О некоторых методах формирования и управления портфелем активов. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономическая наука современной России

№ 2, 2004 г.

О некоторых методах формирования и управления портфелем активов. Часть 2*

© М.З. Берколайко, И.Б. Руссман, 2004

Задача формирования портфеля активов решается по аналогии с конструированием надежных схем из ненадежных элементов. При управлении портфелем риск трактуется как степень угрозы недостижения цели и вычисляется на основе математического аппарата, формирующего понятие «трудность достижения цели».

... У меня был талантливый учитель - мои проигрыши. Психологи утверждают, что у многих трейдеров тяга к проигрышам заложена на подсознательном уровне. Я не из их числа. Я всегда считал проигрыши своего рода платой за образование, которое позволит мне стать первоклассным трейдером.

Томас Р. Демарк «Технический анализ - новая наука»

3. Управление портфелем активов. Прогнозирование изменения рыночного индекса

3.1. В этом разделе мы придадим точный смысл введенному ранее пониманию риска как степени угрозы потери управляемости. Начнем с общих положений, имеющих отношение не только к управлению портфелем активов. Допустим, что за время tp¡ нам нужно добиться результата, количественное выражение которого есть Ар1. Предположим также, что существует минимальная скорость Fmin его движения во времени (это минимальная скорость производства результата) и максимальная скорость Fmax (Бабунашвили, Бермант, Руссман, 1969). На рис. 2 уравнение прямой ОВ есть

А = Ктах уравнение ОБ описывается формулой Л = Ут1п /.

Если в процессе движения объект попадает в треугольник /),СД то достижение цели в заданное время становится невозможным, поэтому данный треугольник становится запретной областью и приближение к нему увеличивает угрозу потери управляемости. Ясно, что риск, отражающий величину этой угрозы, должен стремиться к бесконечности при приближении точки к прямой С1)|.

Будем считать, что область, лежащая ниже прямой ООь также является запретной, хотя

в с

/ 1 / ! / 1 м/ / /

' i / • ' ' ——~—/i • \ -Л/ / 1 D

Рис. 2

* Продолжение. Начало см.: Экономическая наука современной России, 2004. № 1.

теоретически из точки, принадлежащей этой прямой, мы могли бы достичь цели в плановый срок. Тем не менее, минимальная скорость «производства» результата (она может быть и отрицательной, если рассматривается не только наращивание результата, но допускается и его уменьшение) понимается нами как оценка надежности объекта. Движение с еще меньшей скоростью следует понимать как возникновение маловероятных чрезвычайных обстоятельств, которые могут привести и к разрушению самого объекта. Поэтому при приближении объекта к отрезку ODi наше количественное определение риска должно стремиться к бесконечности. Таким образом, ломаная OD\C (рис. 2) является границей запретной зоны.

Согласно (Берколайко, Руссман, 2004), за величину риска для точки М с координатами {t\,A{) принимаем расстояние:

r(M) = max< In—1—,1п—1— L

d = g|G —И-i) d ' HiO-Ei)' 2 М1-е2)'

^ где в, =|£Л|, \ix=\ExM\,

0

м приэтом l-s1=j£2£3|, 1-ц, =|£3М|,

(N

2 82 =\FtM\,

1 1-е2 =|F2F3|, 1-Ц2 =|F,M|.

а Поясним смысл точек Т\ и Т2 на рис. 2.

'§ Очевидно, что в задачах управления, когда

g состояние объекта описывается в терминах

| «время - результат», очень важно найти точки

8 контроля, которые одновременно являются и

| моментами времени принятия решения о при-

g менении управляющих воздействий или пе-

| ресмотра параметров цели.

& Организация системы контроля должна

I удовлетворять двум противоречивым требова-

g ниям: точек контроля не должно быть ни

m слишком много (за это приходится платить),

ни слишком мало (чтобы не возникла ситуация, когда что-либо менять уже поздно).

Теоретически объект мог сразу двигаться с максимальной скоростью по прямой ОБ и к моменту Т\ попасть в точку Вь после чего даже движение с минимальной скоростью позволяет вовремя достичь цели. Очевидно, что до момента Тх контролировать объект не имеет практического смысла. После момента Т2 объект может оказаться в запретной области и контроль потеряет смысл. В дальнейшем, решая задачу о целесообразности реорганизации портфеля активов, будем искать первый момент времени для принятия решения на отрез-ке [Ть Г2].

