Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве 01s3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

01 о1

ве S 3

УДК 512.81

doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-9-15

© В. Б. Цыренова

Комплексы в трехмерном квазигиперболическом

01 1

пространстве S3

В данной работе построен канонический репер комплекса, который геометрически характеризуется тем, что в нормальной корреляции точкам А0 и А1 (центрам луча комплекса) соответствуют плоскости (А0 А1А2)

и (А0 А1А3), полярно сопряженные относительно абсолюта и пересекающие абсолютную прямую в точках А2 и А3. Доказана теорема существования; дана геометрическая характеристика инвариантов комплекса с использованием трех простейших линейчатых поверхностей (центральной поверхности и двух центральных торсов), принадлежащих комплексу; получены две основные квадратичные формы комплекса; линейчатые поверхности, сопряженные относительно первой квадратичной формы, характеризуются гармонической сопряженностью их точек прикосновения; поверхности, сопряженные относительно второй квадратичной формы, геометрически характеризуются гармонической сопряженностью точек прикосновения одного из них с точками симметрии другого; получены уравнение инфлекционных центров образующей комплекса и условия, характеризующие линейный комплекс; найдены некоторые частные классы комплексов.

Ключевые слова: неевклидово пространство, квазигиперболическое пространство, абсолют, комплекс, репер, нормальная корреляция, инварианты.

© V.B. Tsyrenova Complexes in three-dimensional quasi-hyperbolic space 01S 3

In the article the canonical frame of a complex is constructed. This frame is geometrically characterized by the fact that in normal correlation the points A0

and Aj (centers of complex-ray) correspond to the planes (A0 Aj A2) and

(A0 Aj A3), which are polar conjugated with respect to the absolute and cross

absolute line to the points A2 and A3. The theorem of existence is proved. We

have given the geometric characteristics of the complex invariants using three simple ruled surfaces (central surface and two central torses) belonging to the complex.

Two main quadratic forms of the complex have been obtained. The ruled surfaces conjugated with respect to the first quadratic form are characterized by the harmonic conjugation of their adherent points. The surfaces conjugated with respect to the second quadratic form are characterized by the harmonic conjugation of the adherent points of one of them with the symmetry points of the other.

We have obtained the equation of inflectional centers of the complex generatrices, the conditions characterizing the linear complex, and found some special classes of the complexes.

Keywords: non-Euclidean space, quasi-hyperbolic space, absolute, complex, frame, normal correlation, invariants.

Введение

Ранее нами были изучены комплексы прямых в квазиэллиптическом пространстве S3 [2], а также в квазигиперболическом пространстве10 S3

[3]. В данной работе рассмотрены комплексы прямых в квазигиперболи-

01 1

ческом пространстве S3 .

1. Канонический репер комплекса в квазигиперболическом

01 1

пространстве S3. 1еорема существования.

Рассмотрим трехмерное проективное пространство 01S3, абсолют которого состоит из двух мнимых плоскостей и двух вещественных точек на прямой их пересечения.

Наиболее общий репер пространства 01S 3 можно выбрать так, чтобы абсолютные плоскости Q0 определялись уравнением:

(х0) + (х1) = 0, прямая T их пересечения уравнениями: x0 = x1 = 0, а

квадрика Qj уравнением: (х2) -(х3) = 0. Тогда деривационные фор-

01 1

мулы подвижного репера пространства S3 записываются в виде:

dA0 = ю0 A + С A2 + со 03 A3, dA1 = -C0 A0 + cof A2 + ю3 A3,

dA2 = с2 А3, dA3 = с2 А2.

Рассмотрим в этом пространстве комплекс, т.е. трехпараметрическое семейство прямых. Включим элемент в репер, то есть точки А0 и А1 репера совместим с какими-либо двумя точками образующей комплекса,

2323 2323

тогда получим ж0 = ж0 = ж1 = ж1 = 0 , т.е. формы с0 , с0,с1 ,ю1 становятся главными формами. Так как формы со■ линейно зависят от трех дифференциалов ёи1, ёи2, ёиъ, то исключение последних приведет к следующему основному соотношению ааС + /3®1 + у®С + &с3 = 0[1]. По-

01 о1

ве о 3

требуем, чтобы 0 и запишем основное соотношение в виде

ю12 = £ю02 + С®13 .

Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера комплекса получены в виде:

ёЛ0 = ®0 Л1 + ю02 Л2 + ю03 Л3, ёЛ1 = -ю0 А0 + ]а30 А2 + Л3,

ёЛ2 = ю2 Л3, ёЛ3 = ю2 Л2,

(1.1)

где

ю0 = £ ю0 + Т]1Ю0 + 41ю1 ,ю2 = £2Ю0 + Т2Ю0 + С2с1 •

Инварианту назовем кривизной комплекса + ]]2 ^ 0^. Построенный канонический репер геометрически характеризуется тем, что в нормальной корреляции точкам Л0 и Л1 (центрам луча комплекса)

соответствуют плоскости ( Л0 Л1Л2 ) и (Л0 Л1Л3), полярно сопряженные

относительно абсолюта, точки Л2 и Л3 суть точки пересечения

абсолютной

прямой с плоскостями ( Л0 Л1Л2 ) и (Л0 Л1Л3 ).

