О некоторых гидродинамических схемах, связанных с обтеканием шпунта Жуковского Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.546

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1

О НЕКОТОРЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СХЕМАХ, СВЯЗАННЫХ С ОБТЕКАНИЕМ ШПУНТА ЖУКОВСКОГО

Э. Н. Береславский1, Е. В. Пестерев2

1. С.-Петербургский государственный университет гражданской авиации, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет гражданской авиации, аспирант, [email protected]

Введение. В работах [1-3] рассматривается задача, моделирующая проникновение жидкости в неограниченный по протяженности горизонтальный водопроницаемый пласт (рис. 1). Нижнее основание, BD, последнего состоит из двух частей, левая из них, BC, считается непроницаемой, на правой, CD, напор поддерживается постоянным. Течение обеспечивается поступлением воды с поверхности земли, ее левая половина, AB,—полоса затопления с неизменным во времени слоем жидкости. Правым краем полосы затопления служит непроницаемый шпунт Жуковского, AG, основание которого расположено внутри пласта. На примыкающей к шпунту правой части имеют место осадки постоянной интенсивности е (0 < е < 1), отнесенной к коэффициенту фильтрации грунта к = const, при этом скорость обтекания в точке основания шпунта G предполагается ограниченной сверху величиной е: 0 < vg < е.

В настоящей работе изучается движение при бесконечной величине скорости фильтрации в точке G. При этом рассматривается наиболее общий случай течения, при котором на обоих фиксированных водопроницаемых участках границы AB и CD расход принимает экстремальные значения (в точках Ni и N2), а граничная точка нулевой скорости P выходит на шпунт (рис. 1). Отмечаются предельные случаи течения, связанные как с отсутствием подпора в нижележащем, хорошо проницаемом горизонте, так и непроницаемого включения. Исследована смежная схема, которая описывается за рамками ограничений на неизвестные параметры конформного отображения, обеспечивающих реализацию рассматриваемой основной математической модели, что приводит к двулистности соответствующей области комплексной скорости. Непременным условием физической интерпретации той или иной схемы является сохранение однолистности области движения.

Решение смешанной краевой многопараметрической задачи теории аналитических функций построено с помощью метода П. Я. Полубариновой-Кочиной [4-7], а также разработанных для областей специального вида [8-10] способов конформного отображения [11-13]. На базе полученных точных аналитических решений и посредством числовых расчетов проводится гидродинамический анализ влияния всех физических факторов изучаемых схем на картину явлений и отмечаются некоторые особенности разрабатываемых математических моделей фильтрационных течений.

Постановка задачи. Исследование двумерных (в вертикальной плоскости) фильтрационных течений под шпунтом Жуковского начнем со схемы, называемой в дальнейшем основной. Рассматривается установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости через слой грунта мощности T в нижележащий, сильнопроницаемый водоносный горизонт CD, содержащий подземные или артезианские воды, напор в кото© Э. Н. Береславский, Е. В. Пестерев, 2013

ром имеет постоянное значение Но (рис. 1). Шпунт АСЕ обтекается грунтовой водой под влиянием разности напоров в бьефе и нижнем, хорошо проницаемом пласте. За шпунтом вода поднимается на некоторую высоту СЕ и образует свободную поверхность ЕЕБ, на которую поступают инфильтрационные воды. Вдали от шпунта (при х ^ ж) кривая депрессии горизонтальна и расположена на высоте Но над водоносным горизонтом. Предполагается, что граница бьефа горизонтальна, а движение подчиняется закону Дарси.

Введем комплексный потенциал ш = р + гф, где р — потенциал скорости, ф — функция тока, и комплексную координату г = x + гу, отнесенные соответственно к кТ и Т. При таких допущениях, традиционных для рассматриваемого класса течений, моделирование изучаемого фильтрационного процесса сводится к нахождению комплексного потенциала ш(г) при следующих краевых условиях:

АВ : у = 0, р = -Н; ВС : у = -Т, ф = 0;

СВ : у = -Т, р = 0; АБ : х = 0, ф = д; (1)

ВБ : р = -у + Но - Т, ф = ех + д,

где д — фильтрационный расход. Нахождение положения свободной поверхности БЕ, а, стало быть, высоты СЕ поднятия воды за шпунтом, т. е. величины Б - ¿, представляет существенный практический интерес.