3.2. Простейший метод формирования портфеля (двухсторонних оценок) ранее уже был рассмотрен. Теперь опишем алгоритм формирования и управления портфелем, позволяющий объединить принципы (Берколайко, Руссман, 2004, разд. 2) и п. 3.1. Как будет следовать из дальнейшего изложения, практически на каждом шаге возникают возможности изменения (обобщения, усложнения) алгоритма (некоторые возможные модификации мы укажем в разд. 4).

Шаг 1. Задаем N активов, из которых мы хотели бы выбрать п активов, формирующих портфель.

Шаг 2. Задаем границу надежности у.

Шаг 3. Выбираем «-схему с функцией Шеннона h(p) > у при достаточно малых значениях вероятности р. Составляем закон распределения для числа реле в маршрутах, по которым может пройти ток.

Шаг 4. Обозначим через pQ минимальное значение р, при котором h(p) > у, и проведем первый этап формирования портфеля. Пусть aft - ансамбль п активов из общего набора jV активов. Для каждого ансамбля введемRb ... ,Rn-доходы единиц актива за время tpi, которые могут быть получены с вероятностью, не меньшей чем Pq.

Пусть Sj - стоимость единицы актива i, mi -искомое количество этих единиц, В - бюджет, отпущенный на формирование портфеля. Решаем следующую задачу оптимизации:

2>д<в,

/=1 mk е N.

min \mkRk} max,

Замечание. Разумеется, что полный перебор всех вариантов выбора п активов из N заданных (шаги 1-4 алгоритма) практически неосуществим. Поэтому необходимо пользоваться некоторыми специальными методами, существенно ограничивающими перебор. Остановимся лишь на двух из них.

1) Ранжируем TV активов по неубыванию:

V - Vmin

i ' /_

у max _ т/min ' i i

где Vj - средняя скорость изменения дохода за одну торговую сессию для актива г; V,m'dX, у.mm _ максимальная и минимальная скорости для этого актива, соответственно. Рассматриваем первые наилучшие (n + к) активов, где к сравнительно невелико, и перебираем все С"п+к = скп¥к вариантов.

2) Для набора Cft рассматривается разумное с вычислительной точки зрения число активов, выбор которых осуществляется с помощью ЛПт-последовательностей (Соболь, Стат-ников, 1981), обладающих свойствами равномерности.

Прежде чем перейти к описанию следующих шагов алгоритма, остановимся на некоторых важных моментах. Из каждого ансамбля

получаем допустимый портфель Pft , для которого через R(Pff) обозначим экстремум, найденный на шаге 4.

Для каждого допустимого портфеля считаются выполненными условия, при которых справедлив принцип существования подпор-тфеля с почти гарантированным доходом, сформулированный в (Берколайко, Руссман, 2004, разд. 2), и может быть построен аналог схемы движения к цели (рис. 2). При этом за

Fmin принимается m R(Pf})/tpl, а за Ар1 может быть принято, например, число R(Pff)X, где X - математическое ожидание случайной величины, рассмотренной на шаге 3. За Fmax можно принять величину n R(Pff)/tpi.

При этом отдельного обсуждения заслуживает выбор «-схемы Шеннона (шаг 3). Он должен в той или иной степени удовлетворять нескольким условиям. Во-первых, желательно минимизировать п, но получить при этом как можно большее т. Во-вторых, схема тем удобнее, чем меньше значение р*, являющееся корнем уравнения h(p) > у; уменьшение р* позволяет в свою очередь добиться увеличения числа т R(Pff).

Например, табулирование некоторых функций Шеннона дает такие результаты. Пусть h{p) - функция Шеннона 8-элементной схемы, получающаяся, как суперпозиция функции р2(2 -р2) и функциир(2 -р). Тогда /г(0,6) = 0,91, h(0,7) = 0,97. 8-элементная схема удобна, например, для российского рынка «голубых фишек», однако значительный доход с вероятностью 0,6, а тем более 0,7, получить весьма трудно.

Если же h(p) - функция Шеннона 12-эле-ментной схемы, получающаяся, как суперпо- ш зиция функции р2{2 - р2) и функции р{ 1 - р)3, | то А(0,45) = 0,907, /<0,51) = 0,951, что позволя- § ет повысить R(Pff). Еще лучший результат <§ (/?(0,42) = 0,916, /<0,47) = 0,951) дает функция | Шеннона 20-элементной схемы, получающаяся g суперпозицией функций 2 р5 - 5 р4 + 2 ръ + 2 р2 1 ир(1-/?)3. 8

Рассмотрим вопрос о практическом вычис- "g лении вероятностей, используемых в подборе g схемы Шеннона. Можно наметить два разных §, подхода: ч?

