CC BY
52
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н 3. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл N9 ФС77 ■ 4В2Д1. ISSN 199á-04ÜB
Системные ошибки школьного обучения при освоении программ высшей математики на младших курсах технического вуза
# 12, декабрь 2015
i *
Власова Е. А. '
УДК 373.546, 378
1МГТУ им. Баумана, Москва, Россия elena. al. vías о vaffiy andex.ru
Введение
В последнее время математическому образованию в стране уделяется большое внимание на самом высоком уровне. В Концепции развития математического образования в Российской Федерации, принятой распоряжением правительства в декабре 2013 г., в частности, говорится о том, что математическое образование должно [1-2]:
• предоставлять каждому обучающемуся возможность достижения уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе;
• обеспечивать каждого обучающегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне, используя присущую математике красоту и увлекательность;
• обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.
В этом контексте обучение математике рассматривается как элемент профессиональной подготовки учащихся к соответствующим областям деятельности после окончания школы, в том числе и, прежде всего для профильного обучения, к получению высшего образования по соответствующим специальностям.
Отметим наиболее характерные черты, присущие большинству первокурсников, которые не позволяют им надлежащим образом изучать высшую математику и затем эффективно применять математические методы в решении прикладных задач. Это и отсутствие у студентов критического отношения к своим знаниям, неумение отличать то, что они по-
нимают от того, что они не понимают. Недостаточно сформированные в процессе изучения школьной математики качества логического мышления не позволяют первокурсникам отличать истинное рассуждение от ложного, необходимые условия от достаточных, главное от второстепенного, то, что необходимо помнить, а что можно и забыть. Вчерашние школьники не умеют вести диалог: понять вопрос преподавателя и ответить именно на него, а также сформулировать свой вопрос. Прослеживаются стереотипность восприятия информации, искаженные и даже неверные стереотипы, снижение общего культурного уровня, невозможность воспринять связи с законами физики и других наук. Кроме того, имеется явная недостаточность математической подготовки в школе для успешного и комфортного продолжения образования в техническом вузе.
Для преодоления указанных проблем вузам необходимо работать в тесном контакте со школами по совершенствованию программ профильного инженерно-технического обучения по математике, добиваясь преемственности в образовании на разных уровнях обучения, сближению форм и методик преподавания.
Тестирование первокурсников по разделам школьной математики
На первой неделе обучения в МГТУ им. Н.Э. Баумана принято проводить тестирование по математике с целью выявить студентов, нуждающихся в особом внимании со стороны преподавателей, обозначить темы, вызывающие наибольшие трудности, в связи с этим скорректировать планы семинаров, правильно организовать самостоятельную работу студентов. Это позволяет вчерашним школьникам «плавно» и быстрее перейти от задач школьной программы к более содержательным задачам линейной алгебры и математического анализа.
Тест, который традиционно предлагается первокурсникам, содержит девять задач:
1. Решение тригонометрического уравнения.
2. Вычисление значения выражения с экспонентой и логарифмом.
3. Проведение алгебраических преобразований выражения со степенями и арифметическими корнями.
4. Решение неравенства типа \ах + Ъ\ < сх + ё.
5. Решение иррационального уравнения.
6. Нахождение области определения функции.
7. Нахождение множества точек на плоскости с геометрической иллюстрацией.
8. Решение дробно-линейного неравенства.
9. Решение стереометрической задачи.
Для оценки уровня сложности заданий продемонстрируем один из вариантов теста:
1. Решить уравнение эт22х + 2соэ22х = -.
2. Вычислить
(а+ 2 а 2 \ 3. Упростить выражение I -;=--;=--1--;= I
г г \л/2а л/2а+2 а-л/2а/
а-л/2 V2 а/ а+2
^/2a+2
4. Решить неравенство
5. Решить уравнение 3 х + л/ 2 х + 3 = 6 .
6. Найти область определения функции /( х) = 2 — / о^х + л/х2 — 6х + 5.
7. Изобразить на плоскости множество точек М(х,у) , удовлетворяющих условию 7у — 5 < 4х.
8. Решить неравенство
>
7х—3 2х—1
9. Боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом , площадь боковой поверхности равна 1 2 л/6. Найти объем пирамиды.
На рисунке 1 представлены средние значения балла по ЕГЭ (математика) и теста (в процентах от максимального балла) по факультетам «Фундаментальные науки» (ФН) и «Специальное машиностроение» (СМ) в 2015 и 2011 годах. Видим некоторое увеличение баллов за прошедшие 5 лет.
