CC BY
31
УДК 532.542
532.527
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВИХРЯХ
В. Н. Т ригу б
Рассмотрено сильно закрученное (окружная скорость сравнима с продольной), установившееся течение несжимаемой жидкости в длинной трубе с неосесимметричным поперечным сечением. Получены уравнения, описывающие перестройку распределений циркуляции и продольной скорости в поперечном сечении, происходящую под воздействием изменения формы поперечного сечения и сил вязкости. На расстояниях, сравнимых с поперечным сечением трубы, силы вязкости не проявляются и, таким образом, перестройка происходит на определенном классе решений уравнений Эйлера. Полученные уравнения являются обобщением известных уравнений квазицилиндрического приближения.
Для описания вихрей в следе за крылом, ядер вихревой пелены, закрученных течений в длинных трубах, при исследовании разрушения вихрей [1,3] используются уравнения квазицилиндрического приближения [2, 3] — система нелинейных уравнений параболического типа, аналогичных уравнениям Прандтля для пограничного слоя. При этом предполагается, что продольная и окружная компоненты скорости сравнимы между собой, радиальная скорость мала, радиальные градиенты велики по сравнению с аксиальными, силы вязкости одного порядра с инерционными в продольном направлении, а течение осесимметрично.
Перечисленные предположения позволяют получить уравнения квазицилиндрического приближения из уравнений Навье—Стокса в результате предельного перехода, подобного осуществляемому в теории пограничного слоя при выводе уравнений Прандтля. Течение в вихре, однако, отличается от течения в пограничном слое наличием интенсивного движения в поперечной вихрю плоскости. Центробежные силы при таком движении превышают по порядку величины силы вязкости и уравновешиваются радиальным градиентом давления. При получении уравнений квазицилиндрического приближения существенно используется осесимметричность течения, а точнее тот факт, что движение, где траектории частиц — винтовые линии на цилиндрических поверхностях, является решением уравнений Эйлера для произвольных распределений по радиусу продольной и окружной компонент скорости. Нарушение осевой симметрии, вызванное умеренным по величине и достаточно гладким возмущением, не должно приводить к изменению характера течения, и уравнения, описывающие развитие тонких неосесимметрич-
УДК 532.542
532.527
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВИХРЯХ
В. Н. Т ригу б
Рассмотрено сильно закрученное (окружная скорость сравнима с продольной), установившееся течение несжимаемой жидкости в длинной трубе с неосесимметричным поперечным сечением. Получены уравнения, описывающие перестройку распределений циркуляции и продольной скорости в поперечном сечении, происходящую под воздействием изменения формы поперечного сечения и сил вязкости. На расстояниях, сравнимых с поперечным сечением трубы, силы вязкости не проявляются и, таким образом, перестройка происходит на определенном классе решений уравнений Эйлера. Полученные уравнения являются обобщением известных уравнений квазицилиндрического приближения.
Для описания вихрей в следе за крылом, ядер вихревой пелены, закрученных течений в длинных трубах, при исследовании разрушения вихрей [1,3] используются уравнения квазицилиндрического приближения [2, 3] — система нелинейных уравнений параболического типа, аналогичных уравнениям Прандтля для пограничного слоя. При этом предполагается, что продольная и окружная компоненты скорости сравнимы между собой, радиальная скорость мала, радиальные градиенты велики по сравнению с аксиальными, силы вязкости одного порядра с инерционными в продольном направлении, а течение осесимметрично.