- обрабатывается массив данных с перио- g дом /0, где tpt = к ¿0, к - натуральное число; *

- обрабатывается массив данных с перио- z Дом tpl. £

Эти подходы действительно разные. Допус- ^ тим, например, что t0 - это один день торговой § сессии, tpi - 30 дней, а обрабатывается массив за р

о о см

2 ♦

S

5 и о

£ «

о

300 дней. Пусть также среди этих 300 дней один был форс-мажорным, с резким падением курса. При первом подходе значимость этого дня невелика. При втором, когда используется суммарный доход идущих подряд 30 дней, сдвигаясь каждый раз на один день, влияние «негативного» дня возрастает, поскольку он фигурирует в 30 массивах из имеющихся 270. В итоге выбор метода зависит от склонности инвестора к риску; можно рекомендовать использовать оба подхода и ориентироваться на более пессимистический результат. Могут быть использованы разнообразные методы обработки временных рядов и технического анализа (Энциклопедия технических индикаторов рынка, 1997); оценка целесообразности применения того или иного метода выходит за рамки этой работы.

Шаг 5. Для каждого допустимого портфеля находим аналоги точек Тх и Т2. Точка Т\ есть абсцисса точки пересечения прямых: гф^)

?

где M{t) - точка на прямой

ОВ:А-

V

В1С:А = Ар1

mR(p") , v

lri

V

U-m)

т.е. 7] =

n-m

Аналогично: .

tPM-x)

CD T

Ж

s

о

X

s

CO

A = -

V

t„

t =

r(p5)x

t„

t.

• min,

max.

T2 =

n-m

Замечание. Координаты точек Tt (i = 1, 2) зависят от tpi, числа m, полученного из принципа сопоставления, и, кроме того, еще от вероятности, найденной на шаге 4. Отметим, что при уменьшении этой вероятности R(aß) растет, однако при этом мы ограничены условием h(p) > у.

Шаг 6. Для каждого допустимого портфеля Pß находим величину

= min max\ In-\-In-\--L

'iVi] [ l-d,(M(0) l-d2(M(t))y

Р1 V

Шаг 7. Среди всех допустимых портфелей выбираем тот, который доставляет решение двухкритериальной оптимизационной задачи:

Шаг 8. У найденного на предыдущем шаге портфеля есть точка I* из промежутка \ТХ, Т2], в которой достигается описанный выше оптимум. Необходим мониторинг состояния каждого актива до этого момента времени. Цель мониторинга - проверка выполнения для активов условий предыдущих шагов. Если эти условия хотя бы для одного из активов не выполняются, то необходимо сразу повторить все предыдущие шаги алгоритма с целью переформирования портфеля.

Шаг 9. Если все активы до момента времени удовлетворяли описанным выше требованиям, то все шаги алгоритма повторяются в момент Л При этом переформированный портфель может и совпасть с предыдущим.

Замечание. Момент переформирования портфеля рассматривается как момент I = 0 с задачей достижения в оставшееся время оставшейся доли от запланированного результата.

Замечание. Очевидно, что, если цель задана точкой, как на рис. 2, то моментов возможного переформирования может быть бесконечно много. Однако на практике (и это обеспечивает конечность процесса) цель всегда указывается как некоторая область (подробнее об этом см. в следующем разделе).

Замечание. Условие принадлежности точки М{1) прямой

(шаг 6) не является, разумеется, единственно возможным. Можно рассматривать, например,

лежащий между вертикалями t = Т{ (/ = 1, 2) отрезок прямой А = Vav t, где Vav - средний доход портфеля Pf} за один период, посчитанный на основе статистических данных. Можно также рассматривать любую ломаную (или кривую), отражающую волатильность портфеля.

3.3. Опишем схематично метод, позволяющий прогнозировать с помощью схем Шеннона изменение рыночного индекса. Предположим для простоты, что прогноз составляется на период, равный одному дню. Предположим также, что множество мощности N единичных активов (акций), включаемых в определение индексов (например, S&P500, N = 500; FTSE2500, #=2500), удовлетворяет следующему условию: существует разбиение (Е; N, п) множества N на п агрегированных единичных активов (элементарных портфелей), каждый из которых принесет доход одного и того же знака.

Шаг 1. Зададим надежности у, (г = 1, 2) и длину промежутка неопределенности D.

Шаг 2. Подберем «-схему Шеннона, функция h(p) которой удовлетворяет условие: с - а < А, где hia) = yb /г(с) = у2.