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
76,7
75,9
72,7
70,5
ФН 2015
ФН 2011
СМ 2015
СМ 2011
I ЕГЭ ■ Тест-
Рис. 1 Средние значения балла по ЕГЭ и теста по в 2015 и 2011 годах
На рисунке 2 представлено распределение оценок теста среди студентов 1 курса факультета СМ за последние 5 лет. Здесь прослеживается некоторая стабильность результатов, порядка 40% студентов ежегодно не справляются с тестовым заданием, несмотря на то, что каждый год происходят какие-то реформы и перестроения в образовании.
12 В3 В4 ■ 5
2015
2014
2013
2012
2011
Рис. 2 Распределение оценок теста на факультете СМ
Распределение оценок за пять лет на факультете ФН (специальности прикладная математика и техническая физика), представленное на рисунке 3, отличается большим разнообразием. Здесь сказывается специфика факультета, особенности конкурсной ситуации и то, что количество студентов на факультете ФН почти в десять раз меньше, чем на факультете СМ. В 2015 году порядка 20% студентов не справились с заданием теста. Отметим, что на факультет ФН поступают школьники, более подготовленные по математике.
5,9
6,2
6,1
6,3
6,9
15,6
15,4
17,6
17,4
36,6
36,9
37,3
39,8
39,5
41,9
40,8
39
37,6
36,9
12 В3 В4 ■ 5
16,3
14
45,3
24,4
2015
2014
2013
2012
2011
Рис. 3 Распределение оценок теста на факультете ФН
5,5
9,8
11
12,5
22,5
37,9
31,6
30,1
28,6
45,8
38,4
42,5
30,1
20,5
19,2
15,1
На следующей диаграмме (рисунок 4) представлены средние значения баллов в процентах от максимального по каждой задаче теста по факультетам СМ и ФН в 2015 году. Наиболее плохо студенты решают тригонометрические уравнения, проводят вычисления и преобразования со степенями и логарифмами, совершают алгебраические преобразования с буквенными выражениями (самый низкий результат по разделам алгебры - 40% на факультете СМ), находят область определения функций, и, традиционно, хуже всего решают геометрическую задачу (задачу по стереометрии) - средний балл составляет 25% от максимального на факультете СМ. Для того чтобы устранить обозначившийся разрыв между уровнем подготовки студентов и потребностями вузовской программы по математике необходимо своевременно скорректировать календарные планы первого семестра, включив в него повторение необходимых тем школьной математики, плавно интегрируя его в процесс изучения нового материала. Преподаватели математики, ведущие упражнения в группах, должны помочь студентам, показавшим на тестировании низкий результат, восполнить пробелы школьной математики. Здесь важен непосредственный контакт преподавателя со студентом на занятиях КСР (контролируемая самостоятельная работа студентов) [3], правильная организация самостоятельной работы, в том числе, с учебно-методической литературой, использование дистанционных форм обучения.
80 -74
123456789
1 - тригонометрия, 2 - логарифмы, 3 - иррациональные выражения,
4 - модули, 5 - уравнение, 6 - область определения функции, 7- множество точек на плоскости, 8 - неравенство, 9 - стереометрия
СМ ФН
Рис. 4 Средние значения баллов в процентах по каждой задаче
Успеваемость первокурсников по математике
Посмотрим, как студенты, прошедшие тестирование в сентябре 2015 года, справляются с вузовской программой по математическим дисциплинам. В первом семестре студенты почти всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана изучают две математические дис-
циплины: «Математический анализ» и «Аналитическая геометрия». В ноябре завершается первый модуль, и можно подводить итоги по его освоению.
Студенты факультета СМ (см. рисунок 5) вполне благополучно справляются с типовыми домашними заданиями по математическому анализу, которые они выполняют самостоятельно и под контролем преподавателя (на занятиях КСР). С первым рубежным контролем «Пределы и непрерывность», включающим теоретические вопросы, справились 66% студентов. Вспомним те 40% учащихся, которые получили оценку «2» при тестировании, видимо, 6% из них успели восполнить свои пробелы и адаптироваться к в учебе в вузе.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
91
88
76
ДЗ1. Графики элементарных функций
ДЗ2. Пределы и непрерывность РК. Пределы и непрерывность
I СМ ИФН
Рис. 5 Выполнение контрольных мероприятий студентами 1 курса по математическому анализу в ноябре
2015 года
На факультете ФН (см. рисунок 5) успехи в освоении математического анализа обстоят лучше. Однако количество студентов, не сдавших рубежный контроль, слегка увеличилось (почти на 4%) по сравнению с количеством студентов, получивших оценку «2» по тесту. Видимо, на семинарах преподаватели меньше уделяли вниманию объяснению, как правильно проводить алгебраические преобразования и делить дроби, опираясь на математически грамотное большинство студентов.
