О некотором обобщении понятия полиадических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 2 (2009)

УДК: 511.37 + 511.36

О НЕКОТОРОМ ОБОБЩЕНИИ ПОНЯТИЯ ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

И. Ю. Сухарев (г. Москва)

Аннотация

В данной работе изучаются разные конструкции кольца полиадических чисел, приводящие к построению некоторого общения - кольца по-луполиадических чисел, для которого получены классические результаты: построена теория меры и интегрирования, которая также связана с вероятностными свойствами целых и действительных чисел.

Введение

В ряде задач теории чисел, например, в доказательстве известного принципа Мпнковского-Хассе, важную роль играет одновременное рассмотрение всей совокупности неархимедовых нормирований и соответствующих пополнений поля рациональных чисел. Каждому простому числу р соответствует поле Ор, введенное в рассмотрение К. Гензелем [1]. Теорема Островского гласит, что все нормы в поле рациональных чисел Q эквивалентны либо абсолютной величине, рр

Если рассмотреть множество, представляющее собой прямую сумму полей ОР1 > • • • > ОРпу получаем кольцо д-адических чисел. Свойства этого кольца описаны в книге Малера [2].

Естественно рассмотреть бесконечное прямое произведение, например, полей Zp., где рг — простые числа. Если взять совокупность всех простых чисел, то получается кольцо полиадических чисел.

В работе предлагается некоторое обобщение этого понятия, соответствующее рассмотрению некоторой бесконечной совокупности простых чисел.

Конструкции полиадических чисел предлагалась в работах X. Прюфера [3], Дж. фон Неймана [4] и изучалась Д. ван Дантзигом [5], Е. Новоселовым [6],[7],[8] и А. Постниковым [9, Глава III, стр. 229].

Кольцо полиадических чисел обладает достаточно богатой структурой, а именно, на нем естественным образом вводится топология, превращающая

кольцо полиадических чисел в топологическое кольцо, это топология метри-зуется в явном виде, кроме того определена мера Хаара и определено отображение кольца полиадических чисел в отрезок, сохраняющее меру. Важным свойством, имеющим приложения в ряде задач аналитической теории чисел, является равномерная распределённость множества натуральных чисел в кольце полиадических чисел относительно меры Хаара. С этими и другими результатами касательно свойств полиадических чисел можно ознакомиться в [7, 8].

Интерес к изучению полиадических чисел связан с тем, что с помощью теории интеграла и меры вычисляются некоторые асимптотические плотности, а также удается получить новые доказательства ряда известных формул [7].

Существует несколько конструкций, приводящих к понятию кольца полиадических чисел, часть из них имеет чисто алгебраическую природу, другая опирается на аналитическую точку зрения. В этой работе мы детально изучаем эти методы и вводим некоторое обобщение кольца полиадических чисел (которое мы называем кольцом полуполиадических чисел) и рассматриваем это обобщение в настоящей работе. Наша цель — показать, что кольцо полуполиадических чисел обладает свойствами, подобными свойствам полиадических чисел и для них справедливы аналогичные теоремы.

В настоящей работе даны две конструкции кольца полуполиадических чисел, изложены основы теории меры и интегрирования на этом кольце, установлен измеримый изоморфизм с отрезком. Установлено, что как и для кольца полиадических чисел, множество натуральных чисел равномерно распределено в кольце полуполиадических чисел.

Настоящая статья состоит из двух частей. Первая часть состоит из трех разделов. В разделе 1.1 представлена известная конструкция полиадических чисел (раздел 1.1.1) и алгебраическая конструкция (раздел 1.1.2), в разделе 1.1.3 приводятся основные утверждения про полиадические числа.

В разделе 1.2 вводится аналог полиадических чисел и строится аналогичная теория меры и интегрирования. В разделах 1.2.1 и 1.2.2 представлены соответствующие аналоги конструкций полиадических чисел, в разделе 1.2.3 приводятся основные свойства полуполиадических чисел и теорема о равномерности распределения последовательности натуральных чисел в кольце полуполиадических чисел. Эти утверждения доказываются в разделе 2.

1 Полиадические и полуполиадические числа

1.1 Краткий обзор результатов про полиадические числа

Кратко опишем две конструкции полиадических чисел, предложенные в [6, § 1] и [9, Глава III, стр. 229].

1.1.1 Описание кольца полиадических чисел, как топологического кольца.

Введем на кольце целых чисел Ъ наименьшую топологию инвариантную относительно сдвига и такую, что множества вида шЪ образуют базу окрестностей нуля. Мы превратили Ъ в топологическое кольцо с обычными операциями сложения и умножения и недискретной топологией.