Шаг 3. Рассмотрим всевозможные разбиения (X; N, и), такие, что каждый их агрегированный единичный актив (элементарный портфель) может принести в течение следующей торговой сессии доход, не меньший, чем с вероятностью, большей, чем с, и доход, не меньший, чем R0 с вероятностью меньшей, чем а. При положительности доходов '); а при отрицательности Rp) <R£\

Шаг 4. Среди всех разбиений шага 3 выберем то, у которого

it" = max

Шаг 5. Воспользуемся принципом существования подпортфеля с почти гарантированным доходом т Пересчитаем этот доход в почти гарантированную на следующую торговую сессию доходность рыночного портфеля (что аналогично доходности исходного мно-

жества N единичных активов). Укажем прогнозное значение изменения индекса на следующую торговую сессию.

Комментарий 1. Известно, что крупные аналитические агентства публикуют прогнозы изменения рыночных индексов, причем это имеет значение не только для рынка базовых биржевых инструментов, но и для рынка дери-вативов, для которых индекс сам является базовым инструментом. К сожалению, нам неизвестно какими методами пользуются агентства для своих прогнозов и какова степень обоснованности этих методов. Предлагаемая нами схема позволяет, с одной стороны, почти гарантированное изменение индекса, а с другой стороны, согласно теореме Шеннона, дает возможность найти изменение, которое может произойти лишь с очень малой вероятностью. Промежуток между двумя этими значениями как раз и соответствует промежутку неопределенности для схем Шеннона. Разумеется, можно указать набор уровней изменения индекса и оценить их вероятности. Подробнее об этом мы надеемся рассказать в других публикациях.

Комментарий 2. Методы классификации (Миркин, 1976) позволяют осуществить разбиение N активов на п групп, с равными средними значениями. Однако в нашем случае использование этих методов ограничено выполнением двух дополнительных условий. Во-первых, групп должно быть не меньше, чем количество элементов, необходимое для соответствующей схемы Шеннона. Во-вторых, вероятности, с которыми элементарные портфели приносят примерно один и тот же доход, должны быть такими, что их минимум удовлетворяет условиям шага 3 алгоритма.

Комментарий 3. Рассмотренный алгоритм без существенных изменений может быть обобщен и на случай нескольких периодов. Отметим лишь, что оценка вероятности при изменении рыночного портфеля должна учитывать весьма существенное отличие отдаленных периодов от близлежащих.

О) §

ж о 2 5 £ я>

я

S

я а х о s<

•v

о

X

S ♦

Z

ю

М О

о

4. Некоторые модификации и направления развития

4.1. Схемы Шеннона и схемы Бернулли. Под и-схемой Бернулли мы понимаем расположение п активов следующим образом:

-о-:

-О-

в__о--#

•

-О-

Такое расположение мы будем называть схемой Бернулли, поскольку случайная величина - число сработавших элементов такой схемы - распределена по биномиальному закону. Заметим, что доказанная в (Берколайко, Руссман, 2004, прилож. 1, утверждение 4) оценка допускает следующее уточнение:

hn{p)^-kicip'{\-p)n-j,

,/=о

где h„(p) соответствует «-схеме Шеннона, в ко-

^ торой кратчайший маршрут содержит ровно к

§ элементов.

§ Возникает естественный вопрос: зачем

<n привлекать для формирования портфеля из «

2 активов «-схемы Шеннона, если при стремле-

♦ нии сделать вероятность срабатывания близ-

1 кой к единице «-схема Бернулли дает лучшие

0 результаты для небольших р? Существует мно-« го аргументов в пользу схем Шеннона, здесь | мы приведем лишь два основных, в двух же

1 следующих пунктах обсуждаются дополни-§ тельные соображения.

« 1. Свойства функций Шеннона дают воз-я можность добиться того, что вероятность epate батывания при р > с близка к единице, но од-| новременно при р < a (a< с) уже близка к ну-| лю. При этом за счет конструирования схем i Шеннона можно добиться того, что промежу-со ток [а, с] располагается в любой заранее задан-

ной части интервала (0, 1). Ясно, что схема Бернулли таким свойством принципиально обладать не может. Это означает, что, привлекая для образования портфеля схемы Шеннона, можно вместо игры на повышение использовать игру на понижение (например, короткие продажи или пут-опционы), если р (вероятность срабатывания одного актива) уменьшится сколь угодно незначительно.

2. Множество маршрутов в п-схеме Шеннона существенно уже множества возможных комбинаций в схеме Бернулли, что привлекательно с точки зрения управления портфелем.

