CC BY
18
Экономическая наука современной России
№ 1, 2004 г.
О некоторых методах формирования и управления портфелем активов. Часть 1
© М.З. Берколайко, ИВ. Руссман, 2004
Задача формирования портфеля активов решается по аналогии с конструированием надежных схем из ненадежных элементов. При управлении портфелем риск трактуется как степень угрозы недостижения цели и вычисляется на основе математического аппарата, формирующего понятие «трудность достижения цели».
«Однажды я спроста опытного опционного трейдера, какой совет он может дать будущим трейдерам. «Я всегда советую им углублять свои познания в философии или физике» - таков был ответ... Он имел в виду, что выдающийся трейдер должен и видеть картину в целом, и концентрироваться на деталях. »
Рей К. И. «Рынок облигаций».
Введение
Базовые идеи теории управления портфелем активов (далее - портфель) первоначально были сформулированы Г. Марковицем (Marko-witz, 1952), а затем получили развитие в работах Дж. Тобина (Tobin, 1965) и У. Шарпа (Шарп, Александер, Бэйли, 1997). Теория Марковица-Тобина-Шарпа решает следующую задачу: портфелю активов ставится в соответствие случайная величина, зависящая от доходностей составляющих его активов. При этом трейдер стремится к увеличению ожидаемой доходности (в данной теории это эквивалентно максимизации математического ожидания доходности) и к уменьшению риска (это, в свою очередь, равносильно уменьшению дисперсии доходности портфеля).
На теорию Марковица-Тобина-Шарпа опираются:
1. Теория арбитражного портфеля (Шарп, Александер, Бэйли, 1997; Cannor, Korajczyk,
1995), позволяющий снизить риск за счет уменьшения влияния на портфель некоторых выделенных факторов.
2. Модификация оценок риска (Маршал, Бансал, 1998; Mulvey, Armstrong, Rothberg, 1995; Chaumeton, Connor, Curds, 1998; Берколайко, Руссман, 2003).
3. Многошаговые процедуры принятия решений при управлении портфелем, подробно проанализированные в работе (Ерешко, 2002).
Во всех этих подходах процедуры уменьшения риска рассматриваются либо как ограничения в оптимизационных задачах, либо независимо от критерия наращивания прибыли. В данной работе и формирование, и управление портфелем рассматриваются как процесс достижения цели системой переменной структуры, а риск, в свою очередь, трактуется как степень угрозы недостижения цели и является функцией положения системы относительно этой цели. Это означает, что мы должны:
1) в рамках заданного объема средств (бюджета) в фиксированный промежуток времени, формируя портфель и реорганизуя его, получить при закрытии позиции запланированный адекватно конъюнктуре рынка доход;
2) если (например, в связи с резким изменением конъюнктуры) достижение цели оказывается невозможным, то необходимо обнаружить это как можно раньше и изменить па-
раметры цели так, чтобы она стала достижимой; изменение может выражаться в уменьшении величины дохода, в увеличении времени до момента достижения цели, или одновременно в том и другом.
Отметим, что здесь мы говорим именно о доходе, а не о доходности, поскольку, как это будет показано ниже, нам требуется аддитивная величина, а доходность таковой не является. Что же касается второго ключевого понятия различных портфельных теорий, а конкретно риска, то угроза недостижения цели связана и концептуально, и формально, с изменяющимися во времени «трудностями», возникающими при ее достижении и вызванными сопротивлением внешней среды, низким качеством используемых ресурсов и собственными ограниченными возможностями.
Вторая часть работы, посвященная формированию портфеля, основана на результатах К. Шеннона (1963) в области конструирования надежных электрических схем из ненадежных элементов. Результатом процесса формирования портфеля становится подпортфель с почти гарантированным доходом, и в этом заключается трудность.
Полученные результаты используются в третьей части, посвященной проблеме управления портфелем. В частности, приводится описание многошаговой процедуры, позволяющей найти решение ранее сформулированных задач.
Наконец, четвертая часть содержит описание некоторых возможных модификаций моделей, рассмотренных во второй и третьей частях, и формулировки задач, представляющихся нам актуальными (третья и четвертая части будут опубликованы в следующем номере - ред.).
Отметим, что привлечение аксиоматики трудностей к оценке риска недостижения цели, с одной стороны, позволяет сохранять традиционно вероятностную интерпретацию риска, идущую от Марковича, а с другой - тракту-, ет риск как меру несоответствия реального качества актива качеству, диктуемому поставленной целью.
Как известно, вероятностная интерпретация риска вызывает у практических инвесторов некоторое недоверие. В этом смысле оценка риска как «трудности» позволяет формализовать вполне житейское соображение о том, что достижение цели тем более гарантировано, чем более высокое качество в сравнении с минимальными требованиями имеют использованные ресурсы.
Работа носит преимущественно теоретический характер, приводимые примеры в основном иллюстративны. В настоящее время разрабатывается программный продукт, позволяющий применить предложенные модели к реалиям фондовых рынков России и зарубежья.
Авторы выражают признательность профессору Ф.И. Ерешко (ВЦРАН), профессору Я.М. Миркину (Финансовая академия при Правительстве РФ) за полезные дискуссии, а также к.ф.-м.н. Р.Л. Болдыреву и к.ф.-м.н. К.С. Демченко за помощь, оказанную в построении примеров.
Трудность достижения цели. Аксиоматика и основные соотношения
ф
Процесс достижения цели трактуется |
авторами как процесс управления. Из общих §
же принципов управления (Захаров, Поспелов, £
Хазацкий, 1977) вытекает, что при этом прихо- §
дится отвечать, в частности, на два вопроса: х
1. Если изначально имеются ресурсы дос- Ц таточно хорошего качества, то следует ли из 0 этого, что при некотором разумном управле- ^ нии возможно получить результат хорошего | качества? §
2. Если изначально ресурсы плохого качес- ® тва, то возможно ли в процессе управления до- Я биться «хорошего» качества результата? 1
Примерно так же, как интуитивному поня- ♦
тию «полезность» в общеизвестных трудах ^
Дж. фон Неймана был придан строгий фор- г1
мальный смысл, можно дать количественную ^
трактовку всеми осознаваемому понятию 2
«трудность достижения цели». Введение этой г>
характеристики и построение для нее математического аппарата позволит придать формально-логический смысл и ответам на поставленные вопросы.
