CC BY
29
УДК 532.546
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 3
Э. Н. Береславский, Е. В. Пестерев
О ДВУХ ПРЕДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ЗАДАЧЕ ЖУКОВСКОГО ОБ ОБТЕКАНИИ ШПУНТА
Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации, Российская Федерация, 196210, Санкт-Петербург, ул. Пилотов, 38
В рамках теории плоской установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси рассматриваются две предельные схемы, моделирующие фильтрационные течения под шпунтом Жуковского через грунтовой массив, подстилаемый непроницаемым основанием или проницаемым напорным водоносным горизонтом. Для их исследования формулируются смешанные краевые задачи теории аналитических функций, которые решаются с помощью метода Полубариновой-Кочиной. На базе этих моделей разработаны алгоритмы расчета зоны насыщения в тех случаях, когда при движении воды приходится учитывать совместное влияние на картину течения таких важных факторов как подпор со стороны непроницаемого основания или нижележащего хорошо проницаемого водоносного пласта, испарение или инфильтрация на свободной поверхности грунтовых вод, а также капиллярность грунта. Библиогр. 14 назв. Ил. 6. Табл. 4.
Ключевые слова: фильтрация, шпунт Жуковского, грунтовые воды, напорный подземный горизонт, водоупор, испарение, инфильтрация, свободная поверхность, капиллярность грунта, комплексная скорость течения, конформные отображения, метод Полубариновой-Кочиной.
E. N. Bereslavskii, E. V. Pesterev
ON TWO LIMITING CASES OF FLOW BELOW JOUKOWSKI'S CUTOFF WALL
St. Petersburg State Civil Aviation University, 38, Pilots street, St. Petersburg, 196210, Russian Federation
Two schemes of fluid flow under the rabbet of Zhukovsky is considered. Filtering is flat and steady, and the fluid flow satisfy Darcy's law. The movement occurs through an array of ground underlain by permeable or impermeable base pressure aquifer. To study these schemes mixed boundary value problem of the theory of analytic functions are formulated. It is solved by means of application of a method of P. J. Polubarinova-Kochina. The algorithms for calculating the saturated zone in case when taken into account the simultaneous effect on the course of the following factors: backwater from the impermeable base or underlying well-permeable aquifer, evaporation or infiltration at the free surface groundwater and the capillary of ground. Refs 14. Figs 6. Tables 4.
Keywords: filtering, rabbet of Zhukovsky, ground water, artesian horizon aquitard, evaporation, infiltration, loose surface soil capillarity, integrated flow velocity, conformal mapping method Polubarinova-Kochina.
В работах [1-4] изучается задача, моделирующая проникновение жидкости с поверхности земли в неограниченный по протяженности горизонтальный пласт. Нижнее основание последнего составлено из двух частей: левая из них считается непрони-
Береславский Эдуард Наумович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: [email protected]
Пестерев Егор Васильевич — аспирант; e-mail: [email protected]
Bereslavskii Eduard Naumovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, department chairman; e-mail: [email protected]
Pesterev Egor Vasilievich — post-graduate student; e-mail: [email protected]
цаемой, на правой напор поддерживается постоянным. Течение обеспечивается по-ступанием воды с поверхности земли, ее левая часть — полоса затопления с неизменным во времени слоем жидкости, на примыкающей к этой полосе части имеют место осадки постоянной интенсивности. Правым краем полосы затопления служит непроницаемый вертикальный экран в виде шпунта Жуковского, основание которого расположено внутри пласта (рис. 1).
Рис. 1. Картина течения для схемы 1, рассчитанная при е = 0.6, Ьк = 0.5, Т = 7,Б = 3,Н = 5
В отличие от этих исследований ниже рассматриваются одновременно две схемы, которые возникают при решении указанной задачи об обтекании шпунта Жуковского. Первая из них соответствует случаю, когда слой грунта подстилается на всем своем протяжении непроницаемым основанием и со свободной поверхности идет испарение, во второй — нижележащий пласт представляет целиком хорошо проницаемый напорный водоносный горизонт и происходит инфильтрация на свободную поверхность.
