CC BY
14читателя в области математического анализа, она совсем не развивает его дивергентные способности (впрочем, перед авторами стояла совершенно другая задача). Действительно, книга написана в форме «вопрос - ответ», причем неискушенный читатель, как правило, не понимает ни причину возникновения вопроса, ни способ получения ответа. Очевидно, что преподаватель, желающий развивать дивергентные способности студентов в области математики, должен позаботиться о включении в задачники соответствующих упражнений, а в процесс преподавания - соответствующих мотивировок.
В заключение отметим, что для представителей любой профессии необходимы как конвергентные, так и дивергентные способности мышления. Формирующие их задачи двух типов играют в математическом образовании свои особые роли и не заменяют друг друга. Оптимальное соотношение разнотипных задач должно быть определено в экспериментальном порядке.
Библиографический список
1 Гелбаум Б., Олмстед Дж. Котрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
2 Меньшикова Е.А. «Экзотические» экстремумы // Теория и практика преподавания математики и информатики. Вып. 2. Сборник методических статей / Отв. ред. Пудалов И.Г. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та, 2001. С. 48-58.
3 Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том. ун-та. М.: Изд-во Барс. 1997.
Н.Л. Майорова
О некоторых особенностях тестирования абитуриентов
В течение последних восьми лет в России успешно развивалась такая форма проверки знаний учащихся, как Централизованное абитуриентское тестирование (ЦТ), которое во многом являлось также мониторингом качества деятельности учебных заведений. Тестирование представляло одну из альтернативных форм получения экзаменационной оценки на выпускных экзаменах в школе или оценки вступительных экзаменов в те вузы страны, которые засчитывали сертификат Централизованного тестирования. Оно проводилось (и пока еще проводится) по 12 школьным предметам с 10 по 24 апреля одновременно во всех регионах Российской Федерации. При этом по большинству предметов существуют формы тестирования по двум уровням сложности, проходящим в разные дни (единые для всей страны). Школьник может участвовать последовательно в тестировании по обеим формам.
На современном этапе обучения очень важными считаются умение учиться быстро и эффективно, адаптироваться к новым жизненным условиям, желание непрерывно совершенствоваться. Именно эти личностные качества традиционная система экзаменов измеряла плохо или не измеряла вовсе. В первые годы становления тестирования учащиеся в большинстве своем были совершенно не подготовлены даже психологически к такой форме проверки знаний, при которой надо в сжатое время “выдать на гора” все полученные за одиннадцать лет обучения в школе знания и навыки, а также найти им самое рациональное применение. Кстати, не меньшие психологические и даже профессиональные трудности испытывали и учителя школ. Однако с течением времени тестовая форма контроля становилась все более востребованной школьниками. Число участников Централизованного тестирования росло от года к году. Выпускники средних учебных заведений были заинтересованы в возможности до летних вступительных испытаний проверить свои знания, а в случае получения высокого балла предъявить
сертификат ЦТ в приемные комиссии вузов. В 2004 году на процедуру абитуриентского тестирования в региональное представительство федерального Центра тестирования при Яргосуниверситете им. П.Г. Демидова пришло более 5000 учащихся средних учебных заведений, что в 1,5 раза превышало число всех абитуриентов ЯрГУ, участвовавших в летней приемной кампании. Аналогичный центр функционировал при ЯГТУ, в котором через процедуру ЦТ прошло также несколько тысяч школьников.
Тестирование нельзя рассматривать как идеальный метод, исключая на этом основании все иные, традиционные формы контроля. Нельзя не согласиться с мнением профессионалов, что при устной беседе с абитуриентом экзаменатор может и должен оценить умение школьника не только формулировать теорему и применять ее, но и проводить доказательство, уметь логически мыслить, что, без сомнения, необходимо для успешной учебы на естественных факультетах. Однако в силу человеческого фактора и объективных обстоятельств эту возможность не всегда удается реализовать. При письменном тестировании школьники поставлены в равные условия: варианты тестов однотипны, одинакового уровня сложности, всем предоставлено единое время, проводится машинная обработка результатов сторонней организацией. Ценным является то, что содержание теста охватывает практически все разделы алгебры, многие задания (особенно в тестах второго уровня сложности) имеют оригинальные формулировки, требующие глубокого понимания вопроса. Дефицит времени создается специально, чтобы проверить беглость владения материалом и умение рационально мыслить. При надлежащей предварительной подготовке именно тесты лучше других средств удовлетворяют основные методические критерии качества, обеспечивают приемлемую объективность всех трех главных стадий процесса оценки - измерения, обработки данных и их интерпретации. Хорошо подготовленное тестирование дает возможность удовлетворить и критерий прогностической валидности, то есть предсказания успешности дальнейшего обучения испытуемого.
