CC BY
20
Е.И.Седых
О неголономных конгруенциях W в неголономном комплексе пространств постоянной кривизны
В соответствии с [1] совокупность регулюсов, удовлетворяющих уравнению Пфаффа (в общем случае не вполне интегрируемому)
а со j3 + Ь со I + с со ¿ + е со 02 = 0 (1)
называется неголономным комплексом прямых,
Построение канонического репера неголономного комплекса в первой дифференциальной окрестности можно провести так же, как это сделано в [3] для голономных комплексов пространств постоянной кривизны Se . Его деривационные формулы имеют вид
dA0 = со\Ах + асо\А2 + со\Аъ, dAx = -е<о оА0 + со2 А2 - &\АЪ> dA2 - -еасо\А0 - со2А1 - со2А3, dA3 = -seo ¡ A0 + со з А1 + со 2 А2,
где е - кривизна пространства; а - кривизна комплекса, причем еа2 -1^0. Уравнение произвольного неголономного комплекса (1) в этом репере имеет вид
со I = а со \ .
Все формы Пфаффа, фигурирующие в деривационных формулах, можно выразить через базисные формы col0, со\, со\, C0q, col ~асо\ s9 следующим образом:
со2 - еасо\ - Асо\ + В co¡ + С со] + уО,
da - Есо\ + Fco\ + Gco\ + (3)
а со2 - соо =Hcol0 + Ксо\ + Р со2ъ + рб. В [3] получены вычислительные формулы для инвариантов регулюса комплекса. Так, например, . л 2 со з (еа со ¿ + со ; )
tg 2(р г = --i 2 -i 2 -ГГ ■ (4)
(1 - еа )со з -со 3 + eco
mds = со2 + d(pг , (5)
где 5 - инвариантный параметр регулюса [2]; срг - угол между плоскостью {Д } и горловой касательной плоскостью
т - косина, Отношениями базисных форм
'1:0:0 при е = 0, со\ : со\ : со] = < ± 1:0:1 при е = 1, (6)
1: ±1 :а при£ = -1 выделены цилиндры комплекса, Уравнение торсов комплекса имеет вид
а со ]2 - со\со I = 0 . (7)
Геометрически канонический репер комплекса охарактеризован так. Вершина А0 помещена в центре луча
X = /'(г)А0 + /(г)А3, который определен как фокус луча торса, касательная плоскость которого является бис-сектральной между касательными плоскостями цилиндров в фокусе указанного торса:
r-TI . . .. ¡®¡ Механика и машиностроение ■
f(r) =
sin г при £ = 1, Г При 8 = O, sh г при e - -1.
Так как в евклидовом пространстве S0 цилиндры совпадают, то касательная плоскость торса ортогональна касательной плоскости цилиндра в фокусе этого торса, В пространстве Римана S, луч имеет два центра, с которыми совмещены вершины репера А0 и Аъ. Векторы Л3,Л1, А2 являются направляющими векторами луча комплекса, нормали и бинормали в центре этого луча.
Условия голономности комплекса, определяемого уравнением (2), вытекают из условия D(cú\ -асо\) = О (mod&>o -асо\ = 0) и имеют вид
L = В - Е = 0, М = С-Н = 0, N = G- К = 0.
(8)
Инфлекционкые центры луча
Инфлекционный центр луча неголономного комплекса есть особая точка, являющаяся фокусом торса, выродившегося в плоскость.
Если точка X - /'(г)А0 4- /(г)А3 является фокусом торса (7) неголономного комплекса, то её координаты удовлетворяют условию
/(г) a)¡ асо\
со
Сй\
(9)
/»
Если для того же торса точка X - особая, то
со] + dr = 0. (10)
Торс неголономного комплекса будет являться плоскостью, если т- 0. С учетом (9) выражение (4) можно записать в виде
1 2 еа/(г)Г(г)
Дифференцируя последнее соотношение, получим
¿срг = \adr-¡{г)Г{г)йа\. {/2(г) + а2/'2(г)}. С учётом (9) и (10) условие (5) примет вид
(со] -еасо\)
т
/V)
т
f\r)
da + а(асо] - со]) = 0.
Заменяя формы со] -sacoЦ, da, асо\ -со\ их значениями по формулам (3), имеем
т2
(а4+М+с4)
fir)
fir)
~(Е4 +Fúi +а(Н4 +Щ +рф=0.
fir)
Поделив каждый член этого выражения на со\ Ф 0 и воспользовавшись равенствами (9) и (10), получим уравнение четвертой степени
А
№ f\r)
-(В + Е)
т f ir).