Приводится единообразная методика решения задач, которая позволяет учесть основные фильтрационные характеристики (подпор со стороны как нижележащего непроницаемого основания, так и сильнопроницаемого напорного горизонта, испарение или инфильтрацию со свободной поверхности и капиллярность грунта), что дает возможность оценить совместное влияние таких факторов на картину явления. Для этой цели используется метод П. Я. Полубариновой-Кочиной [5-8].
Обтекание шпунта Жуковского при наличии в основании горизонтального водоупора (схема 1). Рассмотрим двумерную (в вертикальной плоскости) установившуюся фильтрацию жидкости при обтекании шпунта Жуковского длины Б
в однородном и изотропном слое грунта мощности T, подстилаемом горизонтальным непроницаемым основанием (водоупором), при равномерном испарении со свободной поверхности интенсивности е, 0 < е < 1.
Введем комплексный потенциал движения ш = р + iф, в котором р — потенциал скорости, ф — функция тока и z = x + iy — комплексная координата, отнесенные к кт и T, где к = const — коэффициент фильтрации грунта. Задача состоит в нахождении комплексного потенциала w(z) как функции, аналитической в области фильтрации z и удовлетворяющей следующим краевым условиям:
AB : y = 0, р = -H;
BC : y = -T, ф = 0; (1)
CDE : р = -y + Нк, ф = -ex + Q; ()
EA : x = 0, ф = Q.
Здесь hk — статическая высота капиллярного поднятия грунтовой воды, Q — искомый фильтрационный расход воды. Полагая во втором условии (1) для участка CDE x = L, получим
Q = eL. (2)
Соотношение (2) выражает равенство расхода величине испарения со свободной поверхности в условиях установившейся фильтрации. Определение ширины L растекания жидкости по водоупору (или расхода Q) представляет значительный практический интерес.
Для решения задачи используем метод П. Я. Полубариновой-Кочиной [5-8], который основан на применении аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [9].
Введем: вспомогательную область — полуполосу Ret > 0, 0 < Imt < 0.5п параметрической переменной t при соответствии точек ts =0, tA = ia, tp = if, tp = 0.5in, tc = го, функцию z(t), конформно отображающую полуполосу плоскости t на область движения z, а также производные dw/dt и dz/dt.
Обратимся к области комплексной скорости w, соответствующей граничным условиям (1), которая изображена на рис. 2. Эта область, представляющая собой круговой четырехугольник с разрезом в вершине D и углом при вершине C, равным 7гv = 2arcctgA/e, была исследована ранее [10, 11] и характерна также для фильтрации из каналов и оросителей [12-14].
Функция, совершающая конформное отображение полуполосы на область комплексной скорости, принимает вид
^chtshi/t + Cshtchi/t W ~~ chtchvt + Csbtsbi/t' ^
где C = ctg f ctg vf, a и f (0 < a < f < 0.5п) — неизвестные ординаты точек A и F плоскости t.
Определяя характеристические показатели функций dw/dt и dz/dt около регулярных особых точек [5-8], учитывая, что w = dw/dz, и принимая во внимание соотношение (3), придем к зависимостям
dui г-, , chtshi/t + Cshtchi/t — = л/ЁМ--,
dt v A(t) m
dz „ ^ chtchi/t + Cshtshi/t , , . -ГТ" v '
— = M--, Д (t = Vsin2a + sh2t.
dt A(t) '
Здесь M (M > 0) — масштабная постоянная моделирования.
1
в с)) >
У л \
Е (
Рис. 2. Область комплексной скорости ш для схемы 1
Можно проверить, что функции (6) удовлетворяют граничным условиям (1), переформированным в терминах функций ¿ш/ЛЬ и ¿г/ЛЬ, и, таким образом, являются параметрическим решением исходной краевой задачи. Запись представлений (6) для разных участков границы области Ь с последующим интегрированием по всему контуру вспомогательной области параметрической переменной Ь приводит к замыканию области течения г и тем самым служит контролем вычислений.
В результате получаем для геометрических и фильтрационных характеристик выражения
Г
У ЛЬ = Б,
Фвс ¿Ь = Т + Н + Нк,
(5)
Л +У Фсбе^ЬЬ = Т,
0
которые позволяют определить неизвестные параметры конформного отображения а, / и М.
