О некоторых свойствах функций класса $$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 517.55

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ КЛАССА а

© С.И. ФЕДИН

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского,

кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Федин С.И. — О некоторых свойствах функций класса а // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2011. № 26. С. 277—281. — В статье мы рассмотрели граничные свойства функций класса Неванлинны ав C2.

Ключевые слова: область класса (T), класс Неванлинные а, класс Харди h^

Fedin S. I. — On some properties functions class а // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Be-linskogo. 2011. № 26. P. 277-281. — In this article we considered boundary properties of functions Nevanlinna’s class in C2.

Keywords: domain class (T), Nevanlinna’s class а, Hardy class hi

Пусть ri (т), Г2 (т) - функции А. А. Темлякова [3], определяющие выпуклую ограниченную полную двоякокруговую область D с центром в начале координат пространства C2 двух комплексных переменных, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне (область класса

(T)).

Определение 1. [1]. Мы скажем, что регулярная в области D функция f (^1,^2) принадлежит:

1)классу а, если

2п 1 2п

lim j dt j dr j ln+ f ^r1 (t) pei0, r2 (t) j

0 0 0

2)классу hi (0 < S < ж), если

d0 < oo,

2n 1 2n

lim —к dt I dT

p-і 4n2J J J

0 0 0

f (ri (t) pei0, Г2 (t) d0 = hi (f) < ж.

Теорема 1. Для того чтобы измеримая (в смысле трёхмерной меры Лебега) функция у>(гі (т) в®0, Г2 (т) ег(0-4)), определённая на границе дП области П, почти всюду на дП совпадала с угловыми граничными значениями / (гі (т) в®0, Г2 (т) ег(0-4)) некоторой функции / (¿і, ¿2) класса а, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность многочленов {Рп (¿і, ¿2)} в области П таких, что:

1) {Рп (гі (т) в®0, Г2 (т) вг(0-4)) }почти всюду на дП сходится к (гі (т) в®0, Г2 (т) вг(0-4)) ;

n—юо

_____2п 1 2п

2) lim J" dt / dT J" ln+ |Pn (r1 (t) ei0, r2 (t) ei(0-i)) | d0 < ж..

0 0 0

Доказательство. Пусть угловые граничные значения / (гх (т) в®0, Г2 (т) вг(0-4)) функции / (¿1, ¿2) класса а совпадают почти всюду на дР с измеримой функцией ^ (г1 (т) в®0,Г2 (т) вг(0-4)), определённой на дР. По определению 1 найдётся постоянная С > 0 такая, что

2п 1 2п

j dt j dT j ln+ f ^r1 (t ) pe®0 ,r2 (t ) pei(0— 0 0 0

dö < C.

Рассмотрим последовательность голоморфных в области D функций |f„ (zi, z2) = f ^pZ1, pz^) }, 0 < pn <

1, lim pn = 1 Для голоморфной функции Fn (zi,z2) по теореме Рунге существует многочлен Pn (zi,z2)

n——

такой, что

|Fn (zi,Z2) - Pn (zi,Z2)| < £n, lim £n = 0.

n—— ^

Так как lim f (ri (t) pnei0, r2 (t) pnei(0-i)) = f (ri (t) ei0, r2 (t) ei(0-i)) , то последовательность {Pn(ri (т) ei0

n—^

Г2 (t) e^))} почти всюду на dD сходится к ^ (ri (т) ei0,Г2 (т) ei(0-i)) и

2п i 2п

J dt J dT J ln+

0 0 0

Pn ri (t) e® , Г2 (t) e'

_i(0—i)

dö < C.

Необходимость условий 1) и 2) доказана.