Хуже обстоят дела с освоением аналитической геометрии (см. рис. 6). Здесь сказываются проблемы изучения геометрии в школе (мало часов, трудно алгоритмизировать процесс решения задач, большой объем фактов, которые надо помнить, отсутствие должного внимания к темам, которые нужны для освоения вузовской программы и т.д.). Результаты освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» студентами факультетов СМ и ФН практически мало отличаются. Недостаточный уровень арифметической культуры выпускников школ не позволяет им аккуратно и безошибочно производить простейшие
арифметические операции, затрудняет своевременною сдачу домашних заданий, всего лишь 33% студентов факультета СМ выполнили домашнее задание «Прямые и плоскости» к положенному сроку. Отметим, что студенты факультетов СМ и ФН показали одинаковые результаты сдачи рубежного контроля. Несмотря на то, что студенты факультета ФН показали лучшие результаты как при сдаче ЕГЭ, так и при решении задач теста, по сравнению со студентами факультета СМ, видимо, стартовый багаж знаний по геометрии у студентов обоих факультетов один и тот же.
90
80
ДЗ1. Векторная алгебра ДЗ2. Прямые и плоскости РК. Векторная алгебра, прямые и
плоскости
■ СМ ВФН
Рис. 6 Выполнение контрольных мероприятий студентами 1 курса по аналитической геометрии в ноябре
2015 года
Разделы, требующие особого внимания в школьном курсе математике
Из проведенного анализа следует, что особое внимание в школьном курсе математики следует обратить на следующие разделы:
• алгебраические преобразования числовых и буквенных выражений;
• текстовые задачи;
• основные элементарные функции, их свойства и графики;
• тригонометрия;
• производная;
• векторы и действия с ними;
• метод координат.
Начинать усиление математической подготовки школьников нужно с предпрофиль-ного уровня, т.е. со школы средней ступени. Именно там, ученик должен получить устойчивые навыки работы с числовыми и буквенными выражениями, производить уверенные
действия с дробями, модулями, оперировать формулами сокращенного умножения, научиться приемам разложения на множители, выделения полного квадрата, знать свойства степеней и арифметического корня. Далее в курсе алгебры 10-11 классов, полученные знания, умения и навыки, должны активно использоваться в комплексе при решении различных уравнений и неравенств. За последнее время ряд тем был исключен из курса математики средней школы или их преподавание свелось к обзорному упоминанию. В числе этих тем есть ряд разделов, знание которых необходимо при изложении высшей математики. [4] Перечислим несколько таких тем: метод математической индукции, бином Ньютона, треугольник Паскаля, комплексные числа, нахождение рациональных корней многочлена, определение кратности корня, деление многочлена на многочлен, разложение многочленов с действительными коэффициентами на неприводимые множители, разложение рациональной функции в сумму простейших дробей. В последнее время в программах алгебры и начала анализа в 10-11 классах профильного уровня, где на изучение дисциплины отводится не менее 5 часов в неделю, эти темы вновь зазвучали. Хотелось, чтобы и все учащиеся, ориентированные на технические вузы, получили в школе необходимые знания этих разделов, хотя бы в виде элективных курсов. При изложении математических дисциплин в вузе эти темы излагаются, но весьма быстро и поверхностно, рассчитывая на то, что большинство студентов с этим материалом уже знакомо.
Отдельно стоит остановиться на разделе «Текстовые задачи». Текстовые задачи
• развивают навыки математического моделирования реальных ситуаций;
• содержат исследовательскую компоненту;
• показывают практическую значимость математики;
• повышают мотивацию к учебе;
• устанавливают межпредметные связи.
Школьники решают этот тип задач, начиная с начальной школы. При этом на протяжении всего школьного курса решение текстовых задач завершает изучение вполне конкретных абстрактных уравнений. Ученик заведомо знает, что решение данной ему текстовой задачи сводится к составлению определенного типа уравнений, освоенного накануне. При этом теряется исследовательская компонента. Стоит отметить, что важнейшая часть математики оказывается размытой по всему курсу и остается без повторения и систематизации. В результате для выпускников школ текстовые задачи представляют значительную трудность. Решая эту проблему, стоит выделить в старших классах средней школы время на решение различных текстовых задач, устанавливающих связи с другими предметами (физикой, химией, экономикой, геометрией, географией, биологией и т.д.), содержащих практикоориентированную компоненту, требующих от учащегося знаний, полученных в течение всего периода обучения в школе, сочетания различных методов и приемов. Умение решать текстовые задачи, самостоятельно составлять математические модели реальных ситуаций показывают готовность школьника продолжать свое обучение в техническом вузе, наличие у него необходимого интеллектуального потенциала, аналитических способностей и креативности мышления.