После нахождения неизвестных постоянных рассчитываются искомые размеры Л (последняя формула (5)) и ширина растекания воды по уравнению
Ь = / ХсбеЛЬ,
(6)
а также расход Q по (2). Контролем счета служат другие выражения для величин Л и расхода Q:
Л = ! Фае ЛЬ - Н - Ни,
а I (7)
Q = У ЪАР ЛЬ.
а
В формулах (5)—(7) подынтегральные функции - выражения правых частей равенств (6) на соответствующих участках контура вспомогательной параметрической области Ь.
Анализ численных результатов, полученных при расчете по схеме 1.
На рис. 1 изображена картина течения, рассчитанная при е = 0.6, Ни = 0.5, Т = 7, 5 = 3, Н = 5.
В табл. 1, 2 приведены результаты расчетов влияния определяющих физических параметров е, Ни, Т, 5 и Н на размеры Л и Ь (отрицательные значения Л означают, что свободная поверхность поднимается выше оси абсцисс), а также безразмерная величина Н(Л) = (5"с1)/5, Н(5) = 0, которая характеризует относительную высоту поднятия грунтовой воды за шпунтом. На рис. 3 представлены зависимости Л и Ь от параметров е, Ни, Т, 5 и Н.
Таблица 1. Результаты расчетов величин й, Н(й) и Ь при варьировании е, Ни и Т
е с1 к(с1) Ь Ь-и с1 к(с1) Ь Т с1 к(с1) Ь
0.2 0.1402 0.95 18.39 0 2.3962 0.20 8.05 4 0.2133 0.93 6.40
0.4 1.4626 0.51 11.31 0.25 2.3152 0.23 8.21 5 0.8848 0.71 7.06
0.8 2.7592 0.08 6.72 1 2.0729 0.31 8.70 6 1.5586 0.48 7.72
0.9 2.9653 0.01 6.12 2 1.7513 0.42 9.35 8 2.9119 0.03 9.03
Таблица 2. Результаты расчетов величин й, Н(й) и Ь при варьировании Я и Н
5 а ь Я а Ь
3 2.2343 0.26 8.38 3 2.8848 0.04 7.06
4 2.3917 0.40 8.05 4 2.5586 0.15 7.72
5 2.5194 0.50 7.79 7 1.9119 0.36 9.02
6 2.6260 0.56 7.57 8 1.2720 0.58 10.32
Анализ табл. 1, 2 и рис. 3, а-д позволяет сделать следующие выводы. Прежде всего обращает на себя внимание одинаковый качественный характер зависимостей значений Л и Ь от параметров е и 5, с одной стороны, и в то же время совершенно противоположное поведение искомых характеристик при изменении Ни и Н — с другой. Рост высоты вакуума, обусловленный капиллярными силами в грунте, и напора в бьефе и уменьшение интенсивности испарения, мощности слоя и длины шпунта приводят к понижению глубины Л, т. е. к увеличению ординаты точки Б выхода кривой депрессии из-под шпунта. Так, согласно табл. 1, возрастание параметров е и Н в 4.5 и 2.7 раза сопутствует изменению глубины Л в 4.7 и 0.9 раза соответственно. Однако наибольшее влияние на значение Л оказывает мощность пласта: данные табл. 1 показывают, что при возрастании толщины слоя Т всего в 2 раза глубина Л увеличивается почти в 14 раз.
Можно заметить, что зависимости Л и Ь от параметров Т и Ни близки к линейным.
а
б
d,L
0.0 1.0 2.0
d,L в
г
d,L
d,L
Рис. 3. Зависимости величин d (кривые 1) и L (кривые 2) от е при hk = 0.5, T = 7, S = 3, H = 5 (а); от hk при е = 0.6, T = 7, S = 3, H = 5 (б); от T при е = 0.6, hk = 0.5, S = 3, H = 5 (в); от S при е = 0.6, hk = 0.5, T = 7, H = 5 (г) и от H при е = 0.6, hk = 0.5, T = 7, S = 3 (д)
Что касается величины L, то с повышением статической высоты капиллярного поднятия грунтовой воды, мощности слоя и напора в бьефе и с уменьшением интенсивности испарения и длины шпунта ширина растекания жидкости по водоупору растет. Так, из табл. 1 и 2 видно, что при варьировании параметров е и H в 4.5 и 2.7 раза ширина L становится больше в 3 и 1.5 раза соответственно. Наибольшее же влияние, как и прежде, оказывает мощность слоя (см. табл. 1): изменение параметра T в 2 раза приводит к увеличению ширины L больше, чем на 40%.