+ (F + aC + aH)
fir) Г ir)
- a(G + К) + a2P = 0,
fir)
определяющее координаты инфлекционных центров луча неголономного комплекса.
(П)
Принадлежащая неголономному комплексу конгруенция, у которой оба фокуса являются ифлекционными центрами, называется неголономной конгруенцией }¥ второго рода [4].
О неголономных конгруенциях Ж первого рода
Неголономной конгруенцией Ж первого рода в неголономном комплексе называется такая неголономная конгруенция, у которой асимптотические линии в совокупности фокусных линий соответствуют друг другу [4].
Теорема. В общем случае неголономный комплекс пространства постоянной кривизны для каждого луча имеет
бесчисленное множество неголономных конгруенций Ж первого рода. Неголономный комплекс прямых, имеющий конечное число (в общем случае - шесть) неголономных конгруенций IV первого рода, существует и определяется с произволом в одну функцию четырех аргументов. Доказательство. Пусть точки
^=/,'(гН+/,(гЙ, »7 = 1,2,
являются фокусами некоторой неголономной нецилиндрической конгруенции
со0 = асо3 + Ра>'ъ
(12) (13)
Координаты фокусов ^ удовлетворяют уравнению
Отсюда имеем
т
+
Ж +аЖ..а/3 = о. Г\г)\ /V)
№ №
Пг)
= -а,
/'(г)
Яг)
-ар,
Дифференцируя (12) и используя (2), (13), получаем
4 Ч^ЛМ-*/2(>>о}Л АаЛЫ +/гЫИ —
И 7м"
14
~№
Ь 70)
Г (г)
Д +а2\+{С^/2(Г)+оу1/;(Г)}Аг
(14)
(15)
Уравнения асимптотических линий в совокупностях фокусных кривых, которые обозначим у/х (1?), находим из
условия
Для асимптотических линий из у/\ ) получаем
асоъ +
т
х <
./'(г) /00
а>\ ><
[./'00 ]
+ а( 1 +
а
т 7о)
Пг)
+ (! + £■
т
Пг)
)®о
асог +
т /'00
со:
К
с!а
а
/О) /'О)
(16)
= 0,
для асимптотических линий из у/х (Р2) имеем
асоъ +
х <
с1
№ /'(г)
т
со\ н
й
Г(г)
+ а( 1 +
л
а
Яг)
.Г (Г).
" т
Пг)
+ (! + £■
м2
с1а а
Яг) Пг)
Яг)
Пг)
асо2 +
т
Пг)
со, >х
(17)
0.
Выражая форму с!
а
Ж
ЯгУ Пг)
через базисные, положим
= а со\ + Ь со] (шос1шо - асо\, со]0 - аео\ - Рсо\).
Используя (2), (3) ,(13), (18), уравнения (16) и (17) запишем в следующем виде:
Ухсох3 + У2со\со\ + У3си32 = 0,
Ххсох3 + Хгсо\со\ + Хъ(о з2 = О,
где
У, = + X, = ~(Аа + В) У2=~(Ар + С)
Яг)
./'(г)
/м"
/'(г)
/(О /V).
/(г)
Г(Г)
+ {Аар + (В + Е)Р + С} Яг)
- аа Н - аК + а(а1 - а2);
- ааН - аАГ - а(51 - а2);
-Р(аН + Е)-аР-ЕаР + аф2-Ъх) + а1
Х2=-(АР+С)
Яг)
/V)
- р(аН + Е)-аР~ Еар - а(Ь2-Ь])-а1
/\г)
+ {АссР + (В + Е)Р + 0} /(г)
/\г)
Яг) ./'00.
- я2 " /(Г)
-(На + К)
2
т
Г(г)
- (На + К)
Яг)
Яг)
/'(Г)
т
/'(Г)
/'(г)
73 =р(Ар + С)
Хг=р{Ар + С)
т 7ю
/V)
- (Я/? + Р)
(Нр + Р)
Яг)
/'(г)
' т /'(г).
-Е/З2-в/З + Ь
ь. Яг) + ъ. №
и'(г)\ 1 и'\г)\
' Яг)' -Ьл " Яг) 1
и"{г)\ 1
Соответствие асимптотических линий (19) и (20) имеет место при условии
г,
7,
У.