Перечисленные предположения позволяют получить уравнения квазицилиндрического приближения из уравнений Навье—Стокса в результате предельного перехода, подобного осуществляемому в теории пограничного слоя при выводе уравнений Прандтля. Течение в вихре, однако, отличается от течения в пограничном слое наличием интенсивного движения в поперечной вихрю плоскости. Центробежные силы при таком движении превышают по порядку величины силы вязкости и уравновешиваются радиальным градиентом давления. При получении уравнений квазицилиндрического приближения существенно используется осесимметричность течения, а точнее тот факт, что движение, где траектории частиц — винтовые линии на цилиндрических поверхностях, является решением уравнений Эйлера для произвольных распределений по радиусу продольной и окружной компонент скорости. Нарушение осевой симметрии, вызванное умеренным по величине и достаточно гладким возмущением, не должно приводить к изменению характера течения, и уравнения, описывающие развитие тонких неосесимметрич-
ных вихрей, должны быть сходными с уравнениями квазицилиндричес-кого приближения. Вместе с тем попытка применить обычную процедуру предельного перехода без предположения об осевой симметрии приводит в главном приближении к уравнениям Эйлера для течения в поперечном сечении (в осесимметричных течениях эти уравнения удовлетворены автоматически). Для решения уравнений Эйлера необходимо знать функции распределения циркуляции и завихренности по поверхностям тока. Однако сами эти распределения формируются под воздействием сил вязкости на расстояниях, превышающих по порядку величины радиус поперечного сечения вихря. Для определения действия сил вязкости необходимо, чтобы уравнения Эйлера в каждом поперечном сечении были уже удовлетворены, т. е. следует рассматривать перестройку течения на некотором классе решений уравнений Эйлера.
Чтобы замкнуть задачу, в настоящей статье был использован асимптотический метод многих масштабов. В результате получена система уравнений, во многом сходная с уравнениями квазицилиндричес-кого приближения, описывающая развитие течения вдоль неосесимметричного вихря.
I. Постановка задачи. Стационарное осесимметричное течение вязкой, несжимаемой, сильно закрученной (характерная аксиальная скорость УР сравнима с азимутальной) жидкости через трубу кругового сечения может быть описано при помощи уравнений квазицилиндричес-кого приближения [1,3]. Эти уравнения представляют собой систему нелинейных уравнений параболического типа и могут быть решены, если заданы распределения аксиальной и азимутальной скорости в начальном сечении и на границе трубы, а также условия отсутствия нормальной составляющей скорости на границе и ограниченности скорости вблизи оси.
Поставим задачу: описать аналогичное течение при условии, что,^ начиная с некоторого участка, форма поперечного сечения трубы отличается от круговой и медленно меняется вниз по течению (см. рисунок). Полагается, что отношение диаметра трубы й к характерной длине Ь, на которой происходит изменение формы поперечного сечения, мало: е=Й/£<С1. Пусть в начальном (круговом) сечении заданы распределения аксиальной и азимутальной скорости, зависящие только от радиуса г. Считаем, что внутренняя поверхность трубы, на которой выполнены условия прилипания, движется с заданной скоростью нг, направленной по касательной к границе. Обезразмерим переменные и примем в качестве характерных размерных величин скорости У/, длины Ь, давления pH?2, и введем число Рейнольдса ЪЕ = УРЬ/м (р — плотность, V — коэффициент вязкости). Режим ё2=Ие-1 является в данной задаче централь-
ным, а (е23>Не *) и (е?<СКе-1) получаются как частные случаи. В целом течение описывается уравнениями Навье—Стокса:
Будем искать решение уравнений (1) при указанных выше граничных условиях в пределе е->0. Введем декартову систему координат х, у, г с осью г, направленной вдоль трубы, Х=х/е, У=у/е, 2 = г/г (см. рисунок). При рассмотрении течения во внутренних точках области возникают два характерных масштаба продольной координаты: 2=0(1) и 2 = 0(1). На расстояниях 2=0(1) частица жидкости совершает близкое к периодическому движение в плоскости поперечного сечения, изменения поля скоростей на таком масштабе малы (Д« = 0(е)). Перестройка течения под воздействием вязкости и изменения граничных условий происходит в главном приближении на расстояниях 2 = 0(1).
Решение задачи во внутренних точках области представим в виде следующих асимптотических разложений:
Предполагается, что компоненты скорости главного приближения в поперечном сечении образуют поле замкнутых линий (неосесимметричный вихрь). Как будет видно из дальнейшего, отсутствие осевой симметрии приводит в общем случае к возникновению пограничного слоя вблизи стенок трубы. При этом функции главного приближения для пограничного слоя не зависят от Z, толщина слоя 6 = 0(е3/2), нормальная составляющая скорости в нем ип = 0(е1/2). Наличие пограничного слоя приводит во внутренних точках области к возмущению поля скоростей Лй = 0(б1'2), физически эквивалентному малому смещению стенок трубы. Можно показать, что в уравнениях для главного приближения во внутренних точках области функции »0, р0 присутствовать не будут, что позволяет не рассматривать их в дальнейших выкладках.