Достаточность. Пусть для функции ^ (г (т) в®0, Г2 (т) вг(0-4)) и последовательности многочленов {Рп (¿1, ¿2)} выполнены условия 1) и 2). Для любой точки (¿1, ¿2) € Рр С Р (р < Д < 1) имеем [1]

2п 1 2п

1П |Р„ (¿1, ¿2)| < Д2 + 2Др - р2 ^ / йт / X

(R - р)2 4п2

0 0 0

х ln+

Pn (ri (t) Äei0,Г2 (t) Pei(0-i))

dö < 1 + 2р 2р2 Ci. “ (1 - р)2

Так как р < 1 - произвольное число, то все функции {Рп (¿1, ¿2)}равномерно ограничены в Р. Тогда выполнены условия теоремы 2 [2], из которой немедленно вытекает достаточность.

Определение 2. Скажем, что функция / (21,22) класса а принадлежит классу а*, если

2п 1 2п

lim J dt у dT J ln+

0 0 0 2п 1 2п

= J dt J dT J ln+

0 0 0

f ri (t) pe® , Г2 (t) pe

ei(0 — t)

J dt J dT J ln+ f ^r1 (t) e®0,r2 (t) ei(0 i)j

dö

dö.

Теорема 2. Для того, чтобы функция / (¿1, г2) класса а принадлежала классу а* , необходимо и достаточно, чтобы для почти всех (і, т) существовали действительное число 6 > 0 и функция распределения а(4,т) ($), удовлетворяющая условию

2п

У ln <г(^т) (ö) dö > -ж,

(1)

такие, что

2п

f (r1 (t) e®0,Г2 (t) ei(0 iM da(i,T) (ö) < ж

(2)

s

2п

lim J ln+ f (r-! (t) pei0,Г2 (т) pei(0 i}W(ijT) (pei0

d0

2n

ln+

f ( r! (t) ei0, r2 (t) ei(e 4) ^CT^T) (0)

d0,

(3)

где

2n

W(t,T) (0)=exp I 2^/

„¿0

ln CT

(t,T)

(0) d0

(4)

:zi +

1 — т

Z2ei4.

ri (t) Г2 (t)

Заметим, что выражение (4)имеет смысл для всякой функции распределения ст(t,T) (0), удовлетворяющей условию (1).

Доказательство. Если f (zi,z2) G а* , то для почти всех (t,T) функция f (ri (т) u, r2 (т) ue-ii) G N* в единичном круге |и| < 1 [8]. Тогда по теореме [5] для почти всех (t, т) существуют вещественное число S > 0 и функция распределения ст(t,T) (0), удовлетворяющая условию (1), такие что имеем (2), (3) и (4).

Достаточность. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по той же теореме [5] для почти всех (t, т) функция f (ri (t ) и, Г2 (t ) u-it) G N* в единичном круге |u| < 1 ив силу суммируемыми ln+ |f | на границе области D f (zi, Z2) принадлежит классу а*.

Замечание 1. Если в доказанном предложении ст(t,T) (0) = 0, то функция f (zi, Z2) переводится из класса а в класс hi.

Обозначим Mf (p) = max |f (zi, z2) |, p < 1.

(zi,Z2)EDp

Теорема 3. Если f (zi, Z2) G hi, то

Mf (p) <

hi (f)

1 + 2p - p2 (1 - p)2

, p< 1.

(5)

Доказательство. Для f (zi,z2) G hi имеем

2n i 2n

« Д2 + 2Rp - p2 1

f(R ■!)

<

(Д - p)2 4n2

j dt j dT j f (ri (t) Rei0,r2 (t) Rei(0 4)j

d0 p < Д < 1.

000

Переходя в этом неравенстве к пределу при Д ^ 1, после элементарных рассуждений получим (5). Лемма. [1] Для того чтобы регулярная в области Р функция / (¿1, ¿2) принадлежала классу ^, необходимо и достаточно:

1)для почти всех (¿, т) (в смысле плоской лебеговой меры) / (г1 (т) и, Г2 (т) м-®4) в единичном круге |м| < 1 принадлежит классу Н5 ;

2) на границе Р |/15 суммируема.