Построение решения. Прежде всего заметим, что краевые условия задачи (1) совпадают с таковыми для случая 0 < Уа < е [1-3]. Однако здесь коренным образом меняется структура и вид и> области комплексной скорости, соответствующей краевым условиям (1) (рис. 2). Наличие на водопроницаемых участках границы течения АВ и ВБ точек N1 и N2, в которых функция тока принимает свои наименьшее и наибольшее значения, а также точки Р нулевой скорости на участке АС приводит к тому, что в отличие от ранее рассматриваемого случая [1-3], где область и> является круговым пятиугольником с одним разрезом с вершиной в точке Е, теперь она,

оставаясь по-прежнему принадлежащей классу многоугольников в полярных сетках [14], трансформируется в круговой семиугольник с тремя разрезами с вершинами в точках N1, N2 и Б (рис. 2).

для основной фильтрационной схемы.

Учитывая специфические свойства областей в полярных сетках, характеризующихся обилием прямых углов и разрезов, удобно, как и в [11], в качестве вспомогательной канонической области принять прямоугольник плоскости г: 0 < Иег < 0.5, 0 < 1т г < 0.5/э, р(к) = К'/К, К' = К (к'), к/ = а/1 - к2, где К (к) - полный эллиптический интеграл первого рода при модуле к [15], при соответствии вершин тр = 0, тр = 0.5, та = 0.5 + дг, та = 0.5 + аг, тв = 0.5(1 + рг), тс = 0.5рг.

Используя методику построения отображающих функций для подобных областей [11—13], найдем для функции, реализующей конформное отображение вспомогательного прямоугольника плоскости т на область комплексной скорости и>, следующее выражение:

№~г^Дм+(т)-м-(т)' (2)

ц±(т) = $1(т ± г^)$2(т ± га)$2(т ^ г/3) ехр(±^тг),

где Д = (1 + у/е)/(1 — л/Ё), $1,2 —тета-функции с параметром </ = ехр(—7Г/э), который однозначно связан с модулем к [15]. В выражении (2) а, в, 1 — неизвестные постоянные конформного отображения, которые связаны соотношением

Штг(0.5/э+/3-а-7) = (3)

и условиями

0 < а < д < в <Р < а < 0.5р, (4)

регламентирующими положение на границе точки нулевой скорости Р и точек N1 и N2 минимума и максимума расхода на участках АВ и СБ (р, д и а — неизвестные ординаты точек Р, О и А соответственно в области т).

Для решения краевой задачи (1) используем метод П. Я. Полубариновой-Кочи-ной [4-7], который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [16].

Определяя характеристические показатели функций йш/йт и йх/йт около регулярных особых точек [4-7] и учитывая выражение (2), а также то, что ю = йш/йх, приходим к зависимостям

— = _ Г?м ДМ+<» Лт У Д(г)

д,т А (г) _

Д(т) = ^(г)8п(2Хг, /г)<1п(2^т, /г)-^/1 - (1 - /г/2а/2)8п2(2^а, /г).

Здесь М — масштабная постоянная моделирования (М > 0), вп(2^т, к), 6п(2Кт, к) — эллиптические функции Якоби (соответственно синус и дельта) при модуле к [15], а' = вп(2Ка, к'). Можно проверить, что функции йш/йт и йх/йт удовлетворяют условиям (1), переформулированным в терминах этих функций, и, таким образом, являются параметрическим решением исходной краевой задачи.

Для определения постоянной моделирования М воспользуемся следующим соображением [17]. Когда точка г обходит точку В

по четверти полуокру^кности Ст достаточно малого радиуса, соответствующая точка х должна перейти с луча АВ на луч ВС, и приращение х должно мало отличаться от величины —гТ:

Дх = —гт + о(г), (6)

где О (г) —бесконечно малая величина при г ^ 0. С другой стороны, при таком малом приращении Дт приращение функции х также будет малым (в нашем случае представление йх/йт (5) непрерывно в точке т = 0.5(1 + рг)). Следовательно

д _ Г (1г

.1 п Зт

г1т = ^к^ут^мЧМ'ФШ'н) (7)

Ав Т 1 2к>2у/1-а/2К192(0)

Приравнивая выражения (6) и (7), полученные для Дх, и переходя к пределу при т —> 0, находим

м = 2к>2ут^мтт (8

Запись представлений (5) для разных участков границы области т с последующим интегрированием по всему контуру вспомогательной области приводит к замыканию области движения, что является контролем вычислений. В результате получаем выражения для геометрических и фильтрационных характеристик:

/•а />0.5 />0.5 /'0.5р

/ УолА = 5\ Фвайг = Н, Хор А — Хос А = хс, (9) Jg J 0 Jo -10

М.5 М.5р

й = Т — Н0 — ФОР А, Я = Флв А, (10)

0а

и координат точек кривой депрессии В¥:

/•п /•и

хор (и) = / ХорА, уор (и) = —й + / Уорйг, 0 < и < 0.5. (11)

00

Контролем счета являются другие выражения для d, расхода Q и напора Н:

/' 0.5р М.Ър /.0.5

d = Т - Н - Но +/ ФрлЛ, Q = - Ъ

Л ,о.5 /0 70 (12)

Н = Ф^ dt + /

00

В формулах (9)—(12) подынтегральные функции — выражения правых частей равенств (5) на соответствующих участках контура области т.

Анализ численных результатов. Представления (5), (9)-(12) содержат пять неизвестных постоянных: ординаты а и д прообразов точек А и О в плоскости т, параметры конформного отображения а и в, удовлетворяющие соотношениям (3), (4), а также модуль к (0 < к < 1). Для их определения служат уравнения (9), наряду с которыми используются соотношения

/•0.5 />а

1/Ц0.5 + дг) = 0, / (Ф^ + Фва) dt +/ ФFлdt = 0. (13)

00

Первое из этих соотношений означает, что скорость на конце шпунта обращается в бесконечность, а второе непосредственно вытекает из рассмотрения граничных условий. После определения неизвестных постоянных отображения по формулам (10) находятся искомые величины d и Q и по формулам (11) рассчитываются координаты точек свободной поверхности ББ.

На рис. 1 изображена картина течения, рассчитанная при е = 0.5, Т = 3, Б = 2, Н = 1, Н0 = 2, ха = -1.5. Результаты расчетов влияния физических параметров е, Т, Б, Н, Н0 и ха приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Результаты расчетов величин 4 и Q при варьировании е, Т и й1

£ а Я Т с1 Я Б а Я

0.4 1.0264 1.3840 2.2 0.2144 1.4935 1.2 0.8640 1.3812

0.5 0.9180 1.3896 2.6 0.5737 1.4426 1.6 0.8955 1.3888

0.6 0.7286 1.3915 3.4 1.2472 1.3349 2.4 0.9345 1.3861

0.7 0.3715 1.3920 3.8 1.5610 1.2792 2.8 0.9467 1.3791

Таблица 2. Результаты расчетов величин 4 и Q при варьировании Н, Но и хс

Я с1 Я Но а хс а Я

0.50 0.5145 0.6947 1.0 1.9180 1 1.3811 0.5346

0.75 0.7618 1.0453 1.5 1.4180 0 1.1678 0.8933

1.25 1.0376 1.7249 2.5 0.4180 -1 0.9982 1.2358

1.50 1.1359 2.0522 3.0 -0.0819 -5 0.2917 2.2204

Анализ данных таблиц позволяет сделать следующие выводы.

Увеличение мощности грунтового массива, длины шпунта, напора в бьефе и уменьшение интенсивности инфильтрации и напора в нижележащем сильнопроницаемом горизонте приводят к росту величины d, т. е. уменьшению ординаты точки О выхода кривой депрессии из-под шпунта. Так, согласно данным табл. 1 изменениям параметров е и Т в 1.7 раза сопутствует увеличение d на 176 и 628% соответственно. При этом наибольшее влияние на величину d оказывает напор в нижележащем пласте: из табл. 2 следует, что при возрастании параметра Н0 в 3 раза значение d уменьшается на 2442%. Можно заметить при этом, что при Н0 = 3 имеем d = -0.0819, т. е. точка выхода воды за шпунтом Б поднимается выше оси абсцисс.

Что касается расхода, то при варьировании параметров е, Т и Б расход изменяется всего лишь в пределах 1-1.1 раза, а варьирование параметра Но для тех расчетных вариантов, которые содержатся в соответствующем блоке таблицы, приводит к одному и тому же значению Q = 1.3896. Заметно, что так же, как и в [1-3], расход изменяется линейно по Т и Н.

Особый интерес представляет поведение величин с! и Q при изменении абсциссы точки С, лежащей на границе непроницаемого включения и левого края нижележащего пласта. Из табл. 2 следует, что при сближении точек В и С, т. е. с уменьшением ширины непроницаемого участка, величина с! уменьшается, т. е. ордината точки Б выхода из-под шпунта поднимается, причем весьма существенно: при варьировании хс от 1 до —5 значение с! изменяется на 374%. Подобные же изменения (на 375%) претерпевает при этом и расход Q.

