CC BY
9Математические методы моделирования, управления и анализа данных
УДК 519.8
А. К. Идаятова, А. В. Медведев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ЛАВИНООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрена задача моделирования лавинообразных процессов. Представлены непараметрические алгоритмы идентификации развивающихся во времени процессов, а также приводятся численные результаты статистического моделирования.
В последнее время все больший интерес представляют быстро изменяющиеся процессы при плавном изменении внешних условий. Такого рода процессы являются предметом исследования в теории катастроф [1]. Обычно априорной информации недостаточно для определения параметрической модели. Преодоление этой трудности на этапе математической постановки задачи является определяющей для дальнейших исследований.
Примем обозначения: х(:) - выходная переменная процесса; и(/) - управляющее воздействие; ) -входная переменная; ) - случайное воздействие; t - непрерывное время; , иt, х^ - измерение |т(/), и(Г), х(:) в дискретное время t со случайной помехой ).
В результате наблюдений переменных процесса имеем выборку, состоящую из п реализаций {и/, X, t = 1, / = 1, п}, показанных на рис. 1. В
качестве приближения М {х / и, |} примем непараметрическую оценку, где колоколообразные функции Ф (•) и параметр с5 удовлетворяют некоторым условиям сходимости [2]:
х{(и (t), )) = -
x х ф
ф
| t
с..
ХФ| и^)-и/ |ф[ m(t)-1
/ = 1, п, (1)
внешних переменных и их соответствующих значений. Для определенного периода, когда может начаться развитие лавины можно использовать следующий индикатор:
11 (х1, и1, Мч) =
5ЕП X XX Ф
'еП г (<) /-еП1( /)
Ф -А.
(
Ф
(2)
Если индикатор при некоторых значениях |, и 1, х1 текущего процесса равен нулю, то это означает приближение лавины, здесь к - текущий момент времени, 1 < к < 5 . Смысл областей (t) и Пк поясняется на рис. 1. Входные возмущения показаны на рис. 1, а; выходные, в том числе развитие лавины, -на рис. 1, б; на рис. 1, в до момента времени к ( к -текущее время) показана оценка отклика системы х ^), а при 1> к - прогноз х (t).
Непараметрическая модель текущего процесса в момент времени к, построенная на основании имеющейся обучающей выборки
{и/, х{, t = 1, 5; / = 1, п}, будет иметь вид
XII а, 1 / )Х х ф
Хп (и, I 1) =
/=1
и, -и.
(
Ф
X11 (^1 / )ХФ
/=1 t=1
-. (3)
Из соображений простоты в выражении (1) ц(:), и^) приняты скалярными. В случае, если ц(:), и^) -векторные, то (1) преобразуется обычным образом [2]. Естественно считать, что лавинообразное течение процесса наступает при определенных соотношениях
При численных исследованиях непараметрической модели лавинообразного процесса было взято 3 реализации входных воздействий ц(:), u(t), 5 = 300, п = 3 и соответствующая реализация х(: ) (рис. 2).
Рис. 1
Решетневскце чтения
Рис. 2
На рис. 2 показаны выход процесса х(0 и его оценка Хт; рис. 2, а и б отличаются масштабом по оси ординат.
Библиографические ссылки
1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М. : Наука, 1990.
2. Медведев А. В. Non-Parametric Stochastic Approximation in Adaptive Systems Theory. Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical inference. Novosibirsk : Publishinghouse of NSTU, 2011.
A. K. Idayatova, A. V. Medvedev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
ABOUT NONPARAMETRIC MODELLING OF AVALANCHE PROCESSES
The problem of modeling of avalanche processes is considered. Nonparametric algorithms of identification of processes developing in time are presented, and also numerical results of statistical modeling are resulted.
© Идаятова А. К., Медведев А. В., 2011
б
а
УДК 62-506.1
Н. В. Коплярова Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
О ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ МАЛОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Рассматривается задача идентификации нелинейных динамических систем типа Винера, линейная динамическая часть которого находится в условиях непараметрической неопределенности. Вид нелинейности предполагается известным с точностью до параметров. Приводится алгоритм для создания адекватных в смысле среднеквадратичного критерия моделей систем.
Развитие теории и методов математического моделирования нелинейных динамических систем является актуальной проблемой современной прикладной математики. Наиболее важным, с точки зрения приложений, классом динамических процессов являются системы типа «вход-выход», представимые в виде черного ящика, т. е. допускающие активный эксперимент при отсутствии априорной информации о моделируемом объекте.
Пусть нелинейная динамическая система представлена в виде двух последовательно включенных звеньев - линейного динамического и нелинейного статического (объект Винера) [1].
Пусть {и ( ), х1} , i =1, - выборка измерений реакции объекта на некоторый тестовый сигнал и ). Существует возможность проведения экспериментов.
Структура и параметры линейной динамической части системы неизвестны. Предположим некоторый вид нелинейности в объекте - известный с точностью до параметров. Рассмотрим случай, когда нелинейный элемент представляет собой звено насыщения (с порогом насыщения ¿1):