Интуитивно ясно, что тем труднее достичь поставленной цели, чем меньше запас наших возможностей по отношению к требованиям, которые диктует желаемая цель. При этом количественная шкала оценки «трудностей» уже содержится в семантике: мы говорим, что цели достичь невозможно, если качество и количество наших ресурсов меньше требуемого; мы говорим, что цели достичь очень трудно, если этот запас лишь незначительно превышает требования и т.д.
Таким образом, основное условие, которому должна удовлетворять оценка трудности, состоит в том, что трудность монотонно убывает при возрастании расстояния между оценками требований и ресурсной обеспеченности.
Понятно также, что качество результата (цели) и качество ресурсов - это понятия комплексные, зависящие от многих факторов. Итогом исследования такой многофакторной характеристики и должна быть «трудность достижения цели», про которую в этом контексте уместно говорить, что она зависит от мно-^ гих факторов. Помимо этого мы можем, разу-о меется, рассматривать и специфические труд-^ ности, порожденные каждым фактором в от-т. дельности. Поэтому возникает естественная ф проблема взаимоотношения между набором х локальных трудностей и агрегированной труд-8 ностью, порожденной комплексом этих специ-^ фических факторов.
о В работе (Каплинский, Руссман, Умыва-| кин, 1991) эти соотношения описываются сле-о. дующей системой аксиом. Пусть с!ь с/2 - спе-8 цифические трудности, а й-порожденная ими Л агрегированная трудность. £ 1. Агрегированная трудность не зависит от | каких-либо других факторов, кроме заданных, У т.е. <Л=]{с1ь ¿/2) := X ¿/2. В дальнейшем/бу-| дем называть сверткой трудностей. § 2. Коммутативность свертки: до примене-сп ния управляющего воздействия порядок воз-
никновения трудностей не существенен (если система предоставлена самой себе, то не имеет значения, накладывается ли первая трудность на вторую, или наоборот), т.е. йх X с12 = ¿2 X ¿1.
3. Отсутствие иерархии факторов (все факторы относятся к одному уровню), что выражается условием ассоциативности: (с1] X с12) X = = </, X (с/2 X </3).
4. Условие нормировки: 0 < с1ь с12, й < 1;
до, о) = о,/1,1) = 1.
5. При отсутствии трудности по второму фактору свертка совпадает с трудностью по первому фактору, т.е.Д^, 0) = с1х.
Еще в начале XIX в. Н. Абель доказал, что общий вид функции / (при выполнении условий 1-3) задается формулой:
/(¿„¿2)=Ф-^ф^о+Ф^,)], (1)
где ф - монотонная непрерывная функция. Для выполнения условий 4-5 на ф накладываются ограничения ф(0) = 0, ф(1) = 00 . Если теперь в качестве функции ф выбрать 1п (1/(1 - с1)), то
/(¿/¡, ¿/2) = й?! +£/-, — (2)
В той же работе показано, что этот вид свертки единственный в классе многочленов от двух переменных.
Таким образом, если понятие трудности удовлетворяет условиям 1-5, а в качестве генерирующей выбрана функция (2), то выражение для агрегированной трудности совпадает с формулой вероятности суммы независимых событий. Отсюда следует, что трудность может быть охарактеризована в вероятностных терминах (см.: Каплинский, Руссман, Умыва-кин, 1991; Леденева, 1999), где трудность возникает как условная вероятность недостижения цели при условии, что качество ресурса удовлетворяет первоначально сформулированным ограничениям). В ситуации управления активами это означает, что «благонадежная» предыстория актива не является гарантией его «хорошего» поведения в дальнейшем.
Если ф(йО трактовать как затраты на преодоление трудности с1, то соотношение (2) мож-
но записать в виде: затраты на преодоление общей трудности равны сумме затрат на преодоление пофакторных трудностей, поскольку равенство с/= ф"1 [ф^) + ф(с/2)] эквивалентно ф(с/) = ф(й?)) + ф(^2)- Сказанное позволяет сделать вывод о том, что экономические соображения подтверждают разумность выбора условий 1-5.
Перейдем к определению трудности через оценки качества ресурса. Пусть ц е (0, 1] -безразмерная оценка качества ресурса с условием «чем больше, тем лучше», а в е [О, 1) -нижняя граница требований к качеству ресурса. Ресурс считается допустимым, если ц>е. Трудностью назовем величину, задаваемую соотношением
¿=44 (з)
ц(1 -е)
Ясно, что с1 е [0, 1 ]. Кроме того, с!= 0, когда отсутствуют требования к качеству ресурса (е = 0) и для ресурса идеального качества (ц=1). Трудность максимальна (¿/=1) при ц = е. Легко увидеть, что трудность, задаваемая соотношением (3), удовлетворяет всем сформулированным условиям.
Формула (3) допускает очевидную вероятностную интерпретацию: введем два случайных события: А1 - не выполнено требование к качеству результата /; В/ - не выполнено требование к качеству ресурса]. Тогда с1у выступает
как вероятность Р^А^В^ недостижения результата / при использовании ресурса удовлетворяющего исходным требованиям. Выражение (3) становится формулой Байеса, если принимается одна из двух возможных интерпретаций:
1) г,=Р(В!), 1х11=Р(В1/А,У
В обоих случаях естественно предположить выполнение условия Р(А^В^) = 1, т.е. при некачественном ресурсе результат всегда не
достигается. Легко проверить, что > в/ и
В разд. 3 будет показано, что риск (угроза потери управляемости) неограниченно возрастет вблизи некоторой границы, за которой система становится принципиально неуправляемой. Это естественно приводит к введенной Гильбертом и Клейном проективной метрике на плоскости Лобачевского—Клейна (Проблемы Гильберта, 1969). Для удобства изложения приведем здесь все необходимые сведения. Изобразим плоскость Лобачевского-Клейна как единичный круг, любая хорда которого трактуется как бесконечная прямая.