Предельные случаи. Отсутствие подпора. Остановимся, прежде всего, на случае отсутствия подпора, т.е. течении при Но = 0. Решение для этого предельного случая получается из зависимостей (5) при 7 = 0. При таком значении параметра 7 круговой разрез БЕБ области и>, трансформируясь, вырождается в правую полуокружность (штриховая кривая на рис. 2) и таким образом круговой семиугольник превращается в шестиугольник, у которого выпадает правая часть полукруга — 0.5(1 + е)г\ < 0.5(1 — е). В плоскости течения г при 7 = 0 кривая депрессии выполаживается в точке Б, с которой сливается ее точка перегиба Е, и выходит на кровлю водопроницаемого пласта под прямым углом.

На рис. 3 изображена картина движения, рассчитанная при е = 0.8, Т = 3, Б = 1.5, хс = 1.5. В табл. 3 и 4 приведены результаты расчетов влияния физических факторов е, Т, Б, хс на размеры !, Q, Ь, искомым также является напор Н.

Анализ показывает, что в отличие от основной схемы, здесь, наоборот, уменьшение ширины непроницаемого включения приводит к росту величины !, при котором точка Б опускается, а расход уменьшается. Так же, как и ранее, испарение и мощность массива значительно влияют на величину !: при варьировании параметров е и Т в 1.3 и 1.6 раза значения с! изменяются соответственно на 207 и 466%. Зависимости Н от е и хс близки к линейным.

-г-1-1-

I 1.0 2.0 3.0

Н--Ч--Н

Рис. 3. Картина теченрия, рассчитанная для случая отсутствия подпора при в = 0.8, Т = 3, £ = 1.5, хс = 1.5.

Таблица 3. Результаты расчетов величин 4, Q, Н и Ь при варьировании е и хс

е а Я Я Ь хс а Я Я Ь

0.7 1.2593 -0.3131 0.0929 2.3778 2.1 -0.3695 -0.2869 0.1104 2.9387

0.8 0.9291 -0.4341 0.0998 2.6968 2.5 0.2198 -0.3664 0.1043 2.8121

0.9 0.4106 -0.5882 0.1064 3.3138 3.3 1.3517 -0.4646 0.0978 2.6428

Таблица 4. Результаты расчетов величин 4, Q, Н и Ь при варьировании 5 и хс

5 а Я Я Ь хс а Я Я Ь

1.2 1.1552 -0.4915 0.0952 2.5975 1.2 1.3830 -0.3543 0.0799 2.1431

2.1 0.5763 -0.3069 0.1090 2.9072 2.5 -0.6224 -0.6806 0.1676 4.5743

2.3 0.4632 -0.2547 0.1131 2.9879 3.0 -1.4118 -0.7962 0.2021 5.5247

Отсутствие непроницаемого включения. Остановимся теперь на случае отсутствия непроницаемого основания на кровле нижележащего горизонта, который теперь на всем своем протяжении становится сильнопроницаемым. Тогда в плоскости течения г точки В и С сливаются на бесконечности, а прямоугольник плоскости т превращается в полуполосу 0 < Ие т < 0.5, 0 < 1тт < ж, поскольку к = 0, к' = 1, К = 0.5^, К' = ж и, следовательно, р = ж. Решение для этого предельного случая получается из формул (5)—(13), если в них положить к = 0, при этом эллиптические функции вырождаются в тригонометрические, а тета-функции обрываются на первых членах.

Течение при отсутствии точек экстремума N1 и N2. В этом случае в плоскости и> исчезают оба вертикальных разреза с вершинами в точках N1 и N2: исходный круговой семиугольник трансформируется в пятиугольник, так что область становится двулистной, при этом на бесконечности в точках С и О при обходе границы осуществляется переход на второй лист римановой поверхности (рис. 4).

В этом случае формулы, решающие задачу, принимают соответствующий вид

. ^Дг/+(т) + г/"(т)

?/? = Ол/Р--—---——

У Д1/+(г)-1/-(г)' (14)

и±(т) = К^\(т ± ¿7)^2(т Т ¿а)$2(т ± ¿в) ехр(±^тг),

Штг(0.5/э+а -/3 - 7) = (15)

!т * Д(т)

Т- = -Ч^т

йт Д г

^ = 1мЕгУ+[т)~^{т) (16)

Д(г) = !90(Г)8П(2А'Г, А)С1П(2А'Т, А)^ - (1 - А/2а/2)8п2(2Аа, А;).