Для успешного освоения математического анализа большое значение имеют знания, полученные при изучении раздела «Основные элементарные функции, их свойства и графики». Здесь следует акцентировать внимание на таких аспектах, как формирование навыков владения техникой преобразования графиков функций (сдвиги, растяжения и сжатия, действия знаком и модулем на аргумент и функцию), систематизированных знаний об элементарных свойствах функций (область определения и множество значений, понятие чётности и нечётности, периодичности, возрастания и убывания), умений находить наибольшее и наименьшее значения функций, точек экстремумов, исследовать функции на основе элементарных свойств (без использования производной). Именно при изучении этого раздела математики у школьников развивается культура формулирования определений, теорем, они приобретают умение характеризовать поведение функций, использовать полученные знания для описания и анализа реальных зависимостей.
Много проблем при изучении математического анализа возникает у студентов в связи с пробелами в знаниях тригонометрии. Необходимо, чтобы школьники имели устойчивые и твердые знания основных тригонометрических функций и их графиков, табличных значений и формул тригонометрии, методов решения уравнений и простейших неравенств, обратных тригонометрических функций и их графиков.
В вузовской программе математического анализа темы, связанные с производной и ее применением, повторяются на качественно новом уровне, с иной степенью глубины и новыми целями. И основываться это повторение должно на полученных в школе знаниях основных формул и правил дифференцирования, производной сложной функции, уравнения касательной, нахождения экстремумов, наибольших и наименьших значений функций.
Для успешного освоения аналитической геометрии в вузе тема «Векторы и действия с ними» в школьном курсе математики должна занять достойное место. Учащиеся обязаны получить необходимые навыки использования геометрической интерпретации векторов, их свойств, действий над векторами, применения метода координат и скалярного произведения при решении задач, составления уравнения плоскости в пространстве.
Следует шире использовать методы векторной алгебры при решении задач по стереометрии, в том числе, предлагаемых на ЕГЭ и олимпиадах по математике [5]. Это позволит обеспечить преемственности математического образования на рубеже «школа-вуз». В вузе эти темы изучали бы уже не как совершенно новые, а как новый виток уже известного материала.
Большое значение для успеваемости по аналитической геометрии имеет получение твердых знаний по теме «Метод координат», а именно, знаний декартовых координат на плоскости и в пространстве, расстояния между точками, уравнения прямой на плоскости, его составления при различных условиях, углового коэффициента прямой, условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, способов нахождения угла между прямыми на плоскости, уравнения окружности.
Заключение
Сформулируем пути решения проблем обеспечения непрерывности математического образования на рубеже «школа-вуз»:
• обеспечить преемственность в формах и методах работы при переходе из школы в вуз;
• для формирования логического мышления, представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений необходимо вернуть в школу начальный курс логики, осуществить это возможно в виде факультатива или элективного курса;
• рассматривать геометрию, как дисциплину, развивающую логику, интуицию и воображение, необходимые для формирования профессиональных компетенций в процессе учебы в вузе;
• усилить подготовку по тем разделам математики, которые активно используются при изложении высшей математики.
Список литературы
1. Распоряжение Правительства России от 24 декабря 2013 г. № 2506^ «О концепции развития математического образования в Российской Федерации» // Министерство образования и науки Российской Федерации: офиц. сайт. Режим доступа: http://минобрнауки.рф/документы/3894 (дата обращения 01.11.2015).
2. Концепция развития математического образования в Российской Федерации // Министерство образования и науки Российской Федерации: офиц. сайт. Режим доступа: http://минобрнауки.рф/документы/3894/файл/2730/Концепция (дата обращения 01.11.2015).
3. Власова Е.А., Красновский Е.Е. Методические рекомендации к проведению аудиторной контролируемой самостоятельной работы студентов // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 4 (16). DOI: 10.18698/2308-6033-2013-4-677
4. Мартынова Л.А., Вишневская С.Р. К вопросу о соответствии школьных знаний по математике для освоения программ высшей школы // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева (Вестник СибГАУ). 2007. № 4 (17). С. 204-205. Режим доступа:
http://www.vestnik.sibsau.ru/images/stories/Statii/2007/4_17_2007.pdf (дата обращения 01.11.2015).
5. Власова Е.А., Ирьянов Н.Я., Паршев Л.П. Олимпиада школьников «Шаг в будущее»: математика, физика: сборник информационно-методических и образовательных материалов / под ред. Н.Я. Ирьянова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 315 с.