Расстояние р{В, С) между точками В и С стремится к бесконечности при С Б или при В -»А. Это расстояние задается формулой 1п (1/йО, где с1 = (АВ X СБ)/(АС X ВО) - ангармоническое отношение четырех точек. Похожее выражение с логарифмом уже встречалось. Разница между ними связана с тем, что, в модели Клейна-Гильберта р(В, С) = 0 эквивалентно В = С. В наших построениях совпадение точек В и С означает, что качество ресурса ц равно нижней границе требований к нему в и при этом трудность максимальна и равна 1 (более подробно об этом изложено в разд. 3). Таким ^ образом, выражение для трудности имеет оче- § видные аналогии с проективным расстоянием. § Как известно, это расстояние является в проек- | тивной геометрии единственным, сохраняю- § щим обычные правила сложения отрезков на х прямой, что вполне соответствует принципу | сложения затрат. 0
ГчЭ О
о
Рис. 1 р
Упомянем также, что выражение вида (3) фигурирует в описании операторов нечеткой импликации (Леденева, 1999), которые возникают при оценке осуществимости вывода о том, что при выполнении определенных условий можно получить требуемый результат.
2. Портфель активов и надежность схем Шеннона
2.1. Разнообразные методы управления портфелем активов в той или иной форме реализуют одно и то же базовое требование: портфель в целом должен быть доходнее, чем безрисковый актив, но при этом более надежным, чем составляющие его высокодоходные активы. Во всех подходах понятию надежности не придается «двоичный» смысл, который, в то же время, вполне уместен, если цель управления портфелем сформулирована однозначно. Здесь под двоичным смыслом понимается существование лишь двух вариантов: а) хороший вариант (цель достигнута); б) плохой вариант (цель не достигнута). На первый взгляд такой подход представляется значительно обедненным по с сравнению с традиционным, когда каждый ак-тив и портфель в целом рассматриваются как § случайные величины со своими законами рас-пределения. Тем не менее, он имеет очевидное преимущество и позволяет привлечь хорошо Ф разработанные методы теории управления, тео-
1 рий контроля и теории принятия решений.
8 Коль скоро портфель и составляющие его
а активы рассматриваются в двоичной логике
| (актив хорош или плох; портфель как совокуп-
| ность активов хорош или плох) и при наличии
о. требования увеличения надежности (вероят-
8 ность того, что портфель хорош, должна быть
| больше вероятности того, что хороши отдель-
2 ные активы) напрашивается аналогия с элек-| трическими схемами, состоящими из реле.
I Напомним, что реле - это элемент, который
I может находиться в двух состояниях: ток про-
§ пускается или нет. Соответственно схема, сос-о тоящая из реле, имеющая один общий вход и
один выход, также может находиться лишь в двух состояниях. Отказ некоторой совокупности элементов схемы пропустить ток не означает, что вся схема не пропускает ток, т.е., если рассматривать схему как проводящее устройство, она может обладать большей или меньшей надежностью по сравнению с надежностью каждого элемента. Одной из самых значительных работ в теории надежности электрических схем является работа К. Шеннона (1963).
Шеннон рассматривает реле, которое срабатывает с вероятностью р е (0, 1), и «конструирует» электрические схемы из набора таких независимых реле, которые срабатывают с вероятностью h(p). Из теоремы, являющейся основным результатом работы (Шеннона, 1963), вытекает, что сколь угодно надежная схема может быть сконструирована из сколь угодно малонадежных элементов (т.е. при сколь угодно малом р), равно как и сколь угодно ненадежная схема - из сколь угодно надежных элементов (последнее совсем очевидно, если рассмотреть п последовательно соединенных реле, то в этом случае h(p) = рп). Разумеется, физический смысл исследований Шеннона состоит в повышении, а не в понижении надежности схем по сравнению с надежностью составляющих их реле. Тем не менее, в финансовых аналогиях при исследовании механизма коротких продаж можно решать и противоположную задачу.
Теорема Шеннона. Для любых а, с (а < с, а, с е. (О, 1)) и любого сколь угодно малого 5 > О существует функция Шеннона h(p), обладающая следующими свойствами:
1) h(p) - монотонно возрастает и h(p) = р не более чем в одной точке интервала (0, 1); кроме того, h(0) = 0 и h{\) = 1;
2) h(p) < 8 для любогор е [0, а\, h(p) > 1 - d для любого ре [с, 1].
Определение. Назовем последовательно-параллельной схемой (ППС) схему, сформированную по принципу прямоугольной матрицы, составленной из строк вида (1, ... , 1; 0, ... , 0), где каждая строка матрицы соответствует параллельной ветке схемы, а единицы в этой
строке соответствуют последовательно соединенным реле.
Определение. Мостиковая ППС (МППС) -это ППС, в которой некоторое количество соседних параллельных веток соединены перемычками, содержащими по одному реле, причем контакты каждой перемычки расположены между двумя соседними реле.
Определение. Схемами Шеннона являются различные суперпозиции ППС и МППС.
Определение. Назовем функцией Шеннона функцию hip), р е [0, 1], которая представляет собой вероятность срабатывания схемы Шеннона, где р - вероятность срабатывания каждого из составляющих ее независимых реле.
Очевидно, что hip) для суперпозиции схем с функциями Шеннона hx(p) и h2(p) равна
ЧШ)-
Рассмотрим несколько простейших примеров. Для каждой четырехэлементной ППС и для пятиэлементной МППС приведем функцию h{p) и опишем их поведение вблизи 0 и 1.
Пример 4.
h(p) =р( 1 + р2-pi), hip) ~р прир 0; 1 - hip) ~ 3(1 -р)2 при р 1. Пример 5. __х_
hip) = 2p^-Sp^ + 2pi + 2p1,hip)~2p2 прир 0; 1 - hip) ~ 2(1 -р)2 при/? 1.