Подстановка разложений (2) в уравнения (1) приводит для главного приближения к отщеплению уравнений Эйлера для течения в поперечном сечении. Решение уравнений Эйлера содержит произвольные функции распределения скоростного напора и продольной скорости по поверхностям течения с произвольной зависимостью ОТ Z. Эти функции не могут быть найдены из условий на входе, так как на расстоянии 2=0(1) вязкость перестраивает течение в главном порядке. Идея метода многих масштабов заключается в том, что требование ограниченности функций Pi приближения 0(e) при 2->- ± оо приводит к дополнительным условиям для нахождения неопределенных функций главного приближения.
2. Необходимые условия ограниченности. Большие поперечные градиенты приводят к отщеплению поперечного движения в уравнении неразрывности, что позволяет ввести функцию тока 1J) для течения в поперечном сечении. Перейдем к ортогональной системе координат (£, -ф, z), такой, что поверхностями г|з = const являются цилиндры с образующими, параллельными оси г, совпадающие при z = z0 с линиями тока в поперечном сечении г|>(Х, У, 20) = const, «о (1. “ф, Zo) = (<7о, 0, и>о), а эле-
(1)
а = и0(Х, Y, z) + *Wu0(X, Y, z) + utl(X, Y,Z,z) + 0(&); р=р0(Х, Y, z) + e^p0(X, Y, z) + *Pl(X, Y, Z, z)-HO(s3/2).
(2)
менты длины имеют вид с11^=ейз = ек(г0, £, г|з)с^, с?/<р=ед,01 Л|>, й1г = йг (см. рисунок). В главном приближении из (1) получаем:
откуда следует, что р0+^/2 =Я0(г|з, г), ш0=^о(^, г), где Я0 и ш0 — произвольные распределения скоростного напора и продольной компоненты скорости, из (1) никак не определяющиеся. Для приближения О(е), принимая и, = (<71, Ш1), из (1) находим:
1 dw
<7о 0Z
h \ q0) h дф ' 1 q0 дг ’
w dqx , 1 _д_/я , л лЛ______m djo
1 a , , v 1 1 dWi
-^-3z^i + ®o®i) + x-W
a^o ' 1 д ( и , wa \ , „ , W0H,
■Vi“T57 W« + V + ®o?o + ---
(3)
-it ovo 1 ?!
здесь штрих означает дифференцирование по г|).
Выполним интегрирование (3) по замкнутым линиям г|з = const в сечении 2 = 20:
1 д q0 dZ
w° ~5Z ds = — H'° $ Vl ds ~ w« § ds + Ho $4ods'> + woWi)ds ^<$-i£ds — w’0§vxd$ —
1 д ( и і wo \ _ n X j. 1 ' u' £. ds
-§i;^{Ho + -f-)ds + w,o§^d^<Ho§^-Полагается, что для всякого значения Z0 существует предел
(4)
Hm (^‘ui('r’> z)ds}dZ
V0('h г).
Отметим, что такое предположение менее ограничительно, чем предположение о независимости функции от 2, принимаемое при выводе уравнений квазицилиндрического приближения для осесимметричных течений [3]. Указанный предел, например, существует и при наличии квазипериодических стоячих волн интенсивности О(е) на масштабах 2 = 0(1), которые могут иметь- место в докритических (по классификации [4]) осесимметричных течениях.
Проводя интегрирование (4) по 2 и совершая предельный переход 2-*- оо, получим необходимые условия ограниченности интегралов в левых частях (4) при 2->-оо:
3. Замена переменных и сравнение с осесимметричным и цилиндрическим течениями. Условия (5) должны быть выполнены во всех сечениях. В каждом сечении, каждой замкнутой линии тока \|э = const поставим в соответствие функцию A (i|3, z) — площадь, охватываемую этой линией.
