Граничные свойства функций класса Неванлинны Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17)2009

IZ VESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17)2009

УДК 517.55

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА НЕВАНЛИННЫ а

© С. и. ФЕДИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Федин С. И. - Граничные свойства функций класса Неванлинны а // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 35-37. - В статье мы рассмотрели свойства функций класса Неванлинны а в области класса (T ) пространства C2 .

Ключевые слова: область класса ( T ), класс Неванлинны а, наименьшая бигармоническая мажоранта.

Fedin S. I. - Boundary prorerties of functions Nevanlinna's class а // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 35-37. - In this article we considered some properties of functions Nevanlinna's class а in domain of class (T) in space C .

Keywords: domain class (T), Nevanlinna's class а, minimum biharmonic major.

Пусть r (r)>r2 (x), " функции А. А. Темлякова [2], определяющие выпуклую ограниченную полную двоя-кокруговую область D с центром в начале координат пространства C2 двух комплексных переменных, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне (область класса ( T )).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ [1]. Мы скажем, что регулярная в области D функция f (zj,z2) принадлежит классу а, если

2п 1 2п

lim-^y J dt\dx\ln+ f (l (x)Pe'9, r2 (x)pe'(e_i)) d0=a(f)

< ж.

0 0 0

ТЕОРЕМА 1. Если /^^)еа, то для почти всех (/,т) (в смысле плоской лебеговой меры)

Г ( (т)

и, г2 (т)ие й) в единичном круге \и\ < 1 принадлежит классу N, радиальные предельные значения

/ (1 (т)е'е, г2 (т)ег(6 1)) существуют почти всюду на дБ, причем на границе Б 1п+ /1г (х)в'®, Г2 (х) г^ 1 мируема.

Доказательство. По определению имеем

сум-

2% 1 2п

lim J dt J dx\ ln+ f (r (x)pe'9, r2 (x)pei(e_t^

000

d9 <x>.

ln4

Внутренний интеграл j ln+ f |r (х)рег6,Г2 (x)pe^6 0

f Ir (x) 11, r2 (x)ue'iQ~t^

d9 возрастает с возрастанием p, так как функция

того

,г2 (х)ие ,т

Нш / (1 (т)рег9, Г2 (т)рег(9 1)) существует при почти всех 9 . По лемме П. Фату получим

2п 1 2п 2п 1 2п

I ^| ¿х 11п+ Г (г (х) е'в, г2 (х)е^>) d9 <Нш | Л| dx^ 1п+ /(г1 (х)рег9, г2 (х)рег(9^>)

субгармоническая в единичном круге \и\ < 1, и обязан быть ограниченной функций от

р для почти всех (/, т). Для почти всех (/, т) имеем f ^ (х) и, г2 (х) ие и N в единичном круге |и| < 1, и, кроме

0 0 0

d 9 <<».

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

ТЕОРЕМА 2. Если f (z1 ,z2)еа, f (z1 ,z20 и

2n 1 2n

ln

f\

RR

, 2П i 2П / \

J dt] dT J P [ R, е-ф I ln f (r (x) Re«, r2 (x) Re

4n 0 0 0 ^ '

d 0,

i-T

регф =—— zi +——z2e-'t, 0<p<R <i,

ri (T) r2 (T)

(1)

P\p0- | = R -4p2R2+4p3R cos(е-ф)-р'

\ R ' ф| Г„2,2 '

4

[R 2 +p2 - 2pR cos (0-ф)]

то суббигармоническая в D функция ln\f (Zj ,Z2 )| имеет наименьшую бигармоническую мажоранту.

d0.

{ Z1' Z2 2n i 2n

1 2П 1 2П / \

[f (zi,z2)] = Hm — J dtjdtJ P^R,0^J ln f (r (x)Reß,r2 (x)Re^)

гво. По теорема Гарнака бигармоническая функция 1 2п 1 2п / \

uR [ f (zi,z2 )] = j dtj dT j PI R, е-ф) ln f (ri (x) Reß, r2 (x) Re

n n n^ J

0 0 0

возрастая при R ^ 1, сходится к конечной бигармонической функции u [ f (zi ,z2 )] = lim Ur [ f (zi z )] в D.

R^i

В силу (1) имеем ln\f (Zj,Z2)| <u[f (Zj,Z2)], так что u[f(z1 ,z2)] - наименьшая бигармоническая мажоранта функции ln\f ( Zi ,z2 )|.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (z1, z2 ), удовлетворяющая условию (1), принадлежала классу а, необходимо и достаточно, чтобы наименьшая бигармоническая мажоранта для ln\f (Zi,z2)| принадлежала классу а.

Доказательство. Достаточность следует из того, что u + [ f (z1, z2 )] > ln+ [ f (z1, z2 )] в D .

Докажем необходимость. По лемме Фату

2п 1 2п г -. 2п 1 2п г -,

J dtj d%\ u+ f I r (х)регф, r2 (x^e^) dq = J dt\ dx\ lim uR f I r1 (х)регф, r2 (x)pe^l dq< 0 0 0 0 0 0

2n 1 2n

(2)

< to J dt J dx J uR f (r (x) регф, r2 (x) pei(9"t})

0 0 0

d ф.

Из определения наименьшей бигармонической мажоранты для ln\f (Zj,Z2)| имеем

2п 1 2п

f (ri (x^Vj (x)pe^ ))]< -L j dt J d xj P I R,0-<p|x

0 0 0

(3)

xln+

Подставляя (3) в (2), получим

2п 1 2п

f (r (х)Reß,r2 (х)Re,{Q~t)) d0. им

2% 1 2% f

J dtJ dx J u+ f (r (х)регф, r2 (т)^4") I

0 0 0

d ф <

2n 1 2n

lim [ dt f dx i p .1 J J J

0 0 0

I dt\dx^ Р [ , е-ф) 1п+ / (Г! (х) Ее®, г2 (х) Яе'^)) _0 0 0 ^Я ' 1 1 2п / \

Наконец, замечая, что —— | dt|dx^ РI —,0-ф рф = 1 и меняя порядок интегрирования, находим 4п о 0 0 ^ ^ '

| dt|dх| и+ f (г (х)регф,г2 (х)ре^^)) dф < 1ип | dt|dx\ 1п+ f Iг1 (х)ReIв,г2 (х)Re'{в-t)1 0 0 0 R^1 " то есть и [ / (г1, z2 )]еа.

0 0 0

d0 ,

u

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ ►►►►►

Обозначим М/ (р)= тах_ |/(21 ,22 )|.

( 21,22 )е-°р

ТЕОРЕМА 4. Если f (х^ )еа и удовлетворяет условию (1), то

л1+2р-р2

)2

Mf (р)< е (1-р)

Доказательство. По условию теоремы

1п

Я Я

Я2 + 2рЯ -р* 1 (Я -р)2 4л2

2

<

2п 1 2п

] л] dX 11п+ / (г1 (т) Яе,е, г2 (т) Яг,{^>)

d 0.

0 0 0

переходя в этом неравенстве к пределу при Я ^ 1, после элементарных рассуждений получим утверждение теоремы.

список литературы

1. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных // ДАН СССР. 1958. Т.120. № 5. С. 935-938.

2. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т.21. С. 79-82.