В приложении 1 приведены утверждения, которые оценивают поведение функции Шеннона в окрестности 0 и 1. В приложении 2 показано, что выражения вида (3) для трудности возникают и в теории надежности схем и могут быть истолкованы как трудность повышения (по сравнению с р) надежности схемы при вероятности срабатывания каждого реле, равной р.
Пример 1.
V "ч.
JN_V
h(p) =Р4> hip) ~р4 при />-*(); 1 - h(р) -4(1 -р) при р 1. Пример 2.
.х
h(p) =р2 (2-р2), hip) ~2р2прнр^> 0; 1 - hip) ~ 4(1 -р)2 при р 1. Пример 3.
hip) = 1 - (1 -р)\ hip) ~ Ар при р -> 0;
1 - hip) ~ 3(1 -р)2 при р ~* 1.
2.2. Покажем, каким образом портфель активов может рассматриваться как система, обладающая большей надежностью по сравнению с надежностью активов, из которых она состоит. Для этого ответим на два вопроса: как формируется цель управления портфелем и почему составляющие портфель активы могут рассматриваться как независимые?
Определение. Целью управления портфелем будем называть получение заданной величины дохода Апл в течение заданного времени /П | и при заданном бюджете на формирование портфеля Впл.
Поясним, почему мы говорим о заданной величине дохода, а не о доходности. Происходит это потому, что под активом здесь понимается некоторая совокупность одинаковых инструментов (и, быть может, даже некоторый первичный портфель), а доход, в отличие от доходности, является аддитивной характеристикой совокупности активов. Для того чтобы считать такие обобщенные активы независи-
Ü) §
1
о
2 S
"8
1 X
ё
х<
с?
0 П
1
м
о £
■5Г О о см
z ♦
0 £ >Х
1 1
8.
m о и
S
о
X §
(Г)
мыми, называем случайное событие благоприятным для актива, если актив изменяет свою стоимость за время /пл не менее чем на некоторую заданную величину. Даже если два актива абсолютно коррелированны, то их коррелиро-ванность означает только одинаковость трендов (совпадение знака производной), но не достижение заданного приращения стоимости в один и тот же промежуток времени - что и позволяет считать их независимыми.
Получив ответ на заданные вопросы, перейдем к поэтапному установлению аналогии «портфель» «схема».
1. «Актив» «реле». Реле пропускает полезный сигнал с вероятностью р, а актив дает не менее чем заданное изменение стоимости (доход) в заданное время с вероятностью не меньшей, чем р.
Здесь и далее доходом будем называть положительное изменение стоимости при игре на повышение или отрицательное изменение стоимости при короткой продаже.
2. «Последовательность активов»4-» «ветка схемы», т.е. последовательно соединенные реле. Под последовательным соединением реле, как известно, понимается схема, пропускающая сигнал тогда и только тогда, когда его пропускает каждое реле. Вероятность срабатывания - рт, где т - число реле на ветке. В булевой алгебре это соответствует конъюнкции «и».
Последовательность активов считается принесшей результат тогда и только тогда, когда каждый актив принес не менее чем запланированный доход за время /Ш1. Таким образом, последовательность активов в нашей трактовке либо не приносит дохода вообще, либо с вероятностью р"1 приносит доход, равный сумме доходов от каждого актива последовательности.
3. «Независимо управляемые последовательности активов» «-► «параллельное соединение веток». Параллельно соединенные ветки схемы соответствуют логической дизъюнкции «или». Две независимо управляемые последовательности активов могут принести доход, равный доходу либо одной после-
довательности, либо другой, либо их сумме. Очевидно, что вероятность получения дохода по одной последовательности рт, по другой рп, а хотя бы по одной из них 1 - (1 - рт) (1 - р") =
= рт + рп -рт+п
Пример. Рассмотрим портфельную аналогию пятиэлементной МППС.
Особенностью этой схемы по сравнению с пятиэлементными ППС является существенное увеличение числа маршрутов, по которым может пройти ток. Их 10:
X| Х4, Х^, X] X} Х^, Х2 Х3 Х4, X] Х3 Х5 Х4, Х2 Х3 Х4 Х5, Х| Х4Х2Х5, Ху Х2 Х3 Х5, Х3 Х4, Х| Х3 Х4 Х5.
Если вместо реле рассматривать активы, то получим 10 последовательностей активов. Считая, что для каждого из них пороговое значение дохода, достигаемое с вероятностью р, есть Л, получим закон распределения дохода соответствующего портфеля:
x 0 r 2 r 3 r 4 r 5 r
р 1 -А(р) 0 2pJ(l-p)J(2p + 0 2р3(1-р)2 5/(1-р) 5 р
Здесь h(p) = 2p5-5p4 + 2pi + 2p2 - функция Шеннона пятиэлементной МППС.
4. «Функция Шеннона портфеля» «функция Шеннона схемы». Если число /7 е [0, 1] имеет описанный выше «портфельный» смысл, то hip) — это вероятность того, что хотя бы одна из последовательностей активов даст запланированный доход в запланированное время.
При этом необходимо отметить следующее. В схемах Шеннона принципиально важно прохождение полезного сигнала, т.е., если в ранее рассмотренной пятиэлементной Mill 1С «сработал», например, маршрут Xj х4, то уже не играет роли срабатывание или несрабатывание любого другого маршрута. В портфельном же аналоге «срабатывание» любого актива,
пусть даже не участвующего в «несработав-шем» маршруте, увеличивает общий доход портфеля.
Сказанное выше позволяет сформулировать общий принцип сопоставления портфелю активов аналоговой схемы Шеннона (функции Шеннона).
Здесь и ниже «-схемой Шеннона называется любая схема Шеннона, содержащая ровно « реле.
