CC BY
14
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
Том 23, № 122
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-210-215 УДК 517.988.63, 512.562
О НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С РЕФЛЕКСИВНЫМ БИНАРНЫМ ОТНОШЕНИЕМ
© С. Бенараб, Е. С. Жуковский
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 El-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация. Понятие упорядоченного накрывания распространяется на отображения. действующие из упорядоченного пространства X в пространство Y с рефлексивным бинарным отношением. Получено утверждение о существовании решения х £ X уравнения Т(ж, ж) = у, где у € Y, отображение Т : X2 —У Y по одному из аргументов является накрывающим, а по другому — антитонным. Приведен пример конкретного уравнения, удовлетворяющего предположениям доказанного утверждения, к которому не применимы известные результаты, так как Y не является упорядоченным пространством.
Ключевые слова: упорядоченное пространство; рефлексивное бинарное отношение; накрывающее отображение; антитонное отображение; разрешимость операторного уравнения
Введение
Понятие накрывания отображений, действующих в упорядоченных пространствах, определено в работах [1|, [2] в связи с исследованием точек совпадения. На основе этого понятия в [3], [4] получены условия разрешимости операторных отображений в упорядоченных пространствах и эти результаты использованы для распространения теоремы Чаплыгина о неравенстве на неявные дифференциальные и интегральные уравнения. Нами в [5] было замечено, что в утверждениях о точках совпадения отображений X —> Y бинарное отношение на множестве Y не обязано быть порядком. Здесь мы предлагаем аналог утверждений [3], [4] о разрешимости операторных уравнений, в котором также ослабляем требования к бинарному отношению на множестве У; предполагается только его рефлексивность.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-41-680975, № 17-01-00553, № 16-01-00386).
1. Основные понятия
Пусть задано частично упорядоченное пространство X = (X, -<х). Для элементов х',х £ X, удовлетворяющих этому отношению, наряду с обозначением х'^хх используем также обозначение хУх х'. Если х'^ х и х' = х, пишем х'-<х х или хУх х'. Для элементов п,ь £ X определим множества
Ох (и) = {х £ X : х<х и}, [и,и]х = {х £ X : V х < и}.
Заметим, что [V,и]х = 0 тогда и только тогда, когда V ^ и.
Пусть также задано непустое множество У, на котором определено бинарное отношение ^, являющееся рефлексивным (то есть для любого у £ У выполнено у). Отношение ^ не предполагается ни антисимметричным, ни транзитивным. В пространстве У также пользуемся равносильными обозначениями у'^у & уУу у' и
у' = y, у'у & у'<уу & уУуу'.
Определение 1. Отображение f : X ^ У называем антитопным на множестве и С X, если для любых х1,х2 £ и таких, что х1Ухх2, выполнено
f (х1)<у f (х2).
Определение 2. Отображение f : X ^ У называем (упорядоченно) накрывающим множество Ш С У, если
Ухо £ X Уу £ Ш у<у f (хо) ^ Зх £ X f (х) = у и х^ххо.
Пусть заданы: отображение Ф : X2 ^ У, элементы у £ У, х0 £ X. Определим совокупность Б(х0, Ф,у) всех таких цепей Б С X, что
Ух £ Б Ф(х,х) Уу у, Ух1,х2 £ Б х2<хх1 ^ Ф(х2,х1)^гу.
Рассмотрим уравнение
Ф(х,х) = у. (1)
Теорема 1. Пусть для некоторого элемента х0 £ X имеет место неравенство Ф(х0,х0) у и выполнены следующие условия:
(a) Для любого х £ Ох(х0) отображение Ф(-,х) : X ^ У является накрывающим множество Ш = {у}.
(b) Для любого х £ Ох(х0) отображение Ф(х, •) : X ^ У является антитонным на множестве [х,х0].
(c) Для любой цепи Б С Б(х0, Ф,у) существует элемент и £ X такой, что
Ух £ Б и <х х, Ф(и,и) у. Тогда существует решение £ £ Ох (х0) уравнения (1).
212
С. Бенараб, Е. С. Жуковский
Доказательство. Определим множество
U = {х £ Ох(х0) : Ф(х,х) Уу у}.
Это множество не пусто, так как х0 £ и. Определим на и порядок <, полагая
и2 < и1 & и2 — и1 и Ф(и2, и1) <у у.
Покажем что отношение < является порядком. Свойства антисимметричности и рефлексивности очевидны. Проверим свойство транзитивности. Пусть и3 < и2 < и1. Тогда и3 — и2 — и1 и Ф(и3,и2) -<у у. Из условия (Ь) следует, что Ф(и3,и1) у; таким образом и3 < и1.
Согласно принципу максимума Хаусдорфа существует максимальная цепь (относительно порядка < ) Б С и, а в силу предположения (с) у этой цепи (уже относительно порядка ^ ) существует точная нижняя граница Покажем, что £ является решением уравнения (1). Для этого элемента выполнено
Ф(£,£) У, У, Ух £ Б £ <х х.
В силу предположения (а) существует элемент а ^ £ такой, что Ф(а, £) = у. Из этого равенства, в силу предположения (Ь) выполнено
Ф(а,а) Уу у, Ух £ Б Ф(а,х) ^у у.