Данные табл. 1 и 2, относящиеся к параметру h, показывают, что для всех расчетных вариантов d> 0 и, следовательно, 0 <h < 1. Видно, что max h(d) = 4.91 при S =1, min h(d) = 0.79 при H = 3.0.
Обтекание шпунта Жуковского при наличии в основании сильнопроницаемого горизонта, содержащего напорные подземные воды (схема 2). В отличие от схемы 1 рассмотрим теперь другой предельный случай, возникающий
в задаче при обтекании шпунта Жуковского, когда слой грунта подстилается хорошо проницаемым напорным водоносным горизонтом БО, напор в котором имеет постоянное значение Но, и на свободной поверхности происходит равномерная инфильтрация интенсивности е (рис. 4). Тогда вдали от шпунта (при х ^ то) кривая депрессии горизонтальна и расположена на высоте Но над водоносным горизонтом. В этой модели граничные условия (1) на участках АБ и ЕА сохраняются, а условия на границах БО и ОБЕ заменяются следующими:
БО : у = -Т, ф = -Но; (8)
ОБЕ : р = -у - Т, ф = ех + д. (8)
Рис. 4- Картина течения для схемы 2, рассчитанная при е = 0.6, Т = 7, Я = 3,
Н = 7, Но = 3 и хс = 100
Область комплексной скорости и>, соответствующая краевым условиям (1), (8), которая представляет собой круговой треугольник с разрезом в вершине Б, изображена на рис. 5. В качестве вспомогательной области параметрической переменной удобно вновь выбрать полуполосу плоскости Ь, но при ином соответствии точек: Ье = 0, Ьм = т, Ьр = /, Ьа = а, Ьв = Ь, Ьс = 0.5п, Ьр = то (0 < т </< а <Ь < 0.5п), где т и / - неизвестные абсциссы точек нулевой скорости М и конца шпунта Б в плоскости Ь.
Функция, совершающая конформное отображение полуполосы на область комплексной скорости, имеет вид
. гзт2/зт2(¿-то)
■ш = г\/е---—, (9)
при этом оказывается, что прообразы точек M и F связаны соотношением
tg 2 m ctg 2f = е.
Рис. 5. Область комплексной скорости ш для схемы 2
Определяя характеристические показатели функций и ¿г/¿Л, [5-8] и при-
нимая во внимание соотношение (9), придем к таким зависимостям:
dw ,,sin2f sin3(t — m)
— = -£м------
dt sin 2mA(t)
dz , sin2(t — f) ... 9 , 9 . /—ö-
—— = iM-Л\ ч , A(t) = cos i(sin b — sin t)v sin а — sin t.
dt A(t) w v 7
(11)
Для нахождения неизвестных постоянных а, Ь, т и М по заданным значениям е, Б, Т, Н, Но и фиксировании абсциссы хс точки С кривой депрессии служит система уравнений
J УРАЛ = Б, й + Н - I Фае ¿Л, = Т,
! о
сю а сю
J (Хер + XсD)dt = х, J Фае А + ^ (Фер + Фсл)^ = Н - Но о 0 0
Контролем счета является иное выражение для глубины:
с
й = Т - Но - I(Уер + Уср)йЛ.
(12)
(13) 29
a
a
Анализ численных результатов, полученных при расчете по схеме 2.
На рис. 4 изображена картина течения, рассчитанная при е = 0.6, Т = 7, Б = 3, Н = 7, Но = 3 и хс = 100. Результаты расчетов влияния определяющих физических параметров е, Т, Б, Н и Но на глубину Л и параметр к(с!) представлены в табл. 3. Зависимости Л от параметров е, Т, Б, Н и Но иллюстрирует рис. 6.