4.2. Расположение активов в аналоговой я-схеме. На протяжении всей работы мы предполагали, что каждый из « активов «-схемы Шеннона должен приносить доход не меньший, чем одна и та же величина Я. При таком допущении не имеет никакого значения способ соответствия активов элементам «-схемы Шеннона, т.е., грубо говоря, неважно, на каком месте схемы мы располагаем тот или иной актив. Этот подход, с одной стороны, упрощал проблему формирования портфеля, но с другой — заставлял решать «лишнюю» оптимизационную задачу подбора величин тк (шаг 4). Отказ от этого допущения может дать, например, возможность увеличения почти гарантированного дохода за счет оптимального «расположения» активов на аналоговой схеме.

Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Возьмем 4-элементную схему, когда на каждой из двух ветвей расположены по два актива. Пусть значения доходов различны и равны, например, 1, 2, 3, 4. Тогда существуют три отличающихся друг от друга способа расположения активов по элементам схемы. Они изображены на рис. 3.

Из приведенной далее таблицы выбирается оптимальное решение, столбцы ¥ъ соответствуют трем возможным вариантам срабатывания схемы:

- срабатывают обе ветви;

Рис. 3

- первая срабатывает, а вторая нет;

- первая не срабатывает, а вторая срабатывает.

Над столбцами записаны вероятности соответствующих событий. При этом, согласно принципам сопоставления и существования подпортфеля с почти гарантированным доходом, не учитывается возможность несрабатывания обеих ветвей, так как это событие имеет вероятность 1 - h(p), величина которой для рассматриваемых значений р пренебрежимо мала. Строки матрицы Еь Е2, Еъ соответствуют трем способам расстановки активов, согласно рис. 2. На пересечении данных строки и столбца стоит величина получаемого дохода, зависящая от способа расстановки и варианта срабатывания схемы. Продолжением основной таблицы служат результаты выбора наилучшего решения о расстановке активов по пяти различным критериям: ММ - maxmin - критерий, предписывающий выбор решения, для которого минимальный по каждой строке результат максимизируется; HW - критерий Гурвица, по которому устанавливается некоторый 0 < а < 1 уровень «оптимизма» и выбирается решение с максимальным значением выпуклой линейной

комбинации между максимальным и минимальным элементами в каждой строке; BL -критерий Байеса-Лапласа, по которому выбирается максимальная величина математического ожидания выигрыша по каждой строке; S -критерий Сэвиджа - минимизирует максимальное «сожаление» от принятого решения, которое вычисляется как разность между максимальным и реальным доходом по столбцу; П- критерий произведения, требующий перемножения элементов каждой строки и выбора решения, соответствующего максимуму полученных величин.

Заметим, что сумма вероятностей для событий Fb F2, F3 равна h{p). По трем критериям (MM, HW, П) оптимальным оказывается третий вариант расстановки активов, выравнивающий суммы доходов по ветвям. Критерий BL не позволяет осуществить какой-либо выбор, а по ^-критерию наилучшая расстановка соответствует решению Е2. Оптимальные значения отмечены в соответствующих столбцах.

Можно было рассмотреть и другие критерии выбора (Мушик, Мюллер, 1990), но уже из рассмотренного примера видно, что главным является выбор самого критерия, а способ рас-

Таблица

р Р* р\ 1 -Р) р\ 1 -Р)

\ F £ \ Fi F2 F, ММ HW BL s max П

10 3 1 3 10 а + 3 (1 - а) 10h(p) 0 2 0 2 210

Ег 10 4 6 4 10 а + 4(1 -а) 10h(p) 0 1 1 1 240

У1 10 5 5 5 10 а + 5 (1 - а) 10 h(p) 0 0 2 2 250

о>

я о X о X S .с

"8

2

Л

х х о

5< ?

о

Г)

5

5 ♦

Z

ю К> ГО

о о

становки активов по элементам схемы портфеля является вторичной задачей.

4.3. Декомпозиция портфелей. Мотивацией к декомпозиции портфеля могут служить следующие соображения (для наглядности рассмотрим портфель из восьми активов, в котором 8-элементной схемой Шеннона служит 4-элементная схема (Берколайко, Руссман, 2004, прилож. 3):

- для объединения двух портфелей (верхняя и нижняя ветки) минимальной скоростью служит величина 4 RJtpi, в то время как для первоначального, не подвергшегося декомпозиции портфеля, минимальная скорость равна 2 R/tpi- В то же время максимальная скорость не изменится, т.е. угол между прямыми OD и ОБ уменьшится;

- в описании алгоритма мы говорили о необходимости переформирования всего портфеля, если хотя бы один из активов перестал быть приемлемым; при декомпозиции нам достаточно переформировать один из подпортфелей.

