О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ВЕРШИНЫ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫМИ ТОЧКАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.112.3

О некоторых свойствах четырехугольника, вершины которого являются замечательными точками треугольника

Ю.Н. Мальцев, Е.П. Петров

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

On Some Properties of a Quadrilateral Whose Vertices are Remarkable Points of the Triangle

Yu.N. Maltsev, E.P. Petrov

Altai State University (Barnaul, Russia)

Данная статья посвящена геометрии треугольника, в частности, изучению взаимного расположения вполне определенных замечательных точек неравнобедренного треугольника ABC, где H, I, G, O, N — соответственно его ортоцентр, центр вписанной окружности, центр тяжести, центр описанной окружности и точка Нагеля. В работе доказаны следующие основные результаты: четырехугольник HNOI является трапецией, диагонали которой пересекаются в точке G, HN параллельна IO, HI не параллельна NO и угол HIO>90°; в трапеции HNOI один из углов равен 90° тогда и только тогда, когда p2 = 2R2 + 10Rr - г2, где p, r, R — соответственно полупериметр, радиусы вписанной и описанной окружностей. Найдены необходимые и достаточные условия, когда около трапеции HNOI можно описать окружность; в трапецию HNOI нельзя вписать окружность; трапеция HNOI не является ортодиагональной; найдена площадь трапеции HNOI, выраженная через параметры p, г, R исходного треугольника ABC. Полученные в статье результаты могут быть использованы при чтении различных курсов по олимпиадной математике, могут быть полезны учащимся старших классов и учителям гимназий с углубленным изучением математики.

Ключевые слова: треугольник, трапеция, замечательная точка, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.

DOI: 10.14258/izvasu(2022)4-19

This article is devoted to the geometry of a triangle, in particular, to the study of the relative position of well-defined remarkable points of a non-isosceles triangle ABC, where H, I, G, O, N are the orthocenter of the triangle, the center of the inscribed circle, the center of gravity, the center of the circumscribed circle, respectively, and the Nagel point. We prove the following main results: the quadrilateral HNOI is a trapezoid whose diagonals intersect at the point G, HN is parallel to IO, HI is not parallel to NO, and angle HIO > 90°; in the trapezoid HNOI one of the angles is equal to 90° if and only if p2 = 2R2 + 10Rr - r2, where p, r, R are respectively the semiperimeter, radii of the inscribed and circumscribed circles; necessary and sufficient conditions are found when a circle can be described near the trapezoid HNOI; a circle cannot be inscribed in the trapezoid HNOI; the trapezoid HNOI is not orthodiagonal; the area of the trapezoid HNOI is found, expressed in terms of the parameters p, r, R of the original triangle ABC. The results obtained in the article can be used when reading various courses in Olympiad mathematics, can be useful for high school students and teachers of gymnasiums with in-depth study of mathematics.

Key words: triangle, trapezoid, remarkable point, radius of the circumscribed circle, radius of the inscribed circle.

Введение

В последние десятилетия, как мы знаем, появилось достаточно много исследовательских работ по геометрии треугольника, в частности по изучению замечательных точек треугольника: описание их свойств, методов нахождения расстояний между замечательными точками треугольника и др. Возникает определенный интерес к конфигурации этих точек (см. [1 - 7]). Именно: какие имеются условия на вза-

имное расположение некоторых вполне определенных замечательных точек?

Этому вопросу и будет посвящена настоящая работа, в которой мы будем изучать конфигурацию, следующих замечательных точек некоторого треугольника: его ортоцентра, центра описанной окружности, центра тяжести, центра описанной окружности и точки Нагеля.

Известия АлтГУ. Математика и механика. 2022. № 4 (126)

Итак, пусть ABC — треугольник, S^abc — его площадь и H, I, G,O,N - соответственно его ортоцентр, центр вписанной окружности, центр тяжести, центр описанной окружности и точка Нагеля [1, 2].