В [9, Глава III, стр. 230] на этом топологическом кольце вводится метрика:

^У) = Е 2^ (^) ■ (!)

т=1 х '

где (¿) — расстояние от Ь до ближайшего к нему целого числа.

Замечание 1. В [9, Теорема 1, стр.230] показано, что вышеуказанная топология метризуется данной метрикой.

Заметим, что это не единственный способ задания метрики. Например, в [6, § 1, стр. 9] в качестве метризационной функции приводится следующая:

Р(х,У) =

m=l

фт(х, У)

ГД6

0, х = y(mo dm)

f

ф(х,у)

1, хф у (то dm)

Замечание 2. Вышеописанное метрическое пространство не полно. Например, последовательность

1!, 1! + 2!, 11 + 21 + 3!,...

является фундаментальной, но не имеет предела, в Z.

Определим кольцо полиадических чисел Zn, как пополнение метрического пространства Z через последовательности Коши.

1.1.2 Описание кольца полиадических чисел, как обратного предела.

К понятию полиадического числа можно прийти, рассмотрев обратный пре-

Д6Л

lim Z/m!Z.

2

m

Замечание 3. Заметим, что т\Ъ образует базу окрестностей нуля. Тогда согласно [10, Гл. 10, §1] определения полиадических чисел, как обратного предела и данное в 1.1.1 совпадают .

Замечание 4. Существует биекция между множеством формальных рядов

заданное по правил,у (..., ат,...) м (..., ат!,...) является, изом,орфизм,ом,, как показано в [8, Теорема 3, стр. 121]

1.1.3 Теоремы о мерах, интегралах для полиадических чисел.

Так как Zп — компактная топологическая группа, на ней существует инвариантная относительно сложения мера Хаара, которую мы будем обозначать через п-

Пусть х Е ^п представлен в виде ряда (каноническое представление)

В [8, стр. 124] на Zп определено отображение к : Zп м [0,1] следующим образом

и показано, что это «почти биективное» отображение (точки [0,1] П Q имеют ровно два прообраза). На отрезке [0,1] есть мера Лебега ^ и при этом указанное отображение сохраняет меру, то есть мера Хаара на Zп переходит в меру Лебега на отрезке [0,1]. Имеет место

и кольцом Zп по правилу:

т=1

где {вт} ^ последовательность частичных сумм зт = ^т=\ акк!-

Замечание 5. Более того, отображение

Ііт Z/mZ Ііт Z/m!Z,

т

т

т=1

Теорема 1. Обозначим через Xг1,г2,..,гк подмножество полиадических чисел, у которых соответствующие коэффициенты ряда в каноническом представлении с ном,ерам,и г1,г2,... ,гк фиксированы. Тогда

п(Х■ ■ ■ ) =___(г1)__________• •_(гк)!_ (2)

П( г1’*2’-’гк) (¿1 + 1)! (гк + 1)! ‘ И

Доказательство. Доказательство данной теоремы следует из теоремы 5 при подстановке функции П(п) = п!. □

Так как на Ъп введена мера, то для любой измеримой вещественнозначной функции существует понятие интеграла Лебега и можно рассматривать интегрируемые по Лебегу функции. Следующая теорема приведена в [7, п.1].

Теорема 2. При отображении К : Ъп м [0,1] интегрируемая вещественнозначная, функция переходит в интегрируемую и интегралы, от этих функций равны, то есть

! Е ьф, 1] ^ f ◦ К Е ¿1^п) и при этом выполнено равенство

! = J f ◦ Кйц.

[0,1] Ъп

Вещественнозначная функция называется почти всюду непрерывной, если мера точек разрыва данной функции равна нулю. В [7, п.2] доказана следующая

Теорема 3. Пусть f (х) — ограниченная, почти всюду непрерывная на, Ъп вещественнозначная функция. Тогда

1 N

У ^ = Л™ N £ 1'<г)'

Ъп г-1

г

Напомним, что последовательность {хп} пространства X с мерой ^ называется равномерно распределенной, если для любой непрерывной вещественнозначной функции ^ на X выполнено равенство

1 N

Другими словами, теорема 3 гласит, что последовательность натуральных чисел равномерно распределена в Ъп.

Кольцо полиадических чисел находит приложения в теории чисел, а именно, в [7, пп.4-5] с помощью теории интеграла и меры на полиадических числах были вычислены некоторые асимптотические плотности, а также получен новый вывод ряда известных формул для функций теории чисел.