Принцип сопоставления. Каждому набору из « активов, приносящих за время /Ш| доход (изменение стоимости), не меньший, чем R, с вероятностью, не меньшей, чем р, сопоставляется аналоговая «-схема Шеннона, функция Шеннона h(p) которой в точке р равна вероятности того, что найдется последовательность активов (маршрут в аналоговой «-схеме), приносящая за время /11Л доход (изменение стоимости), не меньший, чем mR, где m < п - число элементов в самых коротких последовательностях активов (маршрутах).
Например, для схем, рассмотренных в п. 2.1., mR равно, соответственно: 4R, 2R, R, R, 2R.
Замечание. Подчеркнем, что в принципе сопоставления речь идет лишь о том минимальном изменении стоимости, которое обеспечивается с надежностью h(p). При этом из рассмотрения исключаются случаи, когда, например в пятиэлементной МППС активы хь х2, х3 приносят запланированный доход, не меньший чем R («срабатывают»), а активы х4, х5 -нет («не срабатывают»), поскольку в аналоговой схеме нет маршрута х^ х2 х3 прохождения сигнала.
Замечание. Требование, чтобы все активы приносили доход, не меньший, чем одно и то же фиксированное значение, представляется на первый взгляд сильным ограничением, но, как показывают простейшие рассуждения, это не так.
Рассмотрим, для примера, четыре актива х{, х2, х4, которым приписывается доход: 1, 2, 3,4. Пусть этой совокупности сопоставляется схема из примера 2 (п. 2.1). Поскольку h(p) -это вероятность получения дохода хотя бы по
одной последовательности, то расположение активов, дающее наибольший минимальный доход, выглядит так:
—о-—о—I
Xj X ^
Х2 X^
L—О-С>—
Таким образом, выравниваются суммарные доходы последовательностей активов.
Кроме того, всегда можно добиться того, что число R одинаково для каждого актива -это будет обосновано при описании метода формирования портфеля.
2.3. Пусть n е N. Рассмотрим совокупность п активов, единицы которых (одна акция, один опцион, один баррель и т.д.) за время tm с вероятностямиръ ... ,рп приносят доход, не меньший, чем R^, ... , Rn. Пусть числа к, таковы, что в рамках бюджета можно приобрести kj единиц актива /.
Введем обозначения:
р0 = min [р.], Ä = min{p,}.
\<<<П 1 <¡<11
Тогда каждый актив р0 с вероятностью R приносит доход, не меньший, чем R. Здесь и ниже
подпортфель портфеля из « активов - это пос- §
ледовательность активов, соответствующая |
маршруту в аналоговой «-схеме Шеннона. Из |
принципа сопоставления вытекает следующее м
утверждение. Ц
Принцип существования подпортфеля с ®
почти гарантированным доходом. Пусть §
у < 1 - заданная надежность. Рассмотрим Ц
«-схему Шеннона Smax с функцией надежности |
/?(.), такую что: §,
1)h(p0)>T, З3
2) количество реле (обозначаемое через g mn) в любом минимальном маршруте схемы s Sm3X не меньше, чем количество реле в мини- z мальных маршрутах любой другой «-схемы ^ Шеннона, удовлетворяющей условию 1. "
Тогда совокупность {к, единиц актива /}"(=1 § представляет собой портфель, в котором по
крайней мере один подпортфель с вероятностью (надежностью) у принесет за время /пл доход, не меньший, чем mR.
Замечание. Числа 1 < / < п, можно считать положительными, например, по следующим соображениям:
• если изменение стоимости некоторого актива отрицательно, то этот актив может участвовать в короткой продаже;
• если изменение стоимости некоторого актива прогнозируется отрицательным, то вместо него при формировании портфеля можно рассматривать опцион пут с соответствующей ценой исполнения.
Замечание. Не следует считать, что согласно сформулированному принципу, портфель обязан принести доход с надежностью у, не меньший, чем mR. Возможен и максимально негативный исход, когда весь портфель в целом принесет убыток. Однако при у, близких к единице, можно утверждать, что почти наверное любой негативный исход будет демпфирован положительным доходом, превосходящим mR.
В последующем будут рассматриваться методы формирования и управления портфелем, которые позволяют существенно хеджировать риски получения негативного исхода. Напом-^ ним, что подпортфель и количество составляем ющих его активов определяются не любой воз-^ можной их комбинацией, а лишь той, которая о. соответствует маршруту прохождения сигнала ф в аналоговой и-схеме Шеннона, s Из соображений двойственности вытекает, 8 что можно сделать вероятность существования ^ подпортфеля, о котором говорится в сформу-§ лированном выше принципе, не сколь угодно | близкой к единице, а, напротив, сколь угодно о. близкой к нулю. Это означает, что почти навер-8 ное ни одного подпортфеля, приносящего по-| зитивный результат, нет. £ Перейдем теперь к описанию метода двух-| сторонних оценок - одного из возможных ме-& тодов формирования портфеля. Разобьем отре-1 зок [0, 1] на три части Jx, J2> § 1) = QO, <ar) — где функция Шеннона en h(p) < 8, т.е. если каждый актив портфеля при-
носит доход, превышающий R, с вероятностью меньшей чем а, то вероятность существования подпортфеля с гарантированным доходом пренебрежимо мала;
2)J2 = [а, с] - промежуток неопределенности; если актив срабатывает с вероятностью, значение которой находится в этом промежутке, то мы не можем ни принять, ни отвергнуть гипотезу о минимальном доходе портфеля;
3)J3 = (c, 1] - где функция Шеннона h(p) >1-8, т.е. искомый подпортфель существует почти достоверно.
Суть метода двухсторонних оценок состоит в поиске значений R, р0 и п таких, чтобы п было минимальным, mR - максимальным, а р0 е У3 при заранее заданном 8 >0.
Отметим, что первые два условия противоречивы и совместно образуют двухкритери-альную задачу оптимизации, что же касается последнего условия, то оно подразумевает выбор соответствующей функции Шеннона для и-схемы Smax, которая фигурирует в принципе существования подпортфеля с почти гарантированным доходом.