Пусть также a = BC, b = AC, c = AB, a = ZBAC, в = ¿ ABC, y = ¿ACB и p,r,R - соответственно полупериметр, радиусы вписанной и описанной окружностей. Известно, что точки H, G, O лежат на одной прямой (так называемой первой прямой Эйлера [1, с. 55]) и точки I, G, N тоже лежат на одной прямой (называемой второй прямой Эйлера [1, с. 57]) (см. рис.):

N

H

При этом [1, 2]

2 ■ GO = HG,

2 9R2 + 8Rr + 2r2 - 2p2

GO2 =

HG2 = -(9R2 + 8Rr + 2r2 - 2p2), 9

2 IG = GN,

GN2 = -(p2 + 5r2 - l6Rr), 9

IG2 =

j)2 — l6Rr + 5r2

9

В работе [3] доказывается, что первая и вторая прямые Эйлера совпадают (то есть точки H, I, G, O, N лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда AABC является равнобедренным. В настоящей работе мы предполагаем, что AABC не является равнобедренным, и изучаем свойства четырехугольника HNOI.

Основные результаты. Обратимся теперь к доказательству основных свойств четырехугольника HNOI.

Предложение 1. Пусть AABC не является равнобедренным. Тогда четырехугольник HNOI является трапецией, диагонали которой пересекаются в точке G, HN параллельна IO, HI не параллельна NO и ZHIO > 90°.

Доказательство. Рассмотрим рисунок. Согласно [1] HG = 2 ■ GO, GN = 2 ■ GI и согласно [2]

HN2 = -(R2 — 2Rr) = (2 ■ IO)2,

то есть HN = 21О. А1СО подобен АНСШ (с коэффициентом подобия 2). Следовательно,

¿HNI = ¿СЮ, ^НС = ¿С01

и HN || Ю.

Если Н1 параллельна N0, то

¿1НС = ¿С0N, ¿Н1С = ¿СЖО

и треугольники АНЮ, АСN0 являются подоб-

1С НС 1 ными, то есть ——- = —— или - = 2. Противоре-

с1\ СО 2 чие. Следовательно, Н1 не параллельна N0.

Пусть Л = ¿НЮ. Тогда по теореме косинусов имеем, что НО2 = Н12 + Ю2 - 2Н1 ■ Ю cos Л и

НО2 - Н12 - Ю2 = = (9 К2 +8Rr + 2г2 - 2р2) - (4К2 + 4Кг + 3г2 -р2)-- (К2 - 2Кг) = (4К2 + 6Кг - г2) - р2 > > (4К2 + 6Кг - г2) - (4К2 + 4Кг + 3г2) = = 2Кг - 4г2 = 2г(К - 2г) > 0,

так как ААВС не является правильным и р2 < 4К2 + 4Кг + 3г2 (см. [2]). Откуда следует, что cos Л < 0 и Л = ¿НЮ > 90°. Предложение доказано.

Замечание 1. Пусть р = ¿HN0. По теореме косинусов имеем, что

НО2 - НN - 0N2 = -2HN ■ 0N ■ ^ р = = (9К2+8Кг+2г2-2р2)-4К2+8Кг-К2-4г2 +4Кг = = 2(2К2 + 10Кг - г2 - р2).

Если ААВС является прямоугольным неравнобедренным треугольником, то р = 2К + г [2] и (2К2 + 10Кг - г2 - р2) = -2(К - 2г)(К - г) < 0, то есть ¿р < 90°.

Если ААВС является неравнобедренным с углом 60°, то 1 является корнем многочлена

4К2х3 - 4К(К + г)х2 +

+ (р2 + г2 - 4К2)х + (2К + г)2 - р2 =0

[2, с. 33]. Следовательно, р2 = 3(К + г)2 и 2К2 + 10Кг - г2 - р2 = -(К - 2г)2 < 0 и ^ р> 0, то есть 0 < р < 90°.

Пусть в ААВС а = 10, Ь = 6 и с = 14. Тогда а = Цг и согласно работе [8] К = 14 г,р = Ьу^г и

(2К2 + 10Кг - г2) - р2 = — г2 > 0,

9

то есть cos р < 0 и р > 90°.

Приведенные примеры показывают, что в трапеции HN0I угол ¿HN0 может быть как острым, так и тупым.

9

Предложение 2. Пусть A ABC не является равнобедренным. Тогда в трапеции HNOI один из углов равен 90° тогда и только тогда, когда p2 = 2R2 + 10Rr - г2.

Доказательство. Рассмотрим рисунок.

Ранее мы заметили, что ZHIO > 90° и, следовательно, ÁNHI < 90°. Поэтому, если в трапеции HNOI один из углов равен 90°, то

ZHNO = ÁION = 90°

и по теореме Пифагора HO2 = HN2 + ON2, то есть 9R2 + 8Rr + 2г2 - 2p2 = 4(R2 - 2Rr) + (R- 2г)2 или p2 = 2R2 + 10Rr - г2.