X
X
которое в силу (15) и (3) приводится к виду
е.
Хх X
X
где
й =У{ +Хх --¡Аа3 +ЪарА+(В+Е)а2 +2арВ+(2аН+Р)а+2аК}\
е2 =у2 +х2=
=- ^а2 Л+(Я+(С - Я)а2 + (О - +2л/?2 .Л++я (С+Я)]/?+2аР)\
дз =У3 +Х3 =-р{арА+(С-11)а+2рЕ+20}+аР. Из (23), используя обозначения (8), находим
- 2дх + д2а + 2(303 + + ^аРХ-Ь/З + Ма + Щ = 0.
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Соотношения (22) дают систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно Имеем
т
Г(г)}
и
т
Поскольку в систему (25) существенно входят частные производные от неизвестных
т
Г(г)
т
Г(г)
(25)
, то в
общем случае эта система относительно
т ло
№ Г(г)
, а следовательно, относительно а и Р имеет
(26)
бесчисленное множество решений. Пользуясь равенством (2.4), систему (25) перепишем в виде |2Й(аХ3 - рХх)+ад2Х, = Хх(а2 + 4ар)(ьр -Ма~
Исследуем, при каких условиях система (26) имеет конечное множество решений. Так как выражения ()х и не зависят от частных производных, то система (26) имеет конечное множестве решений только при выполнении усло-
вия
(а2 + 4ар\ьр - Ма - М)= 0. (27)
Поэтому при а2 +4ар Ф 0 (для параболической неголономной конгруенции задача теряет смысл) систему (26), (27) можно записать в виде
'2& (оХ3-рХх) + сса2Х1= 0,
<<2хХ1-(21Хх=^ (28)
Ьр - Мое - N = 0.
В общем случае эта система содержит три уравнения относительно двух неизвестных
" №' " Яг)'
и'{г)\ ! 1
(29)
не имеет решений.
Рассмотрим некоторые естественно возникающие частные случаи.
I. Пусть Ь = В - Е = 0, М = С ~ Н = 0 , N ^ О - К = 0,т. е. в силу (8) комплекс - голономный. Тогда имеется шесть неголономных конгруенций 1У, которые будут обладать свойствами неголономных конгруенций первого и второго рода.
II. Пусть М = С- Н ~ 0, N = К = 0, р - 0. В этом случае Q2 = -2 аР . Поэтому система (28) примет вид
1&Х3 -аРАГ, =0, [0^2-2аРХх -0.
Если Хх - 0, то из (29) следует, что й = 0 (так как в силу (21) не может быть Хх = Х2 - Х3 =0). Тогда из (23) имеем ¥х =0, и в силу (21) получим У2Х3 ~Х2У3 =0. Полученная система трех независимых уравнений Ух = Хх = У2Х3 -Х2У3 = 0 с одним неизвестным не имеет решений.
Если 2аХ3 + аХ2 = 0, то система 2аХ3 + аХ2 =<2хХ2 -Q2Xx =0 является системой двух независимых уравнений с одним неизвестным, которая в общем случае также не имеет решений.
Если же Р = 0 и Ф 0, то из системы (29) получим Р = Х2 = Х3 - 0, что накладывает два условия на одно неизвестное.
Если же Хх(2аХ3 + оХ2)ф 0, то из (21) и (27) получим совместную относительно а систему
(ЮХ = Ла3 + (В + Е)а2 + (2аН + Е)а + 2аК = 0,
Условие Р = 0 означает в силу (11) совпадение центра луча комплекса (2) с одним из инспекционных центров. Уравнение (13) неголономной конгруенции неголономного комплекса в силу ¡5- О примет вид
colQ ~ а(°\ • (50)
где а является корнем уравнения Qx- 0. Координаты фокусов этой конгруенции в силу (14) и (5 — 0 имеют значения
т
= 0,
т
= -а.