Введем величину Го (Л, z) = (jpqods — циркуляцию и, переходя в
(5) от переменной ф к А, получим систему уравнений для величин wQ (А, г), Го (Л, z), Vo(A, г), Н0(А, г):
dw0+v dwo: 0 дг ' 0 дА
Wn
дТа
а г0
л ’+^ дг ал
дН0
'■ то Г0
(dJL>_
V дг
аз г0
1 а IV То дг
)+Ы'°Г°
дщ
На
)
дА
алз аг0
дА ’
dw0 дУ0
дг
дА
= 0,
(6)
г ая
где То (Л, г) = Ф — —время обхода частицей замкнутого контура. Ве-
личина т0 (Л, г) зависит от пространственной реализации течения и должна определяться из решения нелинейного интегро-дифферен-циального уравнения для функции тока в поперечном сечении
азф а х*
+
а^Ф а г»
~тт~ {А (Ф (Х’ У, *). г\г)
оА
(7)
с условием г|7 = const на границе области, а также условием ограничен-
аф с/ф ,
ности компонент скорости — , —^ внутри области.
и X о Y
Полученная система уравнений (6), (7), представляющая собой обобщение уравнений квазицилиндрического приближения [2], [3] на класс течений, отличных от осесимметричных, является основным результатом данной статьи.
В случае осевой симметрии нелинейность в диссипативных членах
исчезает, А — лг2, Го = 2яг<7, V=2лги, То=-^~—, w0 = w, Н0=р+ -У— ,
Я 2
и уравнения (6) вырождаются в известную систему [3]:
Для расчета течения в осесимметричной трубе г=Я(г) при помощи уравнений (8) достаточно задать следующие начальные и граничные условия:
w (г, *0) = w, (г); q (г, г0) = qt (г) ;
v (0, z) = q (0, z) = (0, z) = 0 ; q (R (г), г)
dr
гг> (/? (z), z) = we (z); v (R (г), z) = a (z) we (z).
(9)
Здесь а (г) — —^ 0----0 — угол наклона внешней нормали эле-
мента поверхности трубы к оси г. Последнее из равенств (9) следует из условия непротекания на стенках трубы. Уравнения (6), как и (8), образуют нелинейную систему параболического типа и их решение в общем случае может быть продолжено маршевым методом вниз по течению, если на каждом шаге известна функция То {А, г), получающаяся из решения (7), а также начальные и граничные условия, аналогичные (9):
Щ (A, zt) = w, (А) , Г0 (A, z0) = Т, (А) ;
)
(О, Z)
дА Х ’ 1
<
д Г0 дА
(О, z)
< Уо (0> z) — 0;
Го (Ае> 2) = г* (2); w0 (Ае, Z) = we (z) ■
У О (Ае> Z) = ®0 Z)§* (Z> S) ds’’
}
здесь Ае — площадь поперечного сечения трубы.
При наличии в задаче осевой симметрии, выбрав qe{z), we(z), совпадающими с соответствующими компонентами скорости движения стенки, можно в рамках квазицилиндрических уравнений (3.3) удовлетворить условиям прилипания на стенке. Для неосесимметричного течения сделать это в общем случае невозможно, так как продольная скорость w0(Ae, z) не зависит от координаты s, а скорость на границе ww(s, z) может зависеть, к тому же в условиях (3.5) можно задать лишь циркуляцию на границе Ге(г), а не распределение скорости qw(s, z). Аналогичная ситуация встречается при рассмотрении моделей течений в кавернах и отрывных зонах, где завихренность определяется из условий существования циклического пограничного слоя на стенке [5, 6]. ’ ■
Рассмотрим пограничный слой вблизи стенки трубы, в которое компоненты скорости меняются от qe\Ae, s, z), we(Ae, z) на внешней его границе до qw(s, z), ww(s, z) на стенке. Свяжем с каждым попе^ речным сечением z = const систему координат («, п, z) так, что коордй-. ната s направлена вдоль границы области в плоскости поперечного сечения, п — по внутренней нормали к границе области в плоскости поперечного сечения, элементы длины имеют вид dls=e,ds, dln = s3/2‘dn, dlz=dz (см. рисунок), а соответствующие компоненты скорости обозначим q, v, w. В пограничном слое решение представляется разложениями
q — q° (s, п, z) + О (г'/2) ; v — г1^ v° (s, п, z) + О (є);
us = w° (s, n, z) + 0 (e]/2) ; p = p° (s, z)-\-0 (sV2).