Сопоставляя выражения (14)-(15) с решением (2)-(5) для основной фильтрационной схемы, замечаем, что, несмотря на то, что они получаются друг из друга заменой в них параметров а на в и наоборот, однако, не выполняется условие (4), т. е. параметры выходят за рамки ограничений для основной фильтрационной схемы. Поэтому рассматриваемую схему можно назвать лишь смежной.

На рис. 5 изображена картина движения, рассчитанная при е = 0.4, Т = 3, Н = 0.3, Но = 2.7, Q = 0.9, хс = —0.4. В табл. 5 приведены результаты расчетов влияния физических параметров е, Q и хс на размеры ! и Б.

Таблица 5. Результаты расчетов величин d и й1 при варьировании £, Но, Q и хс

е а й Но а Я а й хс а й

0.30 0.2316 0.3610 1.7 0.3011 0.87 0.2021 0.3316 -0.30 0.1913 0.2842

0.35 0.2163 0.3356 2.7 0.2011 0.90 0.2011 0.3135 -0.35 0.1992 0.3039

0.42 0.1963 0.3097 3.7 0.1011 0.95 0.2033 0.3017 -0.40 0.1987 0.3224

1.00

и—-я-—н

Рис. 5. Картина течения для смежной схемы, рассчитанная при £ = 0.4, Т =3, Н = 0.3, Н0 = 2.7, Q = 0.9, хс = -0.4.

Можно заметить, что так же, как и в основной схеме, уменьшению интенсивности инфильтрации и напора в нижележащем напорном пласте сопутствует рост величины !, при этом наиболее значительное влияние, как и прежде, оказывает напор Но: с увеличением последнего в 2.2 раза значение с! уменьшается на 200%, т. е. ордината точки Е, увеличиваясь, поднимается вверх. Можно заметить, что зависимость с! от Но линейна, а для тех расчетных вариантов, которые приведены в табл. 5, длина шпунта не зависит от напора в нижележащем грунте.

Заключение. Выполненное в работе исследование предельных и смежных схем служит, наряду с опубликованными ранее [1-3], иллюстрацией того, насколько разнообразным по своему физическому содержанию может быть решение одной и той же многопараметрической краевой задачи со свободной границей в различных диапазонах изменения параметров конформного отображения. Ранее на эту особенность уже обращали внимание П. Я. Полубаринова-Кочина [4, 5], а также В. Н. Эмих [18].

Литература

1. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математическое моделирование ряда фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 3—15.

2. Береславский Э. Н. О режиме грунтовых вод при обиекании шпунта Жуковского // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 304-313.

3. Береславский Э.Н. Моделирование обтекания шпунта Жуковского // ДАН. 2011. Т. 440. №1. С. 47-51.

4. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 676 с.; 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.

5. Кочина П. Я. Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. М.: Наука, 1991. 351 с.

6. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М.: Наука, 1967. 545 с.

7. Михайлов Г. К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970. Т. 2. С. 585-648.

8. Береславский Э. Н., Кочина П. Я. О некоторых уравнениях класса Фукса в гидро- и аэромеханике // Изв. РАН. МЖГ. 1992. №5. С. 3-7.

9. Кочина П. Я., Береславский Э. Н., Кочина Н. Н. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса и некоторые задачи подземной гидромеханики. Ч. 1. Препринт №567. М.: Ин-т проблем механики РАН, 1996. 122 с.

10. Береславский Э. Н., Кочина П. Я. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, встречающихся в некоторых задачах механики жидкостей и газов // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №5. С. 9-17.

11. Береславский Э. Н. О конформном отображении некоторых круговых многоугольников на прямоугольник // Изв. Вузов. Математика. 1980. № 5. С. 3-7.

12. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №3. С. 296-301.

13. Береславский Э. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях класса Фукса, встречающихся в задачах механики жидкостей и газов // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. №4. С. 590-594.

14. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во Иностр. лит., 1963. 406 с.

15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

16. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Го-стехиздат, 1950. 436 с.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

18. Эмих В. Н. Гидродинамика фильтрационных течений с дренажом. Новосибирск: Наука, 1993. 213 с.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.