Число подобных аргументов можно легко увеличить, задача об оптимальной декомпози-ции представляется весьма интересной, но в ^ данном случае следует остановиться подробен нее на другом аспекте этой проблемы. Речь с^Г идет о мостиковой последовательно-парал-лельной схеме (МППС), например, мостико-♦ вая схема из пяти элементов (Берколайко, Рус-| сман, 2004, прилож.З), которая, как представ-g ляется на первый взгляд, декомпозицию не до-

(X

,s пускает.

| Здесь, однако, можно воспользоваться ра-

| венством Шеннона: h(p) = р J(p) + (1 - р) g{p),

к

Si

СО

где Др) - функция Шеннона для схемы с перемычкой, а g(p) - функция Шеннона для 6-эле-ментной схемы (Берколайко, Руссман, 2004, прилож. 3). Использовать это представление можно, например, в следующем варианте: считая, что каждый актив в 5-элементной МППС разбивается на две доли со и (1 - ш), 0 < со < 1, после чего следует рассмотреть управление двумя портфелями (рис. 4).

Заметим, что математическое ожидание числа маршрутов срабатывания первой схемы (рис. 4) при любой вероятности р строго больше, чем для второй схемы; поэтому можно за счет подбора доли со сделать раздельное управление портфелями более выгодным, с точки зрения достижения цели, чем управление с помощью 5-элементной МППС. При такой декомпозиции актив, лежащий на перемычке, не учитывается. Однако есть еще одна возможность декомпозиции МППС, при которой он начинает играть самостоятельную роль. Она основана на том, что любую МППС можно представить как ППС при условии, что допускается появление одних и тех же активов на разных ветках. Поясним это на примере все той же 5-элементной МППС:

Используя представление в виде дизъюнктивной нормальной формы, можно показать, что эквивалентной ППС является схема:

Г^гн 1

-t>J-t>

Рис. 4

Один из вариантов декомпозиции представлен ниже.

01 Y

СОХ,

(1-со)х, (1-со)х4

—о-о-о—

(1 — со)х2 (1-£,)х, (1-со)х,

—о-о--о—

4.4. Другие виды оценок управляемости.

В разд. 1 и 3 приводились аргументы в пользу рассмотрения проективного расстояния до запретной области (в качестве меры угрозы потери управляемости). При этом проективное расстояние до запретной области определяется через трудность достижения цели d(z, (i). Сохраняя основы этого подхода, мы можем несколько видоизменить способы вычисления трудностей. В частности, в работе (Леденева, 1999) были рассмотрены модификации формул для свертки трудностей, позволяющие включать в портфель недостаточно хорошие активы, но за счет других составляющих характеристика целого портфеля останется приемлемой для достижения цели.

Необходимость включения в портфель априори не очень качественных активов может возникнуть, например, тогда, когда количество «хороших» активов недостаточно для сопоставления портфеля с «-схемой Шеннона (и -

велико), либо, если «хорошие» активы слишком дороги и не могут быть использованы из-за бюджетных ограничений.

4.5. Расстояние, информация, стоимость.

Упомянутое ранее проективное расстояние 1п(1/(1 - сГ)) имеет также прозрачную аналогию с шенноновским определением информации (Шеннон, 1963), которое в нашем случае является информацией о положении системы относительно запретной зоны.

Как известно, Шеннон ввел свое определение информации как 1п ргх, основываясь на том, что мера информации должна быть аддитивна, в отличие от вероятностей, которые являются мультипликативными для совместно происходящих событий. Свойству аддитивности удовлетворяет еще одна важнейшая характеристика - стоимость. В этом случае должна просматриваться цепочка соответствий: проективное расстояние как информация о трудности достижения цели эквивалентна информации о положении системы относительно запретной области; эквивалентна риску как мере угрозы потери управляемости и эквивалентна стоимости (затратам) на сохранение управляемости а, следовательно, стоимости возможности достижения цели.

Придание этой цепочке строгого формального и модельного смысла представляется весьма интересной задачей, решение которой позволило бы трактовать портфель активов как систему, рыночная стоимость которой находится в функциональной зависимости от затрат на ее управление. При этом согласно формуле (1): ср(/(£/,, ¿/2)) = + ф(£/|), «стоимость» управления по совокупности факторов равна сумме «стоимостей» управления по каждому.

4.6. Качество исходной информации. Разумеется, что по своей сути описанные методы являются стохастическими. Однако если параллелограмм (рис. 2) уже построен и не меняется во времени, то управление носит детерми-

U) §

х о 2 5

"8

i

X

о »

"ТЭ

о

Г)

о 5 S

N3 О О

нированный характер. При этом процесс построения параллелограмма существенно зависит от вероятности р. В связи с этим решающее значение приобретает точность оценки р, а это означает тщательный и возможно дорогостоящий анализ большого количества активов. Здесь важен не только выбор метода анализа временных рядов, но и качество информации, по которой производится оценка.