Условия вполнеинтегрируемости системы (1.1) дают следующую основную систему дифференциальных уравнений

ё]Л ю03 = (] -ТТ2)С02 Л ®03+(С1 - £2 -Т£1 -Т£2)С1 Л с13-

( Т 2 +ТТ1 )®0 Л Ю13,

л ю02 + ё]1 Л ю0 + ёС1 Л ю13 = ( - £ Т + ££ -Т1Т2 + + )®02 Л Ю03+ (1.2)

(-]£1 -]С2)С02 Л с13 +

( - £1£2 -Т12 - С12 - С1ТС2 + ^1ТС2)С03 Л С

ё£2 Л с02 + 2 Л с0+ Л с13=( - £2 Т £1 + £ Т2 + С2£1 + ^^

2 3 2 3

С0 Л С0 + (-Т2£1 Т 2С 2 ) С 0 Л С1 + (Т£2^1 - £2С2 -№ + С1С2 -ТС22)С03 Л С13.

Из первого уравнения получаем конечное соотношение

С = £2 + Т£1 + £ (1.3)

а само уравнение принимает вид

(ё]- (] ТТ2)с0 - (]+Т])®3) Л Ю03=0. (1.4)

В силу (1.3) второе уравнение будет содержать только два независимых дифференциала, а третье уравнение основной системы (1.2) останется общего вида. Так, система имеет стандартный вид [1] и произвол ее

решения равен одной функции трех аргументов. Теорема существования доказана.

Полная система инвариантов комплекса состоит из семи коэффициентов деривационных формул Л,^1,Л1,С1,^2,Л2,С2, связанных одним конечным соотношением (1.3). Из (1.2) и (1.4) следует, что

dЛ = ( Л: — ЛЛ2)© +^з®с3 + (Л2 +ЛЛ:)©3, (15)

где л3 — новая функция первичных параметров, также являющаяся инвариантом комплекса.

2. Геометрическая характеристика инвариантов комплекса

Геометрическое значение кривизны л получаем аналогично [2] в виде

1 -л2

СОБ§ =-—, где § — расстояние между псевдоцентрами М1 и М2

1 + л"

образующей комплекса.

Геометрические характеристики всех остальных инвариантов комплекса, входящих в деривационные формулы канонического репера, получим, рассматривая три простейших регулюса (центральный регулюс и два центральных торса) (см. [2]). Так инварианты ^ и суть радиус

кривизны — и произведение кручения k 2 и радиуса кривизны — ребра kl kl

возврата центрального торса ю32 = ©3 = 3.

Аналогично получаем, что инварианты Л1,Л,Л2 являются соответственно инвариантами р, р, q центрального эллиптического регулюса

ю32 = ю13 = 3, ©0 ^ 3, принадлежащего комплексу, а инварианты

1

являются соответственно радиусом кривизны —и произведением кручения k2 и радиуса кривизны — ребра возврата центрального торса,

(

©33 = © = 3,ю32 * 3 [2, с. 94].

принадлежащего комплексу, определяемого уравнениями

.3 „ 3 г\ „ 2

3.Касательный и соприкасающийся линейный комплексы. Две основные квадратичные формы комплекса

Найдем уравнение касательного линейного комплекса. Условие того, что линейный комплекс ^ РуЯу = 3 (р р — плюккеровы координаты прямой) содержит луч А3) А1 в терминах «плюккерова произведения»

Q *(А>А1) = 3; Q{qоl, qо2, qоз, ^ q2з, ?31>. (31)

31 1 ве о 3

(3.3)

Откуда следует, что q23 = 3. Чтобы получить остальные условия на коэффициенты qр, продифференцируем (3.1):

Q * К (АА) + ю03 (А3А1) + Л©33 (А)А) + ©13 (ЛА3)} = 3.

Отсюда получаем q03 = q12 = q02 +лq31 = 3. Один коэффициент q01 остается произвольным. Следовательно, получился пучок линейных комплексов. Уравнение его в каноническом репере имеет вид

qоl Р23— лqзl Р31 + qзl Р^ = 3 или, если обозначить q31 : q01 = А: /:

Хр23 — ^лР31 + /Р32 = (3.2)

Теперь будем искать линейный комплекс, касательный с комплексом в данном луче и соприкасающийся с некоторым регулюсом ю^ ю©, т.е. соприкасающийся линейный комплекс для регулюса комплекса. Для этого к условиям (3.1) и (3.2) присоединим условие

Q *{{с12 А3, А1) + 2(dA0, аЦ) + (А0, d2 А1)} = 3.

В терминах канонического репера получаем

ФА/ - 2АК ©13 — л(®33 )2 } +

/ {лю32ю| + лю©3 + «лН + юЮ + ю13ю23} = 3.

Отсюда следует, что для каждого регулюса ю© : а>1: ю13 можно найти единственное значение А: / из (3.3), т.е. в пучке (3.2) единственный соприкасающийся с ним линейный комплекс.