Рассмотрим один из возможных подходов к построению искомой функции Шеннона. Допустим, что ри е (0, 1) - единственная неподвижная точка функции Шеннона h(p) (h(pH) =Рн)- Очевидно, что итерации функции h(p) обладают свойством:
h{k\p) = h(h^\p))>h(k-\p), Р>Рн-, h{k)(p)<hik~u(p), р>рн для VkeN.
Таким образом, всегда можно добиться выполнения нужных свойств функции Шеннона с помощью увеличения к.
Основываясь на этом замечании, можно предложить набор функций Шеннона, имеющих неподвижные точки в разных частях отрезка [0, 1], а затем подбором р и п добиться заданной надежности для подпортфеля с почти гарантированным доходом mR.
В приложении 3 приводится один из возможных наборов модельных функций Шеннона. Он иллюстрирует тот факт, что надежность
схем существенно повышается (неподвижная точка приближается к нулю), если используется суперпозиция схем, рассмотренных ранее в примерах 1-6, с параллельным соединением двух или более элементов. Это позволяет значительно уменьшить число элементов по сравнению с описанным методом итераций.
Замечание. Использование схем и функций Шеннона позволяет учитывать склонность инвестора к риску. Поясним это на примере. Пусть при решении оптимизационной задачи в качестве оптимальной была получена схема hM(p) = h(h(p)), где h{p) - функция Шеннона схемы 2 из приложения 3. Легко вычислить, что ¿64(0,5) = 0,99, ¿64(0,4) = 0,95. Инвестору, не склонному к риску, необходима надежность у = 0,95. Для него естественно разбить отрезок на промежутки J^ = [0; 0,4), У3 = [0,5; 1), промежуток неопределенности J2 = (0,4; 0,5). Для другого инвестора надежность 0,95 вполне достаточна и в этом случае промежутки изменяются. Однако для обоих инвесторов минимальный гарантированный доход один и тот же - 47?.
Замечание. Остановимся еще на вопросе определения величины р0. В принципе существования портфеля вероятность выбиралась как минимальная из вероятностей для отдельных активов. Такой подход представляется достаточно грубым, поскольку любой из активов с достаточно малой вероятностью равноправен с активом, для которого эта вероятность значительно выше, что заставляет уменьшать значение R. При достаточно малых п этот недостаток не играет большой роли, так как речь идет о подборе небольшой группы активов, но при увеличении п для большей устойчивости процедуры по отношению к случайным колебаниям можно предусмотреть, например, агрегирование активов и при этом внутри каждой группы выбирается средневзвешенная вероятность. В этом случае р0 является минимумом таких средневзвешенных вероятностей.
2.4. В своей работе Шеннон обращает внимание на то, что величины а и с, участвующие в формулировке основной теоремы, позволяют
рассматривать схему как «большое» реле. Для этого величинам а и с придается физический смысл, поясняемый следующей диаграммой.
Реле (элемент) пропускает сигнал
Есть полезный сигнал
Нет полезного сигнала
с Реле (элемент)
не пропускает сигнал
Замечание. Шеннон употребляет другие термины, которые мы заменили (не изменяя смысла) для того, чтобы дальнейшие финансовые аналогии были более прозрачны.
Замечание. Отсутствие полезного сигнала, конечно, не следует понимать как отсутствие сигнала вообще, т.е. в схеме могут циркулировать возбужденные (случайные) токи, однако на них элемент реагировать не должен. На выходе такие случайные сигналы не должны появляться, так как сама схема, как «большое» реле, эти сигналы не пропускает.
Смысл теоремы Шеннона как раз и состоит в том, что схема должна быть «двухсторонне» надежной. Это означает, что вероятность прохождения полезного сигнала должна быть близка к единице (схема действует как надежный проводник), а вероятность прохождения случайного сигнала близка к нулю (схема действует как надежное запирающее устройство).
В соответствии с диаграммой и основной теоремой Шеннона представляется уместным назвать отрезок [а, с] промежутком неопределенности, поскольку в этом промежутке схема теряет свойство «двухсторонней» надежности.
Физический смысл сближения а и с состоит в том, что каждое реле становится все менее надежным, поскольку оно с близкими вероятностями пропускает и полезный, и случайный сигналы. Нетрудно понять, что при фиксированном с и при а~* с количество элементов в схеме Шеннона неограниченно возрастает, поэтому величина с > а, стремящаяся к 1 при а с может быть истолкована как трудность (е = а, ц = с), которая стремится к максимальному значению при уменьшении промежутка неопределенности.
X
о
S
S
■8
ж
S
5i ?
ГчЭ О О
«ь
rf О О СМ
z ♦
о
£
'S о
S £
S
со
Это соображение будет играть существенную роль при переходе к портфельным аналогам схем Шеннона. Уместно также высказать гипотезу о том, что числа а и с могут быть аналогами в и \х в определении трудности достижения цели, т.е. трудности преодоления неопределенности.
2.5. Обсудим теперь финансовую интерпретацию величин а и с в рассуждениях Шеннона. Под величиной с естественно следует понимать нижнюю границу тех значений вероятности р, с которыми рассматриваемые активы будут полезными при формировании портфеля. Тогда величину а необходимо рассматривать в качестве верхней границы значений вероятности, при которых портфель становится значительно менее надежным, чем каждый из составляющих его активов. При этом промежуток [а, с] можно называть промежутком неопределенности.
Поясним сказанное на примерах. Положим с = 0,7. Исследуя активы, мы обнаружили, что существует п активов, с помощью которых можно сформировать портфель, аналогичный схеме Шеннона, для которой h(p) > 0,99 при р > 0,7. В процессе управления этим портфелем выясняется, что для данных п активов минимальное значение р уменьшилось и стало равным 0,65 или 0,6 или 0,55. Функция h(p) при этом принимает значения меньшие, чем устраивающий нас уровень надежности 0,99. Если бы мы знали, что уже при р < 0,6 величина h{p) < 0,01, то это было бы сигналом, что портфель подлежит существенной реконструкции.