Для применения теоремы Шеннона необходимо, чтобы события, вероятность которых равна р, были независимыми. В то же время, даже теоретически, невозможно представить себе два актива, корреляционное отношение для которых равно нулю. Но именно эвристический характер предложенных процедур мониторинга и реорганизации портфеля позволяет переформировать его как только вероятность р значимо уменьшилась. До этого момента мы всегда предполагаем, что гипотеза о независимости событий верна.

4.7. Нерелейные схемы. Представляется весьма перспективным использование в теории управления портфелем аналоговых схем, элементами которых являются, например, ^ усилители. Если допустить, что на одной из g веток схемы расположены два актива, причем pj прибыль, полученная от первого, инвестиру-ется во второй, то общий доход ветки будет ♦ равен:

1 k2(kl -l)Xj +(k2 -1)х2 >(ky + {k2 -1)х2,

и

(£ где k\ > 1, к2 > 1 - коэффициент наращивания *§ (усиления) стоимости первого и второго акти-| вов соответственно, а хх и х2 - стоимости акти-| вов. Можно также рассмотреть схему из двух § усилителей с обратной связью (рис. 5).

S

1 V©-Ф^г1*

S

m Рис. 5

Финансовый поток на выходе у разделяется на две части у=у\ +у2, гд еу2 = а у (0 <а < 1)-инвестиционная составляющая, направленная на вход первого элемента схемы. Легко получить выражение:

y=l-aklk2'

при а к\ к2 < 1 вся схема работает как эффективный усилитель.

Нам неизвестен метод построения надежных схем из элементов этого типа, но, очевидно, что появление таких методов повлечет за собой возникновение новых эффективных стратегий управления портфелем активов.

4.8. Стоимость переформирования, резервы. В описании алгоритма формирования и управления портфелем (разд. 3) мы не останавливались подробно на затратах, связанных с переформированием портфеля. Оценить первоначально эти затраты затруднительно. Здесь можно предложить следующий достаточно простой, но, как нам представляется, эффективный способ. К набору критериев оптимизации (или к набору ограничений) можно добавить еще один. Рассмотрим прямую А = Vav t, где Vav - имеет для портфеля тот же смысл, что и V'av для актива в разд. 3. Пусть заданы числа 0 < а < Р <1 и должно быть выполнено условие а Bj-or < Bres < Р Bjor\ здесь Bjor - бюджет формирования портфеля, Bres -бюджет резерва:

Положение точки MJ^t*) на прямой А = Vav t определяет долю бюджета формирования, отпущенную на бюджет резерва. Для каждого портфеля момент t* имеет тот же смысл, что и точка оптимума (шаг 8 алгоритма).

4.9. Вершины параллелограмма управления. Мы определяли вершины Ви С и Dx параллелограмма на рис. 3, исходя из того, что Ар, = R(Pfí)X,aVmax = n R(P0)/tpl. Разумеется, за Ар1 можно принимать, например, наиболее вероятный (а не средний) доход, а за Fmax дру-

гую величину, вероятность появления которой выше, чем р".

4.10. Управление по отклонениям. Легко увидеть, что «отклонение от границ опасных зон» выступает как один из основных принципов управления портфелем. Отсюда следует, что при любом способе вычисления Fmin, Fmax и Api минимизация трудности сохраняет свою главенствующую роль, т.е. эти параметры не обязаны вычисляться с помощью схем Шеннона. Кроме того, для осторожного инвестора можно рекомендовать оценку состояния портфеля во времени более частую, чем это следует из алгоритма. Сигналом для переформирования портфеля может служить, например, его попадание в область, лежащую ниже прямой А = (Ap¡ ltp¡) t

Отметим, что в определении минимизируемой величины г(М(/)) (см. шаг 6, п. 3.2) мы придавали одинаковый вес угрозе приближения к прямой CD] и к прямой ODh хотя на самом деле попадание в CDDX делает ситуацию безнадежной, а область, лежащая ниже прямой OD¡, оставляет маловероятную возможность достижения точки С. По-видимому, естественнее было бы рассматривать r(M(t)) как выпуклую комбинацию двух расстояний, причем расстояние до СО, имеет больший вес, чем расстояние до ODx. Но нам пока неизвестны никакие априорные соображения, которые позволили бы найти коэффициенты этой комбинации.