При и = 3 получаем торсы

Ф1 - ЮдЮ3 — л(©3 ) = 3 а при А = 3 получаем регулюсы

Ф 2 - люЮ3 + лю\юЮ + йл©3 + ю 2ю3 + ю3ю2 = 3, или в каноническом репере

Ф2 - (£ — л&Ж)2 +л3(ю3)2 + (л£ — ^Ж)2 +

+2 (л1 —лл2 Н2©3 +(л%1 — £ 2 Н©3 +(лл1 —л2 )ю33ю13.

Таким образом, мы ввели в рассмотрение две основные квадратичные формы Ф1 и Ф 2 теории комплексов. Геометрическое значение сопряженности регулюсов относительно второй квадратичной формы Ф 2 такое же, как и в 03, т.е. она характеризуется гармонической сопряженностью точек прикосновения одного из них с точками симметрии другого [2, с.96].

4. Инфлекционные центры

Найдем инфлекционные центры образующей. Пусть М=А0+А1 - некоторая точка образующей, тогда условия неподвижности точки М будут иметь вид:

С + г С + ёг = 0, ю02 + гцю\ = 0,ю03 + гю\ = 0. (А) Точке М в нормальной корреляции соответствует плоскость П = -гу( Л0 Л1Л2) + (Л0 Л1 Л3).Отсюда

ёП = -гую2П + (-ё(гт) + - г2]2ю^)(Л0Л1Л2) + (ю12 + г]ю13)(Л0 Л2 Л3) - (ю02 + гцю 03) (А1А2А3).

Условия неподвижности плоскости П получаются в виде

ю23 - ё (г]) - г 2уЮ23=0, ю02 + гтю03=0,ю03 + гю13 = 0. (В)

Вычитая из первого равенства (А) первое равенство (В) и учитывая второе и третье равенства (В), получаем следующее уравнение четвертой степени, определяющее инфлекционные центры образующей

г 4у(у2£2 - £1) + г3 (] (1 + т) - 2]]) + г 2(у2С2 - С -] -т(£ + £2)) +

г (Т1 (1 + т) + 2]2) - С - С = 0.

В общем случае этим уравнением определяется на каждой образующей четыре инфлекционных центра. Условия

Т(]Т2£2 - £1) = Т(1 + Т) - 2Т2Т2 = ТС2 - С1 -Т(£1 + £2) = ТТ1 (1+ Т) + = С + С = 0

характеризуют линейный комплекс.

5. Некоторые частные классы комплексов

1. Специальный комплекс, т.е. комплекс нулевой кривизны ]=0. Для этого комплекса главная корреляция вырождается и все связанные с ней понятия теряют смысл. Аналитическими следствиями уравнения Т] =0 являются соотношения С1 - £2 = 0,]1 = 0, Т]2 = 0, получающиеся из (1.2) и (1.3). Геометрически это означает, что центральный регулюс с 02 = с 13 = 0 вырождается в пучок прямых, лежащих в плоскости Л0 Л1Л3 с центром в точке Л1. Широта класса равна одной функции двух аргументов.

2. Класс ёТ] = 0, т.е. комплекс постоянной кривизны. Этот класс характеризуется тем, что точки симметрии гармонически делят центры луча [2]. Доказана теорема существования для этого класса. Так, комплексы постоянной кривизны существуют с произволом одной функции двух аргументов.

Далее можно провести классификацию комплексов по инфлекционным центрам.

01 о1

ве S 3

Заключение

Таким образом, нами рассмотрены комплексы прямых в трех неевкли-

1 10 1 01 1

довых пространствах S 3, S 3, S 3 с проективном метрикой, комплексы

11 1

прямых в пространстве S3 еще не изучены.

Литература

1. Щербаков Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1973. — 236 с.

2. Цыренова В. Б. Комплексы в трехмерном квазиэллиптическом пространстве // Геометр. сб., 25.— Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1985. — С.91-100.

3. Цыренова В. Б., Проскурякова И. В. Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. — 2011. — №1.— С. 92-94.

References

1. Shcherbakov R. N. Osnovy metoda vneshnikh form i lineichatoi different-sial'noi geometrii [Fundamentals of the Method of External Forms and Ruled Differential Geometry]. Tomsk: Tomsk State University Publ., 1973. 236 p.

2. Tsyrenova V. B. Kompleksy v trekhmernom kvaziellipticheskom pro-stranstve [Complexes in Three-Dimensional Quasi-Elliptic Space]. Geometri-cheskii sbornik- Geometric Collection. 1985. No. 25. Pp. 91-100.

3. Tsyrenova V. B., Proskuryakova I. V. Kompleksy v trekhmernom kvazi-giperbolicheskom prostranstve [Complexes in Three-Dimensional Quasi-Hyperbolic Space]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Ma-tematika, informatika - Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Informatics. 2011. No. 1. Pp. 92-94.

Цыренова Валентина Бабасановна, кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры геометрии и методики преподавания математики Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected]

Valentina B. Tsyrenova, PhD in Physics and Mathematics, DSc in Pedagogy, Professor, Department of Geometry and Methods of Teaching Mathematics, Buryat State University.