1.2 Кольцо полуполиадических чисел

В этом разделе мы даем некоторое обобщение конструкции кольца полиадических чисел, которое будем называть кольцом полуполиадических чисел. Как и в предыдущем разделе, мы дадим две конструкции.

В данном разделе мы приводим формулировки наших результатов, чтобы подчеркнуть аналогию между кольцами полиадических и полуполиадических чисел, все доказательства и вспомогательные утверждения будут даны в следующем разделе.

1.2.1 Построение кольца полуполиадических чисел, как топологического кольца

Пусть X — некоторое подмножество произвольного кольца К. Введем следующее обозначение:

М(X) = {х1.. .хп\ хг Е X, п Е М}.

Пусть Р С N — множество простых чисел и пусть Р' С Р — некоторое подмножество Р. Идея обобщения кольца полиадических чисел состоит в том, чтобы ослабить исходную топологию в кольце целых чисел, а именно, брать не все окрестности вида тЪ, а только те, где простые делители т принадлежат Р'

Введем на Ъ топологию с помощью окрестностей вида тЪ, где т Е М(Р'). Получим топологическое кольцо. Везде далее, мы будем подразумевать, что целые числа снабжены именно этой топологией.

В этом случае кольцо целых чисел также может быть снабжено метрикой, метризующей нашу топологию.

где (t) — расстояние от t до ближайшего к нему целого числа. Как и в случае полиадических чисел верна следующая

Лемма 1. Указанная в (3) метрика метризует топологию, зада,иную выше.

Замечание 6. Как и в случае полиадических чисел, данное метрическое пространство не полно. Последовательность

1!, 1! + 2!, 1! + 2! + 3!,...

является фундаментальной, но не имеет предела в данном, метрическом пространстве.

Определим полуполиадические числа Ъп как пополнение этого метрического пространства. Данное пополнение также является кольцом, содержащем Ъ.

Р' = Р

лиадические числа.

1.2.2 Построение кольца полуполиадических чисел, как обратного предела.

Как и в случае полиадических чисел, пространство полуполиадических чисел можно определить чисто алгебраически через обратный предел системы конечных колец. В случае полиадических чисел мы использовали специальную

т!

П(п)

Пусть функция П(п) : N м N удовлетворяет следующим свойствам:

1. П(1) = 1;

-■ Ъ э гЩ+г = > = 1

3. (а) Vк Е М(Р') 3 п : к \ П(п);

(Ь) VI Е М(Р') Vп : I \ П(п).

Определим Ъп, как обратный предел

Иш Ъ/П(п)Ъ.

т

Легко видеть, что П(1)Ъ 13 П(2)Ъ 13 ... 13 П(п)Ъ 13 ... — это база окрестностей нуля в топологии, введенной в разделе 1.2.1.

П(п) Ъ

нуля, то согласно [10, Гл. 10, §1[ определения полуполиадических чисел, как обратного предела, и как пополнения метрического пространства совпадают.

Пространство полиадических чисел можно отождествить со множеством рядов специального вида (см. Теорему 4, стр. 112). Аналогичное отождествление имеет место и для кольца полуполиадических чисел, а именно

| атП(т) | сц Е 2, где 0 ^ ат ^ П(т + 1)/П(т) — 1 1 .

1т=1 )

Замечание 9. Требуемая биекция между указанным выше множеством рядов и кольцом, полуполиадических чисел задана по правилу:

Ж

У атП(т) м {вт},

т=1

V атП(т), 0 ^ ат ^ ^ + ) - 1- (4)

П(т)

где {вт} ^ последовательность частичных сум,м, зт = Ет=1 акП(&).

Таким образом, произвольное полуполиадические число х можно представить в видб рядм

П(т + 1)

атП(т), о ^ ат ^

т=1

Замечание 10. Абсолютно такое же доказательство, какое приведено для, полиадических чисел, [8, Теорема 3, стр. 121], показывает, что отображение

Иш Z/mZ ИшZ/П(m)Z,

тт

т£Ы (Р')

заданное по правил,у (..., ат,...) м (..., аП(т),...) является, изоморфизмом.

1.2.3 Формулировки теорем о мерах, интегралах для полуполиадических чисел.

Так как Zп — компактная топологическая группа, то на ней существует инвариантная относительно сложения мера Хаара, которую мы будем обозначать, как и в случае полиадических чисел, через ц.