(31)
fir) fir)
Тогда в силу М = С — Н = О, N = G - К = 0 и (31) уравнение Ql = 0 для определения а совпадает с уравнением для определения инфлекционных центров
fir) fir)
(В + Е)
fir) fir)
+ (2яЯ + F)
/(О
fir)
2aK = Q
неголономного комплекса, заданного условиями М - Ь - 0. Итак, если неголономный комплекс (2) определяется системой
со
saco] - Асо\ + Всо\ + Нсо\ + ув,
(32)
da = £¿y0 + Fco3 + Ксо3 + асо\ -со] - На>1 + Ксо\ + Рсо] + рв,
то фокусы неголономной конгруенции (30) совпадают с инфлекционными центрами неголономного комплекса; у рассматриваемого неголономного комплекса в общем случае имеется шесть неголономных конгруенций W первого рода, которые одновременно являются неголономными конгруенциями W второго рода. Дифференцируя (32) внешним образом, находим систему основных дифференциальных уравнений
[dy,e]+ [dA,col0] + [dB,co¡] + [dH ,co¡] =
= U] [всо l ]+ U2 [всо \ ]+ U3 [Ocd] ]+ UA [©>] ]+ U5 [col0co23 ]+ U6 [co¡a>¡ ] i [dz,0]+ [dE9al0]+ [dF,co¡] + [dK ,a>¡] =
= R, [всо l ]+ R2 [eco l ]+ R3 [eco 3 ]+ R4 [co]0co¡ ] + Rs [col0co23 ] + R6 [co¡co23 ] ; [dp90]+ [dH,co[0]+ [dK,co¡]+ [dP ,co¡ ] = = rx[ecol]+ т2[ecol]+ т3[eco2]+ г4[©>]]+ т5[a>X]+ r6[a>>2].
Система (33) является стандартной [4]. Старший характер S4 Ф 0, S4=l и произвол существования рассматриваемого класса неголономных комплексов равен одной функции четырех аргументов.
III. При В - Е - 0, N = G ~ К = 0, а - 0 неголономный комплекс (2) определяется системой
(33)
со:
- sacoI - A col + + ссоъ +
da - Есо0 + Fco3 + Ксо3 +
acof - со] ~ На>\ + Ксо\ + Рсо\ + рв.
(34)
Дифференцируя (34) внешним образом, получим систему основных дифференциальных уравнений
[dy,e]+[dA,col}+ [dE, ф\ )+[dC, &2 ] = ¿71 [всо1, ]+02[во)\ + Ü3 [всог3]+ U А [со10со1 ]+ Ü5 [col0co23]+Ü6 [co¡co23 ]
dK,co23] = Rx [всо
Л, J
CÚkCO-X
0^3 J
[dz,e]+[dE,a)l]-¥[dF,a>l\-+ R3[eco23]+R [dp, e] + [dH, col]+[dK,oo\]+ [dP, со2 ] = Tl [e&l + f2 [0G>l]+ f3 [eco¡]+ f4 [o)l0co23]+T5 [ala
+ R-
+ R,
ва>\\
coico?
f6[ú)¡co¡],
(35)
где, например,
Ü5 = у(Н - С) - {е(В + Е)(аС -Р) + В(А - еаН) - еК(аА - Н)} :(\-еа2); R, = -ху + {Е(А - еаН) + eF(ay - р) - еК(аА - Н)}: (1 ~ so1); R4 = {(1 + еа1 )(АК + EH) - 2а(еНК + АЕ) - sF(aE -£)}:( 1 - б а1); Т3=\ + р2+ {z(C - еаР) - К(у - еар) + Н(С - еаР) + ¿Р(аС - Р)}: (1 - ¿>а2); Т6 = {F(C - шР) - 2£(£ - ШАГ) - (1 + еа2 )(Я2 + СР) + 2а(СЯ - <еР2 )}: (1 - ¿га2). Система (35) является стандартной [4]. Старший характер S4 = 1. Произвол существования рассматриваемого класса неголономных комплексов равен одной функции четырех аргументов. Теорема полностью доказана.
Библиографический список
1. Кованцов Н.И. К теории неголономных комплексов / Н.И.Кованцов II Доклады 2-й Сибирской конференции по математике и механике. - Томск, 1972. - С.83-87.
2. Машанов В,И. Линейчатые поверхности конгруенции прямых пространства постоянной кривизны / В,И, Машанов // Сибирский мат. журн. - 1965. - Т. 4, № 1. - С.149-164.
3. Машанов В,И, Общая теория комплексов пространств постоянной кривизны / В.И,Машанов, Т.И.Тулюпа II Тр. ИГУ им, A.A.Жданова, - Иркутск, 1968, - Т. 66. - С.137-155,
4. Щербаков Р.Н. Эквиаффинная геометрия неголономного комплекса / Р.Н.Щербаков II Материалы итоговой научной конференции по математике и механике за 1970 год, - Томск, 1970. - С.185-187.