На идеи, формы и методы Централизованного тестирования опирается и такая форма оценивания учебных достижений, как Единый Государственный Экзамен. При этом ЕГЭ активно вытесняет абитуриентское апрельское тестирование, хотя логичнее было бы сохранить обе формы контроля знаний. В пользу ЦТ может говорить тот факт, что учащиеся тщательно готовились и весьма активно участвовали в весеннем тестировании. При этом педагогов должно было бы радовать то, что уже к началу апреля ученики полностью повторяли учебную программу, самостоятельно изучали методические пособия по подготовке к тестированию, решали типовые задачи различного уровня сложности из вариантов тестирования прошлых лет, тем самым систематизируя накопленные в школе знания и закрепляя их. В сложившихся обстоятельствах проведения эксперимента по введению ЕГЭ такая подготовка к ЦТ лишь помогала бы учащимся и их учителям показать лучшие результаты на летних испытаниях. Кроме того, по мнению многих специалистов, уровень сложности тестов ЦТ по физике и математике соответствовал требованиям, предъявляемым предметными комиссиями вузов по данным предметам к уровню сложности вступительных экзаменационных материалов. Материалы опубликованных образцов тестов по физике и математике, используемых при проведении ЕГЭ в 2004 году, показывают, что их уровень сложности значительно ниже по сравнению с тестами ЦТ. Задания из части 1 (типа А) в количестве 14 (что составляет половину всех заданий) такого низкого уровня сложности, что более-менее грамотный ученик решает их за 10-15 минут. Такие задания могут быть рекомендованы лишь для проверки уровня подготовленности тех учащихся, которые в дальнейшем не планируют обучение, связанное с этими предметами. В вариантах тестов ЦТ разных лет такие задания вообще отсутствуют, поскольку абитуриентское тестирование (особенно
повышенного уровня сложности) предназначено в основном для профессионально ориентированных учащихся. Следующие 9-10 заданий части 2 (типа В) могут рассматриваться как минимально необходимые требования для проверки базовых знаний абитуриентов. В тестах ЦТ все 30 заданий по уровню сложности соответствовали этим заданиям типа В или же превосходили их по сложности. Задания части 3 (типа С) соответствовали уровню сложности вступительных экзаменов по специальности (например, в ЯрГУ), однако этих заданий всего 5, в то время как в тестах ЦТ их количество составляло от 30 до 50%. Кроме того, в ЕГЭ правильный ответ предлагается выбирать не из пяти вариантов (дистракторов), как в ЦТ, а из четырех, что повышает вероятность угадывания правильного ответа. Время написания ЦТ - три часа на 30 заданий, для ЕГЭ -4 часа на 27 заданий. Все эти рассуждения приведены не с целью умаления достоинств ЕГЭ, а лишь в защиту уже апробированной и весьма сложной формы контроля, каковой являлась процедура ЦТ. Во время становления ЕГЭ варианты тестов ЦТ могли бы быть использованы как ориентиры для его подготовки. Участие в ЦТ, проводимое по срокам раньше ЕГЭ, могло бы дать учащимся возможность объективно и квалифицированно оценить уровень своей подготовки, выявить проблемные, менее усвоенные темы, а также технически и психологически адаптироваться к условиям проведения ЕГЭ.
Более того, автор не хочет сказать, что выполнить тесты ЦТ и ЕГЭ легко и просто. Многолетние наблюдения за процедурой тестирования показывают, что высшие баллы (от 90 до 100) набрать крайне сложно. В 2004 году из 467 участников ЦТ по математике 100 баллов получил один учащийся, 97 баллов - 2, 95 баллов - 1, 92 балла - 11, 90 баллов - 9 школьников, что составило 5,9% от всей выборки. Аналогичная ситуация наблюдается и на ЕГЭ. Поэтому все рассуждения о сложности или легкости вариантов рассматриваемых форм тестирования касаются лишь их сравнительных характеристик.
На основе статистической обработки результатов абитуриентского тестирования по математике можно сделать вывод, что у выпускников традиционно вызывает трудности геометрический материал (51,2% - планиметрические задачи, 43,5% - стереометрические задачи), задачи на проценты (55,7%), решение тригонометрических уравнений и неравенств (33%), понятие обратной функции (37%), задания, связанные с исследованием функций и геометрическим смыслом производной (46,5%), уравнения с переменной под знаком модуля (47,1%), действия с векторами (58,5%), прогрессии (53,5%), решение смешанных неравенств (44,5%), приложения теоремы Виета (58,2%) и другие.