Теперь мы определим отображение к : Zп м [0,1] аналогично тому, как это

Ж

сделано в [8]. Пусть х Є Zп представлен в виде ряда х = Е атП(т), тогда

т=1

ж ~

к(х) = Е

т=1 П(т + 1)

Теорема 4. Введенное отображение обладает следующими свойствами:

1. h сюръективно;

2. Точки из множества [0,1] \ Q имеют единственный прообраз;

3. У точек из [0,1] П Q существует ровно два прообраза;

4- Ограничение отображения h на множесmeo Zп \ Q является гомеомор-

физмом.

Как следствие, отображение h индуцирует изоморфизм, а-алгебр измеримых

h

на Zп переходит в меру Лебега ц на отрезке [0,1].

Теорема 5. Обозначим через Xil,i2,..,ik подмножество чисел из Zn, у которых соответствующие коэффициенты ряда, (4) с ном,ерам,и i1,i2, ■ ■ ■ ,ik фиксированы. Тогда

п(х > - n(ii> . . П(г*> (5,

,{х""....ik > n(ii + i> ••• n(ik + 1)'

Так как на Zn введена мера, то для любой измеримой вещественнозначной функции определено понятие интеграла Лебега и можно рассматривать интегрируемые по Лебегу функции.

Теорема 6. При отображении h : Zп ^ [0,1] интегрируемая вещественнозначная функция переходит в интегрируемую

f Є Li[0,1] ^ f о h Є Li(Zn)

и интегралы, от этих функций равны,

í fd^ = í f о hdn.

[о Д] Zn

Теорема 7. Пусть f (x) — ограниченная, почти всюду непрерывная на Zn вещественнозначная функция. Тогда

1 W

/ fdn - vJiüL N £ f (i>

X i=1

Теорема 7 означает, что множество натуральных чисел также равномерно распределено в кольце полуполиадических чисел.

П

2 Доказательства

Этот раздел посвящен доказательствам основных утверждений. Вначале мы докажем вспомогательные технические леммы, а потом приступим к доказательству основных теорем.

Доказательство леммы 1. Так как данная метрика инвариантна относительно сдвига, то достаточно показать, что базы окрестностей нуля для двух топологий совпадают.

Пусть т Е М(Р') - произвольное число, нам надо показать, что найдется такое е > 0 что Бе С тЪ, где Бе - шар радиуса е с центром в нуле. Для любого т

(“)

\т/

Тогда

а \ 1

min I — = —.

x</mL\ Ш/ m

.и 2тт

к е М (Р')

Следовательно, если р(а, 0) < е, то а Е тЪ.

е

что найдется т Е М(Р') с условием тЪ С Бе. Так как (х) ^ 1/2, то для е

найдется такое т0, что

у — (а) <е.

^ 2т \т/

те М (Р')

m>mo

Положим

n = ]^[ m

m&M (P') m^mo

тогда из условия а Е nZ следует, ч то а Е mZ для вс ex m Е M (P') с условием m ^ Шо; а значит (а/m) = 0 и следовательно

р(а 0)= Е 2m (mb'

me M (P') m>mo

что и требовалось доказать. □

1

Теперь мы собираемся обсудить некоторые особенности меры Хаара и исследовать более детально ее связь с мерой Лебега. Введем дополнительный объект - функцию

d(m) : N ^ M(P')

по следующему правилу: если

m — pai Ра2 . Г)в1 Пв1

m Pii pi2 ■ ■ ■ Pis Pjl ■ ■ ■ Pjl 1

где pil ,pi2, ■ ■ ■ G P', и Pj1 ,pj2, ■ ■ ■ G P \ P', то d(m) — pap"2 ■ ■ ■ P^ , то есть это множитель, состоящий только из выбранных в P' простых чисел.

Идеал кольца Zп, порожденный его элементами m1}m2, ■ ■ ■ ,mn, обозначим через

(mi,m2, ■ ■ ■ ,mn)■

Замечание 11. Так как в кольце Zп любой простой p G P \ P' обратим, то любой идеал, кольца Zп, порожденный целыми числами m1,m2, ■ ■ ■, mn, совпадает с идеалом,, порожденным d(m1), d(m2), ■ ■ ■, d(mn).

m G Z

d(m)-1 Л

U г + (m)■

Более того, для любого a G Zп, мера множества а + (m) равна,

¿(т)

Доказательство. Следует непосредственно из определения меры Хаара и факта, что Ъп/тЪп — Ъ/тЪ. □

Следующие утверждения являются непосредственными следствиями доказанной леммы.