а
а
б
<1
в
а
а
д
Рис. 6. Зависимости величин й от е при Т = 7, Я = 3, Н = 7, Н0 = 3, хс = 100 (а); от Т при е = 0.6, Я = 3, Н = 7, Но = 3, хс = 100 (б); от Я при е = 0.6, Т = 7, Н = 7, Но = 3, хс = 100 (в); от Н при е = 0.6, Т = 7, Я = 3, Но = 3, хс = 100 (г) и от Но при е = 0.6, Т = 7, Я = 3, Н = 7, хс = 100 (д)
Таблица 3. Результаты расчетов величин й и Н(й) при варьировании е, Т и Я
£ а Т а в а
0.2 0.0580 0.98 5 -4.5842 2.53 1 -3.9053 4.91
0.4 -1.2091 1.40 6 -3.5842 2.19 2 -3.2106 2.61
0.8 -4.0723 2.36 8 -1.5842 1.43 4 -1.9960 1.50
0.9 -4.8599 2.62 9 -0.5842 1.19 5 -1.4342 1.29
Таблица 4. Результаты расчетов величин й и Н(й) при варьировании Н и Н0
Я с1 к(с1) Но с1 к(с1)
3 0.6306 0.79 1 -2.2168 1.74
5 -0.9683 1.32 2 -2.3985 1.80
8 -3.3985 2.13 4 -2.7741 1.92
9 -4.2168 2.41 5 -2.9683 1.99
Анализ данных табл. 3, 4 и рис. 6 позволяет сделать следующие выводы.
Увеличение интенсивности инфильтрации и напоров в бьефе и нижележащем горизонте и уменьшение мощности слоя и длины шпунта приводят к понижению величины d. Напомним, что ранее в схеме 1 к подобному поведению глубины d приводило, наоборот, падение интенсивности испарения. Так, при росте параметров T и H в 1.8 и 3 раза значение d изменяется в 7.8 и 6.7 раза соответственно. Однако наибольшее влияние на глубину d оказывает теперь именно инфильтрация на свободную поверхность: из табл. 3 следует, что с увеличением параметра е в 4.5 раза d изменяется почти в 84 раза. Любопытно (см. табл. 3), что величина T — d = 9.5842 постоянная для рассматриваемых значений T.
Что касается параметра h(d), то в отличие от схемы 1, где наблюдались только лишь положительные значения d, здесь для абсолютного большинства расчетных вариантов d < 0, т. е. кривая депрессии поднимается выше оси абсцисс и, следовательно, h(d) > 1. При этом значения параметра h могут быть весьма существенными: из табл. 3 вытекает, что при S =1 имеем h(d) = 4.91.
Литература
1. Береславский Э. Н., Пестерев Е. В. О некоторых гидродинамических схемах, связанных с обтеканием шпунта Жуковского // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2013. Вып. 1. С. 130-138.
2. Береславский Э. Н. О режиме грунтовых вод при обтекании шпунта Жуковского // Прикл. математика и механика. 2011. Т. 75, вып. 2. С. 304-313.
3. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 12-22.
4. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математическое моделирование ряда фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 3-15.
5. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 656 с.; 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.
6. Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: Гостехиздат, 1953. 616 с.
7. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) / отв. ред. П. Я. Полу-баринова-Кочина. М.: Наука, 1969. 546 с.
8. Михайлов Г. К., Николаевский В. Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет / гл. ред. Л. И. Седов. М.: Наука, 1970. Т. 2. С. 585-648.
9. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Го-стехиздат, 1950. 436 с.
10. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме одного класса фуксовых уравнений и его приложении // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 6. С. 1048-1050.
11. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых пятиугольников с разрезом // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 48, № 4. С. 459-466.
12. Береславский Э. Н., Лихачева Н. В. О расчете некоторых схем фильтрации из каналов и оросителей // Математическое моделирование. 2013. Т. 25, № 3. С. 134-148.
13. Береславский Э. Н., Лихачева Н. В. Математическое моделирование фильтрации из каналов и оросителей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. Вып. 3. С. 10-22.
14. Береславский Э. Н. О применении уравнений класса Фукса для расчета фильтрации из каналов и оросителей // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77, вып. 5. С. 711-724.