Анализ результатов ЦТ и ЕГЭ может быть весьма полезен для преподавателей методики преподавания математики и других дисциплин, поскольку наглядно демонстрирует, какие темы и конкретные задания вызывают наибольшие затруднения у большинства выпускников средней школы. Эти проблемные темы могут выноситься на семинарские и практические занятия со студентами, что будет способствовать повышению качества их профессиональной подготовки.
Обратимся теперь к краткому анализу содержания тестов ЦТ. Сразу же отметим, что среди тестовых заданий нет таких, как, например, “решить уравнение...”, поскольку по каждому заданию предлагалось найти верный ответ из приведенных в тесте пяти вариантов ответов (дистракторов), и нельзя было бы методом подстановки определить правильное решение. Поэтому некоторые типы заданий имели следующую формулировку:
- чему равна сумма корней уравнения;
- чему равно наибольшее из решений неравенства;
- чему равна сумма целых решений неравенства;
- чему равен модуль разности корней уравнения и т. п.
Задачи подобраны так, что, во-первых, допускают несколько способов решения и, во-вторых, все ответы в предлагаемом списке правдоподобны и отражают типичные ошибки школьников. Например, при решении заданий: “уравнение, корни которого об-
ратны корням уравнения 15X2 — 7 X — 24 = 0, имеет вид.” или “значение свободного
члена приведенного квадратного уравнения, корни которого в три раза больше корней
уравнения 3х2 + X — 5 = 0, равно.” не требуется непосредственного нахождения
корней данных уравнений, а необходимо сразу же применить теорему Виета. Эта же теорема и знание определения логарифмической функции позволят “найти сумму абсцисс точек пересечения графика функции у = log11 (X2 — 5X —13) с осью абсцисс” в
два действия: X2 — 5x —13 = 1 и x1 + x2 = 5.
А более глубокое знание этой темы предоставляет возможность в задаче нахождения среднего арифметического корней уравнения X3 —12 X —16 = 0 дать устный ответ, что искомая сумма равна нулю.
Для нахождения параметра а, при котором совместна система уравнений
[2 X + ау = 3 |4 X — 3 у = 2 ’
школьнику необходимо представить три возможных случая расположения двух прямых на плоскости и знать соответствующие этим случаям соотношения между коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений. Однако большинство учащихся пытаются получить правильный ответ путем непосредственного решения системы.
У школьников возникают сложности даже с употреблением формул сокращенного умножения. Например, не все могут представить как разность кубов выражение X — у или связать сумму квадратов или кубов двух чисел с их суммой и произведением, что позволило бы, воспользовавшись той же теоремой Виета, рационально справиться с заданием нахождения суммы квадратов или кубов корней квадратного уравнения, непосредственно их не вычисляя.
Некоторые задания приводят школьников к мысли о том, что при огромном дефиците времени залог успеха определяется не аккуратным последовательным выполнением всех необходимых (по их мнению) выкладок, приводящих к ответу, а более глубоким пониманием материала, позволяющим применять непривычные, новые приемы и своеобразные, оригинальные рассуждения. Например, при выборе одного из при-
6^11 X . 6
11 + X = /2,
надо понимать, что в общем случае показательная и степенная функции не связаны между собой никакими соотношениями, поэтому уравнения, содержащие такие функции, трудно разрешимы. И хотя в конкретном уравнении можно получить ответ путем тождественных преобразований, значение корня здесь проще подобрать (X = 121). В задаче нахождения объема треугольной пирамиды, боковые ребра которой попарно перпендикулярны и равны 2, 4 и 9, стандартное представление пирамиды заставило бы с большими трудностями находить площадь ее основания, тогда как в той же пирамиде, но “положенной” на боковую грань, объем находится устно, как одна шестая от произведения заданных в условии длин ребер. В третьем примере при вычислении суммы корней уравнения
(6 - x)Vx2 - 7 x +12 =
= 6 W12 + x - x2 - x3 Vx - 3 - x идет “игра” с областью допустимых значений функций, входящих в уравнение. Оказывается, здесь эта область состоит из двух точек (x = 3, x = 4), которые и надо подставить в уравнение.