Следствие 1. Пусть т,п Е Ъ, а, в Е Ъп. Тогда

0,если а — в G (m, n); ц[а + (n) П в + (m)} — ^ i

HOK(d(n),d(m)) 'm‘“a — в G (m'n)'

Следствие 2. Пусть т,п є Ъ, а, в є Ъп, причем НОД(ш,и) = 1. Тогда і {а + (п) П в + (ш)} =

^(п)^(ш)

Следствие 3. Пусть т є Ъ, а М — произвольное измеримое подмножество Ъп. Тогда

1{тМ} = ¿)ММ >■

Предложение 1. Обозначим, ¿і = ¿(п). Пусть пі є Ъ, причем, (пі,п^) = 1

для всех і,^^ ^^^^ь число а є Ъп. Тогда

й(т) й(т) к-1 1 ^т)

і{ и ак + (пк)} = £ - П(1 - ^) = 1 - п <! - ¿к)•

к=1 к=1 к і=1 і к=1 к

Доказательство теоремы 5. Пусть полуполиадическое число представлено в

Ж

виде ряда Е атП(т). Согласно лемме 2, кольцо полуполиадических чисел,

т=1

можно представить в виде

(П(т) —1

и* + (П(т))

и для любого а Е Ъп мера множества а + (П(т)) равна ——-. Множество

П(т)

(П(т)) — это ряды вида

0 + ... + 0 + атП(т) + ат+1 П(т + 1) + ....

ат

П(т — 1)

———-—. Так как коэффициенты независимы, мы получаем искомую форму-П(т)

лу (5) для фиксированных коэффициентов а^,... ,агк. □

Доказательство теоремы 6. Так как при отображении к измеримые множества переходят в измеримые, то измеримые функции на Ъп будут переходить в измеримые функции на отрезке [0,1]. Пусть 1Е — индикатор произвольного измеримого подмножества Е С [0,1]. Тогда

ІЕ ◦ к = 1н-1(Б)

и поэтому интегралы от индикаторов измеримых подмножеств сохраняются:

/ 1е = ц(Е) = п(Н-1(Е)) = 4-1(Ё)ф,

[о,1] 2п

значит интегралы равны и для ступенчатых функций. Теперь, представляя нашу функцию как / = /+ — /— где /+ = шах(/, 0), а /- = шах(—/, 0), можно считать, что / положительна. Для любой положительной измеримой функции /

/

руема / о Ни при этом их интегралы равны. □

Доказательство теоремы 7. Согласно теореме 4 пункт (4) для любой функции / на Zп существует функция д на [0,1] такая, что / = д о Н почти всюду. Более того, д интегрируемая по Лебегу функция тогда и только тогда, когда / такова

д

непрерывна на отрезке [0,1] и ограничена, а значит является интегрируемой по Риману и интегралы Лебега и Римана для нее совпадают.

Теперь заметим, что выражение

1 м 1 м

/ №) = кИ д(ВД)

к=1 к=1

д

ке [0,1^. А так как фун кция д интегрируема по Риману, то ее предел равен интегралу функции д то отрезку [0,1], что и требовалось доказать. □

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.Г. Чирскому за постановку задачи и внимание к работе. Автор выражает благодарность своему другу Д.В. Трушину за интерес и плодотворное обсуждение материалов статьи.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Hensel K. Theorie der algebraischen Zahlen. Teubner. Leipzig. 1908.

[2] Mahler K. Introduction to p-adic numbers and their functions. Cambridge University press. 1973.

[3] Prüfer H. Neue Begründung der algebraischen Zahlentheorie // Math. Ann. 1925. N 94, p. 198-243.

[4] Neumann J., von. Zur Prüferschen Theorie der idealen Zahlen // Acta Litt. Sei. Szeged, 1926, N 2, p. 193-227.

[5] Van Dantzig M.D. Nombres universels v!-adiques avec une introduction sur l’algebre topologique // Ann. Sei. de PEcole Norm. Sup., N 53, 1936, p. 275307.

[6] Новоселов E.В. Введение в полиадический анализ: Учебное пособие по спецкурсу. Петрозаводск. 1982.

[7] Новоселов Е.В. Об интегрировании на одном бикомпактном кольце и его приложениях к теории чисел // Изв. высших учеб. заведений. Математика. 1961. № 3 (22), с. 66-79

[8] Новоселов Е.В. О некоторых топологических свойствах натуральных чисел // Изв. высших учеб. заведений. Математика. 1961. 3Tä 1 (20), с. 119-129

[9] Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. Москва. «Наука». 1971.

[10] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. Москва. "Мир". 1972.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. Поступило 22.12.09