Теорема 4. Пусть / (21,22)= ^2 апт21П21т ■

1. Если f (zi, Z2) G hi (1 < S < 2), то для почти всех (t, т) ряд

и

вгв — и

i

Е

п=0

£«

т=0

т—т,т

[Г1 (Т)Гт [Г2 (т)Г

5

¿-1

(6)

сходится.

2. Если при 5 > 2 для почти всех (¿, т) ряд (6) сходится и |/|й суммируема на границе Р, то / (21,22) € Лй (5 > 2).

Доказательство.

1. Всякая функция / (21,22), голоморфная в области Р, может быть представлена в виде диагонального ряда

/ (¿1, ¿2) = ]Т ]Г а„_т,тгГтг2т

п=0 т=0

Поэтому

оо / п \

/ (гі (т) М, Г2 (т) Мв-®4) = Е Е ап-т,т Г (т)]п-т [^ (т)]™ Є-ітЧ МП.

п=0 \т=0 /

Из условия первой части теоремы по лемме для почти всех (£, т) функция / (г1 (т) м, Г2 (т) м-®4) € Нй (1 <5 < 2) в единичном круге |м| < 1. Следовательно, для неё имеет место теорема Юнга-Хаусдорфа, т. е. для почти всех (¿, т) ряд (6) сходится.

2. Справедливость утверждения второй части теоремы 4 вытекает из второй части теоремы Юнга-Хаусдорфа по лемме.

Замечание 2. При 5 = 2 из теоремы 4 получается простое описание функций класса Л-2: для того чтобы

О

функция / (21, 22) =5^ а„т2”2т принадлежала классу Л-2, необходимо и достаточно, чтобы для почти

п,т=0

всей системы (¿, т) ряд

ОО п

Е

Е«п-т,т [Г1 (т)]П-т [Г2 (т)]“ в-

сходился.

Теорема 5. Если / (21, 22) = ^2 апт2П2т € Лй (5 < 1) , то для всех п + т > 0

п,т=0

|апт| <

1

( 2п 1 / 2п г. \ <5 N

(2 ■12+1 2 * 2 ¿т ( 2 |/ (г1 (т) в®0, г2 (т) в®(0-4)) | ¿0 (2п)г 0 0 \0

<

\

2 [г1 (т)] П [г2 (т)] “ ¿т

0

(п + т + 1)

Доказательство. Для коэффициентов функции

оо / к \

/ (г 1 (т) м, г2 (т) мв-®4) = ^2 ( ^ ак—1,1 [г1 (т)}к-1 [г2 (т)}1 в~ъН\ мк € Нй (5 < 1)

к=0 \ 1=0 )

для почти всех (£, т) в единичном круге |м| < 1 Г.А. Фридманом получена оценка

Е^-М [г1 (т)]к 1 [г2 (т)]1 е М

1=0

<

(7)

1

2П

2п

/ гі (т) е® ,Г2 (т) е'

(т) еі(0-4)

¿0 I (к + 1)15-1 , к = 0,1, 2,....

(8)

2

Возведя обе части каждого из неравенств (8)в квадрат и интегрируя по всем т и £ соответственно от 0 до 1 и от 0 до 2п, имеем

1. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных// ДАН СССР. 1958. Т.120, №5. С. 935-938

2. Айзенберг Л. А. Теорема Фату, сходимость последовательностей, теоремы единственности аналитических функций многих комплексных переменных // Учёные записки МОПИ им. Н.К. Крупской. 1959. Т. 77. С. 111-124.

3. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957, Т.21. С. 79-82.

4. Федин С. И. Граничные свойства функций класса Неванлинны а* // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18(22). С. 26-29.

5. Цыганков А. А. Критерий принадлежности классу Р функции из класса А // Мат. зап. Свердловского университета. 1977. Т. 10. № 2. С. 161-169.

2

Отсюда приходим к искомой оценке (7).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