Как правило, очень большую сложность для учащихся представляют вопросы, связанные с тригонометрическими и, в особенности, с обратными тригонометрическими функциями. Поэтому желательно хотя бы в краткой форме объяснять школьникам необходимые условия обратимости функций и наиболее важные свойства прямой и обратной функции. Это позволило бы учащимся наиболее наглядно представить два важнейших для функции множества: область ее определения и множество допустимых значений. Без этих знаний весьма сложно, например, вычислить значение выражения arcsin(sin 2), которое, очевидно, не равно двум единицам, поскольку область допустимых значений функции у = arcsin x представляет собой отрезок [- п/2, п/2]. Привлекая геометрическую интерпретацию, легко показать, что arcsin(sin 2) = п - 2 .В достаточно сложном задании нахождения функции y = g (x), график которой симметричен относительно прямой y = -x графику функции f (x) = 2x 2, необходимо раз-
x-2
решить уравнение у = 2 относительно независимой переменной для получения уравнения обратной функции у = log2 4x, симметричной исходной функции относительно прямой у = x, а затем еще двумя симметриями относительно прямых OX и OY получить формулу искомой функции у = - log2 (-4x).
Трудны для школьников задания типа: “если sina = 3/5, cos в = 24/25,
ае(л/2, п), в е (3п/2, 2п), то чему равна величина sin(a + в)?”.Здесь, кроме знания формулы синуса суммы двух углов, необходимо уметь вычислять величину sin(arccos 24/25) и cos(arcsin 3/5) и не забыть учесть знаки sin в и cos а в указанных четвертях.
В школьном курсе математики очень мало времени отводится геометрическим способам решения алгебраических задач. Применение этих методов в некоторых случаях значительно ускоряет и облегчает процесс получения верного ответа. Однако результаты тестирования демонстрируют отсутствие у школьников должных навыков в использовании геометрических методов, например, при решении задач с параметрами. Рассмотрим пример нахождения значения параметра а, при котором уравнение
л^16| x| - 4x2 = а имеет ровно два корня. Для этого, во-первых, требуется найти область допустимых значений переменных x и а (x е [- 4, 4] и а е [0, ^)), во-вторых, произвести преобразование в виде возведения в квадрат обеих частей уравнения и, в-третьих, построить графики функций у = 16| x| - 4x2 и у = а2, содержащихся в левой
и правой частях полученного уравнения. При этом очевидно, что при а = 4 данные графики пересекаются именно в двух точках. Значение а = -4 не лежит в области допустимых значений а . Отметим также, что из графиков весьма просто увидеть, при каких значениях параметра а исследуемое уравнение имеет три решения, четыре решения или не имеет их вовсе.
Не менее интересна и задача нахождения значения параметра а, при котором сумма целых корней уравнения [X + 2| + X] = а равна -3. Если графиком функции левой части уравнения является ломаная с горизонтальным отрезком прямой у = 2 для значений независимой переменной X е [— 2, 0], а графиком функции правой части -горизонтальная прямая у = а при X е (— да, да), то очевидно, что графики этих функций пересекаются либо в двух точках (при X < —2 и X > 0 ), сумма абсцисс которых не равна предложенному в условии задачи значению -3, либо по целому отрезку
— 2 < X < 0 при а = 2 . При этом значении параметра сумма целых абсцисс точек пересечения двух графиков и равна заданному числу -3. Приведенная интерпретация данной алгебраической задачи позволит школьнику в отведенные ему четыре минуты (средняя длительность решения одной задачи теста) справиться с заданием.
В таком кратком исследовании содержания тестов нельзя подробно остановиться на всех типах предлагаемых заданий. Многие из них весьма интересны не только по содержанию, но и по способу их формулирования, некоторые потребуют значительного времени для решения, если не подойти к нему рационально, отдельные задачи требуют знаний, несколько превышающих школьный уровень. Последний тезис можно проиллюстрировать следующей задачей, связанной с пониманием вопроса о суперпозиции двух функций. Необходимо найти функцию g (X), если / (X + 2) = — X +1, а
/ (g (X)) = 4 X + 5. При ее решении прежде всего требуется выделить аргумент ? = X + 2 в двучлене
— X +1.
Имеем /(X + 2) = —((X + 2) — 3), то есть задана функция /(?) = —(I — 3). Во-вторых,
f (g (X)) = —(—4 X — 5) = — [(—4 X — 2) — 3],
откуда g(X) = —4X — 2 .
При анализе тестов, предлагаемых в течение ряда последних лет, прослеживается тенденция к нарастанию их трудности. Хотя формально варианты тестов составлены согласно образовательному стандарту и программе для поступающих в вузы, выполнить задания теста полностью и правильно в отведенное время для большинства школьников достаточно сложно. В свою очередь, облегченные тесты не будут выполнять активизирующей роли в процессе познания и не будут способствовать формированию продуктивных знаний у школьников.
Библиографический список
1. Кузьмина Н.В. Профессионализм личности преподавателя и мастера производственного обучения. М., 1990. 393 с.
2. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Вестник образования. 2002. № 6.
3. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике // Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова и др. М.: Дрофа, 2000. 80 с.