References
1. Bereslavskii E. N., Pesterev E. V. O nekotorykh gidrodinamicheskikh skhemakh, sviazannykh s obtekaniem shpunta Zhukovskogo [About some hydrodynamic schemes of flow around the rabbet of Zhukovsky]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2013, issue 1, pp. 130-138. (In Russian)
2. Bereslavskii E. N. O rezhime gruntovykh vod pri obtekanii shpunta Zhukovskogo [On the mode of
groundwater flow around the rabbet of Zhukovsky]. Pricl. mathematica i mechanica [Applied mathematics and mechanics], 2011, issue 2, pp. 204-313. (In Russian)
3. Bereslavskii E. N., Aleksandrova L. A., Pesterev E. V. Matematicheskoe modelirovanie nekotorykh fil'tratsionnykh techenii v podzemnoi gidromekhanike [Mathematical modeling of some filtration currents in underground hydromechanical engineer]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2010, issue 1, pp. 12-22. (In Russian)
4. Bereslavskii E. N., Aleksandrova L. A., Pesterev E. V. Matematicheskoe modelirovanie riada fil'tratsionnykh techenii v podzemnoi gidromekhanike [Mathematical modeling of some filtration currents in underground hydromechanics]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2010, issue 4, pp. 3-15. (In Russian)
5. Polubarinova-Kochina P. Ia. Teoriia dvizheniia gruntovykh vod [The theory of the movement of groundwater]. Мoscow, Gostekhizdat Publ., 1952, 656 p.; 2 ed.: Moscow, Nauka Publ., 1977, 664 p. (In Russian)
6. Aravin V. I., Numerov S. N. Teoriia dvizheniia zhidkostei i gazov v nedeformiruemoi poristoi srede [The theory of the movement of fluids and gases in non-d,eforma,ble porous medium]. Мoscow, Gostekhizdat Publ., 1953, 616 p. (In Russian)
7. Razvitie issledovanii po teorii fil'tratsii v SSSR (1917-1967) [Development of research on the theory of filtration in the USSR (1917-1967)]. Otv. red. P. Ia. Polubarinova-Kochina. Мoscow, Nauka Publ., 1969, 546 p. (In Russian)
8. Mikhailov G. K., Nikolaevskii V. N. Dvizhenie zhidkostei i gazov v poristykh sredakh [The movement of liquids and gases in porous media]. Mekhanika v SSSR za 50 let [Mechanics in USSR for 50 years]. Gl. red. L. I. Sedov. Moscow, Nauka Publ., 1970, vol. 2, pp. 585-648. (In Russian)
9. Golubev V. V. Lektsii po analiticheskoi teorii differentsial'nykh uravnenii [Lectures on the analytic theory of differential equations]. Мoscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1950, 436 p. (In Russian)
10. Bereslavskii E. N. Ob integrirovanii v zamknutoi forme odnogo klassa fuksovykh uravnenii i ego prilozhenii [The integration in closed form of a class of Fuchsian equations and its application]. Differenc. Uravnenia [Differential equations], 1989, vol. 25, no. 6, pp. 1048-1050. (In Russian)
11. Bereslavskii E. N. Ob integrirovanii v zamknutoi forme nekotorykh differentsial'nykh uravnenii klassa Fuksa, sviazannykh s konformnym otobrazheniem krugovykh piatiugol'nikov s razrezom [The integration in closed form of some differential equations of the class of Fuchs related to conformal mappings of pentagons with a cut]. Differenc. Uravnenia [Differential equations], 2010, vol. 48, no. 4, pp. 459-466. (In Russian)
12. Bereslavskii E. N., Likhacheva N. V. O raschete nekotorykh skhem fil'tratsii iz kanalov i orositelei [On calculation of some schemes filtration from canals and irrigation canals]. Mathematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulation], 2013, vol. 25, no. 3, pp. 134-148. (In Russian)
13. Bereslavskii E. N., Likhacheva N. V. Matematicheskoe modelirovanie fil'tratsii iz kanalov i orositelei [Mathematical modeling of filtration from canals and irrigation canals]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2012, issue 3, pp. 10-22. (In Russian)
14. Bereslavskii E. N. O primenenii uravnenii klassa Fuksa dlia rascheta fil'tratsii iz kanalov i orositelei [On the application of a class of equations for calculating Fuchs filtration from canals and irrigation canals]. Pricl. mathematica i mechanica [Applied mathematics and mechanics], 2013, vol. 77, issue 5, pp. 711-724. (In Russian)
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 30 апреля 2015 г.