Обратно, пусть pP2 = 2R2 + 10Rr - г2. По теореме косинусов HO2 = HN2 +ON2-2HN •ON cos ф, где ф = ZHNO. Откуда следует, что cos ф = 0 и ф = 90°. Предложение доказано.

Предложение 3. Пусть A ABC не является равнобедренным. Тогда около трапеции HNOI можно описать окружность тогда и только тогда, когда p2 = 3R2 + 8Rr - г2 и R> |г.

Доказательство. Известно, что около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она является равнобокой. Условие HI = NO равносильно [2]

HI2 = 4R2 + 4Rг + 3г2 - p2 =

= ON2 = (R - 2г)2 = R2 - 4Rг + 4г2

или равенству p2 = 3R2 + 8Rг - г2. Подставим полученные значения для p2 в фундаментальное неравенство треугольника [9, 2] (p2 - 2R2 - ^г + г2)2 < 4R(R - 2г)3. Получим, что (R - 2г)2[4R(R - 2г) - R2] > 0 или, учитывая, что R> 2г^> |г. Предложение доказано.

Напомним, что выпуклый четырехугольник ABCD называется ортодиагональным, если его диагонали AC и BD перпендикулярны [10]. Справедливо следующее утверждение.

Предложение 4. Пусть A ABC не является равнобедренным. Тогда трапеция HNOI не является ортодиагональной.

Доказательство. Рассмотрим рисунок.

п

Предположим противное. Тогда ZNGO = — и по теореме Пифагора ON2 = OG2 + GN2. Сле-

довательно, согласно [2] ON2 = (R - 2г)2 =

= 4(p2 +5г2 - 16R^+ 9

+

(9R2 + 8Rг + 2г2 - 2p2)

9

или p

2

10Rг + 7г2. Согласно [2, 9] для любого треугольника справедливо неравенство

p2 > 16Rr — 5r2. Следовательно, 12Rr > 6R2 или 2r > R. Так как R > 2r согласно [2, 9], то R = 2r и треугольник ABC является правильным [9]. Противоречие. Предложение доказано.

Имеет место следующее утверждение.

Предложение 5. Пусть A ABC не является равнобедренным. Тогда в трапецию HNOI нельзя вписать окружность.

Доказательство. Предположим противное. Тогда HN + OI = HI + ON. Так как HN = 2 • OI, то 3 • OI = HI + ON или

9 • OI2 = HI2 + ON2 +2 • HI • ON. Согласно [2]

OI2 = R2 — 2Rr,

HI2 = 4R2 + 4Rr + 3r2 — p2,

ON = (R - 2г).

Следовательно,

9(К2 - 2Rr) = (4К2 + 4Rr + 3г2 - р2)+

+ (К2 - 4Rr + 4г2) + 2 • Н1 ■ ON

или 4К2 - 18Кг - 7г2 + р2 = 2 ■ Н1 ■ ON. Возводя левую и правую части последнего равенства в квадрат, получаем, что

(р2 + (6К2 - 26Кг + г2))2 =

= 36(К4 - 6К3г - 8Кг3 + 12К2Г2 ) =

= 36К(К - 2г)3

или р2 = -(6К2 -26Кг+г2) ±6(К-2т) ^К2 - 2Кт. Так как р2 > 16Кт - 5т2 (см. [2], [9]), то

р2 + 6К2 - 26Кт + т2 >

> 6К2 - 10Кт - 4т2 =

2(R - 2r-)(3R + г) > 0.

Следовательно,

p2 = - (6R2 - 26Rr + г2) + 6(R - 2г)\[в2-2Кг.

Согласно фундаментальному неравенству треугольника [2, 9],

p2 > 2R2 + 10Rг - г2 - 2(R - 2г)\[в2-Жг.

Следовательно, 8(R — 2r)VR2 — 2Rr > 8R2 — 16Rr или %/R2 — 2Rr > R (так как R — 2r > 0). Противоречие. Предложение доказано.

Пусть далее Si = Saiog, S2 = Saigh, S3 = Sagon, S4 = Saghn и S - площадь трапеции HNOI. Так как GN = 2 • IG, HG = 2 • GO, то S2 = S3 = 2S1, S4 = 4S1 и S = Shnoi = 9S1.