Таким образом, промежуток неопределенности находится между двумя крайними вариантами:
1) портфель явно хорош (h{p) > 0,99);
2) портфель явно плох (h{p) < 0,01), был бы равен с - а = 0,1.
Разумеется, значение h(p), при котором портфель считается явно плохим, не обязательно должен равняться 0,01, но метод конструирования схемы Шеннона (как и сама тео-
рема Шеннона) предусматривает возможность задавать вблизи нуля и единицы различные пороговые значения для h{p). Например, нетрудно посчитать, что для пятиэлементной МППС достаточно пяти итераций для того, чтобы /г(0,55) было больше, чем 0,9, a h(0,45) меньше,чем 0,1. В то же время требуется 6 итераций для схемы из примера 2 (разд. 2.1) для того, чтобы Л(0,55) было меньше, чем 0,1, а Л(0,65) больше, чем 0,9.
В первом случае требуется 3125 «активов -реле», а во втором - 4096. Это означает, что сложность схемы может зависеть не только от длины промежутка [а, с], но и от его расположения на отрезке [0, 1].
Все сказанное позволяет так же, как и в случае схемы Шеннона, назвать величину а(1-с)
d = -
трудностью преодоления неопределенности для портфеля активов.
Приложение 1
Приведем ряд утверждений, которые оценивают поведение функции Шеннона в окрестностях нуля и единицы.
Утверждение 1. Пусть ППС соответствует матрице с к строками и I полностью состоящими из единиц столбцами, тогда:
\)Нр)= 1 -(1 -рУ~кр1п?ир^ 0;
2) \-Ыр)~ /*(1 -рУ1 при/? -» 1;
Доказательство сводится к непосредственным вычислениям.
Утверждение 2. Если к ППС из утверждения 1 добавить параллельную ветку с одним реле, то:
1) р при р 0;
1 )Ыр)~(к-
2 )\-h(p)-
I = 2г,
(1 -ру
\{2r)k (l -/>)i+1, / = 2г + 1,
при р 1.
Доказательство основано на теореме сложения вероятностей.
Утверждение 3. Если в ППС из утверждения 1 на какой-нибудь ветке добавить еще одно реле, то: При р -» О
кр', если добавленное реле не увеличит количество состоящих только из единиц столбцов;
Кр)-
кр'
/+1
в противном случае.
При р -»1
1 -Кр)'
(l + l)lk{l-p)k , l = 2r, (/ + l)(2r)*(l-pf, l = 2r + \.
Доказательство очевидно.
Замечание. Эти утверждения показывают, что ни «хорошо» заполненная ППС, ни добавление к таким ППС по одному элементу не могут обеспечить «симметрично хорошее» поведение h(p) и вблизи нуля, и вблизи единицы. Как видно из приведенных примеров, что единственную возможность обеспечить симметрию поведения в этом случае дают только МППС.
Эти соображения позволяют утверждать, что ни ППС, ни МППС не могут обеспечить свойств функции Шеннона. Выполнение этих свойств можно обеспечить только за счет суперпозиции, что приводит к степенному росту числа элементов в схеме.
Достаточно грубой, но полезной оценкой функции Шеннона является следующее утверждение.
Утверждение 4. Пусть h(p) функция Шеннона, соответствующая ППС, составлена из к ППС. И если hj(p) соответствует ППС i, i = 1, ... , к, то имеет место система неравенств:
Пшах(р, h, (р)) < h(p) < 1 -П(1 - min(р, Л, (/>))).
i=i /=1
Доказательство. Воспользуемся методом индукции по к. Разобьем доказательство на два этапа: на первом - будем рассматривать схемы из элементов, а на втором - «схемы схем».
Пусть h0k(p) - функция надежности для схемы из к параллельных элементов, по одному на каждой из к веток; hk(p) - функция для
произвольной схемы к элементов, соединенных последовательно на каждой параллельной ветке. Покажем, что из ¿о,*(Р) > И^р) (при к = 1 получим равенство), из которого следует, что й0 к+\(р)> Действительно, возможны
лишь два способа присоединения к схеме элемента к + 1:
1) появление дополнительной параллельной ветки, состоящей из одного элемента;
2) последовательное подсоединение элемента к + 1 к элементам любой ветки.
В первом случае ^м(р) = Мр) + р~рИк(р);
км\ (р) = кк (р) + р- ркм (р)> к л (р) + р- ркм (/>) *к(р) + р- рк (ръ
а это неравенство сводится к \к(р){\-р)>Ик(р){\-р),
т.е. справедливому по предположению индукции.
Покажем теперь, что добавление последовательно соединенного элемента на ветке приводит к функции надежности новой схемы
С?(/>)> для которой И?(р)>кЦ.
LHOB
Имеем
(р) = С, {р) + ¿ст.вет. (р) ~ С. (р)к,веТ. (л
с? (р) = с, (р) + вов ьет (р) ~ с, (р)ков,ет. (р).
Неравенство пк у Р> - пк+\ сводится к неравенству hcvacT(p) > киовжт(р), справедливому всегда, так как при добавлении элемента на ветку растет степень вероятности р (р < 1) и, следовательно, уменьшается величина h(p). Кроме того, имеет место монотонность функции h по числу элементов. Для ho k(p) справедливо неравенство
Км, (Р) = 1 - (1 - Рр >1-0 -p)k=Kk (P), но отсюда следует, что
кмх (p) * к.к (р) * к (р) * к+\ (р)-
Доказательство утверждения для «схемы схем» производится аналогично. Следует лишь учесть особенности новых обозначений. Для функции надежности hü ¡¿p) схемы, составленной из к параллельных веток, на каждой
Ü5 §
I
о
S S £ со о
"8
г <0
X g
»
♦
z
ю о о
о о см
>s о
щ S
а
ш о о
ш у
X S О X
S
(Г)
ветке / (г = 1,..., к) с функцией надежности /гг(р) будем иметь
/=1
а для схемы из к последовательно соединенных схем
Ло*(р) = ПЛ,-(р).