Полученные неравенства означают, что а £ и и а < х при любом х £ Б. Так как цепь Б максимальная, должно выполняться включение а £ Б. Элемент £ является нижней границей этой цепи, поэтому £ Ух а. В то же время, по построению, £ ^ а. Итак £ = а, и поэтому Ф(£,£) = у. □
Приведем пример отображения, удовлетворяющего условиям теоремы 1, со значениями во множестве, на котором определено бинарное отношение, не являющееся порядком. В этой ситуации результаты работ [1]-[4] применять нельзя.
Пример 1. Определим множество X = {ш,х1,и1,х2,и2,...}, на котором зададим частичный порядок, полагая для натуральных г < ] выполненными неравенства х%Ухх,Ухш, иУхи,Ухш, а элементы Xi,Uj при любых г,] полагаем несравнимыми. Далее, определим множество У = {г,у1,у2,у3} и на нем зададим бинарное отношение
у1Ууу2, у2УуУз, узУууъ гУуz, уууу^ уууz, г = 1, 2, 3.
Это отношение не обладает свойством транзитивности (так как у1Ууу2, у2Ууу3, но у1Уу у3 ), таким образом, множество У не является упорядоченным.
Определим отображение Ф : X2 ^ У следующим образом. Каждому натуральному г поставим в соответствие г(г) £ {1, 2, 3} так, что г = г (г) (шоё3). При всех натуральных г и произвольном элементе х £ X полагаем
Ф(х^х) = уф), Ф(щ,х) = уф), Ф(ш,х) = г.
Для определенного такими соотношениями отображения рассмотрим уравнение (1) с любой правой частью y £ Y. Для проверки условий теоремы 1 необходимо по элементу у £ Y определить x0 £ X так, чтобы Ф(жо,Жо) у. Если у = у1, то в качестве x0 можно выбрать x3, так как Ф(хз,хз) = у3 У у\. Аналогично, для у = у2, можно в качестве х0 выбрать xi; для у = у3, следует принять x2; а для у = z — любое Xi. Далее, для уравнения (1) с определенным здесь отображением Ф легко проверяются условия теоремы 1, уравнение, очевидно, имеет решение во множестве Ox(x0).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. Vol. 179. № 1. P. 13-33.
2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.
3. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1610-1627.
4. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30. № 1. С. 96-127.
5. Бенараб С., Жуковский Е.С. Об условиях существования точек совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. Вып. 121. С. 10-16.
Поступила в редакцию 27 марта 2018 г.
Прошла рецензирование 26 апреля 2018 г.
Принята в печать 5 июня 2018 г.
Конфликт интересов отсутствует.
Бенараб Сарра, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: [email protected]
Для цитирования: Бенараб С., Жуковский Е.С. О накрывающих отображениях со значениями в пространстве с рефлексивным бинарным отношением // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 210-215. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-210-215
214
C. BeHapaS, E. C. JKvkobckhh
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-210-215
ABOUT COVERING MAPPINGS WITH VALUES IN THE SPACE WITH A REFLEXIVE BINARY RELATION
S. Benarab, E. S. Zhukovskiy
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. The concept of orderly covers extend to mappings acting from an ordered space X into space Y with a reflexive binary relation. An assertion is obtained about the existence of a solution x £ X of the equation T(a:, a:) = y, where y £ Y, the mapping T : X2 —} Y one by one from the arguments is a covering, and on the other — antitone. An example of a concrete an equation satisfying the assumptions of the proved assertion, to which are not applicable known results, since Y is not an ordered space.
Keywords: ordered space; reflexive binary relation;covering mapping; antitone mapping; solvability of the operator equation
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces. Topology and its Applications, 2015, vol. 179, no. 1, pp. 13-33.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkakh sovpadeniya otobrazheniy v chastichno uporyadochennykh prostranstvakh [On the points of coincidence of maps in partially ordered spaces]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2013, vol. 453, no. 5. pp. 475-478. (In Russian).
3. Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchikh otobrazheniyakh i neyavnykh diffe-rentsial'nykh neravenstvakh [On ordered-covering mappings and implicit differential inequalities]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 12, pp. 1610-1627. (In Russian).
4. Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchikh otobrazheniyakh i integral'nykh neravenstvakh tipa Chaplygina [About orderly covering mappings and Chaplygin's type integral inequalities]. Algebra i analiz - St. Petersburg Mathematical Journal, 2018, vol. 30. no. 1, pp. 96-127. (In Russian).
5. Benarab S., Zhukovskiy E.S. Ob usloviyakh sushchestvovaniya tochek sovpadeniya otobrazheniy v chastichno uporyadochennykh prostranstvakh [On the conditions of existence coincidence points for mapping in partially ordered spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estest-vennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018. vol. 23. no. 121, pp. 10-16. (In Russian).
The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project№ 17-41-680975, № 17-01-00553, № 16-01-00386).
Received 27 March 2018 Reviewed 26 April 2018 Accepted for press 5 June 2018 There is no conflict of interests.
Benarab Sarra, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-Graduate Student, Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, e-mail: [email protected]
For citation: Benarab S., Zhukovskiy E.S. O nakryvayushchih otobrazheniyah so znacheniyami v prostranstve s reflek-sivnym binarnym otnosheniem [About covering mappings with values in the space with a reflexive binary relation]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 210-215. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-210-215 (In Russian, Abstr. in Engl.).