4.11. Портфель как замкнутая термодинамическая система. Брокер как демон Максвелла. Максвеллу принадлежит идея следующего мысленного эксперимента. В замкнутом объеме, разделенном на две части перегородкой, «демон» открывает дверцу, пропуская в одну из частей быстрые молекулы, и закрывает эту же дверцу перед медленными. Тогда через некоторое время можно было бы достичь значительной разности температур и за этот счет удалось бы проделать некоторую

работу. Только в 50-е годы стало окончательно понятно, что такой эффект невозможен, поскольку энергия, требуемая на оценку скорости молекул (по доплеровскому смещению), превышает энергию, которую можно было бы получить за счет разностей температур в двух частях объема.

Символично, что примерно в это же время появились первые работы Марковича по проблемам фондового рынка. Однако на самом деле аналогия между фондовым рынком и термодинамикой замкнутых и открытых систем значительно более глубокая.

Допустим, что мы хотели бы поручить брокеру работу демона Максвелла, т.е. отбор самых «хороших» активов и отсев всех «плохих». Очевидно, что затраты на такое распознавание (сбор информации, анализ и прогноз) превысят (при отсутствии доступа к инсайдерской информации) возможный гарантированный доход. В предыдущем изложении одним из подтверждений этого был тот факт, что сужение промежутка неопределенности влекло за собой увеличение трудности с?. Другим подтверждением является то, что приближение к цели (см. рис. 2) влечет за собой и приближение к запретной области, т.е. увеличение энтропии 1п (1 — с1у{. В этом смысле второй закон термодинамики действует весьма наглядно; только попадание за время, меньшее чем * на прямую СБ], позволяет приближаться к цели без увеличения энтропии. Однако очевидно, что движение по такой траектории крайне маловероятно и, если даже может быть осуществлено, то со значительными затратами на оптимизацию отбора и на частые переформирования портфеля. Кроме того, из общих соображений понятно, что цель брокера состоит в минимизации энтропии портфеля, а рынок же в целом (как внешняя среда) стремится энтропию увеличить.

Эти соображения показывают, что качественным формальным аналогиям между фондовым рынком и термодинамикой больших систем следует придавать строгий смысл.

§

х о 2

X X

о s<

"О

о

Г)

о 5 5

Z

ю О

о

4.12. Соотношение неопределенности.

Очевидно, что вычисление всех параметров, определяющих положение портфеля как точки на плоскости (А, О, невозможно производить со сколь угодно большой точностью. Это относится и к вычислению значений Я и р, и к определению стоимости портфеля в любой точке переформирования (из-за транзакционных запаздываний). Отсюда следует, что и сама цель формирования и управления портфелем активов является не точкой, а некоторой областью на плоскости (А, (). Заметим, что это соображение позволяет сделать процесс управления конечным, так как в противном случае (точечной цели) количество необходимых переформирований бесконечно.

В связи с этим возникает естественная аналогия с принципами неопределенности в квантовой механике и в гармоническом анализе, которые, в самом общем смысле, утверждают, что одновременная локализация объекта по определяющим его параметрам невозможна.

Это приводит к соотношениям неопределенности, которые, например, в квантовой механике, дают оценку снизу для произведения приращений координат и импульса. Аналог такого соотношения для фондового рынка, скорее всего, должен выглядеть как ограничение снизу на размер области плоскости (А, (), в которой может находиться каждый актив и портфель в целом. По нашему мнению, не следует ожидать, что в качестве такого ограничения будет выступать некоторая универсальная константа хотя бы только потому, что степень во-латильности рынка окажет существенное влияние на размеры области неопределенности.

Отметим в заключение, что, согласно неравенству Рао-Крамера (Крамер, 1948), одновременное точное вычисление дисперсии и математического ожидания случайной величины на основании статистических данных невозможно, поэтому область неопределенности возникает даже при использовании классической модели Марковича - Тобина - Шарпа.

Литература

Бабунашвили М.К., Бермант М.А., Руссман И.Б. Контроль и управление в организационных системах // Экономика и математические методы,. 1969. Т.У. №2.

Берколайко М.З., Руссман И. Б. О некоторых методах формирования и управления портфелем активов // Экономическая наука современной России. Ч. 1. 2004. №1. С. 18-32.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.

Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегирования информации в целенаправленных системах. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1999.

Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков. - М.: «Статистика», 1976.

Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. - М.: Мир, 1990. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. -М.: Наука, 1981.

Шеннон К. Математическая теория связи. Работы по теории информации и кибернетике. - М.: Наука, 1963.

Энциклопедия технических индикаторов рынка. -М.: Издательский дом «Альпина», 1997.

Рукопись поступила в редакцию 2.12.2003 г.