/=1
С учетом этих обозначений доказательство, рассмотренное выше, может быть использовано без изменений, тогда для «схемы схем» с функцией надежности Ик(р) получим
//,(/7) < ^ , = 1 - П (1 - /|у (/7».
/=1
Объединив оба рассмотренных случая, придем к ограничению сверху из формулировки утверждения 4. Ограничение снизу получается автоматически при переходе к двойственным схемам, т.е. при замене «и» на «или» и «или» на «и».
Обобщение этой теоремы на МППС и произвольные схемы Шеннона совершенно очевидно.
Приложение 2
Покажем, что выражение трудности при аксиоматических построениях появляется также и при изучении шенноновских схем.
График любой шенноновской функции h(p) пересекает диагональ единичного квадрата в единственной точке. Для доказательства этого факта (Шеннон, 1963) приводится следующее утверждение.
Лемма Шеннона. Имеет место неравенство
h\p) > КР){} ~ КР)) для всех р е (0,1).
Р(\~Р)
Покажем, как из этого дифференциального неравенства возникают выражения для трудностей. Рассмотрим дифференциальное уравнение
К(р){\-К{р))
Общее решение этого уравнения задается соотношением
=с.
(4)
ЫР)(1-Р)
Легко показать эквивалентность условий
Ид(р)> роО<С <\.
Пусть пара (р0, И0(р)) задает начальные условия задачи Коши. Обозначим /г0(р) -р0 := а0. Нетрудно проверить, что функция
1 - Ро Ро + ° убывает по а, \/а е [0, 1 -/>0] и по р0 при выполнении условия р0 + И0(р) > 1, т.е., например при р0 е [0,5; 1]. Очевидно также, что при р 1 - имеется эквивалентность двух бесконечно малых величин 1 - /г0(р) и С(1 - р).
Тогда при наличии естественных ограничений р < А0(р) <1 V р е [0,5; 1) величина С(с, ро) выступает как «трудность стремления И0(р) к 1 при р 1», причем
С(0,Ро)-1, С(1-/>0,/>0) = 0 УРое[0,5, 1).
Из общей теории дифференциальных неравенств (Михлин, Смолицкий, 1965) вытекает, что для любой шенноновской функции, удовлетворяющей условию И(р0) > Л0(р0), выполняется неравенство
Кр)>Иъ{р) Чре[р0, 1]. (5)
По аналогии с предыдущими рассуждениями при каждом р е [р0, 1] величину
р{1-Кр))
Кр)(\-р)
можно трактовать как «трудность повышения по сравнению с надежностью шенноновской схемы в точке р». При этом из (5) вытекает, что такая трудность меньше, чем С. Нетрудно привести аналогичные утверждения и для С > 1, при этом очевидно, что р >И(р).
К (Р)=-
р(1-р)
Приложение 3
№ 1/П Неподвижная точка Схема Кр) Минимальный доход
1 0,06 — -Е§3-Е§=Ь - « = 12 — {р> -Зр- +ЗрУ(2-{р3-Зр2 +3р)2) 2Л
2 0,06 Г"ЯН Г-Я-1 2с\ - 5д4 + 2д3 + 2^г2, где д(р) = р3 -3р- +3р 2Л
— г-Й-1 г-Й-1 —
1-6-1 « = 15
3 0,12 -Й-с-О- « = 10 2р\2~р)ъ-5р\2-р)" + +2р3 (2 - р)ъ + 2р2 (2 - р)2 2Я
4 0,15 — -Си-Ср- -С]— п = 8 р-(2-р)2[2-Р2(2-Р)2] 2 я
5 0,5 -О- -О- п , и. = 5 2ръ -5/ +2ръ +2р2 2К
6 0,62 -о-О- -о-о- п = 4 Р-(2~Р2) 2Я
7 0,755 -О-О-О- п = 5 3,2 5 Р +Р ~Р 2К
№ п/п Неподвижная точка Схема Кр) Минимальный доход
—о—о-
8 0,77 С -о- \ п — 1 ръ(2рА-Ърг-2р2 +2р + 2) 3 R
- —о—и—
9 0,85 -о- —о—о- /7 = 6 3 R
(Продолжение статьи в следующем номере.)
Литература
Берколайко М, Руссман И. Новые модели управления ресурсами банка // Банковское дело в Москве. 2003. № 6 (102). Июнь.
Берколайко М.З., Руссман И.Б. Управление портфелем активов. / В сб. науч. трудов международной конференции «Современные сложные системы управления». - Воронеж. 2003. Захаров В.Н., Поспелов Д.А., Хазацкий В.Е. Системы управления. - М.: Энергия, 1977. Ерешко А. Ф. Методы декомпозиции и локально-оп-тимальные стратегии в задачах управления портфелем ценных бумаг. ВЦ РАН. 2002.
Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М. Моделирование и алгоритмизация слабоформализо-ванных задач выбора наилучших вариантов систем.
- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991.
Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегирования информации в целенаправленных системах.
- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1999.
Маршал Дж. Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия. - М.: ИНФРА-М, 1998. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные мето-
ды решения дифференциальных и интегральных уравнений. - М.: Наука, 1965. Проблемы Гильберта / Под редакцией П.С. Александрова. -М.: Наука, 1969.
Шарп У., АлександерГ., БэйлиД. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 1997.
Шеннон К. Надежные схемы из ненадежных реле. Работы по теории информации и кибернетике. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. Cannor G., Korajczyk R.A. The Arbitrage Pricing Theory and Multi - Factor Models of Asset Returns. -North Holland, 1995.
Chaumeton L., Connor G„ Curds R. A Global Stock and Bond Model. Coll. Worldwide Asset and Liability Modeling. - Cambridge: University Press, 1998. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7 March.
Mulvey J.M., Armstrong J., Rothberg E.T. Total Integrative Risk Management // Risk Special Supplement. 1995. June.
Tobin J. The Theory of Portfolio Selection. Coll. Interest Rates. London: Macmillan, 1965.
Рукопись поступила в редакцию 2.12.2003 г.