Известия АлтГУ.Уатематика и механика. 2022. № 4 (126)

Теорема. Пусть треугольник ABC не является равнобедренным. Тогда площадь трапеции HNOI равна

S.

hnoi —

— -^J4R(R - 2r)3 - (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2

R2^ (1 - cos(a - ¡3))(1 - cos(a - 7)) • (1 - cos(e - 7))

Из теоремы следует, что

Shnoi — -(4R(R - 2r)3-

1

- (3R2 + 8Rr - r2 - 2R2 - 10Rr + r2)2) 2 —

-^4R(R - 2r)3 - (R2 - 2Rr)2

Доказательство. В работе [3] доказано, что

= -(К - 2г)уК(3Я —8г).

Следствие доказано.

Замечание 2. Пусть р = ZHNO и h - высота трапеции, опущенная из вершины О на сторону HN. Тогда

Si — Saiog —

— 1 V4R(R - 2r)3 - (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2. Следовательно,

h

ON — sin v, ON — R - 2r,

OI + HN h 3 • OI h S — shnoi —-2-• h — —2— • h,

так как HN — 2 • OI. Следовательно,

S — Shnoi — 9 • Si — -

— -^4R(R - 2r)3 - (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2.

В работе [4] доказано, что

((1 - cos(a -

• (1 - cos(a - 7)) (1 - cos(e - 7)) — _ 4R(R - 2r)3 - (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2

— 88R .

h 2 1 Я

h— 3 • OI • S —

2 ^4R(R - 2r)3 - (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2 3

3

VR(R - 2r)

4

1( 2)2 I (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2 2(R - 2r) ^ 2 Í1--4(R - 2r)3 • R-

— (R - 2r)s1 -

(p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2

4R(R - 2r)3

Откуда следует, что

Shnoi — 2 v2r2( (1 - cos(a - ?))•

(1 - cos(a - 7)) (1 - cos(e - 7)) ) .

p2 — 3R2 +8Rr - r2.

sin v

h

h

ON R 2r

(p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2

1

4R(R - 2r)3

Теорема доказана.

Следствие. Пусть треугольник ABC не является равнобедренным и около трапеции HNOI можно описать окружность. Тогда ее площадь равна

3

В частности, если трапеция HNOI является рав-нобокой, то согласно предложению 3

p2 — 3R2 +8Rr - r2, (p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2 4R(R - 2r)3

(R2 - 2Rr)2 4R(R - 2r)3 R

Shnoi —-(R - 2r)y/R(3R - 8r).

Доказательство. Согласно предложению 3

1

> -

4(R - 2r) 4

(p2 - 2R2 - 10Rr + r2)2 1 1 3

и 1 — ----—-— < 1--— -, то есть

4R(R - 2r)3 4 4'

V3

sin v < и v < 60o или v > 120°.

2

2

и

Библиографический список

1. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. М., 1962.

2. Мальцев Ю.Н., Монастырева А.С., Петров Е.П. Замечательные точки и неравенства в треугольнике. Барнаул, 2021.

3. Maltsev Yu.N., Monastyreva A.S. On some properties of triangle OIG // The teaching of Mathematics. 2020. Vol. 23. № 2.

4. Мальцев Ю.Н., Монастырева А.С. О некоторых замечательных точках и отрезках в треугольнике // Известия Алт. гос. ун-та, 2021, № 1(117). DOI: 10.14258/izvasu(2021)1-18.

5. Andrica D., Barbu C. A geometric proof of Bludon's inequalities // Math.Inequal.Appl. 2012. Vol. 15. № 2.

6. Kimberling C. Central points and central lines in the plane of triangle // Math. Mag. 1994. Vol. 67.

7. Kimberling, C. Triangle centers and Central Triangles // Congr. Numer. 1998. Vol. 129.

8. Maltsev Yu.N., Monastyreva A.S. On triangles with sides that form an arithmetic progression // Известия Алт. гос. ун-та, 2020, № 1(111). DOI: 10.14258/izvasu(2020)1-18.

9. Мейдман С., Солтан В. Тождества и неравенства в треугольнике. Кишинев, 1982.

10. Josefsson M. Characterizations of orthodiagonal quadrilaterals // Forum Geometricorum. 2012. Vol. 12.