3—1361
38
Подстановка (И) в (1) и сращивание с внешним течением приводят к задаче
dw° dw° д3 w® dq° dv°
(12)
функции g°, v°, w°, p° должны быть периодическими по переменной S с периодом l(z), где / — длина границы. Задача (12) является двумерной (координата z входит в граничное условие как параметр) и отличается от рассматривавшихся ранее в работах [5, 6] лишь дополнительным уравнением для продольной компоненты скорости w°. Решение задачи (12) следует искать для каждого значения координаты z совместно с (6), (7), выбирая величины we(z), Ге(г) такими, чтобы получающееся в результате распределение скорости на внешней границе qe(s, z) допускало существование /-периодического решения задачи (12). Степень трудности решения такой задачи зависит от конкретного вида рас- ' пределений скорости на стенке ww, qw. Так, например, можно произвольно задать юе, Ге, решить (6), (7) и, если стенка движется с получающимися в результате скоростями qe(z, s), we(z), то пограничный слой вообще не возникает.
Регулярное продолжение решения системы (6), (7), по-видимому, возможно не всегда, так как для осесимметричных течений известно, что при проведении расчета возможен особый режим, когда при z->z* v-*- оо [1,3]. Такое особое состояние в ряде работ связывают с разрушением вихря, в частности, особым состоянием является критическое [1], так что нахождение положения особого состояния является важной задачей.
В работе [7] исследовалась задача о распределении продольной скорости и завихренности по поверхностям тока для цилиндрического течения, вызванного постоянным продольным градиентом давления.
Подобно тому, как решение с параболическим профилем скорости для течения вдали от входа в плоский канал может быть получено из уравнений Прандтля, описывающих течение на переходном участке [8], распределения скорости и завихренности по поверхностям тока для течения, рассмотренного в [7], должны получаться из уравнений (6).
д Н0 дро dw0 д Г0
Действительно, в этом случае-^- = ^- = С0 , -gj- — ~^- = V0 — 0; из
д Г
второго уравнения системы (6) получаем —9 = 2= const — усло-
дА
вие Прандтля — Бэтчелора для поперечного течения, а из первого уравнения
условие, совпадающее е основным результатом работы [7] (здесь С0, Си С2, гро — постоянные, определяющиеся через граничные условия).
Таким образом, в настоящей статье получена система нелинейных уравнений параболического типа (6), описывающая диффузию цирку-
t+C' f -Г1
J ф 9о
Фо
Ф
+С2-— (13)
ляции Го и продольной компоненты скорости w0 в пространстве (А, г) на семействе решений уравнений Эйлера. Для замыкания системы (6) необходимо использовать интегро-дифферендиальное уравнение (7), решение которого позволяет получить функцию т0(А, г), а также произвести отображение (X, Y) ->Л. Показано, что полная система уравнений
(6), (7) при наличии осевой симметрии переходит в систему уравнений квазицилиндрического приближения (8), обобщением которой она является. С другой стороны, показано, что для цилиндрических (д/дг = 0) неосесимметричных течений из уравнений (6) следуют условия на распределение функции ©о и Г0 по поверхностям тока, совпадающие с полученными в работе [7]. Следовательно, течения, рассмотренные в [7], также являются частным случаем из класса течений, описываемых полученной системой уравнений (6), (7).
Предложенный подход к изучению сильно закрученных течений позволяет глубже понять сущность квазицилиндрического приближения для осесимметричных течений и может оказаться полезным при расчетах течений вязкой жидкости в неосесимметричных трубах.
Автор благодарит В. Я. Нейланда за обсуждение результатов работы и полезные советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Leibovich S. The structure of vortex breakdown.—Annual Review of Fluid Mech., 1978, vol. 10.
2. G art shore I. S. Recent work in swirling incompressible flow.—
NRC Can. Aero Rep., LR-343, 1962.
3. H a 11 M. G. Vortex breakdown. — Annual Review of Fluid Mech.,
1972.
4. Benjamin Т. B. Theory of the vortex breakdown phenomenon. —
J. Fluid Mech., 1962, vol. 14.
5. Wood W. W. Boundary layers whose streamlines are closed.—
J. Fluid Mech., 1957, vol. 2, p. 1.
6. Чернышенко С. И. О приближенном способе определения завихренности в зоне отрыва при вязкости, стремящейся к нулю. — Изв.
АН СССР, МЖГ, 1982, № 1.
7. Blennerhassett P. J. A three-dimensional analogue of the Prandtl — Betchelor closed streamline theory.—J. Fluid Mech., 1979, vol. 93, p. 2.
8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969.
Рукопись поступила 4/XI 1985 г.
