VINITIPubl., 1988, vol. 18, pp. 117-240. (in Russian).

2. Drensky V.S. Free algebras and PI-algebras. Singapore, Springer-Verlag Singapore, 2000. 272 p.

3. Grishin A.V. Examples of T-spaces and T-ideals over a field of characteristic 2 without the finite basis property. Fundamentalnaya iprikladnaya matematika = Fundamental and Applied Mathematics, 1999, vol. 5, no. 1, pp. 101-118. (in Russian).

4. Shchigolev V. V. Examples of T-spaces with an infinite basis. Matematicheskiy sbornik, 2000, vol. 191, no. 3, pp. 143-160. DOI: 10.4213/sm467 (English version of journal: Sbornik: Mathematics, 2000, vol. 191, no. 3, pp. 459-476. DOI: 10.1070/SM2000v191n03ABEH000467)

5. Belov A.Ya. On non-Spechtian varieties. Fundamentalnaya iprikladnaya matematika = Fundamental and Applied Mathematics, 1999, vol. 5, pp. 47-66. (in Russian).

6. Shchigolev V.V. Examples of infinitely based T-ideals. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika = Fundamental and Applied Mathematics, 1999, vol. 5, no. 1, pp. 307-312. (in Russian).

7. Kireeva E.A. On finite generation of fully invariant submodules in algebras of polynomials. Chebyshevskiy sbornik, 2001, vol. 2, no. 1, pp. 54-60. (in Russian).

8. Shchigolev V.V. The finite basis property of T-spaces over fields of characteristic zero. Izvestiya RAN. Ser. Matematicheskaya, 2001, vol.65, no. 5, pp. 191-224. DOI: 10.4213/im362 (English version of journal: Izvestiya: Mathematics, 2001, vol.65, no. 5, pp. 1041-1071. DOI: 10.1070/IM2001v065n05ABEH000362).

9. Drinfel'd V.G. Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation. Doklady Akademii nauk SSSR, 1985, vol. 283, pp. 1060-1064. (English version ofjournal: Soviet Math. Doklady, 1985, vol. 32, pp. 254-258).

10. Jimbo M. A q-difference analogue of U(0) and the Yang-Baxter equation // Letters in Mathematical Physics, 1985, vol. 10, no. 1, pp. 63-69. DOI: 10.1007/BF00704588