О некоторых нелинейных обобщениях модели Лесли, учитывающих эффект насыщения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБРАЗОВАНИЕ

О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОБЩЕНИЯХ МОДЕЛИ ЛЕСЛИ, УЧИТЫВАЮЩИХ ЭФФЕКТ НАСЫЩЕНИЯ

Смирнов А.И.

Настоящая работа посвящена исследованию общих свойств математических моделей нестационарных (эволюционирующих) систем с псевдовогнутым оператором шага, отражающим "эффект насыщения" (ограниченность ресурсов). Полученные результаты применяются для исследования некоторых новых обобщений модели Лесли динамики возрастной структуры народонаселения.

ON SOME NONLINEAR GENERALIZATION OF THE LESLIE MODEL CONSIDERING THE EFFECT OF SATURATION

A.I. Smirnov

This paper studies the general properties of mathematical models of non-stationary (evolving) systems with pseudoconcave step operator, reflecting the "saturation effect" (resource constraints). The results are applied to study some new generalizations of the Leslie model of the dynamics of the age structure of population.

Математическое моделирование является одним из перспективных инструментов исследования динамических процессов. Рассматриваемые модели являются аналитическими (качественными), поскольку имеют целью (в отличие от имитационных моделей) не воспроизведение во всех подробностях поведения моделируемого объекта, а отражение лишь на качественном уровне важнейших его свойств, хотя конкретные их реализации возникли в процессе моделирования реальных природных экосистем.

Исследуются асимптотические свойства итерационного процесса

Хж = F (х ) , I = 0,1,2,...

с псевдовогнутым возрастающим отображением F в качестве оператора шага.

Здесь оператор шага F преобразует возрастную структуру населения из предыдущего состояния в следующее.

Отображение F е {Д ^ } называется псевдовогнутым, если

Ух е Щ. У а е (0,1) Г (ах) ^ аГ (х)

Псевдовогнутость является требованием к скорости возрастания и позволяет, в частности, отражать так называемый "эффект насыщения", наблюдающийся во многих реальных системах с дефицитом ресурса.

Этот термин в [1] определяется с помощью строгого неравенства (2), такие отображения мы здесь будем называть строго псевдовогнутыми.

Условия существования положительного равновесия псевдовогнутого возрастающего отображения оказывается возможным сформулировать [2] в терминах доминирующих собственных значений некоторых вспомогательных положительно-однородных первой

степени отображений Г0,

В частности, достаточным для существования положительного равновесия является условие

А(Гте)< 1 < А(Г0), (3)

98

ВСЕРОССИИСКИИ НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИИ ЖУРНАЛ

(при некоторых дополнительных условиях примитивности отображения F , гарантирующих положительность ненулевого состояния равновесия).

Характеризуются асимптотические свойства итерационного процесса (1). Здесь показано, что существует лишь две возможности: либо 11т хг = ® независимо от выбора

х^ж 1

х, либо = х > ®, где х зависит от

0 х^ж

выбора начального приближения х0. При

этом дополнительно предполагается примитивность отображения F от на некотором множестве.

Таким образом, при ограниченности отображения F (что соответствует реальной демографической ситуации) для рассматриваемого итерационного процесса справедлива следующая альтернатива: имеет место сходимость либо к положительному состоянию равновесия, либо к нулевому.

Полученные результаты конкретизируются для некоторых новых обобщений модели Лесли возрастной структуры населения вида [3]

хг = £ (а )(У/ е 1, т),

хц = а',х', (У/ е 1, т, . е 1, п-1)

а =

У У

ЕЕ №,г = °Л2,..

/=1 ]=\

(4)

х„

характеризует численность (биомассу),

выживаемость и плодовитость особей возраста j группы 1 .

Модель Лесли является одной из наиболее широко используемых моделей биологических систем. Эта модель обязана своим названием двум основополагающим работам [4-5] и имеет вид

(5)

= Ьх,, г = 0,1,2,...

х = 1 х

где L - так называемая матрица Лесли, (х. ), х. - численность (плотность) j-й

возрастной группы (если учитывается разделение по полу, то численность самок j-й

группы), . е 1, п .

Матрица Лесли имеет вид

Ь =

Р Р . ■. Рп-1 Рп

ах 0 . .. 0 0

0 а2 . .. 0 0

0 0

а

Здесь функции £ (а) возрастают и псев-довогнуты,

а > °, 3. У/, г)

Эта модель является обобщением известной модели Лесли, так как, с одной стороны, она нелинейна, с другой стороны, учитывает, помимо возрастной структуры, разбиение еще по одному признаку. Величина

а коэффициенты аи 3. - соответственно

Величины Р. называются коэффициентами рождаемости, а. - коэффициентами

выживаемости.

Предполагается, что

О е(0,1), Р. > 0(V.)

Решение системы (5) при начальном распределении возрастов х0 может быть записано в виде

х = Ь*0 (V, е N0) Асимптотическое поведение траекторий системы (5) существенно связано со спектральными свойствами матрицы L, а также с наличием свойств неразложимости и примитивности этой матрицы [6].

Будем предполагать, что функции £ (а)

из (4) удовлетворяют следующим свойствам:

0

О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ обобщениях МОДЕЛИ ЛЕСЛИ, УЧИТЫВАЮЩИХ ЭФФЕКТ НАСЫЩЕНИЯ

Смирнов А.И.

I (а) неотрицательна, (0) = 0 (V i е 1 т ), (6)

f (а) возрастает на |0, + (V i е 1,т), (7) ¿2 :

f (а) псевдовогнута на |0, + (V i е 1,т ). (8)

Ебпа оШ, п^еоаа!

' Мы видим, что на главной диагонали

а' = а >0 Д =Д (Vt еД . 7') (9) этой матрицы - обобщения классической

<1 а1,2 <з а2д а2,2 а2,з

0 0 0 0 0

0 )2 0 0 0 0

а12д 2 а1,2 2 а1,з 2 а2,1 2 а2,2 2 а2,3

0 0 0 Ь2 0 0

0 0 0 0 Ь2 0

Апёе Ш^а^еои

Х =( Х1Д,...,Х1,в, Хц,.", Х^,..., Хт,1,..., хтп) ,

^ х)=( /ц( х),...,4 (х) ,£,( х),...,4 (х),..., £,( х),...,/^ (х))7,

то оператор шага F в (1) для данной модели имеет следующий вид:

( т п Л _

/¿1 (х) = ЦД^,^ i е1, т),

V '=1 3=1

матрицы Лесли - расположены матрицы Лесли. Свойства этих обобщенных матриц Лесли и их специфика позволяют упростить условие существования положительного равновесия (3).

Показано [7-9], что матрицы F0, Fж неразложимы тогда и только тогда, когда

(11)

Д,п > 0 (V . е 1, т)

(10)

и при выполнении этого условия примитивна тогда и только тогда, когда

к (/+) = 1, /+=Ь е\п : £ Д > 0 1 (12)

А'+1 (х)=а'.}хи] ^ .е1,m, 7 е1,п- 1)■ 1б1абажа1еу

^ (х) = ((х)) (Я е {0, да}) ё<Маеш:

т п _

ЛЛ ( х ) = /»ЕЕ Д^' (V . е1, т),

¿=1 '=1

+1 ( х ) = аихг] (V . е\т, 3 е ), (здесь f' (я) = Нш а^ (а), я е{0, ) ^' (+да)<1 < ^' (°)., где

¿=1

где к (/+ ) - наибольший общий делитель

чисел из множества /+ .

В этом случае положительное состояние равновесия в модели (4) существует при

и задаются матрицами =|| ^,3 ||, структура которых совпадает со структурой неотрицательной матрицы 101 =|| I¿3 ||:

п ]-1 __т

^ = ЕД,зПа* ('' е 1 т), = f (а).

3=1 к=1

Таким образом, анализ существования равновесия в модели (4) сводится к поиску (р -1) т +1, з = (q -1) п +1 (г е Щ), неподвижной точки функции одной пере

1а^г, I = ( р-1)т +1, ' =(q-1)п +1 |г е 1,п Ь^, . =(р -1) т + q, q е г, т, 3 =. -1,

Остальные элементы I.' равны нулю. Например, матрица ¿3 такова:

менной , являющейся интегральной характеристикой равновесных свойств нелинейной многомерной модели (4).

¿=1

100

ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ЛИТЕРАТУРА

1. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977. 245 с.

2. Смирнов А.И. Анализ развития популяции в условиях нестационарной среды. В кн.: Методы для нестационарных задач матем. программирования. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1979. Вып. 29. С. 94-103.

3. Смирнов А.И. Динамика возрастно-генетического состава биологической популяции в одной математической модели. В кн.: Мат методы в планировании промышленного производства. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1977. Вып. 22. С. 91-98.

4. Leslie P. H. Some further notes on the use of matrices in population mathematics. - Biometrica, 1948. №33. Р. 183-212.

5. Leslie P. H. The use of matrices in certain population mathematics. Biometrica. 1945. № 10. Р. 982-985.

6. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

7. Смирнов А.И. Условия разрешимости задачи вывода биологической популяции на заданную структуру. В кн.: Классификация и оптимизация в задачах управления. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1981. С. 90-102.

8. Смирнов А.И. О некоторых моделях управления структурой биологических популяций. В кн.: Методы оптимизации и распознавания образов в задачах планирования. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1980. С. 106-112.

9. Смирнов А.И. Математическое моделирование демографических процессов на основе нелинейных обобщений модели Лесли. В кн.: Историческая динамика России. Теоретические и источниковедческие аспекты. Екатеринбург: УГГУ, 2010. С